L'integrale di Stieltjes e suoi sviluppi

Alma Mater Studiorum

_·

Universit`

a di Bologna

FACOLT `

A DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI

Corso di Laurea in Matematica

L’INTEGRALE DI STIELTJES

E SUOI SVILUPPI

Tesi di Laurea in Finanza Matematica

Relatore:

Chiar.mo Prof.

ANDREA PASCUCCI

Presentata da:

LAURA ADDAMIANO

Sessione III

Anno Accademico 2008/09

∗

A K.,

aro ami o,

pazientetutore,

1 L'integrale diRiemann-Stieltjes lassi o 7

1.1 Insiemiorientati enet . . . 7

1.2 Orientamenti pernezzadipartizione su unintervallo . . . . 8

1.3 L'integrale diRiemann-Stieltjes lassi o . . . 9

1.4 Casidiri ondu ibilità all'integrale diRiemann. . . 9

1.5 Al uneproprietà generali . . . 10

1.6 Condizionidiesistenza . . . 11

1.7 L'integralediRiemann-Stieltjesrispettoafunzionia variazio-nelimitata. . . 14

1.8 Teoremidi onvergenza. Ilse ondo teorema diHelly . . . 17

1.9 Liftingdelle funzioni generatri i . . . 19

2 L'integrale diLebesgue-Stieltjes 21 2.1 Prolungamento astratto diLebesgue . . . 21

2.2 Relativa denizionediintegrale . . . 22

2.3 Misure diLebesgue-Stieltjes su

R

. . . 23

2.4 Prolungamento della misura immagine diuna funzione misu-rabile. . . 23

2.5 L'integrale diLebesgue-Stieltjes . . . 24

3 Estensionievariantidelladenizionedell'integraledi Riemann-Stieltjes 26 3.1 L'integrale diPollard-Moore-Stieltjes . . . 26

3.2 Altriintegrali diRiemann-Stieltjes modi ati. . . 28

3.3 L'integrale diRiemann-Stieltjes su tutto

R

. . . 30

3.4 Espressionedell'integralediLebesguesu unospaziodi proba-bilità ome integralediStieltjessu tutto

R

. . . 31

3.5 L'integrale diRiemann-Stieltjes su unrettangolo di

C

. . . . 33

4 L'integralediStieltjes omeformabilineare anoni adispazi in dualità 37 4.1 Spazivettoriali topologi i . . . 37

4.3 Glispazi

C, C

b

,

C

0

,

C

K

,e lorotopologie . . . 40

4.4 Ilse ondo teoremadirappresentazione diRiesz . . . 41

4.5 Dualidegli spazi

C, C

b

,

C

0

,

C

K

. . . 43

4.6 MisurediRadon e diLebesgue-Stieltjes on segnosu

R

. . . 45

4.7

w

∗

-topologiee generalizzazionidel se ondoteorema diHelly.. 46

4.8 Densitàdelle funzioni nitamentedisalto in

BV

e

BV

loc

. . . 50

4.9 Convergenza divariabili aleatorie reali . . . 51

5 Trasformata diFourier 54 5.1 Trasformate di Fourier di funzioni a variazione limitata e di misure . . . 54

5.2 Confronti eanalogie fratrasformata lassi aedimisure . . . 55

5.3 Convoluzionedifunzioni BVsullaretta . . . 56

5.4 Trasformata diFourier-Stieltjes della onvoluzione . . . 57

5.5 Convoluzionedimisure diRadon totalmentenite . . . 59

5.6 Funzioni aratteristi he . . . 60

5.7 Funzioni aratteristi he e momenti . . . 62

6 L'integrale di Riemann-Stieltjes in ambiente vettoriale 65 6.1 L'integralediRiemann-Stieltjes vettoriale suun intervallo reale 65 6.2 L'integrale diRiemann-Stieltjes vettorialesu un dominio ret-tangolare di

C

. . . 67

7 Forme dierenziali e misure spettrali 68 7.1 Formedierenziali inspaziastratti . . . 68

7.2 L'integrale urvilineo ome integrale di Stieltjes in ambiente vettoriale . . . 68

7.3 Formeintegrabili . . . 69

7.4 Omotopia,forme hiuse e formeirrotazionali . . . 70

7.5 Spettro erisolvente diun elemento diun'algebradi Bana h . 71 7.6 Laforma dierenziale

R

λ

dλ

. . . 72

7.7 Idempotentifondamentali . . . 73

7.8 Misurea valoriprojezioni . . . 76

7.9 Integrazionediuna funziones alarerispettoaduna misuraa valoriprojezioni . . . 77

8 Integrazione di Stieltjes rispetto a famiglie spettrali 79 8.1 Famiglie spettrali . . . 79

8.2 L'integralediRiemann-Stieltjesdiunafunzionerealerispetto aduna famiglia spettrale. . . 80

8.3 L'integrale debole rispetto aduna famiglia spettrale. . . 83

8.4 Famiglie spettralidi operatori autoaggiunti limitati . . . 84

8.5 Misuragenerata da unafamiglia spettrale . . . 85

8.8 MartingaleastratteedintegralediRiemann-StieltjesH-sto asti o 88

9 Integrali sto asti i: un appro io spettrale 92

9.1 Geometriadell'attesa ondizionata . . . 92

9.2 Pro essisto asti i e martingale . . . 94

9.3 Pro essisto asti i a tempo ontinuo . . . 98

9.4 Famiglie spettrali emartingale in

L

2

_(Ω)

. . . 99

9.5 L'integrale spettraleforte diunafunzione s alare ome

gene-ralizzazionedell'integrale sto asti o diPaley-Wiener . . . 103

9.6 L'integrale sto asti o diIt . . . 105

9.7 L'H-integrale sto asti o spettrale ome generalizzazione

del-l'integralediIt . . . 107

Correval'anno 1894.

Nel fondamentale arti olo Re her hes sur les Fra tions ontinues,

Tho-masStieltjesdenìl'integrale he neportailnome, allo s opo dirisolvere il

problemadeimomenti diunsistemadimassesu una semiretta.

Ilsuointegrale oinvolsefunzioni ontinue omeintegrande,eavariazione

limitata ome integratri i. Questoè oggi solo uno dei tanti ambienti

possi-bili,marestanotevolissimoperle omode stime,perleformule he rendono

naturalilemanipolazioni,perilfa iletrasportoad ambienti astratti.

Tuttavia, nel giro di po hissimi anni, l'integrale di Stieltjesprodusse un

intensointeresse neimatemati i.

Si pose, ad esempio, il problema di risolvere la patologia endemi a

dell'in-tegrale, he si presenta quando la funzione integranda e l'integratri e sono

dis ontinue inunostesso punto. In tal aso, infatti, l'integralenon esiste.

Inqueglianni,HenriLebesgue on ludevalesuestrabiliantiri er hesulle

funzioni a variazione limitata, e su un integrale he onsentiva passaggi al

limite no a quel momento insperati. La fusione on l'integrale di Stieltjes

portòallaintegrazione,dettadiLebesgue-Stieltjes. Questarisolve

frequente-mente lapatologia delle dis ontinuità, manon èun'estensione dell'integrale

diStieltjes,per hél'integralediLebesgue-Stieltjesèprivodisensosela

fun-zioneintegratri e nongenera suldominio unamisura lo almentenita.

Inogni aso,l'integraleinizialmente ostruito,prestorinominatointegrale

diRiemann-Stieltjes,nonpersediinteresse,efutrovatoilmododiestendere

l'integrabilitàa unbuon numerodi asi patologi i.

Il Capitolo 1 tratta dell'integrale di Riemann-Stieltjes lassi o, il

Capi-tolo 2, dopo un breve ex ursus sulla Teoria della Misura astratta, presenta

lemisurediLebesgue-Stieltjessullarettaeilrelativo integrale,ilCapitolo 3

des rive al une estensionie varianti alla denizione lassi a,leestensioni al

asodidominioillimitato, al aso didominio omplesso,e l'espressione

del-l'integralediLebesguesuunospaziodiprobabilità omeintegralediStieltjes

su

R

.

IlCapitolo 4èdedi ato agliaspettivettoriali-topologi i delladualitàtra

spazidi funzioni ontinue su

R

e spazidifunzioni

BV

loc

,la uiforma ano-ni asial'integralediStieltjessu

R

. Ungrandestimolo aquestistudis aturì dallaristrutturazionedellaTeoria dellaProbabilitàinterminidiintegraledi

legeneralizzazionie variantidelteorema diHelly,intermini di onvergenza

debole-

∗

suspazidifunzioniavariazionelimitata. Allaradi ediquestistudi vettoriali-topologi i stailteoremadirappresentazionediFrédéri Riesz, he

identi ò il dualedegli spazi difunzioni ontinue su unintervallo ompatto

on le lassi di equivalenza, viste nel Capitolo 1,delle funzioni a variazioni

limitata.

Nel Capitolo 5,siestende lanozioneditrasformatadiFourier a

trasfor-matadiFourier-Stieltjes difunzioniavariazione limitatasullaretta,e sene

evidenzia il parallelismo on latrasformata di misure di Radon totalmente

nite sulla retta. Si trasformano i teoremi sulla onvoluzione di funzioni,

adattandoli all'ambiente delle funzioni avariazione limitata, e dellemisure.

Siintrodu onolefunzioni aratteristi heinterminiditrasformatediFourier

di distribuzioni di probabilità e, parallelamente, le funzioni aratteristi he

di variabili aleatorie in termini di trasformate di Fourier-Stieltjes delle

lo-ro funzioni di ripartizione. Al riguardo, è esposto il teorema di Lévy sulla

orrispondenza tra onvergenza debole-

∗

delle funzioni di ripartizione, e la onvergenza puntuale delle funzioni aratteristi he. Sono ri ordate le più

importantiformulediinversionedellefunzioni aratteristi he. Sidenis ono

i momenti di una distribuzione, e la serie di M Laurin, he mostra la

ge-nerazione delle funzioni aratteristi he attraverso i momenti. Un enno al

problemadeimomenti on lude il apitolo.

NelCapitolo6,sieettuaunpassaggionaturaledell'integralediStieltjes

dall'ambiente s alare a quello vettoriale. È su iente prendere, ispirandosi

ad Henri Cartan, funzioni a valori operatori tradue ssati spazi ome

inte-grande,e funzioniavalorinelprimospazio, ome integratri i. Siespongono

al uni risultati tipi i. Si estende al aso vettoriale appena des ritto an he

l'integrale di funzioni denite su un dominio rettangolare nel ampo

om-plesso.

ConilCapitolo 7,si entra inun ontesto spettrale.

In primo luogo, vengono presentate le forme dierenziali ome funzioni

a valori operatori tra spazi diBana h, si denis ono gli integrali urvilinei

ome integrali diStieltjes, e si adattano nel nuovo ambiente le lassi he

di-stinzionitra leforme, intermini diderivazione e diintegrazione urvilinea.

Sievidenzia l'impattodell'omotopia di ammini ongli integrali urvilinei.

Siri ordanopoilenozioni dispettro, diinsiemerisolvente, e difunzione

risolventediunelemento diun'algebradiBana h onunità. Siinterpretala

funzionerisolvente omeformadierenziale,esiottengono,perintegrazione

urvilinea, gli idempotenti fondamentali, asso iatiagli insiemispettrali.

Considerando l'algebradeglioperatoriinunospaziodiHilbert,tali

idem-potenti ostituis onounamisuraavaloriprojezionisull'algebradegliinsiemi

spettrali. Nel asodioperatorinormali,questamisurapuòessereprolungata

atutti iboreliani dello spettro,esu essivamentea tutti quelli di

C

. Gliultimidue apitoligravitanoattornoal on ettodifamigliaspettrale.

del on etto difunzione monotona.

NelCapitolo 8,lafamiglia spettraleè presentata dalpunto divistadella

geometria degli spazidiHilbert.

Sistudia l'integralediRiemann-Stieltjes diuna funziones alare rispetto

aduna famiglia spettralelimitata. Sidimostra he, sela funzione s alareè

ontinua, l'integrale esiste ome limite di somme di Riemann-Stieltjes,

no-nostantelafunzione integratri e siaingenerale avariazione nonlimitata, a

variazione fortenon limitata, e soloa variazioneforte quadrati a limitata.

Diversamente, si può ri orrere alla variazione ultradebole di

(E

λ

)

, ossia allavariazionedi

hE

λ

x, y

i

,perottenereunafunzioneintegratri ea variazio-nelimitata, ridu endo l'integraledi partenzaad una famiglia diintegrali di

Riemann-Stieltjesditipos alare. IlteoremadirappresentazionediF.Riesz

sulleformesesquilineari, permette didenire l'integraledipartenza.

Gli integrali spettrali del tipo

RS

R

b

a

λdE

λ

, fornis ono tutti gli operatori autoaggiunti limitati. Quelli deltipo

RS

R

2π

0

e

iλ

dE

λ

quelli unitari.

Per mezzo di una famiglia spettrale asso iata ad un operatore

autoag-giunto,sigeneraunamisuraspettralesu tutto

C

, he oin ide,sugliinsiemi spettrali, on leprojezionifondamentali dell'operatore.

Quanto agli operatori normali limitati, essipossono essere rappresentati

mediante integrazione di Stieltjes su un dominio omplesso (introdotta nel

Capitolo6) rispettoalprodottodiduefamiglie spettrali,oppure,intermini

diintegraleordinario rispettoad unamisuraspettrale.

Siintrodu einnelanozionedimartingalaastrattaediintegraledi

Stiel-tjesdiuna funzionea valori operatori rispetto ad unasiatta martingala.

NelCapitolo9, iimmergiamonell'ambientedell'AnalisiSto asti a. Si

o-min ia olvederel'attesa ondizionata omeuna ertaprojezionenell'

L

1

_(Ω)

,

esi olgonoaltriaspettigeometri ideipro essisto asti iedellemartingale.

È notevole ome una ltrazione su uno spazio di probabilità, generi una

famiglia spettrale in

L

2

_(Ω)

. Si danno teoremi dine essità e su ienza per

la onvergenzadi martingalein

L

p

_(Ω)

.

Sidenis el'integralesto asti odiPaley-Wiener,in uisiintegrauna

fun-ziones alarerispettoadunmotoBrowniano. Simostra hequestointegrale

è l'integrale spettrale forte della funzione s alare rispetto ad un'opportuna

famiglia spettraleasso iataalmoto Browniano.

Un'estensione dell'integrale diPaley-Wiener è l'integrale diIt, in ui le

integrande sono pro essi sto asti i in

L

2

_(Ω)

. In generale, l'H-integrale

sto- asti o estende l'integrale di It a funzioni integratri i he sono martingale

L'integrale di

Riemann-Stieltjes lassi o

1.1 Insiemi orientati e net

Un insieme

X

è orientato sesu esso è denita una relazione

≺

transitiva e ltranteadestra

1

.

Per sezione

S

x

di un insieme orientato

X

si intende l'insieme dei mag-giorantidi

x

. Evidentemente

S

x

⊃ S

y

se

x

≺ y

, e,perogni

x, y

∈ X

, esiste

z

_{∈ X}

, on

S

z

⊂ S

x

∩ S

y

. Sottoin lusione,lesezionidiuninsiemeorientato sonoun insieme parzialmente ordinato .

Una su essione generalizzata, obrevemente net, è unafunzione denita

suuninsiemeorientato, heèopportunosupporreprivodipuntidimassimo.

Questoequivaleal ri hiedere he l'intersezione ditutte lesezionisia vuota.

Se

f : X

→ Y

èunnet, on

Y

spazio topologi o,allora

f (x)

→ y ∈ Y

se ogniintorno di

y

in lude l'immagine per

f

diqual he

S

x

.

Se

X

èorientato, edesiste unasu essione

(x

n

)

⊂ X

tale heperogni

x

esiste un

x

n

tale he

S

x

n

⊂ S

x

,si di e he

X

è abasenumerabile.

Una

(c

n

)

⊂ X

è una su essione onale seperogni

x

∈ X

è

c

n

∈ S

x

de-nitivamente.

L'insieme orientato

X

è a basenumerabile see solo se esistono inesso su - essioni onali.

Se l'insiemeorientato

X

è abasenumerabile,un net su

X

onverge ad

y

se e solose

lim f (c

n

) = y

perognisu essione onale

(c

n

)

.

