2) Aste in busta chiusa al terzo prezzo
3.2 Modello a valori comuni
Il modello a valori comuni o common value (CV) è il modello opposto all’asta con valori privati indipendenti, e si differenzia da quest’ultimo essenzialmente per due motivi: il valore del bene è esogeno ed incerto.
Nel modello IPV abbiamo visto che il valore del bene per ogni partecipante scaturiva dalle preferenze personali, indipendentemente dalla valutazione dei concorrenti. Il valore attribuito al bene dagli avversari influisce sulle valutazioni personali unicamente per la probabilità di vittoria, non c’è dunque incertezza. Nel modello a valori comuni è rilevante l’utilizzo efficiente delle informazioni poiché, essendo il valore del bene dipendente da fattori esogeni, c’è un’incertezza oggettiva che potrebbe portare ad una stima del bene errata, ad esempio troppo ottimistica, senza produrre effettivamente alcun successo. Tendenzialmente, infatti, i partecipanti a questo genere d’asta aumento l’offerta per quel bene; il nostro scopo sarà quello di assicurarsi un prezzo di offerta non eccessivo rispetto al reale valore del bene e di individuare il valore massimo prima di ottenere profitti negativi. Determineremo le strategie che ci consentiranno un uso delle informazioni più completo ed efficiente possibile.
All’inizio dell’asta i partecipanti non posseggono informazioni sufficienti per sapere quale sia il valore reale del bene, sono incerti sia nella valutazione personale che degli avversari. Attraverso il segnale ricevuto, ogni partecipante
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riceve informazioni è allora possibile stimare il valore reale del bene oggetto d’asta, che avrà una valutazione finale uguale per tutti. La variabile casuale in questo modello è dunque la valutazione propria e dei concorrenti.
Un esempio di asta CV utilizzata è la vendita di risorse pubbliche per attività economiche di imprese appartenenti ad uno stesso settore/mercato di riferimento (e quindi con stesse aspettative di profitto atteso). Ciò che varia da un’impresa all’altra è il segnale personale, ovvero le condizioni attese future in cui l’attività verrà svolta, se ad esempio ci sarà domanda alta o meno. Oppure, per sottolineare la differenza con il modello IPV, il caso di acquisto di opere d’arte non più a scopo ornamentale, ma con l’obiettivo di una rivendita sul mercato, in cui si ha il prezzo incerto.
La nascita dei modelli a valor comune deriva dalla prima metà degli anni Cinquanta, negli Stati Uniti, dove si assegnavano i diritti di sfruttamento di particolari risorse naturali, in particolare di petrolio, tramite meccanismi d’asta. Tantissimo usata ai nostri giorni, i partecipanti sono tipicamente le più grandi imprese produttrici di petrolio che non conoscono con precisione il valore del bene e stimano il valore in base ai segnali che hanno osservato. Per i partecipanti all’asta il valore del bene dipende principalmente dal modo e dalla quantità di estrazione del bene, questa è l’unica informazione che i bidders posseggono. Verso l’inizio degli anni Settanta, si è presentata una situazione assai peculiare caratterizzata da bassi o nulli profitti per le imprese aggiudicatarie. Tale fenomeno, cui ben presto fu attribuito l’appellativo winner’s curse (maledizione del vincitore), non aveva ancora una spiegazione in termini economici ma era chiaro che c’era un errato uso dell’informazione. Se, per esempio, si è stimato che un'azienda vale 20 milioni di euro, e si scopre che tutti gli altri la valutano solo 5 milioni di euro allora è probabile che le stime effettuate siano troppo ottimiste. Nella teoria delle aste si parla di maledizione del vincitore per indicare il fatto che se un acquirente è disposto a pagare un prezzo pari alla valutazione personale del bene, allora avrà alla base stime eccessivamente ottimistiche che lo porteranno a pagare più di quanto previsto. Per evitare tale fenomeno, la strategia ottima degli acquirenti preveda che venga pagato un prezzo inferiore alla stima fatta per l’acquisto dell’oggetto.
Partiamo, come sempre dalle assunzioni riprese dal modello generale con alcune modifiche specifiche al modello CV. Restano inalterate la A1 e A2.
A1 esiste un unico bene in vendita
A2 il venditore neutrale al rischio massimizza il profitto atteso dall’asta.
Il profitto atteso è dato dalla differenza tra prezzo atteso di aggiudicazione e la valutazione personale del bene, Vᵥ.
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A3 Il numero dei partecipanti all’asta è dato dall’insieme N = {1,…,n} con n≥2 fisso e noto a tutti.
i) I bidders sono neutrali al rischio
ii) Massimizzano il profitto atteso dall’asta
∀𝑖 ∈ 𝑁, E(πᵢ) = {𝐸[𝑉𝑖 − 𝑃] 𝑠𝑒 𝑖 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 Dove Vᵢ indica il valore dell’oggetto per il bidder i. iii) La funzione di valutazione del bidder i:
𝑉𝑖 = 𝑢𝑖(𝑋, 𝑆) Si assume che m=1 e quindi 𝑺 = 𝑆𝑖, da cui
𝑉𝑖 = 𝑢 [𝑠, 𝑋𝑖, {𝑋𝑗}
𝑗≠𝑖] = 𝑠 ∀𝑖 ∈ 𝑁
Grazie a questa composizione di 𝑉𝑖 è soddisfatta anche A4 in quanto
sintetizza l’ipotesi del valor comune. È s il vero valore del bene all’asta, uguale per tutti i partecipanti.
