In questo approccio la rottura della simmetria conforme si ottiene attraverso un campo esterno φ(z), detto dilatone. La metrica di Poincaré (2.49) sullo spazio AdS5 non viene alterata da un valore di cuto zm come nell'espressione (3.7) del modello Hard Wall. Al contrario, si inserisce nell'azione del modello un fattore esponenziale dipendente dal dilatone φ(z):
S = Z
d5xp|g|e−φ(z)L. (3.14)
Il metodo Soft Wall appare più versatile dell'Hard Wall, poiché la funzione φ(z) non è ssata a priori: si richiede solo che essa sia crescente in z, in modo che il fattore e−φ(z) possa costituire il cuto so ce necessario a rompere la simmetria conforme. La scelta del dilatone determina il comportamento della teoria nel regime infrarosso e condiziona le previsioni del modello sugli spettri adronici. Le traiettorie di Regge sono riprodotte se si assume [71]
φ(z) = c2z2, (3.15)
dove c è una scala di massa che rompe l'invarianza conforme. Le considerazioni in merito ai limiti conformi della QCD suggeriscono che c debba essere dell'ordine della scala di energia ΛQCD.
Per illustrare alcune predizioni signi cative del modello Soft Wall, esaminiamo la descrizione che esso fornisce per il fenomeno di rottura della simmetria chirale.
Utilizziamo gli stessi simboli del modello Hard Wall. L'azione del modello Soft Wall di AdS/QCD per la rottura della simmetria chirale è
S = 1 χS Z d5xp|g|e−φ(z) Tr |DX|2− M2 5|X|2− 1 4g2 5 FL2 + FR2 , (3.16) con g determinante della metrica in coordinate di Poincaré (2.47). Il parametro χS
è stato introdotto per rendere l'azione (3.16) adimensionale. Con l'introduzione dei campi assiale e vettore di (3.9) e con l'approssimazione di densità di lagrangiana quadratica nei campi, la (3.16) assume la forma:
S = 1 χS Z d5xp|g|e−φ(z) Tr |DX|2− M2 5|X|2− 1 2g2 5 FV2 + FA2 . (3.17) Lo studio dell'equazione del moto per il campo X fornisce informazioni sul conden-sato chirale, mentre i campi V ed A descrivono stati mesonici con numeri quantici vettoriali ed assiali.
Tabella 3.4: Risultati del modello Soft Wall per i mesoni 1−−. L'esponente ξ è dato da una relazione analoga alla (2.78).
Tipo di soluzione Condizioni al contorno Osservabili
Autofunzione ψρn(z) ψ(0) = 0 Z dz z3−2pe−φ(z)|ψ|2 = 1
comportamento regolare per z → ∞
m2 ρn = 4c2(n + 1) Propagatore bulk-to-boundary KV(x, z) KV(x, z)−−→z→0zξδd(x)
comportamento regolare per z → ∞
m2 ρn = 4c2(n + 1); Fρ2n = 8Rc 4(n + 1) χSg2 5
Mesoni vettori 1
−−nel modello Soft Wall
Figura 3.2: Valori di massa al quadrato per le eccitazioni radiali del mesone ρ in funzione del numero quantico radiale N = k + 1. I punti blu rappresentano i dati sperimentali mentre i simboli X in rosso indicano le predizioni (3.18) per c ≈ 388 MeV . Il punto teorico e quello sperimentale corrispondenti allo stato più leggero ρ(770) coincidono; questa condizione è stata imposta per stimare la scala di massa c che rompe la simmetria conforme.
equazioni del moto, le condizioni al contorno e le osservabili siche degli stati mesonici 1−−. Le masse sono date dagli autovalori
m2ρn = 4c2(n + 1), con n = 0, 1, 2, . . . (3.18) Il modello Soft Wall prevede che lo spettro segua la traiettoria di Regge, caratteriz-zata dalla proporzionalità tra m2
ρn ed n; questo andamento riproduce in maniera soddisfacente i dati sperimentali, come si vede in Figura 3.2 [72]. Per quel che riguarda le costanti di decadimento, il modello fornisce la predizione, per il me-sone ρ(770), di un valore F1/2
ρ0 = 260 MeV, che risulta inferiore rispetto al valore sperimentale 345 ± 8 MeV [70].
Capitolo 4
Mesoni ibridi nel modello Soft Wall
In questo capitolo proponiamo il nostro modello e le previsioni che esso fornisce per lo spettro e le costanti di decadimento dei mesoni ibridi con numeri quantici esotici JP C = 1−+. Il lavoro è stato sviluppato secondo le tecniche di calcolo suggerite dalla corrispondenza AdS/QCD, discussa nel capitolo 3. In particolare, per realizzare la rottura della simmetria conforme, abbiamo scelto l'approccio Soft Wall che ha fornito previsioni consistenti per lo spettro dei mesoni ordinari [71]. Di recente è stato pubblicato un articolo [73] in cui si aronta lo studio dei mesoni ibridi esotici 1−+ secondo l'approccio Hard Wall. Questo lavoro di tesi, quindi, costituisce un'occasione per eettuare un confronto sulle previsioni fornite dalle due procedure di calcolo in merito allo stesso problema.
La rassegna teorica nel capitolo 1 ha mostrato che i modelli eettivi consi-stono nella costruzione di un operatore gauge-invariante, l'operatore interpolante, caratterizzato da opportuni numeri quantici JP C. Nei modelli ologra ci l'opera-tore interpolante viene associato ad un campo duale, descritto da una teoria di supergravità (SUGRA) su uno spazio di anti-de Sitter. Questa teoria può essere trattata analiticamente, poiché l'azione che la de nisce è ssata dal limite SUGRA (2.36) insieme con il valore prescritto per la massa del campo duale (tabella 2.2). La conoscenza dell'azione sullo spazio curvo è l'ingrediente cruciale. Quantità -sicamente rilevanti, come lo spettro e la funzione di correlazione di un operatore della QCD possono essere riformulate nella teoria di supergravità e calcolate con metodi analitici.
Per presentare il nostro modello occorre, prima di tutto, identi care l'operato-re interpolante che descriva un sistema ibrido quark-antiquark-gluone con numeri quantici esotici 1−+. Questo aspetto viene arontato nella prossima sezione. I pa-ragra successivi sono dedicati allo sviluppo del modello e al calcolo delle seguenti quantità:
• Spettro di massa; • Autofunzioni;
• Funzione di correlazione a due punti;
• Poli e residui della funzione di correlazione a due punti.
Il capitolo si conclude con un confronto tra le nostre previsioni sui parametri sici sopra elencati, e quelle formulate mediante altri modelli fenomenologici ed eettivi.
4.1 L'operatore interpolante con J
P C= 1
−+Il mesone esotico ibrido con JP C = 1−+ può essere descritto utilizzando un opera-tore interpolante vettoriale formato dai campi di quark (q), antiquark (q) e gluone (Gµ ν) [73]:
JAµ(x) = q(x)TAGµ ν(x)γνq(x) A = 1, . . . , n2f − 1 (4.1) dove nf è il numero dei avor. Il tensore di intensità del campo gluonico è esprimibile come combinazione lineare dei generatori λa
2 di SU(3)colore: Gµ ν = Gaµ νλa
2 a = 1, . . . , 8 (4.2)
con λa matrici di Gell-Mann [3]. Il simbolo TA nella (4.1) indica i generatori del gruppo SU(nf) di sapore. Nel nostro modello, per semplicità, si assume che i quark abbiano tutti un unico avor: nf = 1 (la generalizzazione a più avor è immediata). In questo caso l'operatore interpolante (4.1) assume la forma:
Questo operatore ha parità P = −1, poiché sotto la trasformazione di inversione spaziale x0 µ = Λµνxν Λµν = diag(1, −1, −1, −1) (4.4) si trasforma come ( J0 0(x0) = J0(x) J0 k(x0) = −Jk(x) k = 1, 2, 3. (4.5) Il simbolo J0 µ (x0)indica la quadri-corrente J0 µ(x0) = q0(x0)G0 µ ν(x0)γνq0(x0), (4.6) in cui tutti i campi costituenti hanno subito la trasformazione di parità. In maniera analoga, si può dimostrare che l'operatore (4.3) ha coniugazione di carica C = +1; esso, infatti, soddisfa la proprietà
(Jµ)C = Jµ, (4.7)
dove l'argomento x è uguale per i due membri dell'uguaglianza. Il simbolo (Jµ)C indica la quadri-corrente coniugata
(Jµ)C = (qi)C(Gaµ ν)C λa ij
2 γν(qj)C. (4.8)
Il solo aspetto non banale di queste prescrizioni riguarda il campo di gauge non abeliano Gµ ν
a . L'espressione che de nisce il suo coniugato di carica è
(Gaµ ν)C = − ˜CabGbµ ν, (4.9) come si può dimostrare seguendo, ad esempio, i lavori di Tyutin e Lokhvitskii [74], e di Smolyakov [75]. ˜C è una matrice de nita dalla relazione
λaT
2 = ˜Cab λb
2 , (4.10)
Dopo aver veri cato che l'operatore (4.3) ha numeri quantici esotici JP C = 1−+, intendiamo darne una descrizione nell'ambito dell'approccio Soft Wall alla teoria AdS/QCD. I paragra successivi sono dedicati interamente a questa analisi, e costituiscono il modello per gli stati ibridi esotici sviluppato in questa tesi.