Lagrangiana non lineare per i nucleoni

In analogia a quanto succedeva prima con il tripletto di pioni il doppietto di isospin nucleonico dovrebbe trasformare non linearmente sotto G = SU(2)L ⊗ SU(2)R

ma linearmente sotto l’azione del sottogruppo H = SU(2)V. Nel caso nucleonico

risulta particolarmente utile introdurre la matrice

u =√U = ei~π·~τ /2fπ _{, (3.67)}

avente le seguenti propriet`a di trasformazione sotto l’azione di G (dedotte dalle note propriet`a di trasformazione di U sotto G):

u′ =√LUR†_{≡ Luh}−1_{, (3.68)}

dove abbiamo introdotto la matrice h ≡ h(L, R, ~π) che dipender`a non linearmente dai parametri della trasformazione (e dal campo pionico), in pratica

h = u′†Lu =√LUR†−1_L√_{U , (3.69)}

da cui deduciamo che h `e hermitiana. Si pu`o anche dimostrare che Luh† _{= huR}†_.

Riassumendo le propriet`a di u ed h:

u′ _{= Luh}† _{= huR}† _{, hh}† _{= I}

2×2 . (3.70)

La matrice h `e chiamata il ”campo compensatore”. Nel caso di trasformazioni vettoriali (cio`e di isospin) L = R = V , abbiamo U′ _{= V UV}† _{per cui seguir`a}

che u′ _{= V uV}†_{, e quindi in questo caso il campo compensatore diventer`a ~π-}

indipendente e coincider`a con V .

Per costruire la Lagrangiana con i campi nucleonici conviene introdurre un nuovo campo N = uΨR+ u†ΨL che sotto le trasformazioni chirali trasforma cos`ı

N′ = (huR†) RΨR+ (hu†L†) LΨL = hN , (3.71)

come segue dalle relazioni (3.70). Quindi sotto trasformazioni vettoriali h = V il campo N trasforma come un doppietto di isospin. Sotto trasformazioni assiali h diventa una funzione complessa di θA e π e la trasformazione `e non lineare.

Analogamente a quanto accade per i bosoni di Goldstone si dimostra che tutte le altre possibili rappresentazioni non lineari sono identiche a quella descritta precedentemente modulo una ridefinizione non lineare dei campi.

Note le regole di trasformazione dei campi {U, N} `e possibile costruire la pi`u generale lagrangiana per pioni e nucleoni che sia invariante chirale. In questo caso conviene introdurre alcune quantit`a che trasformano nella seguente maniera O′

i = hOih† e poi scrivere tutte i possibili termini della forma: N O1· · · OnN. La

derivata covariante del campo pionico `e data da: uµ= i  u∂µu†− u†∂µu  = ~τ · ∂µ~π fπ + O ~π 3
_{, (3.72)}

3.4. MODELLO SIGMA NON LINEARE 33 che sotto trasformazioni del gruppo chirale si comporta cos`ı:

u′_µ = huµh† . (3.73)

La derivata del campo nucleonico ∂µN non trasforma in modo “covariante” (∂µN)′ =

h∂µN poich`e il campo compensatore h dipende in generale dai punti dello spazio

tempo. Conviene costruire

DµN ≡ (∂µ+ Γµ) N, con Γµ≡ 1 2 u †_∂ µu + u∂µu†
. (3.74)

In questo caso non `e difficile dimostrare che DµN → (DµN)′ = hDµN.

Nel proseguio della Tesi, identificheremo π(x) con il campo dei pioni e N(x) con il campo dei nucleoni. Per costruire la Lagrangiana serve anche sapere come questi campi si trasformano sotto alcune simmetrie discrete come la parit`a e la coniugazione di carica. Sappiamo che sotto la parit`a [24]

UPN(t, x)UP† = +γ0N(t, −x) , UPπi(t, x)UP† = −πi(t, −x) , (3.75)

dove UP `e l’operatore unitario rappresentazione dell’operatore di parit`a nel nostro

spazio di Hilbert. Sotto coniugazione di carica carica [24]:

UCN(x)U_C† = ηCCN(x)T , C = −iγ0γ2 , CγµC†= −(γµ)T , (3.76)

dove UC `e l’operatore unitario rappresentazione dell’operatore di coniugazione di

carica C nel nostro spazio di Hilbert. Qui sopra ηC `e una fase che sar`a inessenziale

nel seguito, e con AT _{si indica la trasposta di A. Per i mesoni conviene dare le}

trasformazioni per i campi “carichi”

UCπ0(x)U_C†= π0(x) , UCπ+(x)U_C† = π−(x) , UCπ−(x)U_C† = π+(x) , (3.77)

dove π0, π± sono legati a πi, i = 1, 2, 3 come in Eq. (3.17), da cui si deriva:

UC~τ · ~π(x)UC†= +(~τ · ~π(x))T . (3.78)

Usando queste propriet`a non `e difficile dedurre le propriet`a di trasformazione dei bilineari e di Dµ e uµ sotto P e C. In generale

UPN (t, x)Γµ1µ2···N(t, x)U † P = s P Γsµ1sµ2· · · N(t, −x)ΓN(t, −x) , (3.79) UCN(x)ΓN(x)U_C† = sCΓ N (x)ΓN(x) , (3.80)

dove Γ `e una delle matrici che formano l’algebra di Clifford, cio`e I4×4, iγ5, γµ,

γµ_γ

5, σµν mentre sµ = gµµ; sPΓ e sCΓ assumono valori ±1. Inoltre per X = u, D si

ha che

34 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE N N N γ5N NγµN Nγµγ5N NσµνN Dµ uµ χ+ χ− ǫµναβ

sP + – + – + + – + – –

sC _{+ + – + – – + + + +}

h.c. + – + + + – + + + +

Table 3.1: Le propriet`a di trasformazione dei bilineari dei campi fermionici con gli elementi dell’algebra di Clifford e delle grandezze Dµ, uµ e χ± sotto parit`a (P),

coniugazione di carica (C) e coniugazione hermitiana (h.c.).

Altri operatori possono essere costruiti usando il tensore di Levi-Civita ǫµναβ. Le

propriet`a di trasformazione sotto parit`a, coniugazione di carica e coniugazione hermitiana in questo caso sono le seguenti: sotto coniugazione di carica ed her- mitiana il tensore ǫµναβ non cambia, mentre sotto parit`a bisogna considerare che

agisca come uno pseudoscalare. Infatti, i 4 indici del tensore saranno contratti con 4 4-vettori. A causa del fatto che gli indici devono essere tutti diversi, altrimenti ǫµναβ = 0, avremo tre indici di tipo spazio e uno di tipo tempo. Sotto parit`a le

componenti di tipo spazio cambiano segno, quindi il prodotto di ǫµναβvµwνzαyβ

cambier`a in ogni caso di segno. I valori dei “segni” sP

Γ, sCΓ, sPX e sCX per i vari

bilineari, le quantit`a uµ, Dµ, χ±(definite pi`u avanti) e per il tensore di Levi-Civita

sono riportati nella Tabella 3.1.

La pi`<sub>u generale Lagrangiana di pioni e nucleoni invariante sotto P, C, trasfor-</sub> mazioni di Lorentz e chirali al primo ordine nelle derivate `e

Lσ non−lin. = N  iγµDµ− M − gA 2 γ µ_γ 5uµ  N + Lmes. , (3.82)

dove M e gA sono rispettivamente la massa nucleonica e la costante di accoppi-

amento assiale-vettoriale. A differenza del modello sigma lineare qui si pu`o gi`a introdurre un termine di massa.

Discutiamo ora il contenuto fisico della Lagrangiana (3.82). Notiamo che i termini di interazione pione-nucleoni sono due: N iγµ_Γ

µN e Niγµγ5uµN. Svilup-

pando Γµ ed uµ in potenze del campo del pione si trova

Lπ−N = N  − gA 2fπ γµ_γ 5~τ · ∂µ~π  N + O(π2_{) (3.83)}

e quindi ora l’interazione pione-nucleone `e del tipo pseudo-vettoriale (si veda la (3.25). Come sappiamo con questo tipo di interazione si ritrova il potenziale di OPEP (la coda di lungo-range del potenziale NN) e un accordo ragionevole con le lunghezze di scattering π − N. La corrente assiale che si ricava dal teorema di Noether risulta

~

3.4. MODELLO SIGMA NON LINEARE 35 Confrontando con l’Eq. (3.34), possiamo giustificare la scelta fatta di definire U con il fattore 1/fπ e di aver inserito proprio la costante gA a moltiplicare il terzo

termine nella Lagrangiana (3.82). Inoltre confrontando l’Eq. (3.83) con LPV data

in Eq. (3.25) osserviamo che: f m = gA 2fπ = gπ 2M → gA fπ = gπ M, (3.85)

da cui si ricava la relazione di Goldberger–Treiman (3.35)

La simmetria chirale nella (3.1) considerando le masse dei quarks non trascur- abili risulta violata esplicitamente. Infatti il termine di massa Lm = qMq dove

M `e dato in Eq. (3.3) e pu`o essere scritto come:

Lm = qLMqR+ qRMqL . (3.86)

Sotto le trasformazioni (3.8) e (3.9) questo termine trasforma come:

Lm → qLL†MRqR+ qRR†MLqL . (3.87)

Considerando adesso ˜_{M come parametro esterno variabile che trasforma sotto il} gruppo chirale G nel seguente modo:

f

M → fM′ _{= L fMR}†_{, (3.88)}

f

M† → fM′†= L f_M†R†, (3.89)

si ottiene un termine di massa

Lme = qLMqf R+ qRMf†qL

invariante sotto trasformazioni chirali. Al fine di ottenere a livello di campi adronici una densit`a di Lagrangiana invariante sotto G occorrer`a costruire con il campo U e il parametro esterno variabile f<sub>M quantit`a invarianti chirali. All’ordine</sub> pi`u basso nel parametro esterno variabile f_{M le due quantit`a invarianti chirali sono:}

Lef tme = a1· T r h f MU†i+ a2· T r h f M†Ui. (3.90)

Poniamo adesso il parametro esterno uguale alla matrice di massa dei quarks f

M = M. Dalla richiesta di hermitianit`a segue che:a1 = a∗2 = a e a2 = a∗1 = a∗:

Lef tm = aT r

h f

MU†i+ a∗T rh_Mf†Ui (3.91)

mentre dalla richiesta di invarianza sotto parit`a segue che a = a∗_{. Abbiamo quindi}

costruito una Lm (tralasceremo da ora in poi nella notazione l’apice ef t) che viola

la simmetria chirale esplicitamente allo stesso modo in cui il termine di massa nella Lagrangiana fondamentale (3.1) viola la simmetria chirale. Oppure con i

36 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE campi dei nucleoni (`e facile dimostrare che uN trasforma come un 4-spinore left, uN → LuN, mentre u†_{N come un 4-spinore right) l’esatto analogo del termine di}

massa `e:

Lm = N u†Mu†N + N uMuN , (3.92)

infatti sotto trasformazioni chirali

Lm = Nh†(hu†L†)M(Ru†h†)hN + N h†(huR†)M(Luh†)hN,

= Nu†L†_MRu†N + NuR†_{MLuN .} (3.93)

si trasformano cone la 3.87 Le quantit`a χ± gi`a introdotte nella Tavola 3.1 sono

proprio definite in termini di M:

χ± = u†Mu†± uMu , (3.94)

e sotto trasformazioni chirali trasformano come χ±→ h†



u†_M′u†_{± uM}′uh, _M′ = L†_{MR .} (3.95) Queste grandezze possono essere usate per costruire termini nella Lagrangiana che simulano la violazione della simmetria chirale dovuta alla masa dei quarks.