Ogni partecipante 𝑖 ∈ 𝑁, osserva un segnale di valore 𝑋𝑖 = 𝑥𝑖
appartenente al vettore n-dimensionale 𝑿 = {𝑋1, … , 𝑋𝑛} e correlato al vero valore s.
A4 Si ricava
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑉ᵢ = 𝑢ᵢ[𝑆, 𝑋ᵢ, {𝑋𝐽}𝑗≠𝑖]
dove la funzione u gode delle stesse proprietà della funzione di utilità con
𝑢 ∈ 𝑅𝑛+𝑚 , non negativa, continua e non decrescente.
Si assume inoltre:
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝐸[𝑉ᵢ] < ∞
La funzione di valutazione gode della proprietà della simmetria rispetto alle sue variabili per cui che ogni valore attributo al bene dipende in modo simmetrico dai segnali di valore osservati dagli avversari, mentre le variabili esogene in S influenzano le valutazioni dei compratori in modo identico.
Il valore del bene dipende dai segnali (le informazioni private 𝑋ᵢ), dai segnali esogeni che influenzano identicamente tutti i partecipanti, e dalle valutazioni dei concorrenti, per l’ipotesi di interdipendenza tra le valutazioni, definita da {𝑋𝐽}𝑗≠𝑖. L’incertezza del concorrente si traduce per il bidder i come incertezza del valore del bene.
A5 Ogni soggetto considera il valore ignoto s come la realizzazione di una
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∑𝑆 = [𝑠, 𝑠]
Ogni segnale𝑋𝑛è definito da una variabile casuale con distribuzione di probabilità condizionata al vero valore s del bene 𝐻𝑖(𝑋𝑖|𝑠).Definiamo la funzione di densità ℎ𝑖(𝑋𝑖|𝑠). In entrambe s è il parametro ignoto; allora la funzione di densità congiunta 𝑓(𝑋𝑖, 𝑆𝑚) del vettore casuale (𝑆1; 𝑋1, … , 𝑋𝑛)
è nota e comune a tutti i partecipanti.
A5 Bis nel modello la funzione 𝑓(𝑋𝑖, 𝑆𝑚), prevede che ogni partecipante riceva segnali indipendenti e condizionati al valore comune del bene.28Quindi si assume che, condizionatamente al valore s, le variabili
casuali (𝑋1, … , 𝑋𝑛) siano indipendenti e distribuite secondo la
distribuzione cumulata 𝐻𝑖(𝑋𝑖|𝑠) = 𝑝𝑟𝑜𝑏[𝑋𝑖 ≤ 𝑥𝑖|𝑠] . Definiamo:
∑A(s) = [a(s), d(s)] ∀𝑠 ∈ [𝑠, 𝑠] Il supporto di 𝐻𝑖(𝑋𝑖|𝑠), mentre il suo inverso è dato da:
∑𝑆(𝑥) = ∑𝐴−1(x) = {𝑠 ∈ [𝑠, 𝑠]|𝑥 ∈ [𝑎(𝑠), 𝑑(𝑠)]}
∑𝑆(𝑥) indica l’intervallo di S dopo che è stato osservato il segnale 𝑋1, infatti osservato il segnale 𝑋1è possibile che il supporto di S vari.
Assumiamo poi che le funzioni di densità condizionata ℎ𝑖(𝑋𝑖|𝑠) abbia la proprietà del rapporto di verosimiglianza monotono (MLR) che
corrisponde alla disuguaglianza FKG nel modello generale, per cui dati 𝑥̂ > 𝑥𝑖 𝑖 e 𝑠̂ > 𝑠 avremo:
ℎ(𝑥̂ |𝑠̂)𝑖 ℎ(𝑥̂ |𝑠̂)𝑖 >
ℎ(𝑥𝑖|𝑠̂)
ℎ(𝑥𝑖|𝑠) 𝑀𝐿𝑅
A6 Dalla A5BIS la distribuzione congiunta delle variabili casuali diventa:
𝑓(𝑋𝑖, 𝑆𝑚) ≡ g(s)h(𝑥𝑖|𝑠) … ℎ(𝑥𝑛|𝑠)
E quindi, funzione di densità di probabilità è simmetrica rispetto ai suoi argomenti.
