Violazione di parità in sistemi a due nucleoni.

(1)

Chapter 1 Introduzione

L’interazione debole tra i quarks si riflette a livello nucleare in una piccola com-ponente “parity-violating” (PV) nell’interazione tra nucleoni. Questa interazione, può essere messa in evidenza studiando osservabili che sarebbero zero se l’interazione nucleare comprendesse solo l’interazione forte ed elettromagnetica. Tali studi rap-presentano una “finestra” molto particolare per avere nuove informazioni sulle proprietà dei sistemi formati da quarks leggeri e gluoni a bassa energia, cioè in un regime fortememte non-perturbativo.

Effetti di violazione di parit`a sono stati osservati sperimentalmente gi`a nei nu-clei medio-pesanti (come per esempio per il 18_{F ), ma l’interpretazione di questi}

esperimenti è difficile a causa dalla complessità della struttura di questi sistemi [1]. Da alcuni anni gli esperimenti si stanno indirizzando nello studiare effetti di violazione di parità nei nuclei leggeri, dove le tecniche di calcolo della struttura nucleare sono ben più avanzate e più sotto controllo. Attualmente sono in corso vari esperimenti in molti laboratori del mondo, in particolare sfruttando la possi-bilità di avere sorgenti di neutroni di bassa energia molto intense. Da notare che le violazioni di parità nei nuclei leggeri sono dell’ordine di 10−7_{. Gli esperimenti}

attualmente in corso o gi`a effettuati sono: lo studio dell’asimmetria longitudinale nell’urto ~pp, la rotazione di spin di fasci di neutroni polarizzati e l’osservazione di asimmetrie nell’emissione di raggi gamma a seguito della cattura di neutroni polarizzati da idrogeno [1].

Un primo approccio per descrivere l’interazione PV tra nucleoni venne svilup-pato usando modelli di scambio di mesoni, culminati nello studio di Desplanques, Donoghue e Holstein (modello DDH) circa 30 anni fa [2]. Tale modello consiste nel descrivere l’interazione PV attraverso lo scambio di un pione π e mesoni ρ e ω. Nel modello DDH, come vedremo nel Cap. 2, la forza dell’interazione `e caratterizzata da sette costanti di accoppiamento PV mesone-nucleone. La stima teorica di tali costanti conduce ad un intervallo piuttosto ampio di valori possibili, mentre il confronto con i dati sperimentali disponibili (principalmente da esperi-menti su nuclei medio-pesanti) ha mostrato delle possibili inconsistenze di questo modello. In particolare, le analisi degli esperimenti eseguite con questo potenziale

(6)

6 CHAPTER 1. INTRODUZIONE hanno mostrato che sembra non esserci un valore unico delle 7 costanti che possa spiegare tutti i valori delle quantità misurate [1]. Questo problema potrebbe es-sere collegato al fatto che i calcoli eseguiti sui nuclei medio pesanti sono affetti da inevitabili approssimazioni e che quindi i problemi tra teoria ed esperimento potrebbero non essere dovuti all’inadeguatezza del modello DDH. Appunto per questo, negli ultimi anni si stanno progettando nuovi esperimenti dedicati questa volta a studiare gli effetti di violazione di parità nei nuclei leggeri, dove l’analisi teorica può essere fatta senza approssimazioni [3].

Nel frattempo, dal punto di vista teorico si sta cercando di studiare l’interazione PV usando una teoria più moderna e più in contatto con la teoria della Quan-tum Chromodynamics (QCD). Questo approccio è basato sull’uso di una teoria di campo effettivo (effective field theory – EFT), già ampiamente e con successo applicato nello studio dell’interazione forte tra nucleoni (cioè la parte parity con-serving) [4]. L’EFT si differenzia in due versioni a seconda delle scale di energia in gioco:

1) Per energie molto al di sotto della massa pionica, la EFT `e costruita con operatori di contatto tra quattro, sei, ecc. nucleoni. In questa versione della EFT i pioni sono considerati pesanti rispetto alle energie in gioco e non appaiono come un grado di libert`a dinamico esplicito.

2) Per energie maggiori il pione diventa un grado di libert`a dinamico e quindi l’interazione acquista termini aggiuntivi dovuti allo scambio di pioni. I problemi legati alla convergenza dell’espansione sono trattati in maniera sistematica con un’espansione su Q/ΛX (chiral perturbation theory – CPT), dove Q `e la scala di

energia del processo (da pochi MeV fino a circa 100 MeV per un processo tipico di Fisica Nucleare), e ΛX ≈ 1 GeV `e la scala tipica di energia dell’interazione

forte. Il successo di questa teoria `e legato alla propriet`a di (quasi) invarianza della Lagrangiana sotto il gruppo chirale [5]. In questa lavoro di Tesi abbiamo discusso questo secondo modello.

La combinazione di questi metodi di EFT con tecniche computazionali per lo studio dei sistemi a pochi corpi rende possibile il calcolo piuttosto preciso di osservabili in tali sistemi. Per la parte parity-conserving (PC) esiste in letteratura un numero notevole di lavori (si veda per esempio [4]), che si basano per lo più su una sorta di espansione non-relativistica (la “heavy barion chiral perturbation theory”) [6]. Questo metodo è stato applicato al caso PV da Zhu et al. [7], basandosi sul lavoro teorico [8], e sulla “heavy barion chiral perturbation theory”. Un’altra derivazione parziale è stata riportata in [9]. Questo lavoro di Tesi ha lo scopo:

1) di ri-derivare usando direttamente la CPT il potenziale di interazione PV tra due nucleoni, in quanto alcuni risultati dell’articolo di Zhu et al. [7] appaiono dubbi, e non in accordo con i risultati della Ref. [9]

2) di usare il nuovo potenziale per calcolare l’asimmetria longitudinale Az nell’urto

(7)

7 Come vedremo il nuovo potenziale contiene 6 parametri sconosciuti. Il confronto con il set di dati sperimentali gi`a esistente per questa osservabile ha lo scopo di cercare di fissare alcuni di questi parametri.

Il piano di questa Tesi è il seguente. Nel Cap. 2 verrà introdotto il potenziale DDH e si discuterà della misura delle osservabili PV attualmente in corso. Nel Cap. successivo, si introduce il concetto di simmetria chirale prima a livello di quarks e successivamente a livello di nucleoni e si discute l’EFT.

Nel Cap. 4 (5) discuteremo l’EFT pe descrivere l’interazione PC (PV) di un sis-tema composto da nucleoni e pioni. Il termine di interazione PV sar`a costruito in modo che, sotto trasformazioni del gruppo chirale, si comporti come l’interazione debole tra i quarks u e d nel Modello Standard. Il potenziale verr`a quindi derivato usando la “time ordered perturbation theory” nel Cap. 6.

