Interpretazione grafica: economia con due soli titol

Partendo da un’economia dove esistono solo due titoli in cui l’investitore può decidere di investire la sua ricchezza, la frontiera dei portafogli assumerà forme differenti a seconda del coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due titoli. Esclusi i due casi particolari, in cui si ha che i rendimenti sono perfettamente correlati positivamente e negativamente, la frontiera dei portafogli, per valori di 𝜌 compresi nell’intervallo (−1; 1), assumerà la forma di una curva che unisce i due portafogli costituiti da un’unica attività e si collocherà all’interno del triangolo che unisce i punti 𝑃1, 𝑃𝑧 e 𝑃2 (Figura 11). La curva che rappresenta la frontiera dei portafogli sarà più o meno vicino all’asse delle ordinate a seconda del valore del coefficiente di correlazione. Più 𝜌 si avvicina a valori prossimi a −1 più la frontiera dei portafogli sarà vicina all’asse dell’ordinate, comportando livelli di rischio sempre più bassi per un dato livello di rendimento atteso. Si veda la Figura 11.

Figura 11- Frontiera dei portafogli con 2 titoli

11 _{Nello specifico viene analizzata la frontiera dei portafogli nel caso in cui nell’economia siano presenti} esclusivamente titoli rischiosi. Questa scelta è dovuta al fatto che nell’analisi che ho condotto non ho utilizzato titoli privi di rischio. Tuttavia è bene sottolineare che l’inserimento di un titolo risk free all’interno del portafoglio di investimento comporta una modifica della frontiera dei portafogli.

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Un aspetto interessante su cui soffermarsi, poiché cambia la forma della frontiera dei portafogli, è relativo alle vendite allo scoperto. Come possiamo vedere dalla Figura 11 la frontiera dei portafogli non prosegue oltre i punti 𝑃1 e 𝑃2. Questo significa che se l’investitore decide di investire la sua ricchezza in un unico titolo, potrà acquistare un numero massimo di azioni pari a 𝑊̅⁄_𝑝𝑖 (con 𝑊̅ la ricchezza iniziale dell’investitore e 𝑝_𝑖 il prezzo di mercato dell’azione 𝑖). Intuitivamente ciò sembra ovvio e scontato. Tuttavia nell’ambito dei mercati finanziari esiste uno “strumento”, le cosiddette vendite allo scoperto (o short-sales), che permette di aggirare il vincolo della ricchezza iniziale dell’investitore consentendo di acquistare un numero di azioni superiore a quello massimo che la ricchezza iniziale permetteva di acquistare. Tale strumento consente all’investitore di vendere titoli che non possiede. Nello specifico, l’investitore si fa prestare un titolo (ad esempio da un operatore finanziario) che rivende subito e, con il ricavato derivante dalla vendita allo scoperto di quel titolo aumenta la sua ricchezza iniziale potendo così comprare un numero maggiore di azioni. Tuttavia il titolo prestato deve essere restituito, così l’investitore deve riacquistarlo per restituirlo a colui che glielo aveva precedentemente prestato alla scadenza precedentemente pattuita. Grazie alle vendite allo scoperto la frontiera dei portafogli si “espande” e prende la forma rappresentata dalla Figura 12.

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Come è possibile vedere dalla figura adesso la frontiera dei portafogli si estende oltre i portafogli 𝑃₁ e 𝑃₂. Ciò vuol dire che adesso sarà possibile per l’investitore poter investire la propria ricchezza nel portafoglio 𝑃_𝑉, che senza vendite allo scoperto era impossibile da “raggiungere”. Nello specifico il portafoglio 𝑃𝑉 è stato ottenuto vendendo allo scoperto il titolo 1 e investendo il guadagno ottenuto dalla vendita insieme alla ricchezza iniziale nel titolo 2, da cui si ha che 𝑎₂ > 1 e poiché ∑𝑁_𝑖=1𝑎_𝑖 = 1 si avrà che 𝑎₁ < 0.12 _Sebbene le vendite allo scoperto incrementino le alternative possibili di investimento, questo non significa che tutti i portafogli siano “raggiungibili”. Infatti come possiamo vedere il portafoglio 𝑃_𝑌 non appartiene alla frontiera dei portafogli, poiché, date le caratteristiche dei titoli 1 e 2, quella determinata combinazione di rendimento atteso-rischio non può essere in nessun modo conseguita. Inoltre nella figura è rappresentato il portafoglio 𝑃_𝑀𝑅. Tale portafoglio rappresenta quello che minimizza in assoluto il rischio rispetto agli altri portafogli appartenenti al portfolio opportunity set. Anche gli altri portafogli minimizzano il rischio, ma nel farlo devono rispettare un determinato rendimento atteso che deve essere conseguito. Questi portafogli sono, a differenza del portafoglio che minimizza il rischio in assoluto, “agganciati” al rendimento atteso che viene impostato come range. Il portafoglio 𝑃_𝑀𝑅 verrebbe senza ombra di dubbio scelto da un investitore che ha una massima avversione al rischio e che quindi non tiene conto del rendimento nella sua scelta. Un altro concetto importante può essere introdotto concentrandosi sui portafogli 𝑃_𝐸 e 𝑃_𝐴. È facile notare che entrambi i portafogli sono caratterizzati dalla stessa deviazione standard, ma da rendimenti attesi differenti poiché si ha che 𝑅̅_𝐸 > 𝑅̅_𝐴. Da ciò è necessario introdurre il concetto di dominanza. Un portafoglio domina un altro portafoglio se a parità di rendimento atteso presenta una varianza minore o, se a parità di varianza presenta un rendimento atteso maggiore. Un portafoglio dominato sarà quindi un portafogli non efficiente. Data questa definizione si può affermare che il portafoglio 𝑃_𝐸 domina il portafoglio 𝑃_𝐴. Da qui il concetto di portafoglio efficiente: “un portafoglio 𝑃 si definisce efficiente se massimizza il tasso atteso di rendimento per un dato grado di rischio”. Quindi, anche se entrambi i portafogli appartengono alla frontiera dei portafogli, solamente il portafoglio 𝑃_𝐸 è un portafoglio efficiente.

12 _{Dalla vendita allo scoperto del titolo 1 oltre ad arrivare al portafoglio 𝑃}

𝑉 l’investitore può conseguire un guadagno che eccede l’esito dell’investimento nel portafoglio finanziario. Infatti alla scadenza l’investitore dovrà ricomprare il titolo 1 per restituirlo e, se il prezzo di mercato del titolo alla scadenza è minore del prezzo al quale era stato precedentemente venduto, l’investitore potrà lucrare sulla differenza di prezzo. Tuttavia se il prezzo del titolo nell’arco temporale è aumentato l’investitore registrerà una perdita.

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Ovviamente un investitore messo di fronte a due portafogli che hanno stesso rischio, ma rendimento attese differente, sceglierà senza dubbio quello che gli consente di conseguire un rendimento atteso più elevato. Detto ciò è possibile ridurre il portfolio opportunity set e parlare della frontiera dei portafogli efficienti. La frontiera dei portafogli efficienti coincide con il tratto crescente della frontiera dei portafogli, rappresentata dalla linea in rosso (Figura 13). La frontiera dei portafogli efficienti è rappresentata dall’insieme di tutti i portafogli che non sono dominati, quindi che sono efficienti. Quindi ogni portafoglio appartenente alla frontiera efficiente avrà queste due caratteristiche:

• Minimizza il rischio per un dato livello di rendimento atteso; • Massimizza il rendimento per un dato livello di rischio. Nella Figura 13 viene riportata la rappresentazione grafica.

Figura 13 – Frontiera dei portafogli efficienti