L'integrale di Riemann-Stieltjes su un rettangolo di C

golo di

C

Denizione 3.5.1 Sia

R = R(a < x≤ b, c < y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

Una partizione, o suddivisione, in elle di

R

è una sequenza nita

[z] =

{(xh, yk) h = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n)}

, on

a = x0

< x1

< . . . < xm

= b

c = y0< y1< . . . < yn= d

Indi hiamo on

D

2

l'insieme delle partizioni di

R

Ogni partizione in elle del rettangolo

R

denis e una famiglia

{Rh,k}

disottorettangolidi

R

nelmodoseguente:

Rh,k= ]xh−1, xh]× ]yk−1, yk]

,per ogni

h = 1, . . . , m

;

k = 1, . . . , n

SivedaN.Dunford-J.S hwartz[12℄,Lemma8,pp. 182 4

Siaora

g : ¯R→ C

limitata. Fissata

[z]∈ D

2

,èpossibileasso iarea

g

unafunzione d'insieme

G

,denita sullafamiglia

{Rh,k}

direttangoli determinata da

[z]

,nelmodo seguente:

G(Rh,k) = g(xh, yk)− g(xh, yk−1)− g(xh−1, yk) + g(xh−1, yk−1)

(3.7) Denizione3.5.2 Con nezza della partizione

[z]

intendoil valore

|[z]| =

max

h=1,...,m; k=1,...,n(xh− xh−1)(yk− yk−1)

Denis osu

D

2

unorientamento. Denizione3.5.3 Siano

[z

(1)_]

[z

(2)_]

D

2

. Pongo

[z

(1)_]_{≺ [z}(2)_]

(

[z

(2)_]

piùne in normadi

[z

(1)_]

)se

|[z

(2)_]_{| ≤ |[z}(1)_]_|

Denizione3.5.4 Sia

R(a < x≤ b, c < y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

Una partizione mar ata di

R

è la oppia

([z], (ξ, η))

, on

[z]

∈ D

2

, e

(ξ, η)

funzione denitasulla famigliadi sottorettangoli

{Rh,k}

asso iata a

[z]

, he ad

Rh,k

asso ia

(ξh,k, ηh,k)

, on

xh−1

< ξh,k≤ xh

, e

yk−1< ηh,k≤ yk

. Indi o on

P

2

illoro insieme.

Denizione3.5.5 Sia

R(a≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

Unapartizione mar ata ristretta di

R

è la oppia

([z], (ξ, η))

, on

[z]∈ D

2 (ξ, η)

funzione denita sulla famiglia di sottorettangoli

{Rh,k}

asso iata a

[z]

, he ad

Rh,k

asso ia

(ξh, ηk)

, on

ξh

indipendente da

k

xh−1

< ξh

≤ xh

, ed

ηk

indipendente da

h

yk−1< ηk≤ yk

. Indi o on

P

2

1

illoro insieme. Orientiamo

P

2

ponendo

([z

(1)_{], (ξ}(1)_{, η}(1)₎₎

_{≺ ([z}(2)_{], (ξ}(2)_{, η}(2)₎₎

[z

(2)_]

piùneinnorma di

[z

(1)_]

. Essendo

P

2

1 ⊂ P2

,su

P

2

1

indu iamo l'orientamento

≺

denito su

P

2

Introdu iamo adesso due separate estensioni dell'integrale di Riemann-

Stieltjes lassi oafunzioni didue variabili.

Laprima è dovuta a Fré het[14℄, he ha dato laseguente denizione.

Denizione3.5.6 (Fré het) Sia

R = R(a < x≤ b, c < y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

e siano

f

g

funzioni limitate denitesu

¯

R

Di iamo he

f

è Riemann-Stieltjesintegrabile in senso ristretto rispetto a

g

se il netdi dominio

P

2

1 m

X

h=1

n

X

k=1

f (ξh, ηk) G(Rh,k),

(ξh, ηk) = (ξ, η)(Rh,k),

Al postodella funzioned'intervallo

Φ([tj−1, tj]) = |φ(tj) − φt

j−1|

, hegeneralmente gura nella denizone di variazione totale della funzione di una sola variabile

φ(t)

, si partiràquidalladenizionediunaopportunafunzioned'insieme

G

,denitasuirettangoli semiaperti onilatiparalleliagliassi.

(3.8)

onverge in normaad unlimite nito.

In tal aso, indi hiamo tale limite on

F RS

Z Z

R

f (x, y) dg(x, y).

(3.9)

Se orasostituiamo il netin(3.8) on il netdidominio

P

2 m

X

h=1

n

X

k=1

f (ξh,k, ηh,k) G(Rh,k),

(ξh,k, ηh,k) = (ξ, η)(Rh,k),

(3.10)

hiamiamo il limite, se esiste, l'integrale di Riemann-Stieltjes nonristretto

f

rispettoa

g

,e loindi hiamo onil simbolo

RS

Z Z

R

f (x, y) dg(x, y).

(3.11)

Chiaramente, l'esistenza dell'integrale in(3.11)impli a he l'integralein

(3.9) esiste, e il suo valore è uguale a quello dato in (3.11). D'altra parte,

l'esistenza dell'integrale in (3.9) non impli a l'esistenza di quello in (3.11),

ome vedremoqui diseguito.

Fré het ha mostrato he una ondizione su iente per l'esistenza dell'inte-

graleristretto(3.9)perognifunzioneintegranda ontinua

f

,è helafunzione integratri e

g

siaavariazionelimitatanelsensodiVitali

(s riviamo

g⊂ V

). Di spe iale interesse è il aso in ui l'integranda

f (x, y)

èa variabili separate, nel senso he

f (x, y) = f1(x)f2(y)

. Una ondizione su iente per l'esistenza dell'integrale ristretto (3.9) per ogniintegranda

f

a variabili separate on fattori ontinui

f1

f2

,è he la

g

sia a variazione limitata nel senso di Fré het

(s riviamo

g∈ F

La ondizionediFré het èpiùdebole diquella diVitali.

È naturale porsi le seguenti domande sull'integrazione delle funzioni a

variabiliseparate on fattori ontinui:

a) è la ondizione di Fré het an he ne essaria per l'esistenza dell'integrale

La funzione

g(x, y)

denitasu

R

è avariazione limitatanelsensodiVitali seesiste

M >0

tale he,perognipartizione

[z] ∈ D

2

risulta

P

h,k|G(Rh,k)| < M

Lafunzione

g(x, y)

denitasu

R

èavariazione limitatanelsensodiFré hetseesiste

M >0

tale he

P

h,kǫhδkG(Rh,k) < M

perognipartizione

[z] ∈ D

2

,eperogni s eltadi

ǫh= ±1

δk= ±1

. 8

La dimostrazione è in Littlewood [21℄. Su essivamente, J.A. Clarkson and C.R.

Adams[1℄hannodatounesempiodifunzioneavariazionelimitatanelsensodiFré het,

b) è la ondizionedi Fré het su iente per l'esistenza dell'integrale non ri-

stretto?

Seunafunzionenonène essariamenteavariabili separate,ma ontinua,

)èla ondizionediFré hetsu ienteperl'esistenza dell'integraleristretto,

odiquello nonristretto?

La rispostaaqueste domandeè datadaiteoremi heseguono.

Teorema 3.5.1 Condizione ne essaria e su iente an hé l'integrale di

Riemann-Stieltjes ristretto

F RSRR

Rf (x, y) dg(x, y)

esista per ogni funzione

f (x, y)

ontinua su

R

è he la

g(x, y)

sia a variazione limitatanel senso di Vitali.

Teorema 3.5.2 An hél'integrale di Riemann-Stieltjes nonristretto

RSZ Z

R

f (x, y) dg(x, y)

esista per ogni funzione

f (x, y)

ontinua su

R

,o orre e basta he la

g(x, y)

siaa variazione limitatanel senso di Vitali.

Teorema 3.5.3 An hél'integrale di Riemann-Stieltjes ristretto

F RSZ Z

R

f1(x)f2(y) dg(x, y)

esista per ogni oppia di funzioni ontinue

f1

f2

, o orre e basta he la

g

siaa variazione limitatanel senso di Fré het.

Teorema 3.5.4 An hél'integrale di Riemann-Stieltjes nonristretto

RSZ Z

R

f1(x)f2(y) dg(x, y)

esista per ogni oppia di funzioni ontinue

f1

f2

, o orre e basta he la

g

siaa variazione limitatanel senso di Vitali.

L'integrale di Stieltjes ome

forma bilineare anoni a di

spazi in dualità

4.1 Spazi vettoriali topologi i

Denizione 4.1.1 Siano datiuno spazio vettoriale (olineare)

L

sul ampo

K

(

K= R

K= C

)e una topologia

T

L

La oppia

L = (L,T )

è uno spazio vettoriale topologi o, brevemente TVS,su

K

se l'addizionee la moltipli aziones alare

(x, y)_{∈ (L × L) 7→ x + y ∈ L}

(λ, x)_{∈ (K × L) 7→ λx ∈ L.}

sono funzioni ontinue.

L

è un TVS, la suatopologia è invariante per traslazione, pertanto essa è pienamente determinatada unabase diintorni dello

0

Denizione 4.1.2 Un TVS

L

si di e lo almente onvesso, brevemente un LCS, sela suatopologia è Hausdor, ed esiste unabase (numerabile o non)

di intorni onvessi

dello

0

Suognispaziolinearepuòesseredenitaunatopologiamedianteunsistema

diseminorme.

Unsottoinsieme

A

diunospaziovettoriale

L

(realeo omplesso)è onvessose

x∈ A

y∈ A

impli a

λx+ (1 − λ)y ∈ A

,pertuttiireali

λ,0 < λ < 1

Unafunzione

p

suunospaziovettoriale

L

realeo omplessoèunaseminormaseèa valorirealie

(a)

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) (x, y ∈ L)

Sia

L

uno spazio lineare, ed

S

un sistemadiseminormesu

L

Consideriamo,perogni

ε > 0

,edognisistemanito

p1, . . . , pm

S

,l'insieme

Uε,p1,...,pm

={x ∈ L; p1(x), . . . , pm(x) < ε}.

La totalità di tali insiemi forma una base di intorni onvessi dello

0

, he rende

L

un TVS.

Se, dipiù, laloro intersezione è

{0}

, allora

L

è an he Hausdor, quindi su

L

è stata imposta unatopologia he lorendeun LCS.

Vi eversa, per ogni LCSesiste un sistema

S

diseminorme he denis e lasuatopologia.

Nel documento L'integrale di Stieltjes e suoi sviluppi (pagine 35-40)

L'integrale di Riemann-Stieltjes su un rettangolo di C

C

R = R(a < x≤ b, c < y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

R

[z] =

{(xh, yk) h = 1, . . . , m; k = 1, . . . , n)}

a = x0

< x1

< . . . < xm

= b

c = y0< y1< . . . < yn= d

D

2

R

R

{Rh,k}

R

Rh,k= ]xh−1, xh]× ]yk−1, yk]

h = 1, . . . , m

k = 1, . . . , n

g : ¯R→ C

[z]∈ D

2

g

G

{Rh,k}

[z]

G(Rh,k) = g(xh, yk)− g(xh, yk−1)− g(xh−1, yk) + g(xh−1, yk−1)

[z]

|[z]| =

max

h=1,...,m; k=1,...,n(xh− xh−1)(yk− yk−1)

D

2

[z

(1)]

[z

(2)]

D

2

[z

(1)]≺ [z(2)]

[z

(2)]

[z

(1)]

|[z

(2)]| ≤ |[z(1)]|

R(a < x≤ b, c < y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

R

([z], (ξ, η))

[z]

∈ D

2

(ξ, η)

{Rh,k}

[z]

Rh,k

(ξh,k, ηh,k)

xh−1

< ξh,k≤ xh

yk−1< ηh,k≤ yk

P

2

R(a≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d) ⊂ C ∼= R

2

R

([z], (ξ, η))

[z]∈ D

2

(ξ, η)

{Rh,k}

[z]

Rh,k

(ξh, ηk)

ξh

k

xh−1

(1)_]

(2)_]

(1)_]_{≺ [z}(2)_]

(2)_]

(1)_]

(2)_]_{| ≤ |[z}(1)_]_|

(1)_{], (ξ}(1)_{, η}(1)₎₎

_{≺ ([z}(2)_{], (ξ}(2)_{, η}(2)₎₎

(2)_]

(1)_]