A7 Le variabili casuali del modello (𝑋1, … , 𝑋𝑛; 𝑆𝑚) sono affiliate, ovvero la loro funzione di densità di probabilità, 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛), soddisfa la
disuguaglianza di Fortuin, Kastelin e Ginibre.29
𝑓(𝑧) ∙ 𝑓(𝑧′) ≤ 𝐹(𝑧 ∨ 𝑧′) ∙ 𝑓(𝑧 ∧ 𝑧′) [FKG]
28 (Milgrom P. Weber R. 1982)
47
Dove
(𝑧 ∨ 𝑧′) = (max(𝑠
1, 𝑠1′) , … , max(𝑠𝑚, 𝑠𝑚′ ) , max(𝑥1, 𝑥1′) , … , , max(𝑥𝑛, 𝑥𝑛′))
(𝑧 ∧ 𝑧′) = (min (𝑠
1, 𝑠1′), … , min(𝑠𝑚, 𝑠𝑚′ ) , min(𝑥1, 𝑥1′) , … , , min(𝑥𝑛, 𝑥𝑛′))
Le variabili casuali associate hanno covarianza non negativa tra le funzioni monotone e non decrescenti rispetto ad ogni argomento.
Di cui le proprietà:30
FKG1 Le variabili casuali tra loro indipendenti soddisfano la disuguaglianza FKG con uguaglianza.
FKG2 Se la funzione di densità congiunta 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfa la disuguaglianza FKG, lo stesso sarà per le funzioni marginali ottenibili da essa.
FKG3 Se due funzioni di densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) e ℎ(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfano la FKG lo
stesso vale per la densità risultante dal loro prodotto.
FKG4 Se 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfa FKG e se 𝜆1, … , 𝜆𝑘, 𝑘 = 𝑚 + 𝑛 sono tutte funzioni crescenti/decrescenti, allora la funzione 𝜗(𝑧) = 𝑓(𝜆1(𝑠1), … , 𝜆𝑘(𝑠𝑘)) gode anche essa della proprietà FKG
FKG5 Se (𝑋1, … , 𝑋𝑛) sono variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite, con densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) allora la funzione di densità di probabilità congiunta delle variabili ordinate (𝑋(1), … , 𝑋(𝑛)) soddisfa la disuguaglianza di FKG
FKG6 Ponendo la densità congiunta 𝑓(𝑆, 𝑋) corrispondente alle assunzioni F. e G., e 𝑌1 > 𝑌2 > 𝑌𝑛−1 il vettore ordinato in modo decrescente delle (n-1) variabili casuali {𝑋𝑗}𝑗≠1 = (𝑋2, … , 𝑋𝑛) allora la funzione di densità del vettore casuale 𝑓(𝑆, 𝑋1, 𝑌1, … , 𝑌𝑛−1) soddisferà anche essa la proprietà FKG31
FKG7 Sia X un vettore casuale avente densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) che soddisfa FKG e sia la funzione di utilità non decrescente allora la funzione
𝑣(𝑎1, 𝑑1; … ; 𝑎𝑛, 𝑑𝑛) = 𝐸[𝑢(𝑋1, … , 𝑋𝑛)|𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑1, … , 𝑎𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑𝑛] è non decrescente rispetto a tutti i suoi argomenti.
Inoltre le funzioni
𝑣(𝑥1, … , 𝑥𝑘) = 𝐸[𝑢(𝑋1, … , 𝑋𝑛)|𝑥1, … , 𝑋𝐾 = 𝑥𝑘] per 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
sono tutte non decrescenti
Poiché le assunzioni confermano il modello generale, il modello CV viene considerato un sotto-caso del modello generale.
Nel modello analizzato, abbiamo una situazione aggiuntiva di incertezza rispetto all’IPV, ovvero la stima del valore del bene. Quindi qui la vera
problematica è vincere ma acquistando l’oggetto ad un prezzo inferiore o, al
30 (Karlin S. Rinott Y. 1980)
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massimo pari, al vero valore s. Inoltre si deve fare i conti con il cosiddetto fenomeno winner’s curse, la maledizione del vincitore, dove all’interno di un’asta il vincitore si è aggiudicato un bene ad un prezzo più alto del valore reale per un errore di sopravvalutazione, ecco perché rilevante che
l’informazione privata venga utilizzata nel miglior modo possibile.
Ogni partecipante prima dell’inizio dell’asta assegna un valore, identico per tutti, al bene:
𝐸(𝑆1) = ∫ 𝑠𝑔(𝑠)𝑑𝑠
𝑠 𝑠
Una seconda valutazione, avviene nel momento in cui si osserva il segnale contenente le info necessarie, la cui funzione è data:
𝑣(𝑥1) ≡ 𝐸[𝑠|𝑋1 = 𝑥1]
È una funzione non decrescente di 𝑥1per A3 e A7, in particolare per la FKG7. Riprendendo il modello generale usiamo le proprietà 2) e 4) delle aste appartenenti alla classe ᴇ pe individuare la probabilità di vittoria.
Assumiamo 𝑏∗(𝑌𝑛−1)il comportamento comune agli n-1 agenti, il bidder 1
vince l’asta se:
𝑏1 > 𝑏∗(𝑌 1)
La funzione di offerta 𝑏∗(𝑌1) è crescente nelle quattro forme d’asta ed ha
una funzione inversa 𝑏∗−1(𝑌1).
Allora la probabilità di vittoria è data da: 𝑃𝑟𝑜𝑏 {𝑌1 = max (𝑋𝑗)
𝑗≠𝑖 ≤ 𝑥𝑖|𝑠} = 𝐻𝑌1(𝑌1|𝑠) = [𝐻(𝑥1|𝑠)] 𝑛−1
= [𝐻(𝑏∗−1(𝑏(𝑥1))|𝑠)]𝑛−1 ∀𝑠 ∈ [𝑠, 𝑠]
È la probabilità che 𝑥1 sia il valore massimo pari al valore più elevato degli avversari, 𝑌1.
La variabile casuale 𝑌1 ha una densità condizionata strettamente positiva su ∑A(s) definita:
ℎ𝑌1(𝑦1|𝑠) = (𝑛 − 1)[𝐻(𝑦1|𝑠)]𝑛−2ℎ
𝑌1(𝑦1|𝑠)
Il problema del bidder 1 è dunque determinare quel valore di offerta che massimizza il profitto atteso:
49 𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑆1− 𝑃)1{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1}|𝑋1 = 𝑥1] Con 1{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1} = 1 𝑠𝑒 𝑏 ∗(𝑌 1) < 𝑏1, 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 = 0 Riscriviamo il problema come:
𝑚𝑎𝑥𝑏∫ ∫ (𝑆1− 𝑃) 𝑏(𝑠) a(s) [𝐻𝑌1(𝑏∗−1(𝑏(𝑥1))|𝑠]ℎ(𝑥1|𝑠)𝑔(𝑠)𝑑𝑠 𝑠 𝑠
Andiamo a vedere ora per le quattro forme d’asta le caratterizzazioni di ognun per il modello CV. Dimostreremo inoltre che si può derivare la strategia di equilibrio direttamente dai teoremi considerati dal modello generale d’asta.
a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo
Riprendiamo il teorema del modello generale, tenendo in considerazione le nuove assunzioni, per trovare la strategia di equilibrio simmetrico.
La valutazione attesa condizionata 𝑣(𝑥, 𝑦)definita nel modello generale, diviene ora:
𝑣(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦)𝑑𝑠
∑𝑆(𝑥)
Dove 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦)𝑑𝑠 che indica la funzione di densità 𝑆1, dato 𝑋1 e 𝑌1
ed è individuata, in base alle ipotesi sulle distribuzioni delle variabili casuali del modello CV, da:
𝑓(𝑠|𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]
𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)
∫ 𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠
∑𝑆(𝑥)
Da cui, il valore atteso condizionato del valore dell’oggetto quando il segnale più elevato dei partecipanti è x, e il secondo maggior segnale è y:
𝑣(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑠𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]
𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠
∫ 𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠
∑𝑆(𝑥) ∑𝑆(𝑥)
Applicando alla formula il teorema, dal modello generale per l’asta al secondo prezzo in busta chiusa, secondo cui:
50
Teorema: Sia data una funzione v:ℜ2 → ℜ definita da: 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦]
Che indica la valutazione attesa condizionata del bene per il bidder1, dati i segnali x, y. Allora, data una funzione di bid del tipo:
𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑆
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥],
la n-upla di strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗)costituisce un punto di equilibrio dell’asta in busta
chiusa al secondo prezzo. Inoltre 𝑏∗è una strategia di tipo crescente.
Allora otteniamo l’offerta di equilibrio:
𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑠𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]
𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠
∫ 𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠
∑𝑆(𝑥) ∑𝑆(𝑥)
Inoltre con le assunzioni A3, A4, A7 e la proprietà P7, definiamo 𝑣(𝑥, 𝑦) come funzione crescente e strettamente crescente nel primo argomento (x), per cui l’unica situazione in cui si può ottenere un profitto atteso non nullo è quella in cui il bidder 1 osserva il segnale più elevato 𝑋1 = 𝑥1, oppure che il secondo maggior
segnale può essere al massimo pari a 𝑌1 = 𝑥1. Come per il modello generale, la
strategia di equilibrio si verifica quando l’offerta ottima 𝑏∗ contiene come valore massimo 𝑌1,e l’asta è vinta dal bidder 1.
L’equilibrio simmetrico 𝑏∗(𝑥) che si viene a formare nell’asta al secondo prezzo a valor comune ha delle rilevanti proprietà:
• La presenza di un unico equilibrio individuato esattamente dall’ultima forma su32. L’unicità è data da:
𝐸[𝑠|𝑋1 = 𝛼, 𝑋2 ≤ 𝛽, 𝑎 ≤ 𝑋𝑗 ≤ 𝑑, 𝑗 ≥ 3 ] > 𝐸[𝑠|𝑋1 ≤ 𝛼, 𝑋2 = 𝛽, 𝑎 ≤ 𝑋𝑗 ≤ 𝑑, 𝑗 ≥ 3 ] Questa condizione vale ∀𝑎, 𝑑 e richiede che ad ogni segnale positivo più di quello precedente corrisponda un incremento dell’aspettativa di valore rispetto ad un aumento dovuto ad un’informazione più favorevole sull’intervallo superiore del supporto da cui e tratto uno dei segnali degli avversari.
• Questo unico equilibrio è non degenerato, ovvero è un equilibrio in cui prima di osservare il segnale tutti i partecipanti hanno una
51
probabilità di vittoria strettamente positiva, in strategie crescenti e continue.33
• La sopravvalutazione del bene e quindi il profitto negativo per il vincitore si ottiene solo quando la seconda maggiore offerta sia sopravvalutata, e quindi non si è avuta una stima corretta e l’uso efficiente delle informazioni.
L’equilibrio nell’asta al secondo prezzo CV è un equilibrio di tipo Nash- bayes, quindi più debole rispetto a quello dominante dell’asta IPV,
tuttavia esiste una classe di aste per cui nel modello CV esiste l’equilibrio di tipo dominante, domance solvable, secondo cui eliminare
ripetutamente le strategie dominanti porta ad un unico risultato.34 La
classe d’asta in cui esiste questo tipo di equilibrio, è dove vale la
proprietà per cui il segnale più elevato è il segnale sufficiente dell’intera collezione di segnali. Ciò significa che conoscere il segnale 𝑋𝑛 ed n permette ai partecipanti di stimare S come se stesse osservando tutti i segnali.
Esempio:35
supponiamo la legge di probabilità a priori di 𝑆1sia di Pareto: 𝑔(𝑠) = 𝜔−(𝜔+1)1{[1,+∞[}
Assumiamo inoltre:
𝐻(𝑥1|𝑠) =𝑥1
𝑠 , 0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑠 Il valore atteso a priori del bene è:
𝐸(𝑆1) = ∫ 𝑠𝜔𝑠−(𝜔+1)𝑑𝑠 = 𝜔
𝜔 − 1
∞ 1
Riprendiamo ora l’offerta ottima nell’asta al secondo prezzo, ottenuta dal teorema: 𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑠𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)] 𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠 ∫ 𝑔(𝑠)ℎ(𝑥|𝑠)[𝐻(𝑦|𝑠)]𝑛−2ℎ(𝑦|𝑠)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥) ∑𝑆(𝑥)
E otteniamo la strategia ottima così riscritta:
33 (Bikhchandani S. e Riley J.G. s.d.)<<Proposition 1>> 34 (Moulin H. 1979)
52 𝑣(𝑥1, 𝑥1) = ∫ 𝑛𝑠 ( 𝑥1 𝑠) 𝑛−11 𝑠𝜔𝑠−(𝜔+1)𝑑𝑠 ∫∑𝑆(𝑥)∞ 𝑛𝑠 (𝑥𝑠1)𝑛−11𝑠𝜔𝑠−(𝜔+1)𝑑𝑠 ∞ ∑𝑆(𝑥)
Da cui, la funzione non decrescente rispetto al segnale e al numero di bidders: 𝑣(𝑥1, 𝑥1) = 𝜔 + 𝑛
𝜔 + 𝑛 − 1𝑚(𝑥1)
𝑚(𝑥1) = max (1, 𝑥1) è l’estremo superiore del supporto ∑𝑆(𝑥), ovvero il valore massimo della funzione di distribuzione
b) Asta Inglese
Suddividiamo di nuovo l’asta in fasi, come per il modello generale, in base alle uscite dei bidders. Ad ogni uscita corrisponde una fase, e per ognuna avremo informazioni maggiori al crescere dei soggetti che abbandonano. Definiamo 𝑘 i partecipanti all’asta che hanno deciso di ritirarsi, 𝑘 = (0,1, … , 𝑛 − 2) e con (n-k) i partecipanti rimanenti all’asta. Avremo dunque diverse fasi in cui k partecipanti sono usciti dall’asta ai prezzi 𝑝1 ≤ 𝑝2 ≤ ⋯ ≤ 𝑝𝑘. Gli (n-k) giocatori traggono da 𝑝𝑘 informazioni sulle valutazioni dei soggetti usciti.
Per ogni nuovo stadio chi continua a partecipare all’asta rivede la sua valutazione del bene in base al nuovo segnale derivante dall’informazione contenuta nel prezzo di uscita degli avversari.
Riprendiamo il teorema considerato nel modello generale per l’asta inglese.
Teorema:L’insieme delle strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗)costituisce un punto di equilibrio. La funzione iterativa di 𝑏∗ è data da:
𝑏0∗(𝑋 1) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑥1, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑥1)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥) … 𝑏𝑘∗(𝑋1) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑥1, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑥1, 𝑏𝑘−1∗ (𝑌𝑘) = 𝑝1)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥)
Consideriamo la fase dove rimangono solo due partecipanti 𝑘 = (𝑛 − 2), la strategia ottima richiede che il bidder 1 partecipi all’asta finché il prezzo corrente non sia uguale alla sua valutazione condizionata:
𝑏∗(𝑥1) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦1, 𝑌2 = 𝑦2… , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥)
53
Esaminiamo il prezzo di aggiudicazione, dato dall’offerta del secondo prezzo più alto:
𝑝𝑛−1 = 𝑏∗(𝑌
1) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦1, 𝑌2 = 𝑦2… , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥)
E dalla serie di prezzi {𝑝1(𝑦𝑛−1), 𝑝2(𝑦𝑛−2), … , 𝑝𝑛−1(𝑦1)} il vincitore reperisce informazioni su tutti i segnali (𝑌1, 𝑌2, … , 𝑌𝑛−1)
La valutazione corretta del bene posto in vendita, nell’asta inglese, può formularsi unicamente al termine della procedura, ovvero dopo aver osservato tutti i segnali dei partecipanti in uscita. In questo modo, ogni fase, permette di ottenere un’informazione nello stadio finale di tipo efficiente.
Alcune caratterizzazioni del modello nell’asta inglese:
• Esiste un continuo di equilibri asimmetrici quando n=2, che sono inefficienti per il banditore, poiché il ricavo di quest’ultimo è massimo solo nell’equilibrio simmetrico.36
La distribuzione di probabilità del prezzo di vendita che si ottiene nell’equilibrio simmetrico, se il rapporto ℎ(𝑥𝑖|𝑠)
1−𝐻(𝑥𝑖|𝑠) è non decrescente
rispetto ad 𝑥𝑖 e se l’aspettativa condizionata 𝑣(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) è una funzione quasi concava, allora domina, per il principio della dominanza stocastica del primo ordine, la distribuzione del prezzo risultante da qualsiasi equilibrio asimmetrico ottenuto da strategie crescenti e continue. Quindi il venditore ha un ricavo atteso maggiore nell’equilibrio simmetrico
Equilibrio simmetrico: 𝜆(𝑥) = 𝑥 Equilibrio asimmetrico:
𝑏1∗(𝑥) = 𝐸[𝑆1|𝑋1 = 𝑥, 𝑋2 = 𝜆(𝑥)]
𝑏2∗(𝑥) = 𝐸[𝑆1|𝑋1 = 𝜆−1(𝑥), 𝑋2 = 𝑥]
Dove 𝜆(𝑥) indica una funzione crescente e suriettiva.
c) Asta in busta chiusa al primo prezzo e l’asta
Olandese
Nell’asta al primo prezzo, l’offerta più alta paga il prezzo offerto, 𝑃 = 𝑏1, 𝑠𝑒 𝑏1 > max 𝑏𝑗, ∀𝑗 ≠ 1, 𝑗 ∈ 𝑁 Avremo dunque la seguente equazione differenziale:
54 𝑚𝑎𝑥𝑏∫ ∫ (𝑠 − 𝑏(𝑥1))[𝐻(𝑏∗−1(𝑥 1|𝑠)]𝑛−1ℎ(𝑥1|𝑠)𝑔(𝑠)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥) 𝑠 𝑠
Dove [𝐻(𝑏∗−1(𝑥1|𝑠)]𝑛−1è la probabilità d vittoria del bidder 1 quando
effettua un’offerta pari a 𝑏(𝑥1) e gli avversari seguono la strategia comune crescente𝑏∗(𝑥1|𝑠). Otteniamo poi:
𝑚𝑎𝑥𝑏∫ ∫ {(𝑠 − 𝑏(𝑥1))(𝑛 ∑𝑆(𝑥) 𝑠 𝑠 − 1)[𝐻(𝑏∗−1(𝑥1|𝑠)𝑛−2ℎ((𝑏∗−1(𝑥1|𝑠)𝑛−2) − 𝑏∗′(𝑥1)𝐻(𝑏∗−1(𝑥1|𝑠)𝑛−1]}ℎ(𝑥1|𝑠)𝑔(𝑠)𝑑𝑠 = 0 ∀𝑥1 ∈ 𝐴
Possiamo poi riscrivere l’equazione tenendo presente che in equilibrio 𝑏(𝑥1) = 𝑏∗(𝑥 1), da cui: 𝑏∗−1(𝑏∗(𝑥1)) = 𝑥1 Per cui, ∫ {(𝑠 − 𝑏∗(𝑥1))(𝑛 − 1)[𝐻(𝑥1|𝑠)𝑛−2]ℎ(𝑥1|𝑠) ∑𝑆(𝑥) − 𝑏∗′(𝑥 1)𝐻(𝑥1|𝑠)𝑛−1}ℎ(𝑥1|𝑠)𝑔(𝑠)𝑑𝑠 = 0 ∀𝑥1 ∈ 𝐴
Possiamo notare la somiglianza, riscrivendo la formula, con l’equazione differenziale necessaria per l’equilibrio del modello generale al primo prezzo:
𝑏∗′(𝑥1) = [𝑣(𝑥1, 𝑥1) − 𝑏∗(𝑥 1)]
𝑓𝑌1(𝑥1|𝑥1) 𝐹𝑌1(𝑥1|𝑥1)
Sarà dunque l’asta al primo prezzo CV, un sotto caso del modello generale, potendo così ricavare la strategia di equilibrio.
Utilizziamo le seguenti definizioni, per riscrivere l’equazione:
D1 𝐹 (𝑠|𝑥1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑋𝑗} ∀𝑖∈𝑁) = ∫ 𝐻(𝑥1|𝜏)]𝑛−1ℎ(𝑥 1|𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 inf∑𝑆(𝑥) ∫ 𝐻(𝑥1|𝜏)]𝑛−1ℎ(𝑥 1|𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 ∑𝑆(𝑥)
55
𝜏 è la variabile di integrazione, che corrisponde alla funzione di ripartizione s, condizionata al segnale informatvo più elevato.
D2 𝐹 (𝑠|𝑥1, 𝑌1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑚𝑎𝑥{𝑋𝑗} ∀𝑖∈𝑁) = ∫ 𝐻(𝑥1|𝜏)]𝑛−2ℎ(𝑥 1|𝜏)ℎ(𝑥1|𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 𝑠 inf∑𝑆(𝑥) ∫ (𝑛 − 1)𝐻(𝑥1|𝜏)]𝑛−2ℎ(𝑥 1|𝜏)ℎ(𝑥1|𝜏)𝑔(𝜏)𝑑𝜏 ∑𝑆(𝑥)
È la funzione di ripartizione s condiionata dai due segnali piu elevati,
con il secondo maggior segnale𝑌1 = 𝑥1, ovvero hanno valore identico.
D3 ricaviamo da D2
𝐹(𝑠|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦) che corrisponde alla densità 𝑌1 = 𝑦
𝜔(𝑥1) = ∫ ℎ(𝑥1|𝑠)
𝐻(𝑥1|𝑠)
∑𝑆(𝑥)
𝑑𝐹(𝑠|𝑥1 = max (𝑋𝑖), ∀𝑖 ∈ 𝑁
Utilizzando D1, D2, D3, riscriviamo l’equazione come:
𝑏∗′(𝑥1) = (𝑛 − 1)[𝑣(𝑥1, 𝑥1) − 𝑏∗(𝑥1)]𝜓(𝑥1)
(𝑥1, 𝑥1) individua l’offerta efficiente nell’asta al secondo prezzo CV.
Questa equazione individua la strategia ottima di offerta, differenziabile e strettamente crescente nell’intervallo ∑ = [𝑥, 𝑥], data da:
𝑏∗(𝑥1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑[Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1 𝑥 𝑥 + 𝑣(𝑥, 𝑥) [Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1 Dove: I. 𝑣(𝛼, 𝛼) = ∫ 𝑠𝑓(𝑠|𝑋1 = 𝛼, 𝑌1 = 𝛼)𝑑𝑠 ∑𝑆(𝑥)
Coincide con la valutazione condizionata e 𝛼 è variabile di integrazione nella strategia ottima di offerta
II. Φ(𝑥|𝑥1)= exp (−∫𝛼𝑥1𝜓(𝛾)𝑑𝛾)
Rappresenta il fattore di integrazione che ci permette di risolvere l’equazione differenziale di su.
III. 𝑣 = (𝑥, 𝑥) è la valutazione condizionata del partecipante
marginale, nel caso in cui non ci sia il prezzo di riserva ed è la condizione iniziale per la soluzione dell’equazione differenziale. Riprendiamo l’equazione della strategia ottima in questa sede:
𝑏∗′(𝑥
1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑[Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1+ 𝑣(𝑥, 𝑥) 𝑥
𝑥
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e confrontiamola con la strategia ottima individuata dal teorema nel modello generale per l’asta al primo prezzo:
𝑏∗(𝑥 1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑𝐿(𝛼|𝑥1) 𝑥1 𝑎 Dove 𝐿(𝛼|𝑥1) = exp (− ∫ 𝑓𝑌1(𝑠|𝑠) 𝐹𝑌1(𝑠|𝑠) 𝑥1 𝑎 𝑑𝑠)
Tra le due la differenza è dovuta a come si presenta la condizione di probabilità di 𝑌1 condizionata a 𝑋1. Una seconda differenza minima potrebbe essere il termine 𝑣(𝑥, 𝑥)[Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1 che si riferisce al partecipante marginale.
Riprendendo le assunzioni del modello generale per cui: 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝑏∗(𝑥),
stabilendo un prezzo di riserva nullo allora:
𝑣(𝑥, 𝑥)[Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1 = 0 37
Esistono due condizioni per la strategia:
1. L’aspettativa condizionata v(𝑥1, 𝑥1) deve essere funzione continua e strettamente crescente nell’intervallo [𝑥, 𝑥]. È una condizione
solitamente soddisfatta per la proprietà FKG7 e A3, A4
2. La funzione Φ(𝑥|𝑥1)deve essere differenziabile e strettamente crescente in 𝛼 ≤∈ [𝑥, 𝑥]. Generalmente soddisfatta nel modello generale per 𝐿(𝛼|𝑥1) = exp (− ∫ 𝑓𝑌1(𝑠|𝑠)
𝐹𝑌1(𝑠|𝑠) 𝑥1
𝑎 𝑑𝑠)
Per le assunzioni fatte, e le caratteristiche viste, nel modello CV la strategia ottima definita prima è il punto di equilibrio per l’asta al primo prezzo. L’equilibrio è ottenuto per l’assunzione che l’informazione privata è data da variabili casuali continue.
Così come per il modello generale, è possibile estendere le considerazioni per l’asta Olandese che riprende sempre come offerta ottima di
equilibrio:
𝑏∗′(𝑥1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑[Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1
𝑥 𝑥
+ 𝑣(𝑥, 𝑥) [Φ(𝑥|𝑥1)]𝑛−1
L’offerta ottima è il valore al quale il bidder 1 si aggiudica bene, se nessuno l’ha avuto prima di lui.
Esempio:38
37 (Wilson R. 1977)Theorem3 38 (Matthews S.A 1983)
57
supponiamo la legge di probabilità a priori di 𝑆1sia di Pareto:
𝑔(𝑠) = 𝜔−(𝜔+1)1
{[1,+∞[}
Assumiamo inoltre:
𝐻(𝑥1|𝑠) =𝑥1
𝑠 , 0 ≤ 𝑥1 ≤ 𝑠 Il valore atteso a priori del bene è:
𝐸(𝑆1) = ∫ 𝑠𝜔𝑠−(𝜔+1)𝑑𝑠 = 𝜔
𝜔 − 1
∞ 1
La funzione di densità di 𝑌1, condizionata dal segnale più alto 𝑥1 è data da: ℎ𝑌1,𝑥1(𝛼|𝑥1) = 𝛼𝑛−2(𝑛 − 1) 𝑥1(𝑛−1) Da cui: 𝑏∗(𝑥 1) = ∫ 𝑛 + 𝜔 𝑛 + 𝜔 − 1𝑚(𝛼) (𝑛 − 1) 𝑥1(𝑛−1) 𝑥1 0 𝛼𝑛−2𝑑𝛼 𝑏∗(𝑥1) = 𝑛 + 𝜔 𝑛 + 𝜔 − 1 (𝑛 − 1) 𝑥1(𝑛−1) ∫ 𝑚(𝛼) 𝑥1 0 𝛼𝑛−2𝑑𝛼 A questo punto, analizziamo i due casi possibili:
1. 𝑚(𝑥1) = 1 𝑏∗(𝑥 1) = 𝑛 + 𝜔 𝑛 + 𝜔 − 1 (𝑛 − 1) 𝑥1(𝑛−1) ∫ 𝛼𝑛−2𝑑𝛼 𝑥1 0 = 𝑛 + 𝜔 𝑛 + 𝜔 − 1 In questo caso abbiamo un’offerta ottima identica rispetto all’offerta ottima per l’asta in busta chiusa al secondo prezzo:
𝑏𝑆𝑃∗ (𝑥
1) = 𝑣(𝑥1, 𝑥1) =
𝜔 + 𝑛
𝜔 + 𝑛 − 1𝑚(𝑥1)
che diventa, con 𝑚(𝑥1) = 1
𝑏𝑆𝑃∗ (𝑥1) = 𝑣(𝑥1, 𝑥1) = 𝜔 + 𝑛 𝜔 + 𝑛 − 1
58 Allora: 𝑏𝑆𝑃∗ (𝑥1) = 𝑏𝐹𝑃∗ (𝑥1) 2. 𝑚(𝑥1) = 𝑥1 𝑏∗(𝑥1) = 𝑛 + 𝜔 𝑛 + 𝜔 − 1[( 1 𝑥1(𝑛−1)) − (𝑛 − 1) 𝑛 𝑥1]
L’importanza dell’informazione e il prezzo
L’informazione è un elemento molto importante nelle aste, effettivamente analizzato soltanto dopo gli anni ‘7039 a fronte dell’acquisto ricorrente di diritti
petroliferi ad un prezzo maggiore rispetto al reale valore. L’elemento che infatti, ha spinto l’attenzione di molti studiosi verso l’uso corretto dell’informazione nelle aste è il cosiddetto fenomeno del winner’s course40. I vincitori, a fronte di
informazioni favorevoli (segnali), effettuavano offerte maggiori delle altre e superiori al valore del bene oggetto d’asta.
Facciamo un esempio per capire meglio: consideriamo i partecipanti all’asta nel modello CV, che come sappiamo attribuiscono lo stesso valore al bene messo in vendita, con ognuno stime diverse di quel valore. Possiamo rappresentare il valore stimato per il partecipante i con 𝑆 + 𝜀𝑖, dove sappiamo S rappresentare il valore effettivo del bene, comune a tutti i partecipanti, ed εi rappresenta invece l’errore associato alla stima del giocatore i. Si consideri un meccanismo d’asta con offerte in busta chiusa. Supponiamo che ogni partecipante faccia un’offerta pari al suo valore stimato. In questo caso la persona con il valore più alto di εi, si aggiudica il bene. Quando il vincitore paga un prezzo maggiore di S, lì, abbiamo la maledizione del vincitore.