Value at Risk ed Expected Shortfall

Come abbiamo visto il VaR definisce un livello di perdita che ha delle piccole probabilità di essere superato, ma non dice niente sulle perdite a cui un investitore va incontro nei casi in cui il VaR viene oltrepassato. Quindi se vogliamo rispondere alla domanda: “Qual è la perdita massima a cui posso andare in contro nei peggiori 𝛼% dei casi?”, il VaR non riesce a fornire una risposta adeguata. Dobbiamo dunque prendere in considerazione una

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nuova misura di rischio: il Conditional VaR (C-VaR) che si divide in Expected Tail Loss (ETL) e Expected Shortfall (ES). Di queste due misure di rischio approfondirò solo la seconda.

Oltre a rispondere alla domanda sopra, il C-VaR permette di colmare la principale criticità del VaR: non risultare una misura di rischio coerente di fronte a distribuzioni non-normali. A differenza del VaR l’ES risulta coerente anche in presenza di distribuzioni non-normali della variabile aleatoria, poiché consente di capire cosa accade nella coda sinistra. L’ES infatti stima quello che è il valore atteso della ricchezza qualora si verifichino gli 𝛼% dei peggiori casi.

Definito il concetto dell’ES vediamo come viene calcolato. Occorre effettuare una distinzione fra variabili aleatorie continue e discrete.

Nel caso di v.a. continue, l’ES al livello 𝛼 della v.a. 𝑥 è definito come:

𝐸𝑆 = 𝐸[𝑥 𝑥⁄ ≤ 𝑘𝛼] = 1

𝛼∫ 𝑡 𝑓𝑥 𝐾𝛼 −∞

(𝑡) 𝑑𝑡

Quindi l’ES è il valore atteso della v.a. 𝑥 “condizionato” ai casi in cui 𝑥 ≤ 𝑘𝛼. Mentre nel caso di v.a. discrete si avrà che, data un v.a. 𝑥 così definita:

𝑥 = { 𝑥₁ 𝑝₁ 𝑥_2. .. 𝑝2... 𝑥_𝑖. .. 𝑝𝑖... 𝑥𝑛 𝑝𝑛 con 𝑥_𝑖 > 𝑥_𝑖−1 ∀𝑖 𝑒 ∑𝑛_𝑖=1𝑝_𝑖 = 1

e sia 𝑥_𝑖 = 𝑉𝑎𝑅(𝛼) della variabile 𝑥. Occorre distinguere 2 casi:

Primo caso: 𝐹(𝑥_𝑖−1) < 𝛼 < 𝐹(𝑥_𝑖) Trasformando la variabile 𝑥 in:

𝑥′ = { 𝑥_1. .. 𝑝1... 𝑥𝑖−1 .. . 𝑝𝑖−1 .. . 𝑥𝑖 𝛼 − (𝑝1+ ⋯ + 𝑝𝑖−1)

Si ottiene che l’ES al livello 𝛼 della variabile 𝑥 sarà pari a:

𝐸𝑆(𝛼) = 𝐸[𝑥′] ∙1 𝛼

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Secondo caso: 𝐹(𝑥_𝑖−1) = 𝛼 Trasformando la variabile 𝑥 in:

𝑥′′ = { 𝑥_1. .. .. . , 𝑝_1. .. .. . 𝑥_𝑖, 𝑝_𝑖−1

Si ottiene che l’ES al livello 𝛼 della variabile 𝑥 sarà pari a:

𝐸𝑆(𝛼) = 𝐸[𝑥′_{′] ∙}1 𝛼

Vista la definizione statistica dell’ES vediamo come può essere interpretato a livello economico-finanziario. Come per il VaR è possibile attribuire all’ES più interpretazioni a livello economico, in particolare tre:

• Valore atteso della ricchezza aleatoria negli 𝛼% peggiori dei casi; • Perdita attesa, così calcolata: 𝑥₀− 1

𝛼∫ 𝑡 𝑓𝑥 𝑘𝛼

−∞ (𝑡) 𝑑𝑡 (con 𝑥0 il valore iniziale della ricchezza);

• Perdita aggiuntiva da aggiungere al VaR così calcolata: 1

𝛼∫ (𝑘𝛼 − 𝑡) 𝑓𝑥 𝑘𝛼

−∞ (𝑡) 𝑑𝑡.

2.6. Il Backtesting

Definito il Value at Risk, viste le sue metodologie di calcolo e le sue criticità vediamo di capire a cosa serve. “Scopo del Value at Risk è effettuare una previsione circa il possibile intervallo entro cui cadranno le performance future. Di conseguenza deve esistere una relazione stabile tra VaR e performance”.9

Quindi per vedere se il VaR calcolato, con una determinata metodologia, sia affidabile e accurato occorre vedere come si comportano le performance future. O meglio dobbiamo vedere come i profitti e le perdite si comportano rispetto ad esso, quante volte lo superano e quante invece gli stanno sopra. Il Backtesting è una metodologia utilizzata per verificare come le performance future si comportano rispetto al VaR, l’affidabilità di esso e indirettamente anche la correttezza del modello matematico utilizzato per il calcolo. Il Backtesting va a confrontare le stime probabilistiche con quelle che sono le performance derivanti dalla detenzione del portafoglio per un certo intervallo di tempo. Le performance di questo tipo sono dette anche buy and hold: sono rappresentate dell’utile

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o dalla perdita che si realizzano entro due giorni lavorativi consecutivi mantenendo le posizioni in portafoglio inalterate. Questa metodologia di verifica è stata illustrata per la prima volta, anche se in una sua versione approssimata, nella terza edizione de “RiskMetrics Technical Document” della JP Morgan.10 _{Le metodologie di Backtesting} pubblicate rientrano in tre categorie:

1) I test di copertura: vanno a valutare se la frequenza di superamenti rispetto alla soglia è coerente con il quantile di perdita che una misura di VaR dovrebbe riflettere;

2) I test di distribuzione: prove di bontà applicabili alle distribuzioni totali di perdite previste da misure complete di VaR;

3) I test di indipendenza: valutano l’indipendenza dei risultati da periodo all'altro. Di queste diverse metodologie di verifica mi soffermerò sulla prima, poiché è quella che ho utilizzato nella mia valutazione empirica.

Il Value at Risk viene calcolato per porre una sorta di “barriera” inferiore a quelle che dovrebbero essere le possibili perdite. Una perdita che eccede tale soglia di riferimento viene chiamata downside outlier. Per vedere l’accuratezza del nostro VaR è opportuno andare a testare la “tenuta” di questa barriera, vedere quante volte questa non viene rispettata. Un modo per verificare la bontà del VaR è calcolare un indicatore, detto

rescaling factor, che fornisce una prima indicazione sintetica del grado di sopra/sotto

valutazione del rischio. Se la stima effettuata è coerente con quelle che sono le situazioni che si sono effettivamente realizzate, il rescaling factor deve assumere valore prossimi a 1. Per esempio, se utilizziamo un intervallo di confidenza del 95% e nell’analisi di Backtesting consideriamo un orizzonte temporale di 200 giorni, il numero di outlier (perdite che eccedono il VaR) che è ragionevole aspettarsi, ovvero che sia uguale a quello teorico, è pari a (100% − 95%) ∙ 200 = 10. Lo scostamento che vi è fra gli outlier teorici e quelli che si sono effettivamente realizzati viene sintetizzato dal rescaling factor. Se il numero delle perdite che eccedono la soglia è uguale a quello teorico, si avrà un rescaling factor pari a 1. Mentre se gli outlier effettivi sono maggiori di quelli teorici vuol dire che la nostra stima ha condotto a una sottovalutazione del Value at Risk e che il rescaling factor assumerà valori maggiori di 1. Per ottenere un numero di outlier pari al teorico è quindi necessario moltiplicare il rescaling factor per il VaR precedentemente stimato. Viceversa se il numero dei valori che eccedono la soglia è minore del numero

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teorico, il VaR è stato sopravalutato ed occorrerà moltiplicarlo per il rescaling factor, che questa volta assumerà valori minori di 1. Quindi possiamo affermare che il rescaling factor non è altro che il numero per il quale il VaR deve essere moltiplicato affinché si ottenga una previsione ottimale delle performance.

Vediamo adesso come questo indicatore, che definisco con 𝜏, viene calcolato. Data una serie storica delle performance 𝑃(𝑡) e una del VaR 𝑉(𝑡) , l’obiettivo è quello di trovare quel fattore che deve essere moltiplicato per 𝑉(𝑡) al fine di soddisfare la definizione del 𝑘-esimo percentile. Per prima cosa occorre calcolare il numero degli oulier, ovvero il numero di volte il cui il VaR non è stato in grado di prevedere la massima perdita ipotizzabile. Tale numero viene definito con 𝑁_𝛼 e calcolato come segue:

𝑁𝛼 = ∑ {1,_0, 𝑠𝑒 𝑃(𝑡) < 𝑉(𝑡)_{𝑛𝑒𝑔𝑙𝑖 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖 𝑐𝑎𝑠𝑖} 𝑛

𝑡=1

Il numero degli outlier teorici invece viene definito con 𝑁_𝛼+_{. Il rescaling factor è quel} numero che, moltiplicato per la serie storica 𝑉(𝑡), rende 𝑁_𝛼 uguale a 𝑁_𝛼+_{. Ossia:}

𝜏 ∙ 𝑉(𝑡) tale che 𝑁𝛼 = 𝑁𝛼+ Dove 𝜏 è pari a:

𝜏 =𝑁𝛼 𝑁_𝛼+

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