Introduzione alla fluidodinamica computazionale

8.4.1.1. Definizione di fluidodinamica computazionale e campi di applicazione dei codici di calcolo CFD

Per fluidodinamica computazionale (CFD) si intende l’analisi numerica di sistemi che coinvolgono il moto di fluidi e lo scambio termico connessi a particolari fenomeni, come le reazioni chimiche. Il comportamento fluidodinamico di un sistema è regolato dai principi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell’energia, espressi da un punto di vista matematico con un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali relativamente ad un volume infinitesimo del fluido (cosiddette equazioni di Navier-Stokes). Poiché tali equazioni non sono di tipo lineare, il ricorso ai classici metodi matematici non consente di pervenire alla loro soluzione, a meno di estreme semplificazioni che porterebbero però a risultati non reali e di limitato uso pratico. La CFD permette di risolvere, con l’ausilio di codici di calcolo, le equazioni di Navier-Stokes in un dominio di interesse, per il quale siano state definite le condizioni al contorno ed iniziali: la soluzione del problema non è rappresentata da una funzione continua nello spazio e nel tempo, ma da un insieme di valori numerici dei parametri fluidodinamici (velocità, pressione, temperatura, etc.) in un numero finito di punti ed istanti temporali.

La caratteristica saliente di un programma CFD risiede nella possibilità di descrivere un qualunque campo di moto, sia esso bidimensionale o tridimensionale, fornendo dei risultati che di rado sono messi a disposizione dai modelli analitici noti. Infatti, gli studi fluidodinamici richiedono, normalmente, la costruzione di modelli in scala del sistema da studiare e misurazioni sperimentali utili a formulare una descrizione adimensionalizzata dei fenomeni. Tali modelli consentono agevoli valutazioni quantitative, ma non fanno comprendere ciò che avviene all’interno del sistema, oltre a richiedere molto tempo e cospicui investimenti in strumentazioni di misura. I codici di calcolo CFD permettono, invece, la simulazione del campo di moto e di temperatura all’interno di un oggetto di qualunque forma, con un tempo di calcolo dipendente solo dalle capacità dell’elaboratore e, quindi, mai eccessivamente lungo, se si sfruttano le notevoli capacità di calcolo delle postazioni più recenti.

A fronte di un investimento limitato in rapporto ai vantaggi ottenuti, quindi, tali programmi offrono la possibilità di analizzare problemi fluidodinamici non risolti in passato per via dei problemi di investimento e di tempi di realizzazione annessi alle sperimentazioni. La continua ricerca scientifica e tecnologica nell’ambito della termofluidodinamica numerica ha consentito di realizzare nel tempo codici di calcolo sempre più veloci e affidabili ed ha trovato a supporto l’esponenziale aumento della potenza di calcolo dei moderni calcolatori a dispetto di un costo relativo sempre più basso.

La fluidodinamica computazionale è potenzialmente applicabile allo studio di tutti i fenomeni fisici e chimico-fisici che caratterizzano il moto di fluidi. Allo stato attuale, i CFD vengono utilizzati in molti campi, da quello industriale a quello della ricerca, con esempi applicativi:

• nell’analisi di motori a combustione interna;

• nello studio di camere di combustione di impianti di produzione

• nel campo dell’elettronica, per quanto riguarda lo studio di sistemi di raffreddamento di componenti di circuiti elettrici;

• nello studio di processi di miscelamento e di separazione dell’industria di processo;

• nel campo dell’idrologia ed oceanografia;

• nel campo della progettazione civile,

• nel campo medico, per lo studio del flusso di sangue nelle arterie e nelle vene;

• nel campo meteorologico; etc.

L’esigenza sempre crescente di diminuire l’impatto ambientale di alcune realtà produttive ha portato, negli ultimi anni, ad un notevole sviluppo dell’applicazione dei CFD anche ai problemi di carattere ambientale, poiché questa tecnica di simulazione consente di studiare la possibile formazione di specie inquinanti e la loro dispersione in mezzi gassosi o liquidi (in atmosfera, in fiumi, laghi, mare, etc.), in modo da progettare sistemi di abbattimento o modificare i processi per ridurre la produzione ed emissione delle specie inquinanti e quindi diminuirne l’impatto ambientale.

8.4.1.2. Struttura e funzionamento dei codici di calcolo CFD

La struttura dei codici di calcolo CFD prevede, di solito, un programma di modellazione bidimensionale e tridimensionale, per effettuare la fase di

preprocessing, ed un solutore a cui può essere associato un codice per la fase di postprocessing.

La fase di preprocessing consiste nell’immissione di un problema di flusso in un programma CFD attraverso un’interfaccia e nella seguente trasformazione di tale input in una forma adatta all’uso da parte del processore.

In questa fase l’attività dell’utente consiste in:

Ø scelta del modello matematico: il modello matematico è l’insieme delle equazioni differenziali (trasporto, di quantità di moto, di materia e di energia) e dei modelli che rappresentano il sistema fisico considerato. Non esiste un modello universale che possa essere utilizzato per ogni tipo di simulazione, ma esistono più modelli semplificati che variano in base al problema analizzato. Ad esempio, all’interno di un codice sono in genere presenti più modelli per la rappresentazione della turbolenza e della chimica di un sistema e diverse rappresentazioni analitiche delle caratteristiche fisiche, come densità e viscosità.

L’applicazione di un modello matematico porta inevitabilmente a delle approssimazioni in quanto non vengono considerati tutti i possibili fenomeni fisici, ma solamente quelli che, per l’esperienza accumulata, si ritengono maggiormente influenti sulla dinamica del sistema.

Ø definizione della geometria della regione di interesse (dominio di calcolo) e

discretizzazione del dominio (creazione della griglia o mesh): la

discretizzazione del dominio consiste nella suddivisione del dominio in un numero arbitrario di celle, non sovrapposte le une alle altre, ciascuna caratterizzata da un punto, detto nodo, nel quale durante il processo di soluzione saranno valutate ad ogni iterazione le grandezze incognite.

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Esistono diversi metodi di discretizzazione. Quelli maggiormente utilizzati sono:

• metodo delle differenze finite;

• metodo degli elementi finiti;

• metodo dei volumi finiti.

Le tre procedure risultano equivalenti per un elevata discretizzazione del dominio di calcolo, ovvero per griglie molto fini; tuttavia al variare del problema fisico considerato alcuni metodi risultano migliori di altri da un punto di vista di velocità e convergenza di calcolo.

I codici di calcolo commerciali maggiormente diffusi adottano il metodo di discretizzazione ai volumi finiti, che ricava le differenti equazioni algebriche applicando le leggi di conservazione (massa, energia, quantità di moto) direttamente su un piccolo volume, denominato di controllo.

Una corretta definizione del dominio di calcolo e la sua discretizzazione sono di fondamentale importanza per la buona riuscita di una simulazione: una griglia troppo larga può portare ad approssimazioni troppo grandi con gradienti elevati, mentre una griglia troppo fine può portare, al contrario, a problemi numerici di convergenza. È necessario, quindi, trovare un buon compromesso per sfruttare efficacemente le risorse computazionali.

Ø selezione dei fenomeni fisici e chimici che necessitano di essere modellati; Ø definizione delle proprietà del fluido;

Ø definizione di appropriate condizioni al contorno per le celle che confinano o

che toccano i limiti del dominio: per condizioni al contorno si intendono quei

parametri del problema termofluidodinamico relativi al confine del sistema considerato, in grado di condizionare le variabili termodinamiche all’interno di un dominio. Esse possono essere di due tipi:

1. condizioni legate al flusso di materia: ad esempio, aspetti riguardanti la dinamica del fluido entrante in un dominio (es. quantità di materia immessa e localizzazione dei suoi punti di entrata e di uscita);

2. condizioni legate al flusso di calore: temperatura di entrata e di uscita del fluido, temperatura dei muri perimetrali, dei muri interni etc.

Il processo di soluzione comprende due stadi, schematicamente mostrati in figura 22.

Nel primo stadio le equazioni differenziali alle derivate parziali continue e le condizioni limite (iniziali ed al contorno) vengono convertite in un sistema discretizzato di equazioni algebriche, che collegano assieme i valori delle variabili dipendenti nei punti nodali adiacenti.

Fig. 22: Stadi del processo di soluzione. Soluzione approssimata Solutore Stadio I Stadio II Sistema di equazioni algebriche Discretizzazione Equazioni differenziali

La sostituzione dei termini nelle equazioni differenziali con espressioni algebriche connettenti valori nodali su una griglia finita (generata nella fase di preprocessing) introduce un errore, quindi è fondamentale la scelta di equazioni algebriche che producano piccoli errori.

Il secondo stadio richiede un “risolutore di equazioni” che provveda alla soluzione numerica per via iterativa del sistema di equazioni algebriche. Anche questo passaggio può introdurre un errore che però è generalmente trascurabile, se comparato con quello introdotto nello stadio precedente. Il processo iterativo è spesso equivalente ad un avanzamento della soluzione per piccoli passi: il numero delle iterazioni o dei passi può variare da poche centinaia a molte migliaia, in funzione del processo di discretizzazione adottato; inoltre tale processo introduce un errore che può essere ridotto rifinendo la griglia in maniera che rappresenti il più fedelmente possibile la situazione geometrica reale.

La garanzia che la soluzione numerica sia il più vicino possibile a quella esatta è un’importante questione. Poiché l’algoritmo di risoluzione numerica, vale a dire lo schema iterativo seguito dal codice per giungere alla soluzione del problema a partire dalle condizioni iniziali, è un processo iterativo, è necessario definire dei

criteri che ne possano stabilire la validità e la possibilità di raggiungimento di una

soluzione plausibile.

I criteri più significativi sono:

⇒ coerenza: il sistema delle equazioni algebriche generate dal processo di discretizzazione è definito “coerente” con le equazioni parziali differenziali originarie se, per la dimensione della cella tendente a zero (Δx→0), il sistema di equazioni algebriche è equivalente a quelle parziali in ogni punto della griglia;

⇒ stabilità: un metodo di risoluzione è detto stabile se non amplifica l’errore numerico ad ogni iterazione;

⇒ convergenza: capacità di un metodo numerico di produrre una soluzione esatta al tendere a zero della grandezza del volume o dell’elemento di controllo. Se durante il calcolo vengono soddisfatti i suddetti criteri di validità, è possibile raggiungere una soluzione coerente dal punto di vista numerico, anche se non necessariamente valida anche da un punto di vista fisico. La soluzione approssimata convergerà verso l’esatta soluzione per intervalli di griglia tendenti a zero ed una griglia raffinata sarà utilizzata nelle parti del dominio in cui è richiesta una soluzione il più possibile esatta.

L’ultima fase, detta di postprocessing, consiste nell’analisi e visualizzazione dei risultati. I pacchetti CFD incorporano strumenti che consentono, ad esempio, la visualizzazione della geometria del dominio e della griglia, la creazione di diagrammi bi e tri-dimensionali, le manipolazioni visive (traslazioni, rotazioni, etc.) e la movimentazione delle particelle.

8.4.1.3. Vantaggi e limitazioni dell’uso dei codici CFD

La fluidodinamica computazionale è un valido mezzo di studio da affiancare alla tradizionale pratica sperimentale in quanto strumento versatile che può fornire risultati per una casistica di studio molto ampia in tempi molto minori e con costi inferiori rispetto alla sperimentazione tradizionale.

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- sostanziale riduzione dei tempi e dei costi di progettazione per la possibilità di studiare un’ampia gamma di possibili scenari a costi ed in tempi molto inferiori alla pratica sperimentale;

- possibilità di studiare sistemi per i quali sia impossibile o difficoltosa la sperimentazione;

- possibilità di studiare sistemi in condizioni operative limite dal punto di vista della sicurezza o di simulare condizioni accidentali.

Per tali ragioni, negli ultimi anni l’importanza della CFD è aumentata notevolmente, di pari passo con il miglioramento delle prestazioni dei computer. I risultati ottenuti con tecniche CFD, tuttavia, non sono fedeli riproduzioni di fenomeni fisici, in quanto:

- i modelli utilizzati e le equazioni differenziali per la rappresentazione del sistema fisico contengono semplificazioni ed approssimazioni;

- nelle operazioni di discretizzazione delle equazioni differenziali ad equazioni algebriche vengono introdotte ulteriori approssimazioni;

- nella risoluzione delle equazioni discretizzate viene utilizzato un metodo iterativo che, in quanto tale, non porta mai ad un’esatta soluzione del problema. Ne consegue che i codici CFD, come per tutti i metodi di simulazione numerica, non possono essere utilizzati in sostituzione della sperimentazione, in quanto basati su modelli e rappresentazioni semplificate di realtà fisiche, che, in quanto tali, non garantiscono la validità assoluta del risultato.