Il calcolo dell’osservabile App

z nell’urto ~p − p verr`a discusso in Cap. 7. A questo

scopo è stato approntato un codice numerico per la soluzione dell’equazione di Schroedinger di due nucleoni interagenti con un potenziale PC più una parte PV. Sviluppando la funzione d’onda in onde parziali, si è tenuto conto dell’accoppiamento tra momenti angolari di diversa parità. Per il potenziale PC abbiamo utilizzato uno dei modelli più realistici disponibili sul mercato (modello di Argonne [10]). Questi potenziali (sia la parte PC che quella PV) contengono operatori dipendenti dallo spin e dal momento relativo delle due particelle, dei quali sono stati calcolati i necessari elementi di matrice in maniera completamente generale. L’osservabile App

z `e ottenuta sommando su tutti i necessari contributi delle onde parziali.

Il potenziale che `e stato derivato contiene 6 costanti sconosciute, mentre sono disponibili solo tre dati sperimentali per l’osservabile App

z , ottenute a diverse

en-ergie. Nella Tesi quindi studieremo le sensitivit`a di App

z alle varie costanti che

parametrizzano il potenziale PV, in attesa che nuove misure di altre osservabili in sistemi con A = 2, 3, 4 permettano la completa determinazione delle 6 costanti, come sar`a discusso nelle Conclusioni. Nella Tesi si user`a un sistema di dimensioni tale che c = ¯h = 1.

(8)

(9)

Chapter 2 Esperimenti sulla violazione di

parit`

a ed il potenziale DDH

In questo Capitolo, descriveremo brevemente il potenziale DDH e poi discuteremo lo status dei recenti esperimenti sulla violazione di parit`a nei nuclei leggeri.

2.1 Il potenziale DDH

Nell’approccio “standard” della Fisica Nucleare, l’interazione tra nucleoni è de-scritta mediante modelli di scambio di mesoni. Anche nel caso dell’interazione di tipo PV, ci si è risolti inizialmente a seguire questo modello. Per esempio, nel modello di scambio di un singolo mesone, l’interazione PV viene descritta tramite un vertice forte PC ed uno debole PV. Si assume che al vertice debole i quarks di un nucleone interagiscano con i quarks di un mesone emesso dall’altro nucle-one tramite l’interazinucle-one debole (cioè con scambio dei bosoni W± _{e Z}0_{). Poichè}

nell’interazione debole ci sono delle componenti che violano la parità P, questo tipo di processo dà luogo ad una interazione PV. Il modello maggiormente usato è quello sviluppato da Desplanques, Donoghue e Holstein (DDH) [2].

Nel potenziale DDH i mesoni che contribuiscono all’interazione sono i mesoni π, ρ, ω (si veda la Figura 2.1). La componente PV dell’interazione nucleare `e quindi scritta eplicitamente come:

VP V = vπ + vρ+ vω (2.1)

(10)

10 CHAPTER 2. ESPERIMENTI E POTENZIALE DDH

Figure 2.1: I tre processi che contribuiscono al potenziale DDH.

con vπ = i h1 πgπ √ 2 (τ1× τ2) 2 (σ1+ σ2) · p1− p2 2M , fπ(r) , (2.2) vρ = −gρ h0_ρτ1· τ2 + h1ρ (τ1+ τ2)_z 2 + h 2 ρ (3τ1zτ2z− τ1· τ2) 2√6 × (σ1− σ2) · p1− p2 2M , fρ(r) + i (1 + κρ) (σ1× σ2) · p1− p2 2M , fρ(r) +gρh1ρ (τ1− τ2)_z 2 (σ1+ σ2) · p1− p2 2M , fρ(r) −igρh1′ρ (τ1× τ2)_z 2 (σ1+ σ2) · p1− p2 2M , fρ(r) , (2.3) vω = −gω h0_ω+ h1_ω(τ1+ τ2)z 2 (σ1− σ2) · p1− p2 2M , fω(r) +i (1 + κω) (σ1× σ2) · p1− p2 2M , fω(r) −gωh1ω (τ1− τ2)_z 2 (σ1+ σ2) · p₁_{− p}₂ 2M , fω(r) , (2.4)

dove r `e la distanza tra le due particelle, M la massa del nucleone, mentre [., .] `e il commutatore e {., .} l’anticommutatore. Inoltre mπ, mρ e mω sono le masse dei

mesoni, mentre fα(r) = 1 4πmαr e−mαr − e−Λαr 1 + Λα 2mα 1 −m 2 α Λ2 α mαr , α = π, ρ, ω .(2.5) I parametri gπ, gρ, κρ, gω, κω e i “cutoff” Λπ, Λρ e Λω sono fissati dai valori

(11)

2.1. IL POTENZIALE DDH 11 g2 α/4π κα 107× h0α 107× h1α 107× h2α Λα (GeV) DDH ”best” π 13.2 4.56 2.4 ρ 0.840 3.7 –11.4 –0.19 –9.5 2.4 ω 20.0 0.0 –1.90 –1.14 2.4 DDH ”adjusted” π 13.2 4.56 1.72 ρ 0.840 6.1 –16.4 –2.77 –13.7 1.31 ω 20.0 0.0 3.23 1.94 1.50

Table 2.1: Valori per le costanti di accoppiamento forti e deboli e dei parametri di cutoff per due versioni potenziale DDH. Nella versione “best” i parametri rappre-sentano i valori consigliati nel lavoro originale [2]. La versione “adjusted” `e stata ottenuta variando alcuni parametri della versione “best” in maniera da riprodurre i dati dell’asimmetria App

z [11].

valori di queste costanti per due versioni del potenziale DDH sono riportati in Tavola 2.1.

Essendo i π i mesoni pi`u leggeri, vπ costituisce la parte a lungo raggio del

potenziale VP V. Si pu`o notare che il potenziale PV `e dipendente dalla carica

dei nucleoni che interagiscono perch´e contiene termini di isospin dipendenti dalla componente z. In particolare il termine i (τ1× τ2)z/2 `e il termine di scambio di

pioni carichi, infatti pu`o essere scritto nella forma:

i τ1× τ2 2 = τ₂+τ₁−_{− τ}₂−τ₁+, (2.6)

dove τ± _{sono gli operatori di salita e discesa dell’isospin τ}± _{= (τ}x_{± iτ}y_{) /2. Il}

termine (2.6) `e non nullo solo nel caso np, di conseguenza solo lo scattering np sar`a sensibile alla componente a lungo raggio vπ.

Il potenziale (2.1) `e parametrizzato in termini di sette costanti incognite:

h1_π, h0,1,2_ρ , h1_ρ′, h0,1_π (2.7)

(dove l’indice 0,1,2 `e legato alla variazione dell’isospin tra lo stato finale e quello iniziale). Stime teoriche [12] fanno ritenere che h1′

ρ sia completamente trascurabile.

Dunque in pratica ci sono sei costanti che devono essere determinate sperimen-talmente: il fine `e riuscire a misurare delle osservabili PV tali che dal fit dei dati sperimentali sia possibile ottenere sei combinazioni lineari delle costanti h.