1

Un net a valori in uno spazio metri o

(Y, d)

è di Cau hy se, quale he sia

ε > 0

,esiste un

x

∈ X

, on

d(x

′

_{, x}

′′

_{) < ε}

,perogni

x

′

_{, x}

′′

_{≻ x}

. Seun net

inuno spazio metri o onverge, èdiCau hy; selospazio è ompleto, è vero

an he il vi eversa.

Per unnet

f

a valorireali,si pone

lim inf f = lim

x

( inf

y∈S

x

f (y)),

lim sup f = lim

x

( sup

_y∈S

_x

f (y)),

valori he possono essere

+

∞

o

−∞

.

UnsiattonetavalorirealièdiCau hyseesolose

lim inf f = lim sup f

, eintal asoquesti limiti oin idono on il limitedi

f

.

1.2 Orientamenti per nezza di partizione su un

intervallo

Unapartizione o de omposizione diun intervallo

[a, b]

è unasequenza nita

[x] = (x

k

; k = 0, . . . , n)

, on

a = x

0

< x

1

< . . . , < x

n

= b

. Indi hiamo on

D

il loroinsieme.

Con nezza della partizione

[x]

,o norma

2

di

[x]

(in ingl. mesh, nel sen-so di ampiezza di una maglia) intendo la massima delle dierenze

x

k

−

x

k−1

; k = 1, . . . , n

. Laindi o on

|[x]|

.

Denis osu

D

unorientamento.

Siano

[x]

e

[y]

∈ D

. Pongo

[x]

≺ [y]

(

[y]

più ne in norma di

[x]

) se

|[y]| ≤ |[x]|

. Talerelazione è riessiva,transitiva,ltrante e

D

è a base nu-merabile. Le relative sezioniformano una atena

3

.

Conpartizione mar ata diunintervallo

[a, b]

intendouna oppia

([x], ξ)

, dove

[x]

∈ D

,e

ξ

(lamar atura)èunafunzione heasso iaadogni

[x

k−1

, x

k

]

unsuoelemento.

Sia

P

latotalità delle divisionimar ate di

[a, b]

. Orientiamo

P

ponendo

P

1

= ([x

(1)

_{, ξ}

(1)

_])

_{≺ P}

2

= ([x

(2)

, ξ

(2)

])

se

[x

(1)

_]

_≺

[x

(2)

]

.

An he le sezionidi

P

sonoordinabili in atena, e

P

è a basenumerabile. 2

Userò inseguito questo termine, pera ordarmi al lassi o arti olo tassonomi o di

Hildebrandt[18℄. 3

Un se ondoorientamento di

D

di uifaremo uso,è quelloper rifrattura-zione, ioè

[y]

èpiùne di

[x]

perrifratturazione,

[x]

≺≺ [y]

,se

[x]

⊂ [y]

,nel senso he ogni

x

j

elemento di

[x]

è elemento di

[y]

. Chiaramente

[x]

≺≺ [y]

impli a

[x]

≺ [y]

.

Così,perl'insieme

P

dellepartizionimar ate,sipone

([x

(1)

_{], ξ}

(1)

₎

_{≺≺ ([x}

(2)

_{], ξ}

(2)

₎

se

[x

(1)

_]

_{≺≺ [x}

(2)

_]

.

1.3 L'integrale di Riemann-Stieltjes lassi o

Denizione 1.3.1 Siano

f

e

g

funzioni denite sull'intervallo non nullo

[a, b]

, e he per il momento supponiamo reali. Ad ogni

P = ([x], ξ)

∈ P

, asso iamo la somma, detta di Riemann-Stieltjes,

RS(P ) =

n

X

k=1

f (ξ

k

) (g(x

k

)

− g(x

k−1

))

dove

a = x

o

< x

1

< . . . < x

n

= b

e

ξ

k

= ξ([x

k−1

, x

k

])

.

L'appli azione

P

7→ RS(P )

è unnet di dominio

P

. Seesso onverge ad unlimite nito, la

f

sidirà integrabilesu

[a, b]

se ondo (Riemann)-Stieltjes rispettoalla

g

, e indi heremo dettolimite on

RS

Z

b

a

f (x)dg(x)

he si hiamerà integrale di Stieltjessu

[a, b]

della

f

, funzione integranda, rispetto alla

g

, funzione determinante, o generatri e, o integratri e.

1.4 Casi diri ondu ibilità all'integrale di Riemann.

Nel asoparti olarein ui

g(x) = x

,siriottieneladenizionediintegrabilità e diintegrale se ondo Riemanndella

f

su

[a, b]

.

4

Più generalmente, valelaseguente:

Proposizione1.4.1 l'integralediRiemann-Stieltjessiri ondu eaquello di

Riemann nel aso in ui

g

sia derivabile, ed

f

e

g

′

R-integrabili su

[a, b]

(e in tal aso lo sarà

f g

′

).

4

Una trattazione di integrale di Riemann ome limite di net si trova in

Dimostrazione

5

Potremoinfattiporre

g(x

k

)

−g(x

k−1

) = g

′

_(η

k

)(x

k

−x

k−1

)

, on

η

k

opportuno valore tra

x

k−1

e

x

k

.

Avremoquindi

|

R

Z

b

a

f g

′

₋

n

X

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

))

| ≤

≤ |

R

Z

b

a

f g

′

₋

n

X

k=1

f (η

k

)g

′

(η

k

)(x

k

− x

k−1

)

|+

+

_|

n

X

k=1

f (η

k

)g

′

(η

k

)(x

k

− x

k−1

)

−

n

X

k=1

f (ξ

k

)g

′

(η

k

)(x

k

− x

k−1

)

|

Il primo addendo, perdenizione stessadi integraledi Riemann,è

maggio-ratoda

ε

2

se

δ > 0

èabbastanza pi olo. Il se ondo,posto

L = sup

|g

′

_(x)

_|

,è maggiorato su essivamenteda

n

X

k=1

|f(η

k

)

− f(ξ

k

)

|L(x

k

− x

k−1

) <

< L

n

X

k=1

(e

′′

_k

_{− e}

′

_k

)(x

k

− x

k−1

) <

ε

2

se la nezza della partizione

δ

è abbastanza pi ola, per la ondizione di integrabilitàdiRiemann relativa ad

f

.

Dunque

RS

Z

_{f dg =}

R

Z

_{f g}

′

per héla

P

n

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

−g(x

k−1

))

onvergesimultaneamenteaentrambi gliintegrali.



1.5 Al une proprietà generali

Bilinearità. L'integralediRiemann-Stieltjesèunafunzione bilinearein

f

e

g

, ioè risulta:

RS

Z

b

a

(

n

X

i=1

a

i

f

i

(x)) d(

m

X

j=1

b

j

g

j

(x)) =

n

X

i=1

m

X

j=1

a

i

b

j

RS

Z

b

a

f

i

(x) dg

j

(x)

qualoratutti gli integralia destra esistano.

5

Proprietà d'intervallo. Se

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esiste, e

a

≤ c < d ≤ b

, allora

RS

R

d

c

f (x) dg(x)

esiste;

RS

Z

c

a

f (x) dg(x) +

RS

Z

b

c

f (x) dg(x) =

RS

Z

b

a

f (x) dg(x).

Inversamente,se

RS

R

c

a

f (x) dg(x)

e

RS

R

b

c

f (x) dg(x)

nesistonoe

c

èunpunto di ontinuitàper

f

oper

g

,allora

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esiste,edhailvaloredella lorosomma.

Integrazioneper parti. Laformuladiintegrazioneperpartisis rive

RS

Z

b

a

f (x) dg(x) +

RS

Z

b

a

g(x) df (x) = [f (x)g(x)]

b

_a

.

(1.1)

Essaèvalida senza ondizionisu

f

e

g

,salvo l'esistenzadiunodeidue inte-grali.

Dimostrazione. Prendiamo ad arbitrio

a

≤ x

0

< x

1

< . . . < x

n

≤ b

e

a = ξ

0

< ξ

1

< . . . < ξ

n

< ξ

n+1

= b

, on

x

k−1

≤ ξ

k

≤ x

k

,

k = 1, . . . , n

. La

([ξ], x)

èuna partizione mar atadi

[a, b]

. Supponiamo he l'integrale

RS

R

b

a

g(x) df (x)

esista. Allorail net

n

X

k=0

g(x

k

)(f (ξ

k+1

)

− f(ξ

k

))

onvergea tale integrale, an he sesi prendesempre

x

0

= a

e

x

n

= b

. Conquestas elta,

ξ

1

, . . . , ξ

n

sonounamar aturaarbitraria di

[x]

. Abbiamo:

n

X

k=0

g(x

k

)(f (ξ

k+1

)

− f(ξ

k

)) +

n

X

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)) =

= f (ξ

n+1

)g(x

n

)

− f(ξ

0

)g(x

0

) = f (b)g(b)

− f(a)g(a).

Fa iamo tendere a

0

la norma di

[x]

. Allora tende a

0

la norma della

[ξ]

, e quindila

P

n

k=0

g(x

k

)(f (ξ

k+1

)

− f(ξ

k

))

tende a

RS

R

b

a

g(x) df (x)

. Allorala

P

n

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

−g(x

k−1

))

halimite

f (b)g(b)

−f(a)g(a)−

RS

R

b

a

g(x) df (x)

, eperl'arbitrarietàdella mar atura

ξ

sulla

[x]

,tale limiteè

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

. S ambiando

f

on

g

,si ompleta ladimostrazione.



1.6 Condizioni di esistenza

Condizione di Cau hy. Dal fatto generale he ondizione ne essaria e

su iente per héun neta valoriinunospazio metri o ompletoabbia

rispetto a

g

esiste see solo se, dato

ε > 0

, esiste

P

∈ P

tale he, quali he siano

P

1

,

P

2

∈ P

, on

P

1

, P

2

≻ P

risulta

|RS(P

1

)

− RS(P

2

)

| < ε

.

Evidentemente, la ondizione non può veri arsise

f

e

g

sono dis onti-nue in uno stesso punto. Pertanto una evidente ondizione ne essaria per

l'esistenzadi

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

è he

f

e

g

nonabbianopuntididis ontinuità omuni.

Nel aso dell'integrazione se ondo Riemann, la

P

k

(e

′′

k

− e

′

k

) ∆x

k

< ε

pressato( ol onsuetosigni atodeisimboli)peruna ertade omposizione

dell'intervallo è ondizionenonsolo ne essaria,masu ienteper l'esistenza

dell'integrale.

Perl'integrabilitàse ondoRiemann-Stieltjes,l'analoga

P

k

(e

′′

k

− e

′

k

)

|∆g

k

| <

ε

( on

∆g

k

= g(x

k

)

− g(x

k−1

)

) è solone essaria. Abbiamo pre isamente: Teorema 1.6.1 Condizione ne essaria, ma nonin generale su iente,

af-n hé

f

sia Riemann-Stieltjes integrabile rispetto a

g

su

[a, b]

, è he il net

P

n

k=1

(e

′′

k

−e

′

k

)

|∆g

k

|

tendaa

0

lungol'insieme orientato

D

dellesuddivisioni di

[a, b]

.

Dimostrazione. Supponiamo he l'integrale

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esista, vale a dire he il net

P

n

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

sia diCau hy. Fissiamo

ε > 0

, e sia

δ > 0

tale he

|

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

−

m

X

j=1

f (ˆ

ξ

j

) ˆ

∆g

j

| < ε,

dove lesomme sono relative a de omposizioni mar ate più niin norma di

δ

. Inparti olare,

|

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

−

n

X

k=1

f (ˆ

ξ

k

)∆g

k

| < ε,

perognis elta delle

ξ

k

e delle

ˆ

ξ

k

,da ui

sup

ξ

k

, ˆ

ξ

k

|

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

−

n

X

k=1

f (ˆ

ξ

k

)∆g

k

| ≤ ε,

ossia

sup

ξ

k

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

− inf

ξ

k

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

≤ ε.

Dalla

e

′

k

≤ f(ξ

k

)

≤ e

′′

k

abbiamo:

e

′

_k

∆g

k

≤ f(ξ

k

)∆g

k

≤ e

′′

k

∆g

k

per

∆g

k

≥ 0,

ossia

e

′

_k

_|∆g

k

| ≤ f(ξ

k

)∆g

k

≤ e

′′

k

|∆g

k

|

per

∆g

k

≥ 0;

e

′′

_k

∆g

k

≤ f(ξ

k

)∆g

k

≤ e

′

k

∆g

k

per

∆g

k

< 0,

ossia

−e

′′

k

|∆g

k

| ≤ f(ξ

k

)∆g

k

≤ −e

′

k

|∆g

k

|

per

∆g

k

< 0.

Pertanto

sup

ξ

k

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

=

X

∆g

k

≥0

e

′′

_k

_|∆g

k

| +

X

∆g

k

<0

−e

′

k

|∆g

k

|

inf

ξ

k

n

X

k=1

f (ξ

k

)∆g

k

=

X

∆g

k

≥0

e

′

_k

|∆g

k

| +

X

∆g

k

<0

−e

′′

k

|∆g

k

|

Sottraendo l'infdalsup, abbiamo

X

∆g

k

≥0

(e

′′

_k

− e

′

k

)

|∆g

k

| +

X

∆g

k

<0

(

−e

′

k

+ e

′′

k

)

|∆g

k

| =

=

n

X

k=1

(e

′′

_k

− e

′

k

)

|∆g

k

|,

quantità minoreo ugualedi

ε

.



Teorema 1.6.2 Sia

g

unafunzioneavariazione limitatasu

[a, b]

,e sia

v(x)

la sua variazione sull'intervallo

[a, x]

.

Condizionesu iente, an hé una data

f

siaRiemann-Stieltjesintegrabile rispetto a

g

su

[a, b]

,è he il net

P

n

k=1

(e

′′

k

− e

′

k

) (v(x

k

)

− v(x

k−1

))

tendaa

0

lungo l'insiemeorientato

D

dellesuddivisionidi

[a, b]

.

Dimostrazione. Mostriamo he, on la suddetta ipotesi, le somme di

Riemann-Stieltjes

RS(P ) =

n

X

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)),

on

P =

{a = x

0

≤ ξ

1

≤ x

1

≤ ξ

2

≤ . . . ≤ ξ

n

≤ x

n

= b

}

partizione mar ata di

[a, b]

,formano unnetdiCau hyrispetto allanezza innorma.

Diamo

ε > 0

,es egliamoun

δ > 0

tale he

P

n

k=1

(e

′′

k

−e

′

k

)(v(x

k

)

−v(x

k−1

)) <

ε

2

per

|P | < δ

.

Consideriamo lasommadiRiemann-Stieltjes

RS(P

α

) =

n

X

k=1

on

|P

α

| < δ

,eduna qualunque

P

γ

ottenuta dalla

P

α

perrifratturazione, la uisommaasso iatapotràdunque s riversi:

RS(P

γ

) =

n

X

k=1

m

k

X

j=1

f (ξ

k,j

) ∆g

k,j

(∆g

k,j

= g(x

k,j

)

− g(x

k,j−1

)).

La(1.2)si puòris riverenelmodo seguente:

n

X

k=1

f (ξ

k

)

m

k

X

j=1

∆g

k,j

.

Risultapertanto:

RS(P

α

)

− RS(P

γ

) =

n

X

k=1

m

k

X

j=1

(f (ξ

k

)

− f(ξ

k,j

))∆g

k,j

.

Perognissato

k

,eperogni

j

,gli

ξ

k

egli

ξ

k,j

sitrovanoentrambinel

k

-esimo intervallo dellasuddivisione

P

α

,equindi

|f(ξ

k

)

− f(ξ

k,j

)

| < e

′′

k

− e

′

k

per ogni

k = 1, . . . , n

,edogni

j = 1, . . . , m

k

. Abbiamo:

|RS(P

α

)

− RS(P

γ

)

| = |

n

X

k=1

m

k

X

j=1

(f (ξ

k

)

− f(ξ

k,j

))∆g

k,j

| ≤

≤

n

X

k=1

m

k

X

j=1

(e

′′

_k

_{− e}

′

_k

)

_|∆g

k,j

| =

n

X

k=1

((e

′′

_k

_{− e}

′

_k

)

m

k

X

j=1

|∆g

k,j

|) ≤

≤

n

X

k=1

(e

′′

_k

− e

′

k

)(v(x

k

)

− v(x

k−1

)) <

ε

2

Siaora

P

β

unase onda suddivisionemar atadinezzainnormaminore di

δ

. Esiste una

P

γ

piùne inrifratturazione siadi

P

α

he di

P

β

,pertanto:

|RS(P

α

)

− RS(P

β

)

| ≤ |RS(P

α

)

− RS(P

γ

)

| + |RS(P

β

)

− RS(P

γ

)

| <

<

ε

2

+

ε

2

= ε



Nota. Il teorema 1.6.1 e il teorema 1.6.2 restano validi, assumendo

ugualea

0

uneventualeprodotto

0

· ∞

,o

∞ · 0

,euguale a

∞ c · ∞

,o

∞ · c

, per

c > 0

.

