LA RESISTENZA A TRAZIONE E L’ENERGIA DI FRATTURA

E’ noto che la muratura sia un materiale caratterizzato da una scarsa resistenza a trazione. Per questa ragione, il valore di tale proprietà non viene generalmente determinato, ritenendo molto più interessante il calcolo della resistenza a compressione.

Tuttavia, nell’ambito dell’analisi numerica e, in particolare, utilizzando come legame costitutivo il modello di danno e plasticità isotropo implementato in ABAQUS (v.6.6.1), è molto importante conoscere anche questo aspetto per un corretto inserimento dei parametri in input ed esecuzione dell’analisi.

Al momento della creazione dei quattro modelli con l’intento di simulare il comportamento della prove MS, non risultava alcuno svolgimento di prove a trazione sui provini, né nella direzione perpendicolare ai giunti di malta orizzontali, né in quella parallela. Si è deciso, così, di procedere nuovamente secondo il metodo trial-and-error, per identificare i seguenti parametri:

• la resistenza a trazione della muratura • l’energia di frattura GFI

Come valori di partenza sono stati utilizzati quelli determinati nelle prove a taglio su pannelli dell’ETH, che avevano una caratterizzazione completa del materiale. Il primo tentativo, dunque, viene illustrato in figura 3.

FIGURA 3: DIAGRAMMA TAGLIO-SPOSTAMENTO OTTENUTO CON I VALORI DEI PANNELLI DELL’ETH

I valori utilizzati sono stati 0.28  / , mentre 0.02  / . Come si vede dal diagramma di figura 3, la resistenza a taglio del materiale è di gran lunga superiore a quella reale: viene addirittura superato, inizialmente, il valore di 100 kN. Inoltre si manifesta una rottura ben prima del raggiungimento di uno spostamento prossimo ai 10 mm, accanto all’improvviso crollo di resistenza a taglio

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 120 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Forza (kN) Spostamento (mm)

PROVA MS1 - confronto resistenza a trazione e GFI iniziali e definitivo

tra i 3-4 mm di spostamento. E’ stata così formulata l’ipotesi, per quanto riguarda la resistenza a trazione, che il valore assegnato fosse troppo alto e si è scelto di iniziare l’indagine parametrica valutando il corretto valore della resistenza a trazione: quello corrispondente, per la prova MS1, ad un valore di resistenza a taglio compreso fra 70 e 75 kN (la prova sperimentale riporta come valore massimo 72 kN), sarebbe stato considerato quello corretto.

Il valore finale che maggiormente corrisponde ai requisiti è 0.18  / . E’ importante specificare però, che per valori della resistenza a trazione compresi fra 0.21 e 0.17 N/mm2, il valore della resistenza a taglio è stato fortemente dipendente anche dall’energia di frattura. Infatti, nelle prime prove, mantenendo fisso il valore 0.02  / , nel corso dell’analisi numerica svolta con il valore 0.21  / , è stato raggiunto il valore di taglio richiesto in partenza. Tuttavia, ad uno spostamento pari a -3.5 mm, si è verificato nuovamente un crollo della resistenza, già osservato nel diagramma taglio-spostamento di figura 3 (fig.4).

FIGURA 4: CONFRONTO TRA ENERGIE DI FRATTURA

L’andamento visibile nel diagramma ha indotto ad interrompere l’analisi numerica, in quanto il crollo di resistenza, oltre ad essere di grande entità (20 kN), si è verificato piuttosto precocemente rispetto all’andamento della curva sperimentale, quando invece il valore massimo della resistenza a taglio viene raggiunto a circa 3.5 mm di spostamento (mentre qui, dal lato degli spostamenti positivi, il crollo della resistenza è avvenuto a circa 2.5 mm di spostamento e con un’entità pari a 15 kN).

I tentativi successivi di trovare il giusto equilibrio fra la resistenza a trazione del materiale e l’energia di frattura sono illustrati nelle figure seguenti. Si deve sottolineare che la procedura è stata per modifica alterna dei valori. A partire dal diagramma di figura 4, è stata alzata l’energia di frattura, portandola ad un valore indicativo pari a 0.045  / .

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Forza (kN) Spostamento (mm)

PROVA MS1 - Confronto GFI=0.02 e definitivo

FIGURA 5: PRIMO INCREMENTO DELL'ENERGIA DI FRATTURA A PARITÀ DI RESISTENZA A TRAZIONE

Il risultato, questa volta, mostra che il crollo della resistenza a taglio del materiale avviene per uno spostamento più grande, pari a circa -5 mm dal lato di quelli negativi e di 3.5 mm per quelli positivi. Si ha avuto però un incremento di resistenza a taglio del materiale nelle fasi iniziali, richiedendo così una diminuzione della resistenza a trazione. Il risultato ottenuto inoltre, mostra che il materiale giunge a rottura pochi mm dopo: infatti, a partire da -6 mm di spostamento, la resistenza del materiale inizia a subire un incremento, dopo il raggiungimento di un valore minimo pari a -18 kN, decisamente troppo basso per i valori ottenuti dalla prova sperimentale, che ricordiamo essere di circa 35 kN per la prova MS1.

La successiva modifica è stata di 0.20  / con 0.055  / .

FIGURA 6: DIAGRAMMA TAGLIO-SPOSTAMENTO CON NUOVI VALORI DI ft E GFI -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Forza (kN) Spostamento (mm)

PROVA MS1 - Incremento dell'energia di frattura a parità di ft

GFI 0.045 definitivo -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Forza (kN) Spostamento (mm)

PROVA MS1 - Decremento di resistenza a trazione e aumento GFI

L’analisi precedente mostra già un buon andamento: nonostante i valori di resistenza a taglio raggiunti siano ancora leggermente elevati, la forma del diagramma ricorda già quella definitiva. Fino a questo momento, le analisi era state interrotte prima del loro completamento, dato che mostravano di non giungere allo spostamento massimo richiesto. A partire da questa analisi, invece, si riscontra la necessità di completare l’analisi, per affinare la scelta dei valori.

FIGURA 7: DIAGRAMMA TAGLIO-SPOSTAMENTO CON NUOVI VALORI DI ft E GFI

Il diagramma precedente mostra l’andamento quasi definitivo della curva taglio-spostamento, ottenuto utilizzando i seguenti valori: 0.19  / e 0.08  / . C’è ancora un repentino crollo della resistenza presso i 3-4 mm di spostamento e l’analisi numerica mostra la rottura del materiale un paio di mm prima di quella reale. Nel complesso, tuttavia, si tratta già di una buona approssimazione della curva sperimentale.

Il diagramma taglio-spostamento definitivo, ottenuto con ancora qualche tentativo, è stato il risultato dei valori 0.18  / e 0.085  / .

Dalle variazioni effettuate per determinare i corretti valori della resistenza a trazione e dell’energia di frattura del materiale, si è visto che, almeno per quanto riguarda il provino MS1, la capacità deformativa del materiale è piuttosto alta. Considerate ad esempio le proprietà meccaniche determinate all’ETH per i pannelli sollecitati a taglio, i valori erano, come detto in precedenza, 0.28  / e 0.02  / . In termini di energia richiesta per generare una fessura, si hanno valori molto più alti nel pannello MS1, anziché nei pannelli dell’ETH, a fronte di una resistenza a trazione inferiore. Poiché l’energia di frattura del modo I non è altro che l’area sottesa del diagramma tensioni-deformazioni per il materiale sollecitato a trazione, questo significa che, a parità di resistenza a trazione, il ramo di softening è meno ripido per un’energia di frattura più grande; viceversa la rottura del materiale è più repentina (verso la rottura fragile) quando il valore dell’energia di frattura è minore (fig.8). -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Forza (kN) Spostamento (mm)

PROVA MS1 - Decremento i resistenza a trazione e aumento GFI

FIGURA 8: ENERGIA DI FRATTURA E PENDENZA DEL RAMO DI SOFTENING

E’ bene ricordare, comunque, che nella muratura la componente che consente una maggiore deformabilità è la malta, dal comportamento più duttile rispetto al mattone. Di conseguenza, l’energia di frattura è strettamente legata alle caratteristiche della malta (composizione, proprietà meccaniche) e ad un buon aggrappamento alle unità. Anche l’impiego di laterizio pieno e forato e le dimensioni delle unità influenzano l’energia richiesta per l’apertura di una fessura.