(12)

12 CHAPTER 2. ESPERIMENTI E POTENZIALE DDH

2.2 Status degli esperimenti

Esistono gi`a diverse misure di osservabili PV in nuclei medio-pesanti. Come gi`a accennato in genere gli effetti PV sono molto piccoli ∼ 10−7_{. In particolari casi,}

specialmente nei nuclei medio-pesanti, ci sono stati eccitati di diversa parità molto vicini tra di loro, che possono incrementare notevolmente l’effetto della compo-nente PV dell’interazione. Le misure più precise sono state ottenute [1] nel corso di vari esperimenti per i nuclei18_F, 19_F, 133_{Cs, e}205_{Tl, nonchè per la spin rotation}

di un fascio di protoni polarizzati che attraversano un gas di4_{He (la spin rotation}

verr`a discussa pi`u avanti). In Figura 2.2 sono stati riportati in maniera grafica i vincoli sui valori di alcune delle costanti di accoppiamento deboli del potenziale DDH ricavate dal confronto con questi dati sperimentali.

Figure 2.2: Diagramma che illustra i vincoli sui valori di alcune delle costanti di accoppiamento deboli del potenziale DDH ricavate dal confronto con dati sper-imentali ottenuti su nuclei medio-pesanti . Qui hnuc

V = h1π − 0.12h1ρ − 0.18h1ω e

hnuc

S = −(h0ρ+ 0.7h0ω). Diagramma preso da [1].

Questi esperimenti sono sensibili [1] in particolare modo alle seguenti com-binazioni di costanti di accoppiamento hnuc

V = h1π − 0.12h1ρ − 0.18h1ω e hnucS =

−(h0

(13)

2.2. STATUS DEGLI ESPERIMENTI 13 per spiegare tutti i 5 esperimenti. I calcoli teorici però non sono facilmenti con-trollabili quando applicati a questi sistemi, e quindi parte del disaccordo potrebbe essere originato da carenze nella trattazione teorica del problema a molti corpi. Per questo motivo, recentemente l’attività sperimentale si è rivolta soprattutto ad eseminare osservabili in sistemi a pochi corpi. Gli esperimenti in corso o in fase di progettazione sono discussi qui di seguito.

2.2.1 Sistema pp

Nel caso di scattering elastico pp la conservazione della carica del sistema vieta lo scambio di pioni carichi, di conseguenza misure di osservabili PV saranno sensibili solo alla parte a corto raggio di VP V e quindi permetteranno di determinare delle

relazioni tra le costanti hi

ρ e hiω . Nello scattering elastico pp l’osservabile di

interesse `e l’asimmetria longitudinale App

z . Consideriamo un protone incidente con

polarizzazione m = ±1/2, avendo definito come asse di quantizzazione la direzione dell’impulso del protone incidente (polarizzazione longitudinale) che incide su di un bersaglio di idrogeno non polarizzato. Nell’esperimento si misura la seguente asimmetria, definita come:

App_z (θ, E) = σ+1/2(θ, E) − σ−1/2(θ, E) σ+1/2(θ, E) + σ−1/2(θ, E)

, (2.8)

dove θ `e l’angolo di scattering, E l’energia del protone incidente nel sistema del laboratorio e σm(θ, E) la relativa sezione d’urto differenziale. In assenza del

poten-ziale PV tale quantit`a risulta nulla. Gli esperimenti volti a misurare l’asimmetria longitudinale App

z si dividono in due tipi a seconda dell’energia delle particelle

incidenti:

-) esperimenti di scattering (basse energie);

-) esperimenti di trasmissione (energie intermedie o alte).

Nel primo caso si rilevano le particelle diffuse in un intervallo angolare [θ1, θ2]

fornendo una misura “media” dell’asimmetria in questo intervallo: App_z (E) = R θ1≤θ≤θ2dˆr A pp z (θ, k)σ(θ, E) R θ1≤θ≤θ2dˆr σ(θ, E) , (2.9) dove σ(θ, E) = 1 2 σ+1/2(θ, E) + σ−1/2(θ, E) , (2.10)

è la sezione d’urto differenziale mediata sugli spin. Negli esperimenti di trasmis-sione la sezione d’urto è calcolata a partire dalla misura della trasmistrasmis-sione del fascio polarizzato incidente attraverso il bersaglio. La sezione d’urto totale si ri-costruisce in pratica dal teorema ottico. Bisogna però tenere conto che per bassi angoli di scattering la sezione d’urto pp è dominata dallo scattering Coulombiano

(14)

14 CHAPTER 2. ESPERIMENTI E POTENZIALE DDH che `e singolare quando l’angolo di scattering tende a zero. Quindi in pratica anche in questo caso si ricava un asimmetria media come in Eq. (2.9).

Gli esperimenti più precisi sono stati effettuati a Bonn (Germania), al PSI di Villigen (Svizzera) e al laboratorio TRIUMF di Vancouver (Canada). Gli esperi-menti a Bonn [13] e al PSI [14] sono di tipo scattering e sono stati effettuati per E = 13.6 MeV e 45 MeV. L’esperimento effettuato al TRIUMF [15] è un esperi-mento di trasmissione nel quale un fascio polarizzato di protoni di 221 MeV è stato fatto passare attraverso 400 mm di un bersaglio di idrogeno. Circa il 4 % del fascio incidente viene diffuso dal bersaglio e camere ioniche riempite di idrogeno poste sopra e sotto il bersaglio misurano il cambio nella trasmissione quando l’elicità dei protoni incidenti passa da positiva a negativa. Le asimmetrie misurate nei tre esperimenti sono

Az(13.6MeV) = (−0.97 ± 0.20) × 10−7 ,

Az(45MeV) = (−1.53 ± 0.21) × 10−7 ,

Az(221MeV) = (+0.84 ± 0.34) × 10−7 .

In Ref. [11], alcune delle costanti di accoppiamento che entrano nel potenziale DDH sono state scelte in maniera da riprodurre questi tre dati sperimentali. La versione del potenziale DDH risultante `e chiamata potenziale DDH “adjusted” (si veda la Tabella 2.1).

2.2.2 Sistema np

Il sistema np `e sensibile anche alla parte a lungo raggio del potenziale VP V e pu`o

quindi dare informazioni sulla costante h1

π. La reazione n + p → d + γ insieme

ad una precisa misura della rotazione della polarizzazione di neutroni freddi in paraidrogeno sono le candidate principali per cercare di fissare il valore di questa costante. Questi esperimenti, tuttora in corso o in fase di progettazione, sono brevemente esposti qui sotto.