1.7 L'integrale di Riemann-Stieltjes rispetto a

fun-zioni a variazione limitata

Ad una funzione

g

su

[a, b]

resta asso iata la lassedelle funzioni Riemann-Stieltjesintegrabilirispettoad essa.

Per esempio, se

g(x) = x

, otteniamo la lasse delle funzioni Riemann inte-grabili in

[a, b]

.

Se

g(x) = H

c

(x)

, ioè

g(x) = 0

per

x < c

, e

g(x) = 1

per

x

≥ c

, on

c

internoad

[a, b]

,otteniamo la lassedelle funzioni arbitrariesu

[a, b]

, on la sola ondizionediessere ontinue in

c

.

Più generalmente, se ri hiediamo he l'integrale diRiemann-Stieltjes esista

rispettoad ogni

g

diuna erta lasse, resta determinata la lasse delle fun-zioni

f

integrabili rispettoa ias unadiesse.

Vi eversa,datauna lassedifunzioni

f

,restaasso iatauna lassedi funzio-ni

g

,rispettoalle quali le

f

sonointegrabili.

Peresempio, onsideriamole funzioni ontinue su

[a, b]

. Risulta: Lemma 1.7.1 L'integrale

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esisteperognifunzione

f

onti-nua su

[a, b]

se e solo se la

g

è a variazione limitata.

Infatti, dal teorema 1.6.2 segue he l'integrale

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esiste per qualunque

f

ontinua se

g

è a variazione limitata. Vi eversa, se

g

non è a variazionelimitata,sipuò ostruireunafunzione ontinuarispettoallaquale

l'integralenon esiste.

Valean he un ompletamento dellemma enun iato:

Lemma 1.7.2 Se l'integrale

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esiste per ogni funzione

g

a variazione limitata su

[a, b]

, allora la

f

è ontinua.

Questo segue immediatamente dalfatto he

f

e

g

non possono avere punti omuni didis ontinuità, osì l'integralenon esiste se

f = g

, on

f

dis onti-nua a variazione limitata.

Sipuò on ludere:

Teorema 1.7.1 Ogni funzione ontinua è integrabile rispetto a ogni

fun-zione a variazione limitata. Non esistono funzioni non ontinue integrabili

rispetto adognifunzione a variazione limitata,néesistonofunzioni a

varia-zionenon limitatarispetto allequali ognifunzione ontinua sia integrabile.

Ci hiediamoora: qualisonolefunzioniintegrabilirispettoadunassata

funzionea variazionelimitata

g

? Per rispondere, o orre denire lanozione diinsieme

g

-nullo insenso stretto.

Denizione 1.7.1 Data

g

avariazionelimitatasu

[a, b]

,

A

⊂ [a, b]

è

g

-nullo in senso stretto se esso è ri opribile on niti intervalli

[α

k

, β

k

]

, dove

α

k

e

β

k

sono unestremo di

[a, b]

o puntidi ontinuità per la

g

,e la somma delle variazioni della

g

su tali intervalli è minore di un

ε > 0

pressato.

Ovviamente,uninsieme

g

-nullonon ontiene puntididis ontinuitàdi

g

. Sussiste l'analoga dellanota ondizioneperl'integrale diRiemann:

Teorema 1.7.2 (du Bois-Reymond) Una

f

limitataèintegrabilesu

[a, b]

rispetto a una funzione a variazione limitata

g

se e solo se, dato

α > 0

, è

g

-nullo ins.s. l'insiemedeipunti

x

in uil'os illazionedi

f

èmaggioredi

α

.

Denizione1.7.2 Data

g

avariazionelimitatasu

[a, b]

,

A

⊂ [a, b]

è

g

-nullo insenso esteso se esso è ri opribile on una quantità nita o numerabile di

intervalli

[α

k

, β

k

]

,dove

α

k

e

β

k

sonounestremodi

[a, b]

opuntidi ontinuità per la

g

, e la serie delle variazioni della

g

su tali intervalli è minore di un

ε > 0

pressato.

Comenel asodell'integralediRiemann,la ondizionediduBois-Reymond

èequivalentealla seguente.

Teorema 1.7.3 (Lebesgue-Vitali) Una

f

limitata è integrabile su

[a, b]

rispettoa unafunzioneavariazione limitata

g

see soloseè

g

-nulloinsenso estesol'insieme dei puntiin ui la

f

è dis ontinua.

Possiamo on ludere, almeno nel asodelle funzioniintegratri i avariazione

limitata, onuna ondizionene essariaesu ienteperl'integrabilitàdiuna

f

limitata, he ompleta ilteorema 1.6.2 in1.6.

Teorema 1.7.4 Sia

g

unafunzioneavariazionelimitatasu

[a, b]

,esia

v(x)

la suavariazione sull'intervallo

[a, x]

.

An hél'integrale

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esista, o orre e basta he esista l'inte-grale

RS

R

b

a

f (x) dv(x)

.

Dimostrazione. In eetti, gli insiemi

g

-nulli e

v

-nulli sonoi medesimi, e ilrisultatosegue dalla ondizione diLebesgue-Vitali.



Pertanto,perquantoriguardale ondizionidiesistenzadell'integrale on

integratri eavariazionelimitata,èsu ientestudiareil asoin ui

g

sia mo-notona.

In eetti, molti arti oli sull'argomento trattano solo il aso di integratri e

monotona, aso he solo apparentemente è restrittivo!

Una stimamoltousata èla seguente:

Teorema 1.7.5 Se

f

è limitata, ed integrabile rispetto a

g

a variazione limitata,allora

|

RS

Z

b

a

f (x) dg(x)

| ≤ sup

x∈[a,b]

|f(x)|V

b

a

g.

(1.3)

Dimostrazione. Qualunque sia la suddivisione dell'intervallo

[a, b]

, si veri ano lediseguaglianze:

|

n

X

k=1

f (ξ

k

) (g(x

k

)

− g(x

k−1

))

| ≤

n

X

k=1

|f(ξ

k

)

| |g(x

k

)

− g(x

k−1

)

| ≤

≤ sup

x∈[a,b]

|f(x)|

n

X

k=1

|g(x

k

)

− g(x

k−1

)

| ≤ sup

x∈[a,b]

|f(x)|V

b

a

g,

e lediseguaglianze simantengono onil passaggioal limite.



1.8 Teoremi di onvergenza. Il se ondo teorema di

Helly

Teorema 1.8.1 Sia

(f

n

)

una su essione onvergente uniformemente ad

f

su

[a, b]

, e

g

una funzione a variazione limitata. Se

RS

R

b

a

f

n

(x) dg(x)

esiste perognissato

n

,allora

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

esiste,edèugualea

lim

n

RS

R

b

a

f

n

(x) dg(x)

. Teorema 1.8.2 (Se ondo teorema di Helly) Siano

f

unafunzione

on-tinuasu

[a, b]

e

(Φ

n

)

n∈N

una su essionedi funzioni avariazione totale mi-nore di

C

e

Φ

n

onverga puntualmente a

Φ

su

[a, b]

.

Risulta allora:

Φ

_{∈ BV ([a, b]),}

V

_a

b

Φ

_{≤ C}

(1.4)

lim

n→∞

Z

b

a

f (t)dΦ

n

(t) =

Z

b

a

f (t)dΦ

(1.5)

Dimostrazione Sia

a = x

0

≤ . . . ≤ x

m−1

≤ x

m

= b

una partizione nita dell'intervallo base.

m

X

k=1

| Φ(x

k

)

− Φ(x

k−1

)

|=

m

X

k=1

| lim

n→+∞

Φ

n

(x

k

)

− lim

n→+∞

Φ

n

(x

k−1

)

|

=

m

X

k=1

lim

n→+∞

| Φ

n

(x

k

)

− Φ

n

(x

k−1

)

|≤ C

e iòvale per ognipartizione nita dell'intervallo base, quindila (1.4) è

di-mostrata.

Osserviamo heunafunzione

f

ostanteatrattisu

[a, b]

, ioè

f =

P

n

k=1

c

k

χ

I

k

,

I

k

⊥I

j

per

i

6= j, ∪I

k

= [a, b]

, he non ondivide puntididis ontinuità on

Φ

è Riemann-Stieltjes integrabile rispettoa

Φ

.

Approssimiamo

f

on

f

ε

ostante a tratti, integrabile rispetto ad ogni

Φ

n

e a

Φ

,e tale he

k f − f

ε

k

∞

<

ε

deisalti delle

Φ

n

e di

Φ

sonoun insieme ontabile. In virtù delteorema di Heine-Cantor, esisteun

δ > 0

tale he

| f(x

′

₎

_{− f(x}

′′

₎

_{|< ε}

per

| x

′

_{− x}

′′

_{|< δ}

.

Suddividiamo

[a, b]

onpunti

x

k

distantitraloropermenodi

δ

, henonsiano didis ontinuitàperqual he

Φ

. Gliintervalliindividuatidaquestipuntinon abbiano punti omuni. Nell'intervallo di partizione

I

k

s elgo

ξ

k

interno ad

I

k

,e pongo

f

ε

(x) = f (ξ

k

)

. Dettoquesto, risulta

lim

n→∞

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ

n

(x) =

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ(x)

Integrando perpartie indi ando on

s

k

gli

N

ε

saltidella

f

ε

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ

n

(x) = [f

ε

(x)Φ

n

(x)]

b

a

−

Z

b

a

Φ

n

(x)df

ε

(x) =

f

ε

(b)Φ

n

(b)

− f

ε

(a)Φ

n

(a)

−

P

N

ε

k=1

Φ

n

(s

k

)(f

ε

(s

k

+ 0)

− f

ε

(s

k

− 0))

−→

n

[f

ε

(b)Φ

(

b)

− f

ε

(a)Φ(a)]

−

N

ε

X

k=1

Φ(s

k

)(f

ε

(s

k

+ 0)

−

f

ε

(s

k

− 0)) = [f

ε

(x)Φ(x)]

b

a

−

Z

b

a

Φ(x)df

ε

(x) =

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ(x).

Finalmente,

|

Z

b

a

f (x)dΦ(x)

₋

Z

b

a

f (x)dΦ

n

(x)

|≤|

Z

b

a

f (x)dΦ(x)

₋

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ(x)

| +

|

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ(x)

−

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ

n

(x)

| + |

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ

n

(x)

−

Z

b

a

f (x)dΦ

n

(x)

|

≤

Z

b

a

| f(x) − f

ε

(x)

| dΦ(x)+ |

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ(x)

−

Z

b

a

f

ε

(x)dΦ

n

(x)

| +

Z

b

a

| f

ε

(x)

− f(x) | dΦ

n

(x) <

ε

3C

V

b

a

Φ +

ε

3

+

ε

3C

V

b

a

Φ

n

≤

ε

3

+

ε

3

+

ε

3

= ε



Un'importantemiglioramentodiquestorisultato,ainidellaTeoriadella

Probabilità,è ilseguenteteorema, dovutoa H.E. Bray

6

Teorema 1.8.3 (Teorema di Helly-Bray) Ilse ondoteoremadiHelly

va-le an he nella ondizione più debole he

(g

n

(x))

onverga a

g(x)

su un insiemedi punti densoin

[a, b]

, ed in ludente i punti

a

e

b

.

6

Nell'integrale

RS

Z

b

a

f (x) dg(x)

(1.6)

sia

f

ontinua e

g

avariazionelimitata. Viene naturale di hiedersi, avendo ssato

g

,perqualialtrefunzioni

g

1

avariazionelimitatarisulta

RS

R

b

a

f (x) dg

1

(x) =

RS

R

b

a

f (x) dg(x)

,qualunque sialafunzione ontinua

f

.

Perlalinearitàdell'integralenellase ondavariabile,ladomandaequivale

alla seguente:

qualisonolefunzioni a variazionelimitata

φ(x)

tali he

RS

Z

b

a

f (x) dφ(x)

(1.7)

siannulla pertutte le

f

ontinue?

Eliminiamo subito il problema agli estremi. Sia

f

la ostante 1, allora l'integralein(1.7)vale

φ(b)

−φ(a)

equindi

φ

hain

b

ilvalore heassumein

a

. Quanto aipuntiinternidi

[a, b]

,sia

c

unodiquesti,in ui

φ

sia ontinua. Consideriamo lafunzione

f

n

= 1

in

[a, c]

, nulla in

[c +

1

n

, b]

, e lineare tra e

c +

1

n

. L'integrale (1.7) si s inde allora negli integrali sui segmenti

[a, c]

,

[c, c +

_n

1

]

e

[c +

1

n

, b]

. Il primo integrale vale

φ(c)

− φ(a)

, il terzo è nullo, il se ondo è maggiorato inmodulo dalla variazione totaledi

φ(x)

sul se ondo segmento,variazione hetende azero on

1

n

per hé

φ

è ontinua in

c

. Di onseguenza

0 =

RS

R

b

a

f

n

(x)dφ(x)

→ φ(c) − φ(a)

,ossia

φ(c) = φ(a)

. Riassumendo:

Lemma 1.9.1 Se

RS

R

b

a

f (x) dφ(x) = 0

per ogni

f

ontinua, allora la

φ

è a variazionelimitata, ostantesu

[a, b]

,e ettosuuninsiemealpiùnumerabile di puntiinterni ad

[a, b]

.

Tale ondizione è an he su iente, per hé, essendo

φ

a variazione limitata, essaèdis ontinua inuninsiemenitoonumerabile dipunti,e poi hé

l'inte-grale in (1.7) esiste peripotesi, i punti di de omposizione

x

k

he servono a denirlopossonoesseres elti traipunti di ontinuità, esu essila

φ

assume lostessovalore.

Teorema 1.9.1 L'

RS

R

b

a

f (x)dg

1

(x) =

RS

R

b

a

f (x)dg(x)

per ogni

f

ontinua se e solo se

g

1

dieris e da

g

per una funzione

φ

a variazione limitata, he è ostante su

[a, b]

e etto su uninsieme nitoo numerabile di puntiinterni ad

[a, b]

.

Pertanto, l'integrale(1.6)non sialtera sostituendo a

g(x)

, on

x

∈]a, b[

, il valore

g(x + 0)

oppure

g(x

− 0)

,o lamedia tra i due valori. In generale, sostituendoneipuntiinterni ad

[a, b]

a

g(x)

unvaloretra

g(x

− 0)

e

g(x + 0)

si rende minima la variazione totale di

g

senza alterare l'integrale (1.6). Possiamo quindi onsiderare, ai ni dell'integrazione di funzioni ontinue,

solo le funzioni

g

a variazione limitata tali he

g(x) = g(x + 0)

, per ogni

x

∈]a, b[

. Tali funzioni formano uno spazio vettoriale, he hiamiamo a variazione limitataliftato a destra, e loindi hiamo on

BV

0

[a, b]

.

7

7

Volendo,si può onsiderarelospaziodellefunzioniliftate asinistra(

g(x) = g(x − 0)

per

x

∈]a, b[

).

L'integrale di

Lebesgue-Stieltjes

2.1 Prolungamento astratto di Lebesgue

Il prolungamento di una misura denita su un semianello è il fondamento

della teoria ostruttiva della misura diLebesgue, ed è opportuno darne un

enno.

Sia

H

unsemianello

1

su

X

. Di iamo ellule isuoielementi. Sia

X

stesso lalorounione. Sia

m

unamisurasu

H

,ossiaunafunzionerealepositiva om-pletamente additiva denita su

H

. Sia

P

una pluri ellula, ossiauna unione ontabiledi ellule. Allora

P

puòessereottenuta omeunione ontabile

∪A

j

di elementi disgiunti di

H

. Siponga

µP =

P

mA

j

, he è reale positiva, o eventualmente

+

∞

, e univo amente denita, grazie alla

σ

-additività della misura

m

. Sia

M

la lasse dei sottoinsiemi di

X

tali he, se

E

è uno di essi, allora dato

ε > 0

esistono due pluri ellule

P

,

Q

, tali he

µQ < ε

, e

P

_{\Q ⊂ E ⊂ P}

. Pertali

E

siponga

µE = inf

{µP, P

pluri ellula

, P

⊃ E}

.

La lasse

M

è un

σ

-anello. Di più, se

M

ha unità

X

(questo a adese esolo se

X

stessoè una pluri ellula),allora

M

èuna

σ

-algebra,e

µ

è detta

σ

-nita. Tale misuraè ompleta (ogniinsieme neglegibileè misurabile). Gli elementi di

M

si di ono lebesguiani di

H

. Il prolungamento della misura

m

denita sul semianello

H

deve gran partedella suaimportanza all'essere univalente emassimale,nel senso he segue.

I)Se

S

èuna

σ

-algebrain

X

he ontiene

M

,e

ν

èunamisura

σ

-additiva 1

Una famiglia non vuota

H

di sottoinsiemi di

X

è un semianello su

X

se è hiusa rispettoall'intersezionee,perogni

A

,

B

∈ H

,

A

\ B

èunionedinitielementimutuamente disgiuntidi

H

didominio

S

hesiridu e ad

m

su

H

,allora

ν

ristrettaad

M

è ugualea

µ

. II)Se

S ⊃ M

strettamente,esistonoduemisure

σ

-additivesu

S

,

ν

1

6= ν

2

, he siridu ono a

µ

su

M

.

Se

A

è una famiglia di insiemi, on

σ(

A)

indi hiamo la più pi ola

σ

-algebra he ontiene

A

. Sia

M

la lassedeilebesguianiottenuti ol pro edi-mento di sopradal semianello

H

. Poi hè

M

è una

σ

-algebra, essa ontiene

σ(

_H)

. Così, se

X

è topologi o, e

H

in lude una baseperlatopologia di

X

, allora

M

in lude iboreliani di

X

.

Esempio. Se

X = R

n

,possiamo onsiderare ilsemianello

H

degli inter-vallilimitatidi

R

n

(i artesianin-esimidegliintervallilimitati hiusi,aperti,

semiapertidi

R

). Alloraogniborelianoèunlebesguiano(indipendentemente dallamisura he gli è stataattribuita on il prolungamento).

2.2 Relativa denizione di integrale

Se

F

è una

σ

-algebra disottoinsiemi di

X

, on unità

X

, e

µ

è una misura didominio

F

,latripla

(X,

F, µ)

èdetta spazio mensurale

2

.

Denizione2.2.1 Una

φ : X

→ R

è sempli eintegrabile su

X

seè ombi-nazione lineare di funzioni aratteristi he di insiemidi misura nita.

L'in-tegrale

R

X

φdµ

di una funzionesempli e integrabile

φ = c

1

χ

E

1

+ . . . + c

n

χ

E

n

è per denizione

c

1

µ(E

1

) + . . . + c

n

µ(E

n

)

.

Una proprietà è vera quasi ovunque (q.o.) se l'insieme dei punti, su ui

è falsa, è neglegibile, ioè in luso in un insieme di misura arbitrariamente

pi ola.

Denizione2.2.2 Una

f

è integrabile su

X

seesisteunasu essione

(φ

n

)

di funzioni sempli i integrabili tali he

φ

n

q.o.

→ f

e, dato

ε > 0

esiste un

N

tale he

R

X

|φ

n

− φ

m

|dµ < ε

per

m, n > N

. In tal aso

R

X

φ

n

dµ

onverge in

n

: il limite è detto integraledella

f

, ed è indi ato on

R

X

f dµ

.

2

Il paragrafo 2.1 è una sintesi della trattazione ostruttiva di Kolmogorov [20℄, pp.

260-277, inve e ladenizione diintegrale è ina ordo onquella diN. Dunford e J.T.

2.3 Misure di Lebesgue-Stieltjes su

R

Siano

I

intervallo di

R

, e

g

una funzione monotona non de res ente su

I

. Consideriamo il semianello

H

deisottointervallilimitati di

I

,e poniamo

m([a, b]) = g(b + 0)

_{− g(a − 0)}

m((a, b]) = g(b + 0)

_{− g(a + 0)}

m([a, b)) = g(b

− 0) − g(a − 0)

m((a, b)) = g(b

− 0) − g(a + 0)

Sipuò mostrare he la

m

osìdenita è reale,non negativae

σ

-additiva su

H

, pertanto esiste il prolungamento di Lebesgue astratto della

m

, he vienedetto misura di Lebesgue-Stieltjes su

I

generata da

g

. Inquesto aso, ilebesguiani vengono piùpre isamente hiamati insiemimisurabili se ondo

Lebesgue-Stieltjes.

Come detto sopra, i boreliani di

R

sono misurabili in ias una di tali misure.

Vi eversa, gli insiemi misurabili se ondo Lebesgue-Stieltjes potrebbero

esseremoltopiùnumerosinonsolo deiboreliani,madegli insiemimisurabili

nellamisura lassi adiLebesgue(quella hesiottieneusando omefunzione

generatri e

g(x) = x

). Basta onsiderare infattilafunzione diHeaviside (la funzione aratteristi a di

R

+

). Gliinsiemi misurabili sonotutti i

sottoinsie-mi di

R

. La misura diLebesgue-Stieltjes su uno di essi vale

1

se l'insieme ontiene lo

0

,e

0

altrimenti (misuradiDira ).

2.4 Prolungamento della misura immagine di una

funzione misurabile.

Sia

(S, Σ, µ)

unospazio mensurale,esia

Φ : S

→ R

unafunzionemisurabile. Denoto on

B

l'insieme dei boreliani di

R

. Sullo spazio misurabile

(R,

B)

denis o laseguente misura:

ν(B) = µ(Φ

−1

(B)),

B

_{∈ B.}

Inquesto ontesto,la

ν

èdettamisuraimmaginedi

µ

mediante

Φ

,edenotata omunemente on

µΦ

−1

,o on

µ

Φ

.

Il prolungamento diLebesgue astratto della

µ

Φ

, he denoteremo on

µ

ˆ

Φ

, è

unamisura diLebesgue-Stieltjes.

Se

µ(S) <

∞

,allora la

µ

ˆ

Φ

può essere generata dalla funzione

F

Φ

, denita perogni

x

∈ R

dalla

La

F

Φ

è monotona non de res ente su

R

, ontinua da destra, tendente a

0

per

x

→ −∞

ed a

µ(S)

per

x

→ +∞

.

Variabili aleatorie e funzioni di ripartizione. Una variabile

alea-toria reale sullo spazio di probabilità

(Ω,

F, P )

è una funzione misurabile

X : Ω

→ R

.

Ad essa è asso iata la funzione, detta di distribuzione o di ripartizione,

in-di ata on

F

,o on

F

X

sesi vuole mettereinevidenza lasua ostruzione a partireda

X

,denita dalla

F

X

(x) = P

X

( ]

− ∞, x] ),

dove

P

X

è la misura immagine di

P

mediante

X

. La

F

X

è monotona non de res ente su

R

, ontinua da destra, tendente a

0

per

x

→ −∞

e ad

1

per

x

→ +∞

, e la misura di Lebesgue-Stieltjes su

R

generato da essa è il prolungamento diLebesgue astratto

ˆ

P

X

della misura immagine

P

X

.

2.5 L'integrale di Lebesgue-Stieltjes

Denizione2.5.1 Sia

g

unafunzione monotonanonde res entesul l'inter-vallo

I

,limitato o illimitato,di

R

. L'integraledi Lebesgue-Stieltjes di una

f

rispetto a

g

, e lo indi hiamo on

LS

R

I

f dg

o on

L

R

I

f dµ

, è l'integrale de-nitoin 2.2,dove

µ

è la misura di Lebesgue-Stieltjes generata da

g

.

Denizione2.5.2 Una misura on segno su

(X,

F)

è la dierenza tra due misure di dominio

F

, di ui al più una può assumere il valore

+

∞

.

Denizione2.5.3 L'integrale di Lebesgue-Stieltjes è in generale un

inte-gralerispetto auna misura on segno, data dalla dierenzadi due misure di

Lebesgue-Stieltjes.

Piùpre isamente, se

g

è una funzionelo almente a variazionelimitatasu

I

, essa è dierenzadi due funzioni monotone res enti, di iamole

h

1

e

h

2

. Se una di esse è limitata (e questo a ade si uramente nel aso in ui

I

è un intervallo ompatto), poniamo

LS

R

I

f dg =

LS

R

I

f dh

1

−

LS

R

I

f dh

2

. Generalmente si pone

h

1

= v

+

,

h

2

= v

−

, oppure

h

1

= v

,

h

2

= 2v

−

, dove

v, v

+

_{, v}

−

sonolavariazionetotale,lavariazionepositivaelavariazione

negativadella

g

(a menodi ostantiadditive)

3

.

Teorema 2.5.1 Se

f

è Riemann-Stieltjesintegrabile su

[a, b]

rispetto a una funzione a variazione limitata, allora è Lebesgue-Stieltjes integrabile, e gli

integrali hanno lo stesso valore.

3

Estensioni e varianti della

denizione dell'integrale di

Riemann-Stieltjes

3.1 L'integrale di Pollard-Moore-Stieltjes

Sappiamo hese

f

èRiemann-Stieltjesintegrabilesu

[a, b]

rispettoa

g

,allora

f

e

g

non hanno dis ontinuità omuniin

[a, b]

,e risulta

RS

Z

b

a

f dg =

RS

Z

c

a

f dg +

RS

Z

b

c

f dg

(3.1)

perogni

c

∈ (a, b)

.

Supponiamo ora he in

c

la

f

e la

g

abbiano una dis ontinuità omune, ma he

f

sia Riemann-Stieltjes integrale in

[a, c]

e in

[c, b]

rispetto a

g

. Se osì è,

f

e

g

sonone essariamente dis ontinue in

c

da bande opposte. Pos-siamoalloradenire

R

b

a

f dg

attraverso il se ondomembro della 3.1.

Ilpro edimentoèappli abileal asodinitedis ontinuità omuni

c

1

, . . . , c

n−1

da bande opposte. Posto

c

0

= a, c

n

= b

, se

RS

R

c

k

c

k−1

f dg

esiste per ogni

k = 1, . . . , n

,deniamo

P M S

Z

b

a

f dg =

n

X

k=1

RS

Z

c

k

c

k−1

f dg.

(3.2)

Con

P M S

siabbreviano inomidiPollard, Mooree Stieltjes. Questi autori hanno onsiderato an heil asoin uile omunidis ontinuitàpossonoessere

numerabili, eventualmente dense in

[a, b]

. In generale, il membro destro della (3.2) non resta denito, ma può su edere he, dato

ε > 0

, esistano

a = c

0

< c

1

< . . . < c

n

= b

tali he

n

X

k=1

RS

′′

Z

c

k

c

k−1

f dg

−

n

X

k=1

RS

′

Z

c

k

c

k−1

f dg < ε.

(3.3)

Con

RS

′

R

β

α

f dg

e

RS

′′

R

β

α

f dg

intendointegrali inferiore esuperiorenel senso diDarboux, ossia

RS

′

Z

β

α

f (x)dg(x) = lim inf

P

∈P

n

X

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)) =

= lim

D∈D

n

X

k=1

inf

x

k−1

≤ξ

k

≤x

k

(f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

))),

RS

′′

Z

β

α

f (x)dg(x) = lim sup

P

∈P

n

X

k=1

f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)) =

= lim

D∈D

n

X

k=1

sup

x

k−1

≤ξ

k

≤x

k

(f (ξ

k

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

))).

In tal aso, esiste una su essione

([c

(m)

_])

di partizioni di

[a, b]

, ias una in lusanella su essiva,tale he

lim

m

n

m

X

k=1

RS

′′

Z

c

(m)

k

c

(m)

_k−1

f dg = lim

m

n

m

X

k=1

RS

′

Z

c

(m)

k

c

(m)

_k−1

f dg

(3.4)

hevienedettointegraledi Pollard-Moore-Stieltjes,o

σ

-integrale di

f

rispet-to a

g

.

Vi è una denizione diretta dell'integrale di Pollard-Moore-Stieltjes in

termini dinet. Sibasasul fattoseguente

1

.

Orientiamo l'insieme

P

delle partizioni mar ate di

[a, b]

per rifrattura-zioni.

Teorema 3.1.1 Siano

f

,

g

funzioni reali su

[a, b]

. La

f

è Pol lard-Moore-Stieltjesintegrabile rispetto a

g

se e solo se il net

RS(P ) =

n

X

k=1

f (ξ

_[x

_k−1

, x

k

]

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)),

P = ([x], ξ)

∈ P

onverge lungol'insieme orientato

(

P, ≺≺)

. In tal aso risulta:

P M S

Z

b

a

f (x) dg(x) =

lim

([x], ξ)∈(P, ≺≺)

f (ξ

[x

k−1

, x

k

]

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

))

In generale, se

X

è orientato da due orientamenti

≺

,

<

,allora

<

è più ne di

≺

se

x < y

⇒ x ≺ y

. Segue he se

<

è piùne di

≺

,ed

f (x)

≺

−→ y

, 1

allora

f (x)

<

−→ y

,manonvi eversa ingenerale.

Essendo l'orientamento per rifratturazioni più ne dell'orientamento in

norma,alloraseilnet

RS(P )

onvergeinnorma, onvergeperrifratturazioni, eilimiti sonouguali.

Inaltre parole,

Teorema 3.1.2 Sel'integrale di Riemann-Stieltjes di

f

rispetto a

g

esiste, l'integrale di Pollard-Moore-Stieltjes esisteed è uguale.

Vi eversa:

Teorema 3.1.3 Se l'integrale di Pollard-Moore-Stieltjes di

f

rispetto a

g

esisteed

f

e

g

non ondividonopuntididis ontinuità,l'integraledi Riemann-Stieltjesesisteed è uguale.

3.2 Altri integrali di Riemann-Stieltjes modi ati.

L'integrale diCau hy-Stieltjes. Consideriamol'addendo

f (ξ

k

)(g(x

k

)

−

g(x

k−1

))

dellasommadiRiemann-Stieltjes. Limitando

ξ

k

adessereunpunto estremo dell'intervallo

[x

k−1

, x

k

]

,si pervienead una denizione di integrale deltipodiCau hy, he,nel asoin ui

g(x) = x

,anti ipòquelladiRiemann. Nel asoappunto

g(x) = x

,D.C.Gillespie(1915)mostrò helas eltadisoli puntiestremi perla

ξ

non ampliala lassedelle funzioniintegrabili se ondo Riemann. Questoingeneralenonèveroper l'integralediRiemann-Stieltjes,

tanto hé, piùre entemente, la s eltadi

ξ

alla Cau hyha onsentito aK. Itdidenire ilsuointegralediStieltjesrispettoafunzioni avariazionenon

limitata.

Integrale di Dushnik. Lane essità perlefunzioni

f

e

g

dinonavere omunidi dis ontinuità dallo stesso lato ai nidell'integrazione di

Pollard-Moore-Stieltjesdipendedallapossibilitàdipoterpiazzarelamar atura

ξ

agli estremi degli intervalli. Conseguentemente, B. Dushnik (1931) ha

onside-ratol'insieme

P

0

delle partizionimar ate

([x], ξ)

,dove las eltadeipunti

ξ

k

è ristretta ai punti interni di ias un sottointervallo, ottenendo laseguente

denizionediintegrale modi ato.

Seil net

RS

mod

(P ) =

n

X

k=1

f (ξ

_[x

_k−1

, x

k

]

)(g(x

k

)

− g(x

k−1

)),

P = ([x], ξ)

∈ P

0

onverge lungol'insieme orientato

(

P

0

,

≺≺)

,alloraillimiteèdetto integrale diPollard-Moore-Stieltjesmodi ato,o

σ

-integrale modi ato,di

f

rispetto a

g

,e si denota on

mod σ

R

b

a

f (x) dg(x)

. Abbiamo: