Introdurre le frizioni finanziarie nel modello di Smets and Wouters

Rossana Merola nell’articolo del 2014: “The role of financial frictions during the crisis: An estimated DSGE model” integra uno dei modelli fondamentali del predio pre-crisi, ovvero il modello di Smets and Wouters (2007) con le frizioni finanziarie.

Per tenere conto delle frizioni finanziarie viene innanzitutto inserito nel modello il Financial Accelerator à la Bernake, Gertler e Gilchrist (1996, 1999), di seguito BGG, ma dato che, come visto nei capitoli precedenti, questo non è sufficiente per dare abbastanza rilevanza ai fattori finanziari, viene anche aggiunto un ulteriore fattore di shock nella stima dei parametri, lo shock sugli spreads, e un’ulteriore variabile finanziaria, gli spreads industriali.

Il campione su cui avviene la parametrizzazione è lo stesso utilizzato da Smets and Wouters nel 2007 a cui vengono aggiunti i corporate spreads.

Vengono quindi considerati:

➢ la log-differenza di GDP reale (prodotto interno lordo reale); ➢ consumo reale;

➢ investimento reale; ➢ salario reale; ➢ ore lavorate;

➢ il deflatore del prodotto interno lordo; ➢ il tasso sui federal funds17_;

➢ corporate sperads.

Il campione però viene esteso sino al 2012 in modo da considerare sia la crisi che il periodo immediatamente successivo.

Per quanto riguarda lo shock sugli spreads questo crea una differenza tra il tasso stabilito dall’autorità monetaria e il tasso a cui le imprese ottengono capitale a prestito, accentuando le difficoltà incontrate dalle imprese nell’ottenere denaro.

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Questo è un elemento fondamentale del modello, anche perché l’evidenza empirica ci mostra che spesso le fasi discendenti del ciclo economico sono anticipate da spreads più elevati18.

5.2 Presentazione del modello

La struttura del modello riprende quella di Smets and Wouters vista in precedenza, ci sono però alcune sostanziali differenze derivanti appunto dalla necessità di considerare le frizioni finanziarie introdotte dal Financial Accelerator e dagli spreads.

La produzione è data dalla seguente equazione:

𝑦𝑡 = 𝑐 𝑦𝑐𝑡+ 𝑖 𝑦𝑖𝑡+ 𝜀𝑡 𝑔 + 𝑟𝑘(𝑘 𝑦) 𝑧𝑡 𝑘_{+ (}𝑘 𝑦) 𝑓 (1 − 𝑟 𝑓) (1 − 1 𝑙𝑒𝑣) (𝑓𝑡+ 𝑝𝑡−1 𝑘 _{+ 𝑘} 𝑡) (5.1) Dove: ➢ 𝑐_𝑡 rappresenta il consumo; ➢ 𝑖_𝑡 rappresenta l’investimento;

➢ 𝑔_𝑡 la spesa pubblica, che è considerata esogena al modello; ➢ 𝑟𝑘₍𝑘

𝑦) 𝑧𝑡

𝑘 _{misura i costi associati all’utilizzo del capitale;}

➢ 𝑟𝑘 _{è il tasso a cui è prestato il capitale nello stato stazionario;}

➢ 𝑧_𝑡𝑘 _{è il tasso di utilizzo del capitale;}

➢ (𝑘 𝑦) 𝑓 (1 − 𝑟 𝑓) (1 − 1 𝑙𝑒𝑣) (𝑓𝑡+ 𝑝𝑡−1 𝑘 _{+ 𝑘}

𝑡) rappresenta i costi di fallimento;

➢ 𝑘_𝑡 rappresenta il capitale;

➢ 𝑟 è il valore di stato stazionario del tasso di interesse privo di rischio; ➢ 𝑝_𝑡−1𝑘 _{è il valore dello stock di capitale;}

➢ 𝑓 è il costo di stato stazionario dei fondi esterni;

➢ 𝑙𝑒𝑣 è il valore di stato stazionario della leva finanziaria.

18 _{Come presentato in Faust et al (2012).}

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Infine, 𝑐

𝑦 e 𝑖

𝑦 sono rispettivamente il rapporto di stato stazionario tra consumo e produzione

e tra investimento e produzione e sono dati da: 𝑐 𝑦 = 1 − 𝑔 𝑦− 𝑖 𝑦 𝑖 𝑦= [𝛾 − (1 − 𝛿)] 𝑘 𝑦 (5.2) (5.3) Dove:

➢ 𝛿 è il tasso di deprezzamento del capitale; ➢ 𝑔

𝑦 è il rapporto di stato stazionario tra spesa pubblica e produzione;

➢ 𝑘

𝑦 è il rapporto di stato stazionario tra capitale e produzione.

Le famiglie massimizzano una funzione di utilità non separabile con due argomenti, capitale e lavoro, su di un orizzonte temporale infinito.

L’aggregazione del consumo si evolve secondo le seguenti equazioni:

𝑐_𝑡 = 𝑐₁𝑐_𝑡−1+ 𝑐₂𝐸_𝑡𝑐_𝑡+1+ 𝑐₃(𝑙_𝑡− 𝐸_𝑡𝑙_𝑡+1) − 𝑐₄(𝑟_𝑡− 𝐸_𝑡𝜋_𝑡+1+ 𝜀_𝑡𝛽) (5.4) Con: ➢ 𝑐₁ = ( ℎ 𝛾 1+ℎ_𝛾) ; ➢ 𝑐₂ = ( 1 1+ℎ_𝛾); ➢ 𝑐3 = ( 𝜎−1 𝜎(1+ℎ 𝛾) )𝑊ℎ𝐿 𝐶 ; ➢ 𝑐₄ = ( 1− ℎ 𝛾 𝜎(1+ℎ 𝛾) ).

Il parametro h introduce le abitudini di consumo, 𝜎 rappresenta l’inversa dell’elasticità di sostituzione intertemporale, e infine 𝑊

ℎ_𝐿

𝐶 è il rapporto di stato stazionario tra il reddito da

lavoro e il consumo.

Quindi, l’equazione 5.4 ci dice che il consumo corrente dipende da una media pesata del consumo passato e futuro, dalla crescita attesa di ore di lavoro, e da uno shock sulla spesa pubblica (𝜀_𝑡𝑔).

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La dinamica dell’investimento è così descritta:

𝑖_𝑡 = 1 1 + 𝛽𝛾[𝑖𝑡−1+ 𝛽𝛾𝐸𝑡𝑖𝑡+1+ 1 𝛾2_𝜑𝑝𝑡 𝑘_{] + 𝜀} 𝑡𝑖 (5.5) Dove:

➢ 𝛽 è il fattore di sconto applicato dalle famiglie;

➢ 𝜑 è l’elasticità di stato stazionario del costo del capitale;

➢ 𝜀_𝑡𝑖 _{è la perturbazione della tecnologia specifica dell’investimento.}

La corrispondente equazione di valore del capitale è data da:

𝑝_𝑡𝑘 = −(𝑓𝑡+ 𝜀𝑡𝑏) + 𝑟𝑘 𝑟𝑘_{+ (1 − 𝛿)}𝑟𝑡+1𝑘 + (1 − 𝛿) 𝑟𝑘_{+ (1 − 𝛿)}𝑝𝑡+1𝑘 (5.6)

L’equazione 5.6 ci dice che il valore dello stock di capitale corrente dipende positivamente dal suo futuro valore atteso e dal valore atteso del tasso di interesse r, mentre dipende negativamente dal valore ex-ante del finanziamento esterno.

Il termine 𝜀_𝑡𝑏 _{rappresenta una perturbazione esogena sul costo del finanziamento esterno.}

Questo shock amplifica la differenza tra il tasso stabilito dalla banca centrale e il costo del finanziamento per le imprese, e ha lo stesso effetto dello shock “di valore netto” nel modello BGG.

Come nel modello di Bernanke, Gertler e Gilchrist è assunta l’esistenza di un problema di agenzia che rende più costoso il finanziamento esterno rispetto all’autofinanziamento. Le imprese osservano senza costi la produzione, che è soggetta ad un valore variabile, i prestatori di fondi invece devono sostenere costi di revisione per osservare la produzione. Dopo aver osservato il risultato del proprio progetto l’impresa può decidere se ripagare il debito o se andare in default, se l’impresa decide di dichiarare default i prestatori di fondi possono revisionare il debito e recuperare il valore del progetto al netto dei costi di monitoraggio.

In questo modo il costo marginale del finanziamento è pari al premio lordo per il finanziamento sul valore lordo del costo opportunità, che è equivalente al tasso privo di rischio.

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Quindi la domanda di capitale dovrà soddisfare la seguente condizione di ottimo, che ci dice che il rendimento del capitale reale atteso è uguale al costo del finanziamento:

𝐸_𝑡𝑓_𝑡+1= (𝑟_𝑡− 𝐸_𝑡𝜋_𝑡+1) + 𝜔(𝑝𝑡𝑘+ 𝑘𝑡+1− 𝑛𝑡+1) (5.7)

Il premio lordo per il finanziamento (premt) dipende dalla leva finanziaria del prestatore

di fondi (𝑝_𝑡𝑘+ 𝑘_𝑡+1− 𝑛_𝑡+1), e il parametro 𝜔 cattura l’elasticità del premio per il finanziamento esterno rispetto alla leva finanziaria:

𝑝𝑟𝑒𝑚_𝑡= 𝐸_𝑡𝑓_𝑡+1− (𝑟_𝑡− 𝐸_𝑡𝜋_𝑡+1) = 𝜔(𝑝𝑡𝑘+ 𝑘𝑡+1− 𝑛𝑡+1) (5.8)

Per assicurare che l’autofinanziamento non sia mai sufficiente per finanziare l’acquisizione di nuovo capitale, e che quindi le imprese abbiamo sempre bisogno di ricorrere al finanziamento esterno, si assume che le imprese abbiamo un orizzonte temporale limitato, e che esita una determinata probabilità (𝑣) che l’impresa sopravviva sino al periodo successivo.

Il valore dell’autofinanziamento è definito come: 1 𝑣𝑓𝑛𝑡+1 = (𝑙𝑒𝑣)𝑓𝑡− 𝜔(𝑙𝑒𝑣 − 1)(𝑝𝑡−1 𝑘 _{+ 𝑘} 𝑡) − (𝑙𝑒𝑣 − 1)(𝑟𝑡−1− 𝜋𝑡) + [𝜔(𝑙𝑒𝑣 − 1) + 1]𝑛_𝑡 (5.9)

L’entità del premio per il finanziamento esterno è correlata positivamente all’indebitamento dei bilanci delle imprese.

La presenza di un premio sul finanziamento esterno è espressione dell’effetto dello shock avverso, che aumenta il costo del finanziamento e peggiora ulteriormente la salute dei bilanci delle imprese.

La produzione è ottenuta utilizzando capitale e lavoro:

𝑦𝑡 = 𝜙𝑝[𝛼𝑘𝑡+ (1 − 𝛼)𝑙𝑡+ 𝜀𝑡𝑎] (5.10)

Dove:

➢ 𝛼 rappresenta la quota di capitale utilizzata nella produzione; ➢ 𝜙_𝑝 riflette la presenza di costi fissi di produzione;

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Il capitale corrente dipende dal capitale utilizzato nel periodo precedente (𝑘_𝑡−1𝑝 ) e dal tasso di utilizzo del capitale (𝑧𝑡):

𝑘_𝑡= 𝑘_𝑡−1𝑝 + 𝑧_𝑡 (5.11)

Dove 𝑘_𝑡𝑝 è funzione del flusso di investimento e della relativa efficienza della spesa per quell’investimento: 𝑘_𝑡𝑝 = (1 − 𝛿) 𝛾 𝑘𝑡−1 𝑝 ₊𝛿 𝛾𝑖𝑡+ 𝛿𝛾 2_𝜑𝜀 𝑡𝑖 (5.12)

Il tasso di utilizzo del capitale è invece funzione del tasso a cui il capitale è concesso a prestito:

𝑧_𝑡 =1 − 𝑧

𝑘

𝑧𝑘 𝑟𝑘

𝑡 (5.13)

Dove 𝑧𝑘 _{è l’elasticità del costo di utilizzo del capitale rispetto al capitale utilizzato nella}

produzione.

Il tasso a cui è prestato il capitale è dato da:

𝑟_𝑡𝑘 = 𝑤_𝑡+ 𝑙_𝑡− 𝑘_𝑡 (5.14)

Il modello considera prezzi vischiosi e parzialmente indicizzati, questo fa sì che prezzi e salari si muovano lentamente verso il mark-up desiderato.

Il mark-up dei prezzi è determinato, sotto l’ipotesi di competizione monopolistica, come la differenza tra la produttività marginale del lavoro (𝑝𝑚𝑙_𝑡) e il salario reale (𝑤_𝑡):

𝜇_𝑡𝑝= 𝑝𝑚𝑙𝑡− 𝑤𝑡= 𝛼𝑟𝑘𝑡+ (1 − 𝛼)𝑤𝑡+ 𝜀𝑡𝑎 (5.15)

Allo stesso modo il mark-up sui salari è dato dalla differenza tra il salario reale e il tasso di sostituzione marginale tra lavoro e consumo (𝑡𝑚𝑠𝑡):

𝜇_𝑡𝑤 _{= 𝑤} 𝑡− 𝑡𝑚𝑠𝑡= 𝑤𝑡− [𝑤𝑡𝜎𝑙𝑙𝑡+ 1 1 −ℎ_𝛾 𝑐_𝑡 ℎ 𝛾 1 −ℎ_𝛾 𝑐_𝑡−1] (5.16)

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La massimizzazione del profitto, con imprese che definiscono i prezzi, segue la seguente curva di Phillips: 𝜋𝑡 = 1 1 + 𝛽𝛾𝜄_𝑝{𝛽𝛾𝐸𝑡𝜋𝑡+1+ 𝜄𝑝𝜋𝑡−1− 𝜋𝑚𝑘𝜇𝑡 𝑝 } + 𝜀_𝑡𝑝 (5.17)

L’equazione 5.17 ci dice che l’inflazione dipende positivamente dall’inflazione passata e futura attesa e dal fattore di disturbo sul mark-up dei prezzi (𝜀_𝑡𝑝), mentre dipende negativamente dal mark-up corrente dei prezzi.

𝜄𝑝 rappresenta il livello di indicizzazione ai prezzi passati.

Il termine 𝜋_𝑚𝑘 misura la velocità di aggiustamento con cui si raggiunge il mark-up desiderato, ed è dato dalla seguente equazione:

𝜋_𝑚𝑘 = (1 − 𝜉𝑝)(1 − 𝛽𝜉𝑝) 𝜉_𝑝[(𝜙_𝑝− 1)𝑥_𝑝+ 1

(5.18)

Dove:

➢ 𝜉_𝑝 misura il livello di vischiosità dei prezzi; ➢ 𝜙_𝑝 è il mark-up di stato stazionario.

Il salario reale è funzione dei salari reali futuri e passati, dell’inflazione corrente e di quella futura attesa, ed infine di un fattore di disturbo sul mark-up dei salari:

𝑤_𝑡= 1

1 + 𝛽𝛾{𝑤𝑡−1+ 𝜄𝑤𝜋𝑡−1− (1 + 𝛽𝛾𝜄𝑤)𝜋𝑡+ 𝛽𝛾𝐸𝑡𝜋𝑡+1− 𝑤𝑚𝑘𝜇𝑡

𝑤_{} + 𝜀} 𝑡𝑤

(5.19)

Il termine 𝑤_𝑚𝑘 misura la velocità di aggiustamento verso il mark-up dei salari desiderato, ed è dato da:

𝑤_𝑚𝑘 = (1 − 𝜉𝑤)(1 − 𝛽𝜉𝑤) 𝜉_𝑤[(𝜙_𝑤− 1)𝑥_𝑤+ 1

(5.20)

Dove:

➢ 𝜉_𝑤 misura il livello di vischiosità dei prezzi; ➢ (𝜙_𝑤− 1) è il mark-up di stato stazionario.

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Infine, per quanto riguarda l’autorità monetaria, questa segue una regola di Taylor standardizzata per fissare il tasso di interesse (rt), in risposta al tasso di interesse passato,

all’inflazione corrente, al livello e variazione corrente nel gap di produzione, ed infine ad un fattore di disturbo esogeno:

𝑟_𝑡= 𝜌𝑟_𝑡−1+ 𝜌_𝜋(1 − 𝜌)𝜋_𝑡+ 𝜌_𝑦(1 − 𝜌)(𝑦_𝑡− 𝑦_𝑡𝑃) + 𝜌_𝑑𝑦[(𝑦_𝑡− 𝑦_𝑡−1) − (𝑦_𝑡𝑃_{− 𝑦}

𝑡−1𝑃 )] + 𝜀𝑡𝑟

(5.20)