L’esperimento NPDGamma. Nell’esperimento NPDGamma, neutroni ultra-freddi (con energie dell’ordine dei meV) e polarizzati trasversalmente sono fatti incidere su di un bersaglio di idrogeno, misurando quindi i raggi gamma prodotti dalla cattura radiativa che produce deuterio. A tali energe, la sezione d’urto per emissione di un raggio γ ad un angolo θ rispetto la direzione del fascio incidente `e data da:

dσ

dΩ ∼ (1 + Aγcosθ) , (2.11)

dove Aγ`e un asimmetria che dovrebbe essere zero in caso di assenza di componenti

PV nell’interazione. L’asimmetria `e stimata essere Aγ = 0.11 · h1π ≈ −5 · 10−8 [16]

ed `e quindi direttamnete legata al parametro h1

π. Un primo esperimento

con-dotto al Los Alamos Neutron Science Centre (LANCSE), chiamato esperimento NPDGamma, ha dato una misura dell’asimmetria compatibile con zero e quindi

(15)

2.2. STATUS DEGLI ESPERIMENTI 15 insufficiente per avere una stima di h1

π [17]. Recentemente l’apparato

sperimen-tale è stato spostato allo Spallation Neutron Source (SNS) situato nel Laboratorio Nazionale di Oak Ridge (USA). In questo laboratorio è infatti possibile avere un fascio di neutroni ultrafreddi con una intensità notevolmente maggiore rispetto al LANCSE. Si spera cos`ı di ottenere una misura di accuratezza di almeno 10−8 _e

poter avere una prima stima di h1

π. I primi dati del nuovo esperimento si

dovreb-bero avere nel corso del 2011.

Neutron spin rotation. Neutroni polarizzati trasversalmente rispetto alla di-rezione del loro moto, attraversando uno spessore di lunghezza z di materiale, possono esibire una rotazione del loro spin indotta dalle interazioni PV adroniche. L’osservabile di interesse `e θP V, l’angolo della rotazione dello spin, dato da θP V =

2πρz(f+ − f−), dove fmn `e l’ampiezza di scattering in avanti per un neutrone a

bassa energia e spin di proiezione mn e ρ `e la densit`a di bersagli nel mezzo [18].

Per effettuare un esperimento di questo tipo sono necessari: una sorgente di neu-troni polarizzati a bassa energia, un bersaglio contenente il materiale di interesse ed un rilevatore di spin posto al di sotto del bersaglio, dal quale ricavare il valore di θP V. Il principale problema in esperimenti di questo tipo `e quello di distinguere

le effettive rotazioni P V (∼ 10−7 _{rad/m) da quelle causate da campi magnetici}

residui presenti all’interno dell’apparato sperimentale. Si noti che la precessione di Larmor PC di un neutrone freddo dovuta al campo magnetico terrestre risulta essere di circa 10 rad/m. Sono quindi necessarie particolari tecniche per eliminare la rotazione dovute al campo magnetico nell’apparato.

Al laboratorio NIST di Gaithersburg (USA) `e attualmente in corso la misura della spin rotation per un fascio di neutroni passanti attraverso 4_{He. Una prima}

misura effettuata negli anni 90 ha dato come risultato θP V = (8 ± 14) × 10−7

rad/m [19]. La misura della spin rotation su di un gas di idrogeno `e al momento allo studio. Una stima teorica basata sul potenziale DDH “adjusted” in questo caso ha predetto il valore θP V = 5 × 10−7 rad/m [20].

2.2.3 Esperimenti per A = 4 e 5.

Abbiamo gi`a accennato all’esperimento in corso al NIST della misura della spin rotation di un fascio di neutroni polarizzati in 4_{He liquido. Un altro esperimento}

in fase di progettazione al SNS `e la misura della asimmetria longitudinale per la reazione ~n +3_{He → p +}3_{H. In questo esperimento il fascio di neutroni ultrafreddi}

polarizzato longitudinalmente verrebbe fermato in un bersaglio spesso riempito di liquido 3_{He, osservando poi il protone di 0.7 MeV emesso ad un angolo θ}

rispetto alla direzione del fascio incidente. Anche in questo caso possiamo definire l’asimmetria:

An_z3He(θ, E) = σ+1/2(θ, E) − σ−1/2(θ, E) σ+1/2(θ, E) + σ−1/2(θ, E)

(16)

16 CHAPTER 2. ESPERIMENTI E POTENZIALE DDH dove σm(θ, E) `e la sezione d’urto di cattura per un neutrone con proiezione di spin

m = ±1/2 (l’asse z `e diretto secondo la direzione del moto). Per E molto basse, la cattura avviene in onda S e l’asimmetria `e data da

An_z3He = azcos θ . (2.13)

Si pensa che l’osservabile An3_He

z sia amplificata dal seguente meccanismo. Il primo

passo della reazione `e la formazione di uno stato eccitato del nucleo4_{He, ~n+}3_{He →}

(4_He)∗_{, di energia circa 20 MeV sopra lo stato fondamentale. In quella regione}

dello spettro esistono due stati eccitati di parit`a opposta, 0+ _{e 0}− _{molto vicini in}

energia. Dalla teoria delle perturbazioni al secondo ordine si pu`o stimare che:

An_z3He _∼ h0+|VP V|0−i 2 E0+ − E₀− , (2.14)

e poichè E0+− E0− è piccolo questa osservabile può essere relativamente grande.

Una prima stima microscopica ottenuta con il potenziale DDH di questa osserv-abile `e riportata in Ref. [21]. Il valore di An3_He

z `e risultato estremamente sensibile

alle costanti h1 π e h0ρ.

(17)

Chapter 3 Simmetria chirale

In questo capitolo verrà introdotto il fondamento della moderna teoria delle forze nucleari, basato su di una teoria di campo “effettiva” costruita in modo tale da risultare (quasi) invariante sotto le trasformazioni del gruppo chirale. In Sezione 3.1 ci occuperemo di introdurre le trasformazioni del gruppo chirale e di mostrare come la Lagrangiana della QCD dei quarks leggeri sia (quasi) invari-ante sotto questo gruppo di trasformazioni. Successivamente discuteremo delle indicazioni sperimentali che inducono a ritenere questa teoria molto importante anche per la fisica degli adroni leggeri (in particolare quelli composti dai quarks u e d). Nelle Sezioni successive introdurremo due modelli di Lagrangiana (modello σ lineare e σ non-lineare), descriventi l’accoppiamento tra nucleoni e pioni. Inoltre vedremo come questi due modelli giustifichino i dati sperimentali discussi nella Sezione 3.2. Infine, in Sezione 3.5 si discuterà dell’idea di Weinberg di costruire l’interazione nucleare dalla Lagrangiana più generale possibile compatibile con la simmetria chirale e di cui la Lagrangiana del modello σ non-lineare non è altri che una prima parte. La costruzione esplicita per la parte “parity-conserving” dell’interazione forte tra nucleoni e pioni sarà discussa nel Cap. 4, mentre per la parte “parity-violating” nel Cap. 5.

In questo lavoro di Tesi, i vettori nello spazio di isospin saranno indicati con la freccetta, mentre i vettori nello spazio ordinario saranno scritti in ”boldface”.

3.1 La simmetria chirale e la Q.C.D.

Consideriamo la Lagrangiana della Q.C.D. nel caso dei due quark di sapore pi`u leggeri u e d [22]: L = q (iγµDµ− M) q − 1 4G a µνGaµν, (3.1) 17

(18)

18 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE con Dµ = ∂µ − igGaµTa ove Ta (a = 1 · · · 8) indicano le matrici di Gell-Mann

(generatori di SU(3) nella rappresentazione di dimensione 3) mentre : q = u d , (3.2)

u e d sono i campi dei quarks (gli indici spinoriali e di colore sono sottointesi). I Ga

µ sono i campi dei gluoni mentre

Ga_µν = ∂µGaν − ∂νGaµ+ igfabcGbµGcν

indica la field strength dei campi dei gluoni, fabc _{sono le costanti di struttura}

del gruppo SU(3) di colore e definiscono il commutatore tra i generatori Ta

dell’algebra di SU(3) [Ta, Tb] = ifabcTc. Infine la matrice di massa dei quarks

nel caso dei 2 sapori pi`u leggeri `e: M = mu 0 0 md . (3.3)

Definiti gli spinori left qL e right qR nel seguente modo:

qR = 1 + γ5 2 q = uR dR , (3.4) qL = 1 − γ 5 2 q = uL dL , (3.5)

la Lagrangiana (3.1) pu`o essere riscritta nel seguente modo: LQCD = qLiγµDµqL+ qRiγµDµqR− qLMqR− qRMqL−

1 4G

a

µνGaµν. (3.6)

Le componenti left e right dei campi dei quarks sono connesse solo attraverso il termine di massa M. Sperimentalmente le masse dei quarks u e d sono :

mu ≃ 1.5 · · · 3.3 MeV, md≃ 3.5 · · · 6.0 MeV, (3.7)

risulta quindi evidente la loro piccolezza rispetto alle tipiche masse adroniche ( ∼ 1GeV ). Il termine di massa dei quarks in prima approssimazione pu`o quindi essere trascurato cosicch`e la Lagrangiana (3.6) risulta essere invariante sotto rotazioni di sapore globali indipendenti per le componenti left e right, del tipo [23]:

qR → q′R= RqR= exp −i~θR· ~τ/2 qR , (3.8) qL → q′L= LqL = exp −i~θL· ~τ/2 qL , (3.9)

dove ~τ denota le matrici di Pauli nello spazio dei sapori e ~θL,R i corrispondenti

(19)

3.1. LA SIMMETRIA CHIRALE E LA Q.C.D. 19 G = SU(2)L⊗SU(2)R. In accordo col teorema di Noether, trascurando il termine

di massa, le correnti associate alle trasformazioni (3.8) e (3.9) sono: Li_µ = q_Lγµ τi 2qL, (3.10) R_µi = q_Rγµ τi 2qR, (3.11) e risultano conservate: ∂µ_Li µ = 0 e ∂µRiµ= 0 .

Alternativamente, sfruttando l’isomorfia tra il gruppo SU(2)L⊗ SU(2)R e il

gruppo SU(2)V ⊗ SU(2)A, le trasformazioni (3.8) e (3.9) possono essere scritte

nella seguente forma:

q → q′ = V q = exp_−i~θV · ~τ/2 q trasformazione vettoriale, (3.12) q → q′ = Aq = exp_−i~θA· ~τ/2γ5 q trasformazione assiale, (3.13) ove ~θR = ~θL ≡ ~θV e ~θR = −~θL ≡ ~θA. Le correnti, conservate nel limite di masse

dei quarks trascurabili rispetto alle energie adroniche in gioco, saranno: V_µi = Ri_µ+ Li_µ = qγµ τi 2q (3.14) Ai_µ = Ri_µ_{− L}i_µ = qγµγ5 τi 2q (3.15)

In realt`a il gruppo di simmetria della Lagrangiana (3.6) nel caso di quarks u e d a massa nulla sarebbe G′ _{= SU(2)}

L⊗ SU(2)R⊗ U(1)V ⊗ U(1)A, dove U(1)V

corrisponde alla conservazione del numero di quarks mentre U(1)A `e rotta dagli

effetti quantistici e pur rappresentando una simmetria della teoria classica non pu`o rappresentare una simmetria della teoria quantistica. Ritornando al gruppo G = SU(2)L ⊗ SU(2)R l’invarianza approssimata di (3.6) non si riflette nello

stato fondamentale fisico; il fenomeno `e chiamato rottura spontanea della simme-tria, ossia lo stato di vuoto non risulta essere invariante sotto le trasformazioni assiali SU(2)A contenute in G. Esistono varie evidenze sperimentali e teoriche

che motivano tale fenomeno. Gli adroni in natura si manifestano in multipletti di SU(2)V quasi degeneri in massa, il che implica la realizzazione di tale

sot-togruppo alla Wigner Weyl (col vuoto invariante sotto trasformazioni di SU(2)V).

Se gli adroni in natura si manifestassero come multipletti dell’intero gruppo chi-rale G = SU(2)L ⊗ SU(2)R si osserverebbero multipletti contenenti particelle

con parità opposta. Tuttavia nessun doppietto di parità è osservato nello spettro adronico di bassa energia.

Inoltre, dal teorema di Goldstone, in presenza di rottura spontanea della sim-metria una delle conseguenze `e l’esistenza di particelle a massa nulla detti bosoni

(20)

20 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE di Nambu-Goldstone. Quindi l’esistenza di particelle mesoniche molto leggere (i pioni sono naturali candidati per rivestire tale ruolo) costituisce un altro forte ar-gomento a sostegno della presenza di rottura spontanea di simmetria. All’interno di tale schema la massa non nulla dei pioni trova giustificazione nel fatto che il fenomeno di rottura spontanea `e approssimato non essendo nulle le masse dei quarks considerati. Questi e ulteriori argomenti inducono a pensare che il gruppo chirale G = SU(2)L⊗ SU(2)R sia spontaneamente rotto al sottogruppo SU(2)V.

3.2 Evidenze sperimentali

Abbiamo visto nel paragrafo precedente che la Lagrangiana che governa le inter-azioni forti tra quarks u e d, nel limite di massa dei quarks nulla, è invariante sotto le trasformazioni del gruppo chirale. Si può quindi presumere che questa simme-tria giochi un ruolo importante nella dinamica di nucleoni e pioni. Lo studio di questi sistemi a partire dall’interazione fondamentale tra i quarks è ancora molto complicato. D’altra parte in molti processi di Fisica Nucleare (reazioni di interesse astrofisico e molte delle reazioni che si possono studiare in laboratorio) si è interes-sati a studiare processi di bassa energia. Può essere quindi conveniente dal punto di vista operativo fare una teoria “efficace” (non fondamentale) ed assumere che nucleoni e pioni siano campi “elementari”. La validità di questa trattazione sarà limitata appunto a processi in cui le energie in gioco non consentano l’eccitazione delle nostre particelle elementari, come per esempio l’eccitazione di un pione in una particella ρ, o di un nucleone in una particella ∆. Si può quindi assumere che la nostra teoria efficace valga fino ad energie di qualche centinaio di MeV, ben al di sopra delle tipiche energie di processi nucleari come i decadimenti beta dei nuclei, le reazioni di nucleosintesi delle stelle, ecc. A questo punto sorge il problema della costruzione della Lagrangiana effettiva in termini dei campi dei nucleoni e pioni. Per questo compito ci faremo guidare da principi di simmetria, in particolare dalle condizioni imposte dalla simmetria chirale. Prima però es-porremo alcuni fatti sperimentali che mostreranno come questa simmetria giochi un ruolo molto importante nella Fisica di bassa energia dei nucleoni e pioni.

Nel seguito Ψt(x) indicher`a il campo del nucleone di tipo t (con la convenzione

che t = +1/2 indicherà il protone e t = −1/2 indicherà il neutrone). Frequente-mente si userà anche la notazione Ψ₊1

2(x) ≡ Ψp(x) per il campo del protone e

Ψ₋1

2(x) ≡ Ψn(x) per il campo del neutrone. Si utilizzer`a in seguito anche la

notazione “matriciale”, Ψ(x) = Ψp(x) Ψn(x) . (3.16)

(21)

rispetti-3.2. EVIDENZE SPERIMENTALI 21 vamente. Conviene usare le componenti “cartesiane” di tali campi, cio`e

φ1(x) = φ(+)_{(x) + φ}(−)_(x) √ 2 , φ2(x) = i φ(+)_{(x) − φ}(−)_(x) √ 2 , φ3(x) = φ (0)_{(x) .} (3.17) Poich`e [φ(+)_(x)]† _{= φ}(−)_{(x), i campi φ}

i(x), i = 1, 2, 3, sono campi hermitiani.

Il vantaggio di usare questi campi `e dovuto al fatto che sotto trasformazioni di isospin i φi(x) trasformano come un vettore di isospin. Spesso si user`a quindi

anche la notazione ~φ(x) per indicare i tre campi del pione.

3.2.1 Lunghezza di scattering nucleone-pione

Il termine più semplice che descrive l’interazione forte pione-nucleone è il seguente [24] (accoppiamento pseudo-scalare): LP S = −gπΨ(x)γ5~τ · ~φ(x)Ψ(x) , (3.18) o più esplicitamente LP S = −gπ X a,t′_,t Ψt′(x)γ5(τ_a)_t′_,tφ_a(x)Ψ_t(x) . (3.19)

Il termine LP S ha le giuste propriet`a di trasformazione sotto Lorentz, ed `e

invari-ante sotto parit`a, coniugazione di carica e sotto trasformazioni di isospin [24]. La costante gπ `e una costante adimensionale. Da questo termine deriva il potenziale

di scambio di un pione (OPEP), vOP EP(r) = g2 π 12π m2 4M2~τ1· ~τ2 σ1· σ2+ S12 1 + 3 mr + 3 (mr)2 e−mr r , (3.20) (per come si deriva un potenziale dai “vertici” della Lagrangiana, si veda il Cap. 6). Dai numerosi ed accurati dati sperimentali di urto NN (in particolare dall’analisi degli sfasamenti “periferici”) sappiamo che vOP EP `e il termine pi`u a lungo raggio

dell’interazione NN. Da un fit accurato dei dati sperimentali si `e potuto anche ricavare il valore della costante gπ con il risultato (gπ)2/4π ≈ 13.5 [25], e quindi

gπ ≈ 13.0.

Il termine di interazione pione-nucleone LP S descrive anche l’urto π − N. A

bassissime energie la sezione d’urto del processo

nucleone di tipo t+pione di tipo i → nucleone di tipo t′+pione di tipo i′ , (3.21) viene parametrizzata come [26]

σ = 4π|a+_δ

(22)

22 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE dove a+_{and a}−_{sono conosciute come le lunghezze di scattering “pari” e “dispari”,}

rispettivamente. Sperimentalmente [26]

a− _{= (0.097 ± .007)m}−1 a+_{= (−0.015 ± .015)m}−1 , (3.23) M indica la massa del nucleone e m indica la massa del pione. Usando la La-grangiana (3.18), un calcolo al secondo ordine porta al seguente risultato

a− = g 2 π 4π m2 2M2 1 m ≈ 0.14 1 m , a + = −g 2 π 4π m M 1 m ≈ −2 1 m . (3.24)

Come si vede a−_{`e dell’ordine di grandezza corretto, mentre a}+_{`e circa 200 volte pi`}_u

grande del valore sperimentale. Calcoli agli ordini successivi peggiorano notevol-mente questa situazione [26]. Due modi possibili per risolvere questo problema sono:

1. la presenza di ulteriori termini nella Lagrangiana che cancellano il contributo di LP S in a+ senza far cambiare il risultato di a−;

2. la sostituzione del termine LP S nella Lagrangiana, con un accoppiamento di

tipo “4-gradiente”.

Discutiamo brevemente questa seconda possibilit`a. In particolare si propone di sostituire l’accoppiamento pseudo-scalare descritto dalla LP S con il seguente

(accoppiamento pione-nucleone pseudo-vettoriale) LP V = −

f

mΨ(x)γ

5_γµ

~τ · ∂µφ(x)Ψ(x) .~ (3.25)

Anche un termine di interazione π − N di questo tipo d`a luogo al potenziale di OPEP come in Eq. (3.20), assumendo f = (m/2M)gπ e quindi f2/4π ≈ 0.075 (da

notare che la costante di accoppiamento f `e molto pi`u piccola di gπ). Inoltre con

LP V per l’urto π − N si trova al secondo ordine che

a−_{= −}g 2 π 4π m4 8M4 1 m ≈ −0.001 1 m , a + ₌ gπ2 4π m3 4M3 1 m ≈ 0.01 1 m , (3.26)

tutte e due molto piccole e in accordo ragionevole con i dati sperimentali. Questo risultato segue essenzialmente dal fatto che la presenza del termine ∂µφi(x) in

LP V `e proporzionale al 4-impulso del pione. Quindi per impulsi del pione che

vanno a zero, il termine ∂µφi(x) contribuisce solo con la componente temporale

(proporzionale ad m). Questo fatto unito all’assunzione che f = (m/2M)gπ porta

il fattore aggiuntivo (m/M)2 _{in Eq. (3.26).}

Come vedremo ambedue queste possibilit`a sono giustificate assumendo che la Lagrangiana di pioni e nucleoni sia invariante sotto trasformazioni chirali. La simmetria chirale gioca quindi un ruolo molto importante nell’interazione forte tra

(23)

3.2. EVIDENZE SPERIMENTALI 23 pioni e nucleoni e in generale per tutta la Fisica Nucleare. L’interazione pione-nucleone `e soppressa per piccoli impulsi (come si vede dal fatto che le lunghezze di scattering sono piccole rispetto alla loro scala “naturale” ∼ 1/m). Questo fa s`ı che l’interazione NN, mediata principalmente dai pioni, sia pi`u debole e che quindi le energie di legame dei nuclei (per nucleone) siano dell’ordine di qualche MeV.

3.2.2 Decadimenti deboli di neutrone e pione e la relazione

di Goldberger-Treiman

A livello adronico i decadimenti di neutrone e pione sono presi in considerazione aggiungendo alla densit`a di Lagrangiana l’interazione debole, che per basse energie (la parte derivante dallo scambio di W±_{) pu`o essere efficacemente parametrizzata}

con un’interazione di tipo “corrente-corrente” [26] Lweak(x) = − GF √ 2 h J_µ(W )(x)i†J(W )µ(x) , (3.27)

con la corrente che viene scritta come

J_µ(W )(x) = J_µ(l)(x) + J_µ(h)(x) , (3.28) dove Jµ(l)(x) (Jµ(h)(x)) rappresenta la parte leptonica (adronica). La costante GF ≈

1.15 10−5 _GeV−2 _{`e la costante di Fermi, il cui valore `e stato derivato dallo studio}

dei decadimenti beta super-permessi [27]. La corrente leptonica `e ben conosciuta: J_µ(l)(x) =X

ℓ

Ψνℓ(x)γµ(1 − γ

5_)Ψ

ℓ(x) , (3.29)

dove ℓ corre sui differenti tipi di famiglie di leptoni (elettroni, muoni e leptoni τ ), mentre Ψℓ(x) e Ψνℓ(x) sono i campi del leptone di tipo ℓ e del neutrino della

famiglia corrispondente, rispettivamente. La corrente adronica è invece molto complicata dal fatto che gli adroni sono sistemi composti da quarks. Dopo molti studi si è visto che Jµ(h)(x) può essere scritta come [27, 26]

J_µ(h)(x) = Vµ(x) − Aµ(x) , (3.30)

separata in una parte “vettoriale” ed in una parte “assiale”. Pi`u precisamente sotto parit`a Vµ(x) si comporta come un 4-vettore mentre Aµ(x) come uno

pseudo-4-vettore.

La parte vettoriale `e in stretta relazione con la corrente adronica elettromag-netica, infatti in prima approssimazione

J_e.m.µ _{(x) ∼ Ψ(x)γ}µ1 + τz

2 Ψ(x) , V

µ

(24)

24 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE Infatti Je.m.

µ (x) rappresenta la corrente di una particella di spin 12 e l’operatore

(1 + τz)/2 proietta Ψ(x) su Ψp(x). Nella corrente debole l’operatore τ+ porta a

Vµ(x) ∼ Ψp(x)γµΨn(x) che quindi descrive la trasformazione di un neutrone in un

protone. Con l’ulteriore distinzione della corrente elettromagnetica in una parte isoscalare (IS) e isovettoriale (IV)

J_µe.m.(x) = 1 2 J IS µ (x) + JµIV(x) , J_µIS_{(x) ∼ Ψ(x)γ}µΨ(x) , JµIV(x) ∼ Ψ(x)γµτzΨ(x) , (3.32)

e poich`e τ+ = τx+ iτy, notiamo che JµIV(x) e Vµ(x) sono combinazioni lineari delle

componenti della seguente “corrente di isospin”, ~

Jµ(x) = Ψ(x)γµ~τΨ(x) . (3.33)

Tenuto conto che la simmetria di isospin `e quasi esatta in Fisica Nucleare, si assume di solito che la corrente ~Jµ(x) sia conservata (Vector Current Conservation

– CVC) e che Vµ(x) si possa ricavare dalla JµIV(x) in maniera formale da una

rotazione nello spazio dell’isospin [26]. Poich`e Je.m.

µ (x) `e ben conosciuta per via dei

moltissimi esperimenti effettuati sui nucleoni e pioni con sonde elettromagnetiche (si veda per esempio la Ref. [26]), la corrente Vµ(x) viene appunto determinata

dalla parte JIV

µ (x) come detto sopra, con una rotazione nello spazio dell’isospin.

La parte assiale della corrente debole invece non `e cos`ı ben conosciuta e quindi si fa ricorso ai dati sperimentali. In pratica in prima approssimazione possiamo assumere

Aµ(x) = gAΨ(x)γµγ5τ+Ψ(x) + fπ∂µφ(+)(x) + · · · , (3.34)

dove gA, fπ sono costanti da fissare con dati sperimentali, mentre i puntini “· · · ”

stanno ad indicare che ci possono essere (molti) altri termini nell’espressione di Aµ(x). La costante gA viene fissata per riprodurre il dato sperimentale della vita

media del neutrone, in particolare gA= 1.267 ±0.01 [24]. Il termine proporzionale

a ∂µφ(x) descrive il decadimento dei pioni carichi in muoni. Il valore di fπ `e cos`ı

fissato dalla vita media dei pioni carichi, e si trova fπ ≈ 92.4 MeV [24]. Questa

costante `e conosciuta come la “costante di decadimento del pione”.

Infine, come osservato da Goldberger e Treiman [28], sembra esistere una re-lazione tra i valori delle costanti gπ, gA, fπ e della massa del nucleone, in pratica

si pu`o verificare che

fπ

gA ≈

M gπ

, (3.35)

`e verificata al 2%. Questa relazione mette in contatto costanti che entrano nell’interazione forte (M e gπ) con costanti derivate dall’interazione debole (fπ e

gA) ed `e a prima vista abbastanza difficile da spiegare. Come vedremo in seguito

questa relazione `e una manifestazione della simmetria chirale nella Lagrangiana degli adroni.

(25)

3.2. EVIDENZE SPERIMENTALI 25

3.2.3 La PCAC

Nel decadimento del pione π+ _{→ µ}+_{+ ν}

µ si deve calcolare il seguente elemento di

matrice

h0|Aµ(x)|π+; ki , (3.36)

dove |π+_{; ki `e lo stato di un pione con 4-impulso k}µ_{. L’elemento di matrice (3.36) `e}

un 4-vettore di Lorentz e deve essere proporzionale a kµ_{, essendo l’unico 4-vettore}

a disposizione. Quindi essendo tale elemento di matrice anche invariante sotto traslazioni si avr`a:

h0|Aµ(x)|π+; ki = ikµfπ(k2)e−ik·x , (3.37)

dove fπ(k2) esprime una possibile generica dipendenza da k2 = kµkµ (detto anche

fattore di forma del pione). Per pioni liberi (”on-mass-shell”) k2 _{= m}2_.

Con-frontando con l’Eq. (3.34), si pu`o vedere che fπ(m2) ≡ fπ, la costante di

decadi-mento del pione. Dalla definizione (3.37) si pu`o dedurre che h0|∂µ_A

µ(x)|π+; ki = m2fπe−ik·x , (3.38)

Se la massa del pione fosse zero, ∂µ_A

µ(x) = 0 e la corrente assiale sarebbe

con-servata. In generale si ipotizza che

∂µAµ(x) = m2fπφ(+)(x) , (3.39)

conosciuta come ipotesi di “parziale conservazione della corrente assiale” (PCAC) [23]. Negli anni 60 lo studio di processi con pioni di bassa energia, portarono alla “scop-erta” di uguaglianze che mettevano in relazione la probabilità di emissione di n+1 pioni “soffici” (cioè di bassa energia), con la probabilità di emissione di n tali pi-oni. Queste identità erano conosciute come i “soft pion theorems”. Questi teoremi si possono ricavare assumendo valida la relazione (3.39) [23]. Anche la relazione di PCAC è strettamente legata alla simmetria chirale nelle Lagrangiana adronica.

3.2.4 Lunghezza di scattering pione-pione

Infine, recentemente c’`e stato un notevole sforzo per riuscire a misurare la lunghezza di scattering pione-pione. Gli ultimi risultati sono stati forniti dagli esperimenti E865 di Brookhaven [29] e NA48 del CERN [30], che combinati con altri esperi-menti hanno fornito il risultato aππ = 0.217 ± 0.01 m−1. L’importanza di questo

dato sperimentale è legato al fatto che la stima teorica basata sulle Lagrangiana chirale può essere effettuata senza parametri liberi. Quindi il paragone tra questo dato sperimentale e la stima teorica sarà un test veramente importante della teo-ria.

(26)

26 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE

3.3 Modello sigma lineare

Consideriamo ora un semplice modello che descrive l’accoppiamento tra pioni e nucleoni che rispetta la simmetria chirale [23]. Questo modello `e stato introdotto da Weinberg negli anni 60 e considera anche un altro tipo di mesone, chiamato mesone σ. Infatti dai dati sperimentali di urto (si veda per esempio [31]) si vede che attorno alla massa invariante di mσ ≈ 500 Mev si osserva una larga risonanza,

che pu`o essere interpretata come prova dell’esistenza di un mesone di spin 0 e parit`a positiva (chiamato appunto mesone σ). Lo scambio di questo mesone σ tra due nucleoni sarebbe il responsabile della parte attrattiva di medio-range della forza nucleare.

Consideriamo quindi l’interazione tra nucleoni, pioni e mesoni σ e cerchiamo di descriverla con una Lagrangiana invariante sotto trasformazioni chirali. Sup-poniamo che il campo del nucleone (3.16) trasformi sotto il gruppo G in modo analogo alle trasformazioni del campo q dei quarks. Considerando quindi le componenti left e right definite in analogia alle Eq. (3.8) e (3.9), l’epressione infinitesima delle trasformazioni del campo del nucleone sotto il gruppo chirale G = SU(2)L⊗ SU(2)R sar`a:

Ψ′_L _{= (1 − i~ǫ}L· ~τ/2)ΨL ,

Ψ′_R _{= (1 − i~ǫ}R· ~τ/2)ΨA , (3.40)

Alternativamente possiamo considerare il gruppo G = SU(2)V ⊗ SU(2)A

(ricor-diamo che le trasformazioni vettoriali sono le trasformazioni per cui ~ǫL= ~ǫR≡ ~ǫV,

mentre le trasformazioni assiali sono quelle per cui ~ǫL= −~ǫR ≡ ~ǫA). Come per il

caso dei quark l’epressione infinitesima delle trasformazioni vettoriali ed assiali `e: Ψ′ _{= (1 − i~ǫ}

V · ~τ/2)Ψ vettoriali , (3.41)

Ψ′ _{= (1 − i~ǫ}A· ~τ/2)γ5Ψ , assiali . (3.42)

Evidentemente il termine di massa ΨΨ viola la simmetria chirale e dovr`a essere omesso. Il termine cinetico fermionico iΨγµ_∂

µΨ `e, invece, invariante sotto

trasfor-mazioni chirali.

Occorre ora sapere come si trasformano i campi ~φπ(x) del pione e φσ(x) del

mesone σ sotto la simmetria chirale. Per questo dobbiamo tenere conto che i mesoni sono (in prima approssimazione) stati legati di quark-antiquark, quindi possiamo considerare che [23]

φσ(x) ∼ q(x)q(x) , φ~π(x) ∼ iq(x)~τγ5q(x) , (3.43)

dove abbiamo tenuto conto che il mesone σ ha parità positiva (ed è un isoscalare), mentre i pioni sono un vettore di isospin e hanno parità negativa. Infatti, la combinazione q(x)q(x) trasforma come uno scalare sotto Lorentz, ed è anche uno scalare sotto trasformazioni di isospin, ecc. Conoscendo quindi come trasforma

(27)

3.3. MODELLO SIGMA LINEARE 27 il campo q(x) sotto le trasformazioni chirali (3.12) e (3.13) possiamo quindi dire come trasformano ~φπ(x) del pione e φσ(x). Sotto una trasformazione

“vettori-ale” (3.12) infinitesima si ha

φ′_σ = qV†V q = φσ , φ~′π = iqV†~τγ5V q = ~φπ− ~ǫV × ~φπ . (3.44)

Quindi sotto trasformazioni di “vettoriali” i due campi si trasformano come un isoscalare e un isovettore, rispettivamente. Studiamo ora la trasformazione assiale definita dall’Eq. (3.13). Ricordiamo che q′ _{= Aq, (q}′₎† _{= q}†_A† _{e quindi q}′ _{= qA}

(infatti γ5 _{anticommuta con γ}0_{). Sotto una trasformazione infinitesima,}

φ′σ = φσ− ~ǫA· ~φπ , φ~′π = ~φπ − ~ǫAφσ (3.45)

Si noti che la combinazione φ2

σ + φ2π (dove abbiamo definito φ2π = ~φπ · ~φπ) `e

invariante rispetto alle due trasformazioni.

Possiamo ora costruire una Lagrangiana invariante sotto Lorentz e le trasfor-mazioni del gruppo G. La parte dipendente solo dai mesoni sar`a del tipo

Lmes.= 1 2∂ µ_φ σ∂µφσ+ 1 2∂ µ_φ_~ π · ∂µφ~π− V φ2σ+ φ2π , (3.46)

dove V rapresenta un generico termine di potenziale descrivente l’interazione tra i mesoni. Un termine di interazione mesoni-nucleone invariante sotto trasformazioni chirali `e il seguente (“accoppiamento di Yukawa”):

Lint. = −gΨ

φσ + i~φπ· ~τγ5

Ψ . (3.47)

Non `e difficile vedere che sia sotto le trasformazioni vettoriali (3.41) e (3.44) che quelle assiali (3.42) e (3.45) il termine Lint. rimane lo stesso. Il termine di

accoppiamento nucleone-pione `e del tipo “pseudo-scalare” come definito in Eq. (3.18), quindi possiamo identificare la costante di accoppiamento g con la costante gπ ≈ 13. La Lagrangiana completa sar`a quindi

Lσ lin. = iΨγµ∂µΨ + 1 2∂ µ_φ σ∂µφσ+ 1 2∂ µ_φ_~ π· ∂µ~φπ −V φ2σ+ φ2π − gπΨ φσ+ i~φπ· ~τγ5 Ψ , (3.48)

dove come detto non possiamo mettere il termine di massa nucleonico. Tuttavia `e chiaro che se dessimo un valore di aspettazione non nullo sul vuoto al campo φσ

saremmo ad un buon punto essendo −gφσΨΨ un accoppiamento molto simile al

termