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Università di Pisa
Economia e Management
Corso di studi in Banca, Finanza aziendale e
mercati finanziari
Tesi di laurea magistrale
LA TEORIA DELLE ASTE
Candidato
Dalila Dilonardo
Relatore
Riccardo Cambini
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LA TEORIA DELLE ASTE
INDICE
Capitolo 1 ... 5
INTRODUZIONE ... 5
Capitolo 2 ... 11
LE FORME D’ASTA ... 11
2.1 Forme d’asta tipiche ... 15
1) Asta inglese ... 16
2) L’asta in busta chiusa al secondo prezzo ... 18
3) L’asta in busta chiusa al primo prezzo ... 20
4) L’asta olandese ... 23
2.2 Forme d’asta atipiche ... 24
1) Aste all-pay ... 24
2) Aste in busta chiusa al terzo prezzo ... 25
Capitolo 3 ... 27
MODELLI D’ASTA ... 27
3.1 Modello a valori privati indipendenti ... 27
a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo ... 30
b) L’asta inglese ... 32
c) L’asta in busta chiusa al primo prezzo ... 34
d) L’asta olandese ... 38
Il Revenue Equivalence Theorem ... 38
3.2 Modello a valori comuni ... 43
a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo ... 49
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c) Asta in busta chiusa al primo prezzo e l’asta Olandese ... 53
L’importanza dell’informazione e il prezzo ... 58
3.3 Interdipendenza delle valutazioni ... 65
a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo ... 69
b) Asta in busta chiusa al primo prezzo e asta Olandese ... 71
c) L’asta inglese ... 73
Revenue Ranking Theorem ... 74
Capitolo 4 ... 78
CONCLUSIONI ... 78
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Capitolo 1
INTRODUZIONE
Il termine asta deriva dal latino <<hasta>> ed indica il bastone piantato all’interno dei terreni posti in vendita dallo stato <<sub hasta>>.
Le aste sono la forma più antica di compravendita, il primo esempio di successo risale infatti al 193 a.C.
In quell’anno l’Impero Romano fu messo in vendita dopo la morte
dell’imperatore Pertinace. Alla vendita partecipò il senatore Didio Juliano che vinse l’asta sborsando circa 14milioni di euro attuali.1
Da quell’avvenimento, anche l’Imperatore Caligola utilizzò spesso l’asta come metodologia di compravendita, favorendo lo sviluppo della stessa.
Le aste, con il tempo, non furono impiegate solo nelle trattative di beni ma anche di uomini e donne. Nel 500 a.C. infatti, in Babilonia, la vendita di donne da sposare avveniva tramite asta.
‘’Tutti gli anni, una volta all'anno nei singoli villaggi, si faceva questa cerimonia: tutte le fanciulle che erano quell'anno in età da marito erano
radunate insieme e venivano fatte entrare tutte in un sol luogo: intorno ad esse stavano in piedi gli uomini in gran numero. L'araldo pubblico, facendole alzare a una a una, le metteva in vendita a cominciare dalla più
bella di tutte. Quando questa, trovato un ricco compratore, veniva venduta, il banditore ne metteva all'asta un'altra, la più bella dopo la
prima. Naturalmente venivano vendute perché poi fossero sposate. Tutti i facoltosi di Babilonia in età da prendere moglie, cercando di superarsi con le offerte, si assicuravano le donne più graziose; invece
quelli del popolo che aspiravano al matrimonio, del bell’aspetto non sapevano che farsene e prendevano in moglie le ragazze più brutte insieme con una ricompensa in denaro. Infatti il banditore, quando aveva
finito di vendere all'incanto le fanciulle più avvenenti, presentava la più brutta o, se c'era, una storpia e cercava di aggiudicarla a chi volesse
convivere con lei, ricevendo il minor compenso, fino a che veniva assegnata a chi s'impegnava di sposarla a minor prezzo. Il denaro che
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veniva dato proveniva dalle fanciulle belle, e così le belle ragazze facevano sposare le brutte e le disgraziate.’’ 2
Come testimoniato da Erodoto, il ricavato dalle vendite delle belle donne, veniva suddiviso tra quelle meno avvilenti, e serviva come incentivo per l’acquisto di queste ultime. Si ritiene che l’asta fosse impiegata, in questo caso, ai fini del benessere sociale, non si conosce tuttavia se effettivamente si producesse da ciò un profitto per la collettività in termini economici.
La metodologia di vendita tramite asta venne dimenticata, finché, nel medioevo, fu ripresa in diversi campi. In Grecia, nell’800 d.C., per la contrattazione degli schiavi e pagamento in tranche, come prima forma di rateizzazione. Nel 1600 il re di Francia conferì ad un ristretto gruppo di persone il diritto esclusivo per la vendita delle proprietà dei defunti. Nel 1712 ci fu la prima asta generale per opera di Pierre Antoine Matteus, favorendone lo sviluppo anche in Olanda per la vendita dei tulipani. In Cina crebbe d’importanza, il vincitore era colui che dopo aver effettuato l’offerta con le dita, nascoste da uno scialle, si palesava con stretta di mano pubblica. Interessante è poi, “l’asta a candela” nata nel 1700 dall’India Orientale, le offerte dei partecipanti venivano effettuate prima che la candela si spegnesse; l’ultima offerta era la vincitrice. Successivamente in Inghilterra dove nacquero le prime, e tutt’ora attive, case d’asta quali Sotheby’s e Christie’s rispettivamente nel 1744 e 1766. Nel 1960 negli USA la vendita dei diritti di sfruttamento delle risorse minerarie avveniva attraverso l’asta. Infine, fattore di maggiore visibilità, l’approdo dell’asta online nel 1993.
La motivazione del successo era nella possibilità per il mercante di ottenere ricavi più alti rispetto alla trattativa privata. L’asta infatti permetteva di effettuare un’offerta per un oggetto e concludere un buon affare sia per l’acquirente che per il venditore. 3
Attualmente l’uso dell’asta è previsto per la vendita di ogni tipo di bene: oggetti antichi, materie prime quale petrolio, tabacco, fiori, fino alla negoziazione di obbligazioni al fine di agevolarne il trasferimento dal pubblico al privato. Negli ultimi anni ha avuto inoltre il boom di sviluppo l’asta online dove ogni singolo soggetto può mettere in vendita secondo regole stabilite. Le motivazioni che conducono alla scelta dell’asta sono molteplici, per piacere personale, per speculazione con la rivendita futura del bene, per occasioni di lavoro nel caso di partecipazione di imprese nelle aste per appalti.
Nonostante l’asta, sia dunque conosciuta e praticata dai tempi più antichi, una teorizzazione dei meccanismi è avvenuta solo recentemente.
I protagonisti nell’asta sono tre:
2 (Erodoto s.d.) 3 (Amor 2001)
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o Il venditore nonché proprietario del bene in vendita, definisce le regole dell’asta ma non ne partecipa.
o Gli acquirenti, o bidders, che partecipano all’asta effettuando offerte per ottenere il bene.
o il banditore, o auctioneer, conduce l’asta per conto del venditore, e ne ricava un guadagno per i diritti d’asta da venditore e acquirente
Lo scopo dell’asta è l’incontro tra domanda e offerta in cui i soggetti coinvolti, banditore e bidders, possono assumere ruolo attivo o passivo. La parte passiva definisce il volume dell’offerta individuando l’allocazione migliore possibile al fine di ottenere un risultato efficiente. La parte attiva è, invece, la controparte che compete per l’aggiudicazione del bene.
Inoltre è possibile svolgere due tipi di analisi, che approfondiremo in seguito: normativa e positiva. L’analisi positiva studia le strategie messe in atto dai bidders e gli equilibri che ne seguono, dall’altro lato l’analisi normativa studia le regole del meccanismo d’asta efficiente per il raggiungimento dell’obiettivo del banditore.
Le regole che intercorrono tra i due soggetti sono influenzate da 6 elementi:4
I. L’oggetto dello scambio
II. Modalità di ammissione alla procedura d’asta
III. Modalità di presentazione dell’offerta
IV. Regola di aggiudicazione
V. Regola di pagamento
I. L’oggetto dello scambio può essere di tipo diverso. La variabile nella definizione delle regole è il numero, m, di oggetti messi all’asta, inseriti in un range da 1 ad infinito.
Nel caso di una pluralità di oggetti, identici o differenti, si avranno tanti vincitori quanto è il numero di oggetti venduto. Ogni vincitore effettua un’offerta, rappresentata da un prezzo e da una quantità massima di acquisto. Le aste con molteplicità di oggetti presentano una caratteristica peculiare, ovvero la possibilità che si presentino sinergie, e quindi che il valore totale dei beni conduca ad un livello finale maggiore.5 Si pensi alla vendita per asset di
un’azienda, l’acquisto da parte di un unico soggetto darà un valore strettamente maggiore. In questo caso il venditore potrebbe ritenere
opportuna la vendita dei beni in modo unitario.6
II. L’asta può essere aperta o ad inviti. L’asta aperta ammette chiunque voglia
partecipare, contrariamente alla seconda che invece presuppone un esplicito invito da parte dell’organizzatore. Tuttavia il banditore può effettuare un’asta
4 (Parisio 1998)
5 (Krishna e Rosenthal 1996) 6 (J. McMillan s.d.) (Parisio 1998)
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con requisiti di accesso definiti ex-ante, una sorta di tipologia intermedia tra le due. Questa limitazione nasce da un bisogno di tutela per la buona riuscita dell’operazione di vendita. Il grado di apertura di un’asta è una variabile strategica che incide fortemente sul prezzo atteso di aggiudicazione.
III. Le offerte d’asta possono essere trasmesse in via orale o scritta.
Relativamente alla forma scritta, ogni soggetto effettua l’offerta in busta chiusa entro una data prestabilita, cosicché nessun’altro dei partecipanti ne conosca il valore, l’informazione rimane dunque privata. In questo tipo
d’asta
, ogni partecipante effettua una sola volta l’offerta. Al contrario, con l’asta orale, il prezzo viene aggiornato pubblicamente in base alle offerte. Ogni partecipante può effettuare durante la procedura molteplici proposte. Nell’asta orale quindi, le informazioni sono conosciute da ognuno, ciò permette di rivedere le proprie posizioni ed avvicinarsi al valore più veritiero del bene venduto.Negli ultimi anni si sono sviluppate aste con trasmissione in via telematica, le aste online, che hanno ottenuto molto successo e sono a scala internazionale, molto più veloci e facili ma con meccanismi più impenetrabili.
IV. Secondo le regole tradizionali il vincitore nell’asta per vendita è colui che ha effettuato la maggior offerta, viceversa, per aste d’acquisto, colui che risulta essere il minor offerente. Questo risultato è ottenibile nell’ipotesi in cui l’obiettivo del banditore sia di massimizzazione del ricavo atteso. Se l’utilizzo dell’asta risponde ad altri obiettivi le regole di aggiudicazione cambiano, si pensi ad esempio alle aste per pubblici appalti. In questo caso gli obiettivi possono essere molteplici: i tempi, il prezzo, la qualità e l’utilità pubblica che ne deriva. Il vincitore dell’asta viene dunque determinato dalla somma dei punteggi associati ad ogni aspetto.
In questa sede, ci riferiremo alla vendita, tuttavia l’utilizzo è anche per l’acquisto, i cui risultati sono equivalenti.
V. Il vincitore può dover pagare un prezzo diverso rispetto a quello offerto, in
base alla metodologia d’asta a cui prende parte. Nell’asta a primo prezzo il vincitore con l’offerta maggiore, ne paga il valore, contrariamente all’asta al secondo prezzo in cui paga il valore della seconda offerta più alta.
Per le aste ad oggetto multiplo abbiamo analogamente, l’asta discriminativa e competitiva. L’asta discriminativa in cui chi ha offerto di più si aggiudica i beni pagando la somma offerta. Nell’asta competitiva, invece, i vincitori pagano tutti lo stesso prezzo che corrisponde all’offerta più alta rifiutata. Come precedentemente anticipato, l’asta può essere aperta, chiusa o con ammissione vincolata. Il venditore ponendo dei requisiti di accesso alla procedura, favorisce l’entrata ai soggetti realmente interessati al bene oggetto di compravendita. Si tratta di un meccanismo di ammissione indiretto, in quanto la decisione di partecipare o meno all’asta è rimessa a favore dei bidders.
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o Il diritto di ingresso è il diritto di partecipare all’asta a fronte di una somma versata a fondo perduto. Rappresenta un biglietto di entrata, e funge da risarcimento nel caso in cui il titolare non ne esercitasse il potere.
o Il prezzo di riserva è il prezzo minimo per cui si conclude la vendita, è stabilito dal venditore prima dell’asta
o La base d’asta è il prezzo di partenza da cui partono le offerte. Ovviamente nel caso di asta per l’acquisto è il prezzo massimo che l’organizzatore è disposto a pagare.
o Il prezzo d’incanto è il valore minimo di rialzo, obbligatorio per le aste di tipo orale.
In alcune aste può esserci il prezzo di stima, generalmente indicato come range di valore, minimo e massimo, ma più che come vincolo è una sorta di orientamento nell’offerta per i partecipanti.
Se da un lato le limitazioni suddette svolgono un ruolo di tutela del venditore che riconosce ai soggetti partecipanti maggiore affidabilità, ovvero minore probabilità di inadempimento, dall’altro lato vanno a ridurre il numero di partecipanti all’asta. Il ricavo del venditore come avremo modo di dimostrare è crescente all’aumentare dei bidders, e ciò vale per ogni modello. Dunque le restrizioni potrebbero portare ad un ricavo minore per lo stesso organizzatore. In considerazione di ciò si ritiene opportuno l’utilizzo delle limitazioni solo se la scelta sia giustificata per preferenza o per la qualità del contraente. Si ritrova un’antinomia nel ricavo per il venditore nel caso ci siano costi di partecipazione non recuperabili e un diritto di ingresso.7 Al crescere del numero di partecipanti
aumentano i costi aggregati per la partecipazione, che inciderà sul ricavo atteso del venditore.
Riguardo al numero di bidders presenti, nel proseguo supporremo N fisso e noto, tuttavia può essere incerto8, in base alla volontà del venditore di renderne noto
o meno il valore. Nessun soggetto saprà se è ammesso in un primo momento, ma solo in un periodo intermedio, dopo cui potrà effettuare una stima sul numero dei partecipanti effettivi in base ad una probabilità9.
Nel caso in cui i partecipanti siano avversi al rischio conoscere o meno N risulta indifferente, in quanto non incide sulla formulazione dell’offerta (prima di conoscere se sono o meno ammessi) e quindi sulla possibilità di vittoria.
La teoria dei giochi fornisce alcuni concetti teorico/matematici importanti per lo sviluppo dei meccanismi delle aste, di fatto lo sviluppo avviene in maniera simultanea, al perfezionarsi di uno migliora anche la valutazione dell’altra.
7 (Harstard 1990)dimostra che il ricavo atteso del venditore è espresso dalla differenza tra valore atteso
dell’oggetto in vendita ed i costi aggregati di partecipazione all’asta
8 (McAfee R. McMillan J. 1987)osservano che il numero dei partecipanti sia nella realtà incerto come
conseguenza della fissazione di un prezzo di riserva, ad esempio nelle aste a busta chiusa, in cui si arriva a considerare il valore n come informazione privata del venditore, e nelle aste orali ove possono partecipare soggetti solo curiosi e non interessati effettivamente all’acquisto.
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L’elemento che nel tempo ha determinato una distinzione dalla teoria dei giochi è la considerazione dell’asta come un meccanismo di gioco non cooperativo. L’elemento che negli anni è stato sottovalutato ed è stato introdotto soltanto nel 1961 è quindi la competitività tra i partecipanti al gioco d’asta. 10
I concetti a cui si rifà relativamente alla teoria dei giochi sono:
I. Equilibrio in strategie dominanti: si trascura l’incertezza strategica poiché nonostante il comportamento di ogni giocatore è indipendente dagli altri, è possibile ottenere un pay-off superiore mediante quella strategia. La strategia dominante è sempre scelta dal giocatore razionale rispetto alla strategia dominata.11
II. Equilibrio Bayesiano: ogni partecipante possiede un’informazione
incompleta sul comportamento dell’avversario e quindi sul pay-off da questo conseguibile. Ogni soggetto attua un diverso comportamento che dipende dal ‘tipo’, ovvero dalla valutazione del bene o dal segnale informativo che riceve e utilizza per formare il suo giudizio di valore. Si conosce unicamente il proprio vero ‘tipo’ a cui corrisponde una determinata funzione di probabilità (strategia). L’avversario non possedendo queste informazioni dovrà fare delle supposizioni. In questo modo l’informazione da incompleta diviene imperfetta. Al soggetto converrà individuare la strategia che l’avversario potrebbe intraprendere, secondo il tipo considerato, e scegliere la strategia che conviene di più in termini di pay-off. Si ritrova così l’equilibrio di Nash, dove l’insieme delle strategie è dato da tutte le possibili strategie, ed ogni agente massimizza la sua utilità attesa condizionata dal suo tipo. È un equilibrio più debole rispetto a quello dominante.
Individuati gli elementi generali, l’evoluzione e la storia dell’asta possiamo intraprendere il percorso dell’analisi dei suoi modelli e meccanismi.
10 (W. Vickrey 1961)che vinse il premio Nobel per l’approccio innovativo all’asta come gioco
non-cooperativo.
11 (W. Vickrey 1961)tuttavia trascurava l’incertezza strategia, riferendosi ad un equilibrio di strategie
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Capitolo 2
LE FORME D’ASTA
Nel momento in cui un soggetto decide di partecipare ad un’asta è fondamentale una valutazione personale del bene, in quanto permetterà di individuare il prezzo massimo che egli sarà disposto a pagare.
Le valutazioni possono essere determinate mediante tre modelli principali, che si distinguono per le assunzioni. In seguito vedremo questi modelli nello specifico, tuttavia è utile considerare il modello generale12 per uno studio più semplice delle
forme d’asta. Il risultato finale ottenuto potrà essere, poi, adattato agli specifici modelli introducendo alcune variazioni.
Il modello generale d’asta a cui ci riferiamo è stato introdotto nel 1982 per la prima volta da Milgrom e Weber ed è l’ultimo modello d’asta studiato al fine di compattare in un'unica teorizzazione il meccanismo delle aste nelle quattro tipologie.
Si parte considerando quattro proprietà rilevanti per proseguire con l’analisi del modello:
1) Viene fissato un prezzo di riserva b˖[0, ∞] sotto al quale un’offerta non
è ritenuta ammissibile;
2) Il vincitore è il miglior offerente;
3) Tutti i partecipanti seguono le stesse regole;
4) Esiste una strategia di equilibrio b̽, rappresentata da una funzione
strettamente crescente nelle valutazioni individuali;
Attraverso queste proprietà l’asta può dirsi appartenente alla classe ᴇ13
Partiamo con le assunzioni del modello generale:
A1 esiste un unico bene in vendita
A2 il venditore neutrale al rischio massimizza il profitto atteso dall’asta.
Il profitto atteso è dato dalla differenza tra prezzo atteso di aggiudicazione e la valutazione personale del bene, Vᵥ.
E(πᵥ) = E(P) - Vᵥ
A3 Il numero dei partecipanti all’asta è dato dall’insieme N = {1,…,n} con n≥2 fisso e noto a tutti.
12 (Milgrom P. Weber R. 1982)
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i) I bidders sono neutrali al rischio
ii) Massimizzano il profitto atteso dall’asta
∀𝑖 ∈ 𝑁, E(πᵢ) = {𝐸[𝑉𝑖 − 𝑃] 𝑠𝑒 𝑖 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 Dove Vᵢ indica il valore dell’oggetto per il bidder i.
Il profitto atteso per il maggior offerente sarà quindi dato da: 𝐸[𝜋ᵢ] = 𝐸[(𝑉𝑖 − 𝑃)|𝑏ᵢ > max 𝑏𝐽,∀𝑗 ≠ 𝑖; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁] Con bᵢ l’offerta del bidder i.
iii) La funzione di valutazione del bidder i dipende da:
o Stime personali di valore o segnali, che variano in base alle caratteristiche degli agenti, rappresentate nel vettore n-dimensionale 𝑋 = {𝑋₁, … , 𝑋𝑛}. In questo caso le stime degli avversari sono ignote. Il vettore con i segnali ignoti al bidder i è dato da:{𝑋𝑗}
𝑗≠𝑖 = {𝑋1, … , 𝑋𝑖−1, 𝑋1+𝑖, … , 𝑋𝑛}. Dove 𝑛 − 1 indica
gli avversari.
o Segnali esogeni sul valore del bene indicati con 𝑆 = {𝑆₁, … , 𝑆𝑚}, ignoti ai bidders al momento dell’offerta.
𝑉ᵢ = 𝑢ᵢ(𝑋, 𝑆) [1.1]
La valutazione personale dipende quindi sia da sé stesso che dagli avversari. Le valutazioni risultano quindi collegate da un rapporto di reciproca interdipendenza.
A4 Dalla [1.1] si ricava
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑉ᵢ = 𝑢ᵢ[𝑆, 𝑋ᵢ, {𝑋𝐽}𝑗≠𝑖] [1.2]
dove la funzione u, che esprime il pay-off in termini di utilità, gode delle stesse proprietà della funzione di utilità con 𝑢 ∈ 𝑅𝑛+𝑚 , non negativa, continua e non decrescente.
Si assume inoltre:
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝐸[𝑉ᵢ] < ∞
La funzione di valutazione gode dalla [1.2] della proprietà della simmetria rispetto alle sue variabili per cui che ogni valore attributo al bene dipende in modo simmetrico dai segnali di valore osservati dagli avversari, mentre
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le variabili esogene (S) influenzano le valutazioni dei compratori in modo identico.
Dalla [1.2]: il valore del bene dipende dalle informazioni private (𝑋ᵢ), dai segnali esogeni che influenzano le valutazioni personali, e dalla interdipendenza con le valutazioni dei concorrenti, valutazioni definite da {𝑋𝐽}𝑗≠𝑖. L’incertezza del concorrente si traduce per il bidder i come incertezza del valore del bene.
A5 Ogni soggetto considera la realizzazione di una variabile casuale continua
con dimensione 𝑚 + 𝑛
(𝑆1, … , 𝑆𝑚; 𝑋1, … , 𝑋𝑛)
A cui si riferisce la funzione di densità nota e comune a tutti i partecipanti 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛)
La valutazione attesa del bene condizionata dal segnale che ciascun partecipante osserva può essere quindi definita come:
𝐸[𝑢[𝑆, 𝑋𝑖, {𝑋𝑗}
𝑗≠𝑖]|𝑋𝑖 = 𝑋𝑖] ≡ 𝑣(𝑥𝑖)
Che identifica la realizzazione dell’incertezza nella valutazione privata.
A6 La funzione di densità della probabilità è simmetrica rispetto ai suoi
argomenti.
A7 Le variabili casuali del modello (𝑋1, … , 𝑋𝑛; 𝑆1, … , 𝑆𝑚) sono affiliate, ovvero la loro funzione di densità di probabilità, 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛), soddisfa la disuguaglianza di Fortuin, Kastelin e Ginibre:
𝑓(𝑧) ∙ 𝑓(𝑧′) ≤ 𝐹(𝑧 ∨ 𝑧′) ∙ 𝑓(𝑧 ∧ 𝑧′) [FKG] Dove
(𝑧 ∨ 𝑧′) = (max(𝑠
1, 𝑠1′) , … , max(𝑠𝑚, 𝑠𝑚′ ) , max(𝑥1, 𝑥1′) , … , , max(𝑥𝑛, 𝑥𝑛′))
(𝑧 ∧ 𝑧′) = (min (𝑠
1, 𝑠1′), … , min(𝑠𝑚, 𝑠𝑚′ ) , min(𝑥1, 𝑥1′) , … , , min(𝑥𝑛, 𝑥𝑛′))
Le variabili casuali associate avranno sempre una covarianza non negativa tra le funzioni monotone e non decrescenti rispetto ad ogni argomento. Dalla disuguaglianza di FKG si ricavano alcune importanti proprietà:14
FKG1 Le variabili casuali tra loro indipendenti soddisfano la disuguaglianza FKG con uguaglianza.
FKG2 Se la funzione di densità congiunta 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfa la disuguaglianza FKG, lo stesso sarà per le funzioni marginali ottenibili da essa.
14
FKG3 Se due funzioni di densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) e ℎ(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfano la FKG lo
stesso vale per la densità risultante dal loro prodotto.
FKG4 Se 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) soddisfa FKG e se 𝜆1, … , 𝜆𝑘, 𝑘 = 𝑚 + 𝑛 sono tutte funzioni crescenti/decrescenti, allora la funzione 𝜗(𝑧) = 𝑓(𝜆1(𝑠1), … , 𝜆𝑘(𝑠𝑘)) gode anche essa della proprietà FKG
FKG5 Se (𝑋1, … , 𝑋𝑛) sono variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite, con densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) allora la funzione di densità di probabilità congiunta delle variabili ordinate (𝑋(1), … , 𝑋(𝑛)) soddisfa la disuguaglianza di FKG
FKG6 Ponendo la densità congiunta 𝑓(𝑆, 𝑋) corrisponde alle assunzioni A6 e A7, e 𝑌1 > 𝑌2 > 𝑌𝑛−1 il vettore ordinato in modo decrescente delle (n-1) variabili casuali {𝑋𝑗}𝑗≠1 = (𝑋2, … , 𝑋𝑛) allora la funzione di densità del vettore casuale 𝑓(𝑆, 𝑋1, 𝑌1, … , 𝑌𝑛−1) soddisferà anche essa la proprietà FKG15
FKG7 Sia X un vettore casuale avente densità 𝑓(𝑆𝑚; 𝑋𝑛) che soddisfa FKG e sia la funzione di utilità non decrescente allora la funzione
𝑣(𝑎1, 𝑑1; … ; 𝑎𝑛, 𝑑𝑛) = 𝐸[𝑢(𝑋1, … , 𝑋𝑛)|𝑎1 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑1, … , 𝑎𝑛 ≤ 𝑋 ≤ 𝑑𝑛] è non decrescente rispetto a tutti i suoi argomenti.
Inoltre le funzioni:
𝑣(𝑥1, … , 𝑥𝑘) = 𝐸[𝑢(𝑋1, … , 𝑋𝑛)|𝑥1, … , 𝑋𝐾 = 𝑥𝑘] per 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
sono tutte non decrescenti
Tutte le proprietà con le assunzioni viste fino ad ora ci permettono di evidenziare alcune tipicità del profitto atteso.
Assumiamo la simmetria delle valutazioni, ovvero che ogni valutazione è una variabile casuale derivante da una stessa distribuzione.
La funzione di valutazione del bidder 1 con segnali non osservati in {𝑋𝑗}𝑗≠1 è indicata come:
𝑉1= 𝑢(𝑆1, … , 𝑆𝑚; 𝑋1, 𝑌1, … , 𝑌𝑛−1) Da cui, per la proprietà FKG7:
𝑣(𝑥1, 𝑦1, … , 𝑦𝑛−1) = 𝐸[𝑢(𝑋1, 𝑌1, … , 𝑌𝑛)|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦1, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1] Ovvero a segnale più elevato corrisponde un’aspettativa di valore dell’oggetto più elevata.
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Per valutare la probabilità di vittoria dell’asta si deve assumere una strategia comune di equilibrio dell’asta. Poiché si tratta di un gioco d’asta appartenente alla classe ᴇ, grazie alla proprietà esiste una funzione di offerta 𝑏∗ tra le offerte effettuate che rappresenta un equilibrio simmetrico del gioco d’asta.
La funzione 𝑏∗ è crescente nella valutazione, e la valutazione a sua volta è funzione crescente del segnale osservato. Quindi in equilibrio il vincitore dell’asta sarà il bidder con il segnale più elevato.
La probabilità di vittoria è data da:
Pr{𝑏1 = 𝑏∗(𝑋1) > 𝑏∗(𝑌
1)} = 𝐹𝑌1(𝑏 ∗−1(𝑏
1))
Dove 𝑏∗−1 indica la funzione inversa di offerta e 𝐹𝑌1(𝑏∗−1(𝑏
1) la probabilità che
la valutazione del bidder1 sia superiore alla più elevata tra le valutazioni degli avversari.
Il maggior segnale 𝑌1 è una variabile casuale con funzione di densità di probabilità, 𝐹𝑌1(𝑦1|𝑋1 = 𝑥1), che può essere calcolata dalla densità congiunta 𝑓(𝑋1, 𝑌1).
Dalla formula della probabilità, scegliamo quel valore di offerta 1 che massimizza il profitto atteso: 𝐸[𝜋1|𝑥1] = 𝐸[(𝑉1− 𝑃)1{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1}|𝑥1] Con 1{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1} = 1 𝑠𝑒 𝑏 ∗(𝑌 1) < 𝑏1, 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 = 0
Per ogni asta che valgono le assunzioni dalla A1 alla A7 e le proprietà 1), 2), 3) sarà soddisfatta anche la proprietà 4), ovvero ci sarà una strategia di offerta come funzione continua e crescente nelle valutazioni dei bidders, e l’asta si potrà dire appartenente alla classe ᴇ.
Ci sono dunque due esigenze opposte: massimizzare la probabilità di vittoria per l’acquirente, e per il venditore/banditore garantirsi un profitto attraverso l’imposizione delle regole d’asta. Quindi, poiché in ogni forma d’asta abbiamo regole differenti, la strategia di equilibrio b* deve essere ricavata per ognuna di queste, indipendentemente dal modello considerato.
Applichiamo ora la regola generale, ai meccanismi d’asta tipici, in primis, per spiegarne il funzionamento e capire come varia il profitto atteso.
2.1 Forme d’asta tipiche
Le principali tipologie di asta sono quattro, determinate dalla combinazione delle due regole di prezzo (al primo e al secondo) con i due metodi di trasmissione delle offerte (orale e scritta)
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1) Asta inglese
L’asta inglese è caratterizzata da diverse fasi che variano in base alle informazioni possedute dai partecipanti.
Nella prima fase ogni soggetto che decide di partecipare all’asta, possiede una propria valutazione del bene e ignora quella degli altri giocatori. La propria valutazione è il prezzo massimo che si è disposti a pagare per ottenere l’oggetto. Il banditore dell’asta pone un prezzo minimo, o base d’asta, al di sopra del quale i giocatori iniziano a scommettere in via sequenziale. La prima offerta effettuata sostituirà il prezzo minimo, individuando la fase due; le offerte cresceranno finché nessun giocatore sarà più disposto a ribattere, cosicché si avranno tante fasi quante sono le offerte. Ogni bidders non ha limiti di offerta, tuttavia rilanciare per due volte consecutive facendo aumentare il prezzo significherebbe gareggiare contro sé stesso. Il vincitore dell’asta pagherà il valore offerto garantendosi l’oggetto.
L’oralità dell’asta consente ai giocatori di essere informati sul valore del bene attribuito dagli avversari ed avvicinarsi a quello più realistico, dovendo così di volta in volta rivedere la propria valutazione. Infatti, partendo ognuno con valutazioni differenti, all’aumentare del prezzo ogni bidders rivede la sua valutazione in base al nuovo prezzo minimo, ai prezzi di drop out ovvero di uscita dei partecipanti all’asta e dal numero di questi, riformulando una nuova strategia di offerta. La reiterazione delle strategie di offerta è diretta conseguenza dell’ipotesi di affiliazione assunta nel modello generale, A7.
Per limitare le informazioni, sia a favore del banditore che dei partecipanti, l’identità e il numero dei bidders potrebbe essere tenuto nascosto. L’identità è rilevante ad esempio nel caso in cui partecipi all’asta un soggetto che conosce la valutazione del bene, come un critico d’arte all’asta di un quadro. L’offerta, in questo caso, potrebbe essere inoltrata con impulso elettrico, tramite gesto, oppure delegando un altro soggetto alla partecipazione dell’asta. Per questo motivo esistono diverse varianti di asta inglese, tra cui l’English clock, dove il prezzo corrente è pubblico e aumentato periodicamente dal banditore ma non si conosce l’identità e il numero dei partecipanti. I bidders devono segnalare non più la loro offerta ma quando intendono uscire, senza più avere possibilità di entrare. Per ogni uscita il banditore deve rendere pubblico il numero di coloro usciti al prezzo di drop out. In questo tipo di asta il problema è che il prezzo può incrementarsi troppo e che quindi ci siano sempre maggiori uscite, per cui il banditore debba rendere pubbliche alcune informazioni sull’oggetto in vendita di volta in volta. Nel momento in cui il penultimo partecipante abbandona l’asta, il vincitore pagherà il prezzo a cui è uscito il penultimo soggetto.
Suddividiamo ora l’asta in fasi in base alle uscite dei bidders, ad ogni uscita corrisponde una fase, e per ognuna avremo informazioni maggiori al crescere dei
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soggetti che abbandonano. Definiamo 𝑘, 𝑘 = (0,1, … , 𝑛 − 2) la fase in cui k partecipanti sono usciti dall’asta ai prezzi 𝑝1 ≤ 𝑝2 ≤ ⋯ ≤ 𝑝𝑘. Gli (n-k) giocatori traggono da 𝑝𝑘 informazioni sulle valutazioni dei soggetti usciti.
L’insieme delle strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗)costituisce un punto di equilibrio. La funzione
iterativa di 𝑏∗ è data da:
𝑏0∗(𝑥) = 𝐸(𝑉1|𝑋1= 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−1= 𝑥) 𝑏0∗(𝑥) = 𝐸(𝑉
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−2 = 𝑥, 𝑏0∗(𝑌𝑛−1) = 𝑝1)
E così via…
𝑏𝑘∗(𝑥) = 𝐸(𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−𝑘 = 𝑥, 𝑏𝑘−1∗ (𝑌𝑘) = 𝑝𝑘, … , 𝑏0∗(𝑌𝑛−1) = 𝑝1)
Consideriamo la fase dove rimangono solo due partecipanti 𝑘 = (𝑛 − 2), abbiamo qui un’equivalenza con l’asta in busta chiusa al secondo prezzo con due bidders.
Se i due adottano strategie 𝑏∗ e il bidder1 vince l’asta il suo prezzo sarà pari a: 𝐸(𝑉1|𝑋1 = 𝑦1, 𝑌1 = 𝑦1, 𝑌2 = 𝑦2, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1)
Il prezzo pagato dal vincitore è dato dal valore atteso del bene rapportato al vero valore di tutti i segnali informativi, che nella fase iniziale erano ignoti. Con valutazione:
𝐸(𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌𝑛−1 = 𝑥)
Il vincitore conosce con certezza il suo segnale e quindi il valore che ne determina, saprà dunque stimare un valore attendibile del bene in vendita dato appunto dalla formula qui su. Quindi il segnale informativo serve solo a determinare la probabilità di vittoria. Al contrario non determina il prezzo da pagare che è indipendente dal segnale x, ed essendo questa una peculiarità dell’asta inglese incide sul ricavo atteso dalla vendita.
Per il bidder1 il profitto è così dato dalla differenza tra prezzo e valutazione, con valore positivo, a fronte della proprietà P7, solo se 𝑥 ≥ 𝑦1, e quindi solo se paga una somma inferiore alla sua valutazione finale.
Ci sarà competizione per il bidder1 finché il prezzo corrente non sarà pari a:
𝑏∗(𝑥) = 𝐸(𝑉
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥, … , 𝑌2 = 𝑦2, 𝑌𝑛−1 = 𝑦𝑛−1)
Quindi la strategia 𝑏∗ è la risposta ottima ad una strategia ottima degli avversari. Il valore 𝑌1 = 𝑥 è il massimo valore che il segnale del secondo maggior bidder può assumere considerando che il bidder1 ottenga un profitto positivo.
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2) L’asta in busta chiusa al secondo prezzo
L’asta in busta chiusa al secondo prezzo è stata introdotta per la prima volta da Vickrey nel 1961 grazie a cui vinse il premio Nobel. L’asta al secondo prezzo è infatti anche chiamata asta di Vickrey. Egli analizzando l’asta inglese ne riprende alcuni elementi ed assume che i partecipanti si comportino seguendo una strategia di tipo dominante. Ciò permette ad ogni bidders di effettuare un’offerta indipendentemente dalle valutazioni altrui, questo è l’elemento principale che distingue questo tipo di asta da quella inglese. È però più di tipo teorico, in quanto nella pratica è inutilizzata.
Nel’asta di Vickrey ogni partecipante trasmette in via scritta una propria offerta, che sarà sconosciuta agli altri bidders. L’offerta ottima effettuata dovrà essere di valore minore rispetto alla valutazione del bene, tuttavia, al fine di aumentare la probabilità di vittoria, egli potrebbe offrire un valore pari alla valutazione. In questo modo l’offerta domina quelle di valore inferiore, ecco perché si parla di asta di tipo dominante. Nessuno teme di poter pagare un prezzo troppo alto, come accade nelle altre aste, poiché non si teme la maledizione del vincitore pagando un prezzo eccedente la propria valutazione ovvero la possibilità che chi acquisti il bene lo paghi più del suo reale valore. L’offerta effettuata sarà maggiore rispetto alle altre aste, poiché cercheranno di avvicinarsi il più possibile al reale valore del bene per risultarne vincitori, questo si traduce in un maggior guadagno per il venditore. Nel momento in cui ogni partecipante ha effettuato l’offerta in busta chiusa, chi ha effettuato l’offerta maggiore pagherà il secondo prezzo offerto più alto16.
La strategia di uno dei partecipanti, bidders1, è data dalla funzione: 𝑏1= 𝑏1(𝑋1) dove 𝑋1rappresenta il segnale che incide positivamente sulla funzione.
Supponiamo che gli altri partecipanti 𝑗 ≠ 1abbiano una strategia crescente 𝑏𝑗 per cui, se il bidder1 vince l’asta pagherà il prezzo più alto tra le offerte degli altri
(n-1) partecipanti.
𝑃 = 𝑏∗(𝑌1)
Dove P è la variabile casuale che indica il prezzo pagato e 𝑌1 la seconda maggiore valutazione.
Il prezzo è ottenuto dalle assunzioni di A4 ovvero monotonicità e simmetria, e dalla funzione di equilibrio con le caratteristiche individuate dalla proprietà 4. L’offerta che massimizza per il bidder1 il suo profitto atteso è così individuata:
𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑉1− 𝑏∗(𝑌
1))1{𝑏∗(𝑌
1)<𝑏}|𝑥1]
19
In questo modello d’asta, è inoltre presente una strategia di equilibrio
simmetrico17, che dimostriamo con il seguente teorema.
Teorema: Sia data una funzione v, ℜ2 → ℜ, definita da: 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑦]
che indica la valutazione attesa condizionata del bene per il bidder1, dati i segnali x, y. Allora, data una funzione di bid del tipo:
𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉
1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥],
la n-upla di strategie (𝑏∗, … , 𝑏∗)costituisce un punto di equilibrio dell’asta in busta chiusa al secondo prezzo. Inoltre 𝑏∗è una strategia di tipo crescente.
Inoltre con le assunzioni A3, A4, A7 e la proprietà P7, 𝑣(𝑥, 𝑦) è una funzione crescente e strettamente crescente nel primo argomento (x).
Dalla massimizzazione del profitto atteso, sostituendo, otteniamo: 𝐸[𝐸[(𝑉1− 𝑣(𝑌1, 𝑌1))1
{𝑏∗(𝑌
1)<𝑏}|𝑋1, 𝑌1]|𝑋1 = 𝑥1]
In cui l’aspettativa prevede che il segnale 𝑌1 può essere valutato in termini attesi dal bidder1. La riscriviamo come: 𝐸[𝐸 [(𝑣(𝑋1, 𝑌1) − 𝑣(𝑌1, 𝑌1))1 {𝑏∗(𝑌 1)<𝑏}|𝑋1 = 𝑥1] = ∫ [𝑣(𝑥1, 𝑧1) − 𝑣(𝑧, 𝑧) 𝑏∗−1(𝑏) −∞ ]𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1)𝑑𝑧
La z indica la variabile di integrazione ed è crescente in 𝑥1 quindi l’integrale risulterà positivo per 𝑧 < 𝑥1 e negativo per 𝑧 > 𝑥1
Quando poniamo 𝑏∗−1(𝑏) = 𝑥1 l’integrale assume il suo massimo valore
dimostrando che esiste l’equilibrio bayesiano simmetrico del modello generale dell’asta di Vickrey, 𝑏 = 𝑏∗(𝑥1).
Dunque, l’equilibrio simmetrico è ottenuto con l’offerta pari al valore atteso del bene condizionato dal proprio segnale e dal secondo segnale più alto, entrambi
con medesimo valore. Infatti un valore 𝑌1 = 𝑥 è il valore massimo del segnale 𝑌1
compatibile con la vincita de bidder1:
𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1= 𝑥, 𝑌1 = 𝑥] Ipotizziamo due offerte in particolare consideriamo:
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• il partecipante n°1, avente una valutazione pari a 𝑣1 = 200 e 𝑝𝑢𝑝 =
0,65
• il partecipante n°2, avente una valutazione pari a 𝑣1 = 180 e 𝑝𝑢𝑝 =
0,35
I relativi payoff saranno: • il partecipante n°1:
(𝑣1− 𝑏2) 𝑝𝑢𝑝 + 𝑝𝑑𝑜𝑤𝑛(0) = (200 − 180) 0,65 + 0,35(0) = 13
• il partecipante n°2, avente una valutazione pari a 𝑣1 = 180 e 𝑝𝑢𝑝 = 0,35
allora avrà un payoff atteso pari a:
(𝑣2− 𝑏1) 𝑝𝑢𝑝 + 𝑝𝑑𝑜𝑤𝑛(0) = (180 − 200) 0,35 + 0,65(0) = −7
Da cui (𝑣1− 𝑏2) 𝑝(𝑏1 > 𝑏2) ci indica il guadagno atteso del primo partecipante. Se (𝑣1 < 𝑏2) allora il partecipante cercherà di minimizzare la probabilità di vittoria, offrendo un valore più basso fissando 𝑣1 = 𝑏1.
Al contrario, se 𝑣1 > 𝑏2 allora vorrà massimizzare la probabilità di vincere fissando 𝑣1 = 𝑏1.
In entrambi i casi, la strategia che risulta più conveniente seguire è essere sinceri e rispettare la propria valutazione. Infatti per ogni partecipante, il vincitore è colui con l’offerta più alta, ed è un risultato Pareto efficiente. Si ottiene lo stesso risultato di un’asta inglese con le stesse iterazioni
3) L’asta in busta chiusa al primo prezzo
È il modello d’asta più semplice, poiché in via scritta ogni partecipante trasmette la propria offerta e il vincitore è colui che è disposto a pagare la somma più alta tra gli offerenti.
Riconsiderando l’offerta del bidder1 che massimizza il suo profilo atteso, dal modello generale: 𝐸[𝜋1|𝑥1] = 𝐸[(𝑉1− 𝑃)1 {𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1}|𝑥1] Con 1{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1} = 1 𝑠𝑒 𝑏 ∗(𝑌 1) < 𝑏1, 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖 = 0
Per l’asta al primo prezzo avremo che P = 𝑏1 se 𝑏1 > max 𝑏𝑗, ∀𝑗 ≠ 1, 𝑗 ∈ 𝑁
Assumiamo una strategia ottima adottata dai partecipanti escluso il bidder1, tale che soddisfi la proprietà 4). Allora dimostriamo che tre condizioni identificano un punto di equilibrio.
21
1) 𝑏1 = 𝑏∗(𝑥1) è la strategia ottima per il bidder1, per 𝑋1= 𝑥1. L’offerta
ottima è quindi:
𝑚𝑎𝑥𝑏1𝜋(𝑏1; 𝑥1) = 𝐸 [(𝑉1− 𝑏1)1 {𝑏∗(𝑌
1)<𝑏1}|𝑥1]
Riscriviamo la formula considerando ora la funzione 𝑣(𝑋1, 𝑌1) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥1, 𝑌1 = 𝑦1] Abbiamo quindi: 𝑚𝑎𝑥𝑏1𝜋(𝑏1; 𝑥1) = 𝐸 {𝐸 [(𝑉1− 𝑏1)1 {𝑏∗(𝑌1)<𝑏1}|𝑋1,𝑌1,] |𝑋1, = 𝑥1,} = 𝐸 {𝐸 [(𝑣(𝑋1, 𝑌1) − 𝑏1)↿{𝑏∗(𝑌 1)<𝑏1}||𝑋1, = 𝑥1,]} ∫ [𝑣(𝑥1, 𝑧) − 𝑏1]𝑓𝑌1(𝑧|𝑥) 𝑏∗−1(𝑏1) 𝑎 𝑑𝑧
Qui, a indica l’estremo inferiore del supporto di 𝑌1, e z è la variabile di integrazione. Poiché la funzione 𝑣(𝑥1, 𝑧) è crescente in 𝑥1 allora
l’integrando è positivo per 𝑧 < 𝑥1 ed è negativo per 𝑧 > 𝑥1. Perciò l’integrale è massimo quando 𝑏∗−1(𝑏1) = 𝑥1.
Condizioni di primo ordine per la massimizzazione del profitto dell’asta: 𝜕𝜋(𝑏1|𝑥1) 𝜕𝑏1 = 0 =𝑑(𝑏∗−1(𝑏1)) 𝑑𝑏1 [v(𝑥1, 𝑏 ∗−1(𝑏 1) − 𝑏1) − 𝑏1]𝑓𝑌1(𝑏 ∗−1(𝑏 1)|𝑥1) + − ∫𝑏∗−1(𝑏1)𝑓𝑌1(𝛼|𝑥1)𝑑 𝑎 𝛼
Se la strategia corrisponde ad equilibrio simmetrico allora 𝑥1 = 𝑏∗−1(𝑏1)
e possiamo riscrivere le condizioni come: 𝑏∗′(𝑥1) = [𝑣(𝑥1, 𝑥1) − 𝑏∗(𝑥1)]
𝑓𝑌1(𝑥1|𝑥1) 𝐹𝑌1(𝑥1|𝑥1) Questa è la prima condizione che è necessaria per l’equilibrio.
2) Richiede sia soddisfatta la condizione di razionalità individuale, per cui l’offerta del bidder1 non deve eccedere la valutazione dell’oggetto che egli ha formato sulla base del suo segnale 𝑥1:
[𝑣(𝑥1, 𝑥1) − 𝑏∗(𝑥
22
3) Il bidder con peggior segnale di valore deve avere in equilibrio un profitto nullo o negativo:
[𝑣(𝑎, 𝑎) − 𝑏∗(𝑎)] ≤ 0
Questa espressione deve essere soddisfatta con uguaglianza poiché il vincolo di partecipazione deve valere per tutti gli agenti.
Quindi 𝑣(𝑎, 𝑎) = 𝑏∗(𝑎) che diviene la condizione iniziale per la soluzione dell’equazione differenziale:
𝑏∗′(𝑥1) = [𝑣(𝑥1, 𝑥1) − 𝑏∗(𝑥1)]
𝑓𝑌1(𝑥1|𝑥1) 𝐹𝑌1(𝑥1|𝑥1)
Dimostriamo l’esistenza di un equilibrio simmetrico nel modello generale d’asta in busta chiusa al primo prezzo.
Teorema:
La n-upla di strategie (𝑏∗,…, 𝑏∗) rappresenta un punto di equilibrio nell’asta in busta chiusa al primo prezzo dove:
𝑏∗(𝑥1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑𝐿(𝛼|𝑥1) 𝑥1 𝑎 Dove 𝐿(𝛼|𝑥1) = exp (− ∫ 𝑓𝑌1(𝑠|𝑠) 𝐹𝑌1(𝑠|𝑠) 𝑥1 𝑎 𝑑𝑠)
La funzione 𝑏∗è crescente poiché 𝑣(𝛼, 𝛼)è crescente, date le assunzioni A3, A4, e la proprietà P7; la distribuzione di probabilità definita su(𝑎, 𝑥) , 𝐿(𝛼|𝑥1) cresce stocasticamente in x.
Assumiamo momentaneamente che 𝑏∗ sia continua e differenziabile.
Mostriamo che 𝑏∗(𝑥1)è ottimale per 𝑋1= 𝑥1 si ottiene allora mostrando che 𝜋𝑏(𝑏∗(𝑧); 𝑥1) ha valore non negativo per tutti i valori 𝑧 < 𝑥1 e non positivo per 𝑧 > 𝑥1 Dato: 𝜕𝜋(𝑏∗(𝑧); 𝑥 1) 𝜕𝑏∗(𝑧) = 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑏∗′ (𝑧) {[𝑣(𝑥1, 𝑧) − 𝑏 ∗(𝑧)] − 𝑏∗′(𝑧)𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1)}
L’espressione tra parentesi, considerando la condizione del primo ordine è nulla per 𝑥1 = 𝑧. Possiamo quindi riscrivere l’equazione:
𝜕𝜋(𝑏∗(𝑧); 𝑥 1) 𝜕𝑏∗(𝑧) =𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑏∗′(𝑧) {𝑣(𝑧, 𝑧) − 𝑏 ∗(𝑧) − [𝑣(𝑧, 𝑧) − 𝑏∗(𝑧)]𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑧) 𝐹𝑌1(𝑧|𝑧)}
23
Il primo termine ha segno positivo poiché 𝑏∗ è crescente Vediamo i possibili valori di 𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1)
𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1)
𝑓𝑌1(𝑧|𝑧)
𝐹𝑌1(𝑧|𝑧) per individuare il segno del termine
nella parentes.
Grazie alla proprietà di affiliazione A7 il primo rapporto è decrescente rispetto ad 𝑥118 e quindi: 𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑧) 𝐹𝑌1(𝑧|𝑧)≤ 1 𝑐𝑜𝑛 𝑧 < 𝑥1 𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1) 𝑓𝑌1(𝑧|𝑧) 𝐹𝑌1(𝑧|𝑧)≥ 1 𝑐𝑜𝑛 𝑧 > 𝑥1 Quindi con 𝑧 < 𝑥1e 𝑏∗, v funzioni monotone:
𝑣(𝑥1, 𝑧) − 𝑏∗(𝑧) > [𝑣(𝑧, 𝑧) − 𝑏∗(𝑧)]𝐹𝑌1(𝑧|𝑥1)
𝑓𝑌1(𝑧|𝑥1)
𝑓𝑌1(𝑧|𝑧) 𝐹𝑌1(𝑧|𝑧) Il risultato è quindi positivo.
Se il bidder1 offre un valore pari a 𝑏∗(𝑧) con 𝑧 < 𝑥1può ottenere un profitto
atteso più alto aumentando l’offerta di un valore positivo pari al risultato, positivo, della disuguaglianza (𝑥1− 𝑧).
Nel caso in cui 𝑧 > 𝑥1, si avrà segno negativo e quindi il profitto atteso potrà essere incrementato con un’offerta pari a 𝑏∗(𝑥1) ed inferiore rispetto a 𝑏∗(𝑧).
Tuttavia il profitto atteso massimo per un bidder è dato dall’equilibrio ottimo del teorema 𝑏∗(𝑥1). Infatti dai risultati di quest’ultimo si nota che la strategia
ottima richiede ai partecipanti di formulare un’offerta inferiore alla valutazione attesa dell’oggetto.
Poniamo quindi 𝑣(𝑥1, 𝑥1) = 𝑡(𝑥1) e riscriviamo l’offerta ottima: 𝑏∗(𝑥1) = 𝑣(𝑥1, 𝑥1) − ∫ 𝐿(𝛼|𝑥1)
𝑥1 𝑎
𝑑𝑡(𝑥1)
Il secondo termine misura la sottovalutazione dell’offerta rispetto al valore condizionato del bene. Questo elemento funge come bilanciamento tra
incremento del profitto che risulta dalla riduzione del prezzo di aggiudicazione e la minore probabilità di vittoria, che risulta dalla riduzione dell’offerta.
4) L’asta olandese
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È un’asta di tipo inverso a quella inglese, qui infatti il prezzo è discendente e le informazioni rilevate durante la procedura sono inutilizzate poiché rivelate solo nel momento finale. Si accomuna invece all’asta inglese per l’oralità della procedura.
Questo tipo di asta prende il nome dall’Olanda dove veniva largamente
utilizzata per il commercio dei fiori. Il banditore poneva un prezzo minimo a cui l’oggetto si riteneva invenduto nel caso in cui nessuno avesse fermato l’asta, e stabilisce un prezzo massimo di partenza. Il prezzo massimo di volta in volta viene abbassato dal venditore finché uno dei partecipanti non dichiari di voler accettare il prezzo per l’acquisto del bene. Dunque solo al termine dell’asta si rivela il soggetto che intende acquistare il bene e a quale prezzo,
contrariamente all’asta inglese in cui le informazioni crescono con il proseguire della procedura. È una forma d’asta molto veloce ed è per questo motivo che generalmente i partecipanti sono professionisti esperti, bisogna in breve tempo valutare di accettare prezzo o aspettare un ulteriore ribasso.
In questa metodologia per il carattere di unicità dell’offerta si ritrova una strategia del bidder identica al caso dell’asta in busta chiusa al primo prezzo. Riconsiderando il teorema dell’asta in busta chiusa al primo prezzo:
Teorema:
La n-upla di strategie (𝑏∗,…, 𝑏∗) rappresenta un punto di equilibrio nell’asta Olandese: 𝑏∗(𝑥1) = ∫ 𝑣(𝛼, 𝛼)𝑑𝐿(𝛼|𝑥1) 𝑥1 𝑎 Dove 𝐿(𝛼|𝑥1) = exp (− ∫ 𝑓𝑌1(𝑠|𝑠) 𝐹𝑌1(𝑠|𝑠) 𝑥1 𝑎 𝑑𝑠)
Il prezzo che i partecipanti dovranno accettare se nessun’altro prima ne ha mostrato volontà, dato un segnale 𝑋1 = 𝑥1, relativamente al prezzo corrente, è:
𝑏∗(𝑥1) = 𝑣(𝑥1, 𝑥1) − ∫ 𝐿(𝛼|𝑥1) 𝑥1
𝑎
𝑑𝑡(𝑥1)
Ci sarà dunque anche nelle prossime trattazioni un’analogia tra l’asta in busta chiusa al primo prezzo e l’asta olandese.
2.2 Forme d’asta atipiche
25
L’asta all-pay, come l’asta in busta chiusa al primo prezzo, prevede che ogni partecipante effettui la propria offerta in busta chiusa entro una data scadenza. Il vincitore sarà colui che ha offerto più di tutti, ma a differenza dell’asta al primo prezzo, qui tutti i bidders sono obbligati a pagare la somma offerta. È un tipo di asta inusuale, pensata per il meccanismo pressante al fine di ottenere favoreggiamenti politici.
I partecipanti legati tra loro da interessi comuni effettuano l’offerta; saranno presenti tanti gruppi quanti sono gli interessi diversi, gruppo di lobby. Ogni gruppo effettua il pagamento anche in caso di perdita, e il gruppo vincente potrà ricevere un appalto o un altro corrispettivo. Il venditore è rappresentato dal governo.
Non è un tipo di asta realmente utilizzata, ma viene considerata come studio per altri tipi di gare d’asta.
In questo tipo di asta con valori privati indipendenti, con N partecipanti, vedremo che l’unica strategia di equilibrio equipara le offerte effettuate dai partecipati con l’aspettativa di pagamento nell’asta di Vickrey in assenza di riserva, sempre con valori privati indipendenti.19L’aspettativa di pagamento di
un bidder sarà quindi uguale all’offerta da egli fatta.
2) Aste in busta chiusa al terzo prezzo
Questo tipo di asta è utilizzato a livello teorico, e non trova pratica nella realtà. Viene studiato poiché esprime significative proprietà inusuali, che rendono maggiormente chiaro il meccanismo di funzionamento delle aste tipiche. Simile all’asta in busta chiusa al secondo prezzo, devono esserci almeno tre bidders e colui che offre di più ne risulta vincitore, trovandosi obbligato a pagare il terzo valore più alto tra le offerte.
Lo studio di questo tipo d’asta è però correlato con l’assunzione del modello a valori privati indipendenti, e quindi informazioni asimmetriche. L’inusualità di quest’asta si evidenzia con l’offerta di equilibrio maggiore rispetto al valore dell’oggetto stesso. Per le stesse ragioni dell’asta al secondo prezzo l’equilibrio è dominato per l’offerente che offre al di sotto del suo valore, e a differenza dell’asta a secondo prezzo, non è dominato dall’offerente che offre più del suo valore.
Se fissiamo alcune strategie di equilibrio dell’asta al terzo prezzo con b* e
supponiamo che tutti i partecipanti seguono la strategia tranne uno. Supponiamo che il bidder 1 offra 𝑏1 > 𝑥1 .
Allora se 𝑏(𝑥3) < 𝑥1 < 𝑏(𝑥2) < 𝑏1 quest’offerta del bidder1 sarà migliore di offrire 𝑥1. Se tuttavia, 𝑥1 < 𝑏(𝑥3) < 𝑏(𝑥2) < 𝑏1 offrire 𝑏1porta ad una perdita. Quando 𝑏1− 𝑥1 ≡ 𝜀 e 𝜀 è piccolo, il profitto nel primo caso è 𝜀2 mentre nel secondo caso la perdita è 𝜀3. Sarà dunque più profittevole effettuare un’offerta
26
maggiore alla propria valutazione. In caso di valori privati indipendenti simmetrici avremo un’offerta maggiore del valore per l’asta al terzo prezzo𝑏∗𝑇𝑃(𝑥) > 𝑥, un’offerta pari al valore nell’asta al secondo prezzo 𝑏∗𝑆𝑃(𝑥) = 𝑥 e un'offerta minore nell’asta al primo prezzo 𝑏∗𝑃𝑃(𝑥) < 𝑥. 20
Nel prossimo capitolo ci occuperemo di questi aspetti, e quindi dei risultati per forma d’asta nei diversi modelli.
27
Capitolo 3
MODELLI D’ASTA
Effettueremo in questo capitolo l’analisi positiva, che studia le strategie messe in atto dai bidders e gli equilibri che ne seguono, distinguendo dall’altro lato l’analisi normativa, ovvero le regole d’asta efficienti per la massimizzazione del profitto atteso del venditore.
Prima del modello generale di Milgrom e Weber, nel 1982, utilizzato in via semplificativa, modelli d’asta più specifici analizzavano le strategie adottate dai partecipanti d’asta al variare di alcune assunzioni di base.
Tre sono i modelli principali: i due estremi, modello a valori privati indipendenti e a valor comune, e il modello intermedio a cui si rifà il modello generale.
Primo tra tutti ad essere utilizzato è il modello secondo valori privati indipendenti.
3.1
Modello a valori privati indipendenti
Il modello a valori privati indipendenti o indipendent private value (IPV), valuta il bene per ogni acquirente indipendentemente dai concorrenti e dagli eventi esogeni. Il valore del bene è dunque pari al segnale privato 𝑢(𝑋𝑖).
È un modello molto semplice tanto da essere considerato come modello benchmark. Tuttavia ritenere ogni valutazione indipendente da tutte le altre e priva di incertezza, motivo per il quale spesso si predilige per lo studio un modello più realistico, il modello a valutazioni interdipendenti. Si pensi al caso di un’asta di quadri, è impensabile che la valutazione altrui, dei partecipanti d’asta e critici d’arte, non influenzi una valutazione privata. Un tipico esempio di modello IPV è l’asta di dipinti a puro scopo ornamentale, cioè senza intento di collezionismo. Nel modello IPV abbiamo manifestazione del teorema secondo cui il ricavo atteso al venditore sarà lo stesso indipendentemente dalla forma d’asta considerata, ci riferiamo al Revenue Equivalence Theorem(RET). Qualsiasi sia la regola di prezzo d’asta (al primo o al secondo) e indipendentemente se essa sia ascendente o discendente, il ricavo atteso per il venditore sarà il medesimo.
L'asta è a valori privati quando il valore dell'oggetto per un potenziale acquirente è indipendente dal valore che a tale oggetto assegnano gli altri partecipanti. Per esempio, se sono disposto a spendere 200 euro per comprare un mobile che mi piace e che intendo mettere in casa mia, risulta irrilevante il fatto che altri offerenti non siano disposti a spendere più di 50 euro. Il mobile deve piacere
28
secondo preferenze soggettive, e quanto sono disposto a spendere dipende unicamente da quanto piace il mobile. Questo è il classico caso di valori privati. Riprendiamo le assunzioni del modello generale apportando le modifiche necessarie alla base della nostra trattazione dalla A3 in poi.
Assunzioni IPV:
A1 esiste un unico bene in vendita
A2 il venditore neutrale al rischio massimizza il profitto atteso dall’asta.
Il profitto atteso è dato dalla differenza tra prezzo atteso di aggiudicazione e la valutazione personale del bene, Vᵥ.
E(Πᵥ) = E(P) - Vᵥ
A3 Il numero dei partecipanti all’asta è dato dall’insieme N = {1,…,n} con n≥2 fisso e noto a tutti.
i) I bidders sono neutrali al rischio
ii) Massimizzano il profitto atteso dall’asta
∀𝑖 ∈ 𝑁, E(πᵢ) = {𝐸[𝑉𝑖 − 𝑃] 𝑠𝑒 𝑖 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 0 𝑠𝑒 𝑖 𝑛𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑒 Dove Vᵢ indica il valore dell’oggetto per il bidder i.
Il profitto atteso per il maggior offerente sarà quindi dato da: 𝐸[𝜋ᵢ] = 𝐸[(𝑉𝑖 − 𝑃)|𝑏ᵢ > max 𝑏𝐽,∀𝑗 ≠ 𝑖; 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑁] Con bᵢ l’offerta del bidder i.
iii) La funzione di valutazione del bidder i:
o Attribuisce un valore certo al bene 𝑋 = {𝑋₁}.
o Non influenzano segnali esogeni sul valore del bene 𝑆 = {0}, ∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑉ᵢ = 𝑋ᵢ con {𝑋𝐽}𝑗≠𝑖 [1.1]
Il vettore V coincide quindi con il vettore dei segnali X 𝑉 = {𝑉1, 𝑉2, . . , 𝑉𝑛}
𝑋 = {𝑋1, 𝑋2, . . , 𝑋𝑛}
La valutazione personale e quella esogena, dei concorrenti, risultano quindi indipendenti. Il valore del bene per il bidders i è dunque influenzato esclusivamente dalle sue preferenze personali.
29
A4 Dalla [1.1] si ricava
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝑉ᵢ = 𝑢ᵢ[𝑋ᵢ] [1.2]
dove u gode di monotonicità e simmetria della funzione di valutazione, ovvero non negativa, continua e non decrescente in ciascuno dei suoi argomenti.
Si assume inoltre:
∀𝑖 ∈ 𝑁 𝐸[𝑉ᵢ] < ∞
Non abbiamo incertezza in quanto il valore del bene è pari alla valutazione privata del soggetto acquirente.
A5 Ogni soggetto considera la realizzazione di una variabile casuale distribuita
secondo una legge di probabilità nota a tutti.
A questa variabile corrisponde la funzione di densità congiunta delle valutazioni di tutti i partecipanti 𝑓(𝑉) = 𝑓𝑋1(𝑉1), 𝑓𝑋2(𝑉2), . . , 𝑓𝑋𝑛(𝑉𝑛). Ogni funzione è simmetrica e la funzione di ripartizione è strettamente crescente nell’intervallo [a, d]21, F(a)=0 e F(b)=1.
A6 La funzione di densità di probabilità congiunta delle variabili del modello
soddisfa la proprietà di simmetria rispetto ai suoi argomenti, poichè è data dal prodotto delle singole distribuzioni.
A7 Le variabili casuali del modello (𝑋1, … , 𝑋𝑛sono affiliate, ovvero la loro funzione di densità di probabilità, 𝑓(𝑋𝑛), soddisfa la disuguaglianza di FKG.
22
Riprendendo le proprietà viste per il modello generale:
1) Viene fissato un prezzo di riserva b˖[0,∞] sopra al quale un’offerta è
ritenuta ammissibile;
2) Il vincitore è il miglior offerente;
3) Tutti i partecipanti seguono le stesse regole;
4) Esiste una strategia di equilibrio b̽, rappresentata da una funzione
strettamente crescente nelle valutazioni individuali;
21 .a rappresenta l’estremo inferiore pari a 0 poiché è ritenuto improbabile la valutazione di un bene
negativa, tuttavia le valutazioni negative possono esserci nel caso in cui siano costi da sostenere coincidenti al valore negativo, non a prezzi da pagare. Ciò avviene usualmente per le aste di acquisto di beni o servizi in cui l’intervallo rappresenta i prezzi minimi richiesti dai partecipanti per effettuare la fornitura oggetto d’asta
22 Nello specifico la FKG1(variabili casuali indipendenti sono sempre affiliate), e la FKG5 (per cui
variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite, con densità 𝑓(𝑋𝑛) avranno la funzione di
30
Attraverso queste proprietà l’asta può dirsi appartenente alla classe ᴇ23
Allora la probabilità di vittoria nell’asta IPV sarà data da: Pr(𝑏∗(𝑋
1)) > 𝑏∗(𝑌1), ∀𝑗≠ 1)
Dove 𝑌1 rappresenta la maggiore delle valutazioni private in {𝑋𝑗}𝑗≠1. Oppure definita per l’equilibrio simmetrico 𝑏∗ come:
Pr(𝑋1 > 𝑌1) = [𝐹(𝑋1)]𝑛−1
Dunque nel modello IPV l’offerta ottima per il bidder 1 sarà allora data da: 𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑉1− 𝑃)]𝐹[(𝑏∗−1(𝑏))]𝑛−1 [𝑚𝑎𝑥𝑏(𝐼𝑃𝑉)] Tenendo conto di un dato comportamento degli avversari.
Partendo da questa formula dell’offerta ottima 𝑏∗, analizziamo i risultati al variare della tipologia d’asta. Faremo in fine un confronto dove, come anticipato, analizzeremo il Revenue Equivalence Theorem(RET)
a) Asta in busta chiusa al secondo prezzo
Come abbiamo mostrato nel precedente capitolo, durante la descrizione di questa tipologia d’asta, la massimizzazione del profitto corrispondente è individuata da:
𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑉1− 𝑏∗(𝑌
1))1{𝑏∗(𝑌
1)<𝑏}|𝑥1]
Andiamo ora a riscrivere questa massimizzazione tenendo presente l’utilizzo del
modello IPV, e quindi dalla formula 𝑚𝑎𝑥𝑏(𝐼𝑃𝑉) individuiamo il prezzo P pari alla
seconda offerta più alta 𝑃𝑆𝑃
𝑚𝑎𝑥𝑏𝐸[(𝑉1− 𝑃𝑆𝑃)]𝐹[(𝑏∗−1(𝑏
1))]𝑛−1
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La probabilità di vittoria è massima quando il bidder attua una strategia d’offerta efficiente, e quindi una valutazione più veritiera possibile alle proprie aspettative 𝑏1 = 𝑉1.
Come sappiamo data l’A5 (IPV), la probabilità di vincita nell’asta al secondo prezzo è crescente con l’aumentare dell’offerta da parte del bidder, per cui abbiamo una probabilità di vincita e un prezzo da pagare incerto al momento della partecipazione. Questa incertezza è la nostra variabile casuale di distribuzione, nota a tutti i partecipanti.
L’offerta, influenzata dal segnale osservato, incide sulla probabilità di vincita ma non individua il valore da pagare, per cui il profitto atteso del venditore resterà invariato. Il valore da pagare, infatti, è pari alla seconda offerta maggiore.
Poniamo 𝑏1 = 𝑉1 ed escludiamo l’ipotesi di sopra o sottovalutazione. Nel teorema analizzato durante lo studio dell’asta a secondo prezzo con modello generale siamo arrivati alla conclusione che l’offerta ottima debba essere pari alla valutazione attesa del bene condizionata dal segnale osservato, ovvero:
𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥, 𝑌1 = 𝑥]
crescente in ogni argomento.
Nel modello IPV con l’assunzione A3 (IPV), il valore del bene è influenzato esclusivamente dalle preferenze personali poiché a loro volta indipendenti dalle valutazioni altrui. Si tratta di una strategia di tipo dominante, proprio per la caratteristica d’indipendenza della strategia ottima dei concorrenti.
Avremo dunque:
𝑏∗(𝑥) = 𝑣(𝑥, 𝑥) = 𝐸[𝑉1|𝑋1 = 𝑥]
Con:
𝑏∗ = 𝑉1
La strategia ottima 𝑏∗ prevede un’offerta pari alla vera valutazione del bene per il bidder 1.
Dimostriamo la validità di questa affermazione presupponendo un tipo di offerta minore, maggiore o pari alla valutazione.
Ipotizziamo una vendita d’asta di una reliquia familiare, e supponiamo che ci siano 3 partecipanti:
o il partecipante che chiameremo n°1 offrirà un valore maggiore rispetto alla sua valutazione per ottenere il bene.
𝑉n°1 = 200.000 e 𝑏n°1 = 250.000
o Il partecipante n°2 effettuerà un’offerta minore rispetto alla sua valutazione.
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𝑉n°1 = 220.000 e 𝑏n°2 = 200.000
o Il partecipante n°3 presenta un’offerta pari alla sua valutazione
𝑉n°1 = 210.000 e 𝑏n°3 = 210.000
Al momento dell’apertura della busta, il soggetto n°1 ne risulterà vincitore poiché ha effettuato l’offerta maggiore. Il prezzo che dovrà pagare è individuato dalla seconda offerta più alta 𝑏n°3 = 𝑃𝑆𝑃 = 210.000.
Tuttavia il partecipante n°1 presenta un surplus negativo qualsiasi sia la probabilità di vittoria:
[𝑉n°1 − 𝑃𝑆𝑃]𝑝 = 200.000 − 210.000 < 0
Pur di ottenere un bene all’asta si è disposti a sopportare un costo in termini di guadagno. A questo punto l’unica cosa che sarebbe risultato conveniente per non sopportare perdite sarebbe stata di diminuire la probabilità di vittoria effettuando un’offerta pari al valore di valutazione.
Il partecipante n°2 sottovalutando la sua valutazione del bene diminuisce la probabilità di vittoria, senza ottenerne i benefici di surplus. Quindi è la strategia dominata da 𝑏n°3 = 𝑉1.
Infatti:
[𝑉n°2 − 𝑃𝑆𝑃]𝑝 = 220.000 − 210.000 > 0
Dove p indica la probabilità di vittoria, ovvero che il valore dichiarato sia il più alto. Ricordiamo che la somma delle probabilità è sempre uguale a 1.
Con:
𝑏n°2 < 𝑏n°3 < 𝑏n°1
Il modello IPV utilizzato nell’asta di Vickrey, o al secondo prezzo, non è
manipolabile dagli agenti e richiede di essere il più fedele possibile alle proprie valutazioni. Alcuni studiosi hanno affermato, inoltre, che è poco utilizzato nella pratica poiché i partecipanti sono costretti a rilevare la loro informazione
privata perdendo il vantaggio informativo, questo aspetto aumenta soprattutto nel caso di aste ripetute nel tempo. Anche i governi non prediligono l’asta al secondo prezzo IPV poiché potrebbe essere interpretata come un risparmio di pagamento per il vincitore d’asta.
b) L’asta inglese
Dal modello generale eravamo arrivati a definire la valutazione per l’asta inglese come:
