La corrispondenza

e la teoria SYM con gruppo di gauge SU(N) (∀gY M e ∀N);

2. Versione intermedia, che esprime la dualità tra la teoria di stringa IIB debol-mente accoppiata (gs→ 0 e R2

α0 ssato) e la teoria SYM piatta con gruppo di gauge SU(N) (N → ∞ e λ = g2

Y MN ssato);

3. Versione debole, che esprime la dualità tra la teoria di supergravità IIB 

g_s → 0e R2

α0 → ∞ e la teoria SYM piatta con gruppo di gauge SU(N) in regime di accoppiamento forte (N → ∞ e λ → ∞).

La formulazione debole della congettura si rivela essenziale ai ni del calcolo delle ampiezze siche: essa, infatti, collega la teoria conforme fortemente accop-piata alla teoria di stringa nel limite di supergravità. Questo risultato è di cruciale importanza poiché consente di riformulare nel regime perturbativo della teoria di stringa calcoli della teoria SYM conforme altrimenti proibitivi. Il fatto che le due descrizioni debolmente accoppiate non siano duali tra loro rende la congettura dif-cile da dimostrare o confutare; solo il confronto tra le sue predizioni e le evidenze osservative può stabilirne la veridicità.

2.4.1 La corrispondenza

Illustriamo in maniera euristica il ragionamento seguito da Maldacena per stabilire la corrispondenza tra teoria di stringa di tipo IIB e teoria SYM con N = 4. Per procedere in tal senso occorre richiamare il concetto di membrana, già introdotto nella sezione 2.3.2.

un insieme di p-membrane parallele tra loro (con p ≤ d − 1), esse determinano una classicazione delle d coordinate in (p + 1) longitudinali (xµ, µ = 0, 1, ..p)e (d−p−1)trasverse (yi, i = p+1, ..., d−1). Inoltre la distanza r tra due membrane adiacenti è legata alle coordinate trasverse dalla relazione r2 = y_iyⁱ. Nell'ambi-to della teoria delle stringhe di tipo IIB, risultano particolarmente importanti le p-membrane di Dirichlet, comunemente identicate come Dp-membrane; esse co-stituiscono la regione spaziale cui devono appartenere gli estremi delle stringhe aperte della teoria. Questo vincolo geometrico si traduce in condizioni al contorno analitiche sulle coordinate, dette condizioni di Dirichlet [56].

Uno dei due versanti della corrispondenza AdS/CFT si ottiene a partire dalla teoria di stringa IIB denita su uno spazio di Minkowski in dieci dimensioni, di cui nove spaziali ed una temporale, ovvero uno spazio (9 + 1)-dimensionale. Il segno globale di una metrica pseudoeuclidea può essere ssato in maniera arbitraria: nel presente lavoro si sceglie di attribuire autovalore positivo alle dimensioni di tipo tempo ed autovalore negativo a quelle di tipo spazio. Quindi la metrica associata allo spazio di Minkowski (9 + 1)-dimensionale è

η = diag(1, −1, ..., −1), (2.51)

dove il simbolo −1 compare nove volte. Siano assegnate N D3-membrane parallele tra loro, individuate da 3 + 1 coordinate longitudinali xµ (µ = 0, ..., 3) nello spazio-tempo in esame. Nel limite di energie piccole rispetto alla scala di stringa

1 √

α0 (si veda la denizione (2.35)), la teoria descrive le D3-membrane e il bulk come due sistemi disaccoppiati. Per illustrare questo eetto, conviene operare ad energia bassa ma vincolata ad un valore assegnato, condizione esprimibile attraverso il limite introdotto da Maldacena [34]:

α⁰ → 0 con W ≡ ^r

α0 ssato, (2.52)

in cui la stringa viene sottoposta a trazione e mantenuta a massa ssata. Questa operazione di limite non deve alterare i valori dei parametri adimensionali caratte-ristici della congurazione in esame, come la costante di accoppiamento di stringa g_s ed il numero N di membrane D3 [41]. Nel limite (2.52) il sistema subisce un

Figura 2.4: Le due descrizioni della congurazione delle D3-brane: lo spazio-tempo di Minkowski e la geometria con deformazione a gola [58].

disaccoppiamento e diventa descrivibile come accostamento di due teorie indipen-denti: la gravità libera nel bulk e la teoria SYM con N = 4 e gruppo di gauge U (N ) sullo spazio piatto (3 + 1)-dimensionale parallelo alle membrane [57].

D'altra parte, la geometria denita dalle N D3-membrane parallele tra loro è soluzione della teoria di supergravità IIB in 9 + 1 dimensioni ed è esprimibile attraverso il seguente elemento di linea

ds² =  1 + ^L 4 r4 −1 2 dt²− d~x²
−  1 + ^L 4 r4 ¹₂ dr²+ r²dΩ₅
, (2.53)

con L4 ≡ 4πg_sN α⁰² e dΩ5 angolo solido innitesimo in cinque dimensioni. L'e-spressione (2.53) costituisce un'interpolazione tra due geometrie molto diverse tra loro e illustrate in Figura 2.4: lo spazio-tempo di Minkowski e la geometria con deformazione a gola.

Il primo caso corrisponde alla metrica

ds² = dt²− d~x²− dr²− r²dΩ₅, (2.54) facilmente ottenibile da (2.53) nel limite r → ∞ di membrane molto distanti tra loro.

Più interessante è il secondo caso, che corrisponde ad una congurazione in cui le membrane sono molto vicine tra loro e l'energia è ssata ad un valore molto minore della scala di stringa. Queste caratteristiche corrispondono alle condizioni

(2.52) introdotte da Maldacena in [34]. Per identicare la geometria associata a questo limite, conviene valutare l'elemento di linea di partenza (2.53) per r → 0 mantenendo il rapporto W = r

α0 ssato. Poiché L4

r4 = ^4πgsN

W2r2 , (2.55)

nel limite in esame risulta L4

r4  1; pertanto la (2.53) è approssimabile come ds² = ^r

2

L2 dt²− d~x²
− ^L

2

r2dr²− L2dΩ₅. (2.56) Confrontando i primi due termini di questa espressione con la metrica (A.10) descritta in Appendice A, si identica la geometria in esame. L'elemento di linea (2.56) descrive lo spazio prodotto cartesiano AdS5(R) × S5(R) tra una varietà di anti-de Sitter ed una sfera, entrambe 5-dimensionali e con raggio R tale che

R² = α^0p4πg_sN ≡ L² (2.57)

Nel ragionamento descritto si è fatto riferimento a due descrizioni diverse della stessa teoria di stringa IIB:

• una di carattere più generale, basata sulle proprietà delle membrane D3; • l'altra più specica, basata sulla soluzione ds2 corrispondente al regime di

supergravità.

Il limite di Maldacena (2.52) determina un disaccoppiamento della teoria di stringa in entrambe le descrizioni. L'aspetto più interessante è che uno dei due contributi prodotti nel disaccoppiamento, la teoria di supergravità nello spazio piatto, emerge con chiarezza in entrambe le descrizioni. Questo risultato ha suggerito a Maldacena di identicare attraverso una relazione di dualità anche l'altro contributo prodotto nel disaccoppiamento di ciascuna descrizione. Nasce così la congettura che porta il suo nome, secondo la quale la teoria di super-Yang Mills con N = 4 in 3 + 1 dimensioni è duale alla teoria di superstringa di tipo IIB su AdS5× S5.