Scelta del portafoglio che minimizza in assoluto il rischio

Definiti i concetti principali riguardanti il rendimento e il rischio del portafoglio passiamo alla scelta dei titoli da inserire nel portafoglio. L’investitore sceglierà quei titoli che gli permettono di massimizzare la propria utilità. Quindi a seconda che l’investitore sia amante, neutrale o avverso al rischio, la scelta dei titoli da inserire in portafoglio sarà diversa, in quanto è appurato che vi è una relazione positiva fra rendimento e rischio: a rendimenti elevati corrisponde un elevato rischio. Un investitore amante del rischio sarà più propenso a rischiare di più pur di avere un elevato guadagno, mentre uno avverso al rischio più che a raggiungere grandi guadagni è interessato a proteggersi il più possibile dal rischio di incombere in perdite. Come detto sopra, si assume che l’investitore sia avverso al rischio, quindi seguiremo come questa tipologia di investitore effettua la sua scelta. In particolare andremo ad analizzare il caso di massima avversione al rischio, ovvero il caso in cui l’investitore è interessato esclusivamente alla minimizzazione del rischio ed è completamente disinteressato al rendimento atteso (anche se raramente ciò di verifica empiricamente). Per semplificare l’analisi si suppone che vi siano solo due titoli in cui l’investitore può investire la sua ricchezza: l’investitore dovrà dunque scegliere quanta della sua ricchezza destinare al titolo 1 e quanta al titolo 2. Indicando con 𝑎₁ il peso attribuito al titolo 1 e con (1 − 𝑎1) il peso attribuito al titolo 2, il problema di scelta dell’investitore può essere così rappresentato:

𝑚𝑖𝑛 𝑎₁ 𝜎𝑃 2 _{= 𝑎} 1 2_𝜎 12+ (1 − 𝑎1)2𝜎22+ 2𝑎1(1 − 𝑎1)𝜌12𝜎1𝜎2

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Per risolvere il problema di minimizzazione occorre calcolare la derivata prima di 𝜎_𝑃2 rispetto a 𝑎1 e uguagliarla a zero:

𝑑 𝜎_𝑃2

𝑑𝑎₁ = 2𝑎1𝜎1

2_{− 2(1 − 𝑎}

𝑎)𝜎22+ 2(1 − 𝑎1)𝜌12𝜎1𝜎2 = 0

Da cui, risolvendo per 𝑎1, si ottiene:

𝑎₁∗ ₌ 𝜎2 2_{− 𝜌}

12𝜎1𝜎2 𝜎₁2+ 𝜎₂2 − 2𝜌₁₂𝜎₁𝜎₂

Ovvero il valore ottimo che l’investitore deve investire nel titolo 1 per minimizzare la varianza del portafoglio. Semplice è trovare la quota 𝑎₂∗ _{da investire nel titolo 2 poiché} non è altro che (1 − 𝑎₁∗_).

Risolto il problema di minimizzazione del rischio è opportuno andare a vedere come la varianza di portafoglio si comporta a seconda di come i rendimenti dei titoli sono correlati fra di loro. I tre casi che verranno analizzati conducono a risultati importanti al fine di ridurre il rischio dell’investimento attraverso un’adeguata diversificazione di portafoglio.

Primo caso: 𝜌₁₂ = −1

In questo primo caso i rendimenti dei due titoli sono perfettamente correlati negativamente. Sostituendo il valore −1 al posto di 𝜌12 si ottiene:

𝑎₁∗ ₌ 𝜎2 2_{+ 𝜎} 1𝜎2 𝜎₁2+ 𝜎₂2+ 2𝜎₁𝜎₂ = 𝜎2(𝜎2+ 𝜎1) (𝜎1+ 𝜎2)2 = 𝜎2 (𝜎1 + 𝜎2) Da cui si ottiene che:

𝑎₂∗ = (1 − 𝑎₁∗) = 𝜎1 (𝜎₁ + 𝜎₂)

Sostituendo le nuove quote ottime ottenute sopra nella formula della varianza del portafoglio e sostituendo sempre a 𝜌12 il valore −1, si ottiene:

𝜎_𝑃2∗₌ 𝜎2 2 (𝜎₁+ 𝜎₂)2𝜎12+ 𝜎₁2 (𝜎₁+ 𝜎₂)2𝜎22 − 2 ( 𝜎2 𝜎₁+ 𝜎₂) ( 𝜎1 𝜎₁+ 𝜎₂) 𝜎1𝜎2 = = 𝜎2 2_𝜎 12 (𝜎₁+ 𝜎₂)2+ 𝜎₁2𝜎₂2 (𝜎₁+ 𝜎₂)2− 2 𝜎₂2𝜎₁2 (𝜎₁+ 𝜎₂)2 = 0

Da ciò si può dedurre che attraverso un’adeguata diversificazione è possibile azzerare il rischio dell’investimento, sebbene i titoli inseriti nel portafoglio abbiano entrambi varianza positiva. Tuttavia fuori dalla teoria è improbabile, se non quasi impossibile,

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trovare dei titoli che abbiano rendimenti perfettamente correlati negativamente, ma se vi fossero il rischio dell’investimento seguirebbe il modello matematico e si azzererebbe. Buona norma è costruire dei portafogli contenti differenti tipologie di titoli, fra cui alcuni che fra di loro sono negativamente correlati, in modo da riuscire in parte a coprirsi dalle perdite generate da un settore del mercato che in quel momento va “male”. Tuttavia facendo ciò se il settore prevalente in portafoglio va “molto bene” si vanno a ridurre i guadagni, a causa delle perdite derivanti dai titoli che seguono un andamento opposto. Secondo caso: 𝜌12 = 0

In questo caso avendo un coefficiente di correlazione pari a zero, sappiamo che i rendimenti dei due titoli non sono in nessun modo correlati fra di loro. Anche in questo caso andiamo a ricavare quella che è la quota ottima del titolo 1 quando 𝜌12= 0. Avremo dunque che: 𝑎₁∗ = 𝜎2 2 𝜎₁2+ 𝜎₂2 𝑎₂∗ = 𝜎1 2 𝜎₁2+ 𝜎₂2

Sostituendoli nella formula della varianza di portafoglio si ottiene che:

𝜎_𝑃2∗= ( 𝜎2 2 𝜎₁2_{+ 𝜎} 22 ) 2 𝜎₁2+ ( 𝜎1 2 𝜎₁2_{+ 𝜎} 22 ) 2 𝜎₂2 = 𝜎2 4_𝜎 12+ 𝜎14𝜎22 (𝜎₁2_{+ 𝜎} 22)2 =𝜎1 2_𝜎 22(𝜎22+ 𝜎12) (𝜎₁2_{+ 𝜎} 22)2 = = 𝜎₁2₍ 𝜎2 2 𝜎₁2+ 𝜎₂2)

Dall’espressione ottenuta sopra è opportuno fare delle considerazioni. È facile verificare che ( 𝜎22

𝜎₁2+𝜎₂2) ≤ 1, da cui emerge che 𝜎𝑃 2∗_{< 𝜎}

12. Questo significa che il portafoglio presenta un rischio minore rispetto a quello dell’investimento nel singolo titolo 1. Stesso identico ragionamento può essere fatto prendendo in considerazione il titolo 2. Quindi se nel portafoglio vengono adeguatamente inseriti dei titoli che non sono correlati fra di loro è possibile ridurre il rischio dell’investimento rispetto a quello corrispondente a entrambi i singoli titoli che lo compongono. Questo significa che in casi in cui si presenta un’assenza di correlazione tra i rendimenti di un titolo è sempre meglio, in termini di protezione dal rischio, costruire un portafoglio invece di investire in un singolo titolo.

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Terzo caso: 𝜌₁₂= 1

L’ultimo caso invece presenta due titoli che hanno rendimenti che sono perfettamente correlati positivamente fra di loro. Per vedere come si comporta la varianza di portafoglio quando 𝜌₁₂ = 1 non è necessario calcolare le nuove quote ottime, basta semplicemente prendere in considerazione la formula della varianza e sostituire al coefficiente di correlazione il valore 1, ottenendo così:

𝜎_𝑃2∗= 𝑎₁2𝜎₁2+ (1 − 𝑎₁)2𝜎₂2+ 2𝑎₁(1 − 𝑎₁)𝜎₁𝜎₂ = [𝑎₁𝜎₁+ (1 − 𝑎₁)𝜎₂]2

Se riscriviamo la formula sopra in termini di deviazione standard, che anch’essa può essere considerata una misura del rischio del portafoglio, otteniamo che:

𝜎_𝑃∗ = |𝑎1𝜎1± (1 − 𝑎1)𝜎2|

Da cui emerge che la deviazione standard del portafoglio non è altro che la media ponderata delle deviazioni standard dei rendimenti dei due titoli, dove i pesi sono rappresentati dalle quote 𝑎₁∗ _{e 𝑎}

2∗, che ne esprimono il rispettivo rischio. Quindi il rischio del portafoglio si collocherà tra 𝜎₁ e 𝜎₂. Se il titolo 1 è più rischioso, ovvero 𝜎₁ > 𝜎₂, allora sarà conveniente in diversificare il portafoglio e investire tutta la ricchezza disponibile nel titolo 2, pochè avremo che 𝜎₂ < 𝜎_𝑃 < 𝜎₁. Mentre se il titolo 2 è quello che presenta maggiore rischio, allora sarà conveniente investire tutta la ricchezza nel titolo 1 poiché 𝜎1 < 𝜎𝑃 < 𝜎2. Quindi se i titoli in cui possiamo investire sono perfettamente correlati positivamente non è possibile in nessun modo sfruttare la diversificazione per ridurre il rischio dell’investimento, poiché sarà sempre più conveniente investire totalmente nel titolo meno rischioso.

Dall’analisi condotta fino ad ora è possibile arrivare a delle conclusioni che valgono per un numero di titoli maggiore di due. Attraverso un’adeguata diversificazione di portafoglio è generalmente possibile ridurre il rischio dell’investimento, anche se ciò non può essere realizzato quando i titoli hanno rendimenti perfettamente correlati positivamente. Il rischio del portafoglio dipende anche dal coefficiente di correlazione. Una correlazione positiva fra i rendimenti dei titoli comporta un aumento del rischio dell’investimento, mentre un coefficiente di correlazione negativo comporta una diminuzione del rischio dell’investimento. Inoltre in caso di perfetta correlazione negativa tra tutti i rendimenti dei titoli è persino possibile, grazie ad un’adeguata diversificazione, portare a zero il rischio di investimento.

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Appurata la stretta connessione che vi è fra rischio di portafoglio e coefficiente di correlazione è interessante vedere come varia la combinazione rischio-rendimento al variare del coefficiente di correlazione. Nella Figura 10 è rappresentata la relazione rendimento atteso-rischio (rappresentato in questo caso della deviazione standard) del portafoglio, costituito da soli due titoli, al variare del coefficiente di correlazione 𝜌 tra i rendimenti dei due titoli.

Figura 10 – Relazione rendimento atteso-rischio

I punti 𝑃1 e 𝑃2 rappresentano due portafogli in cui l’investitore investe tutta la sua ricchezza. Quindi in 𝑃₁ si avrà che 𝑎₂ è uguale a zero, mentre in 𝑃₂ si avrà che 𝑎₁ è uguale a zero. La curva in blu, la linea in arancione e la spezzata in verde invece rappresentano tutti i possibili portafogli, a seconda del livello di correlazione, in cui l’investitore suddivide la sua ricchezza in modo da acquistare sia quote del titolo 1 che del titolo 2. Tutte e tre le linee ci mostrano come variano rendimento atteso e varianza a seconda della porzione di ricchezza che viene destinata ad un titolo e quanta all’altro. La spezzata in verde mostra come, essendo il coefficiente di correlazione pari a -1, attraverso un’adeguata diversificazione è possibile azzerare completamente il rischio di portafoglio. Infatti graficamente possiamo notare che la spezzata verde che unisce 𝑃1 e 𝑃2 passa per un punto sull’asse delle ordinate (dove abbiamo che 𝜎_𝑃 = 0). La linea in arancione mostra invece che se 𝜌 = 1 non è possibile attraverso la diversificazione diminuire il rischio di

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portafoglio al di sotto del livello di rischio del titolo meno rischioso. Infatti vediamo come tale linea non tocca mai livelli di rischio minori di 𝜎₁. La curva in blu invece mostra graficamente che se 𝜌 = 0 è sempre meglio investire la propria ricchezza sia nel titolo 1 che nel titolo 2. Infatti notiamo che la linea blu per ogni livello di rendimento atteso tocca valori di rischio sempre minori del livello di rischio intrinseco nei singoli titoli. Inoltre si nota che per livelli di correlazione compresi nell’intervallo (−1; 0) i due 𝑃₁ e 𝑃₂ punti saranno uniti da una curva che sta alla sinistra della curva blu e che sarà sempre più vicina all’asse delle ordinate mano a mano che 𝜌 si avvicina a valori prossimi a -1. Mentre per livelli di correlazione compresi nell’intervallo (0; 1) la curva che unisce 𝑃₁ e 𝑃₂ sarà alla destra della linea blu e sarà sempre più vicina alle line arancione mano a mano che 𝜌 si avvicina a valori prossimi a 1. La relazione fra rendimento atteso e rischio descritta sopra non è altro che la frontiera dei portafogli che viene esaustivamente trattata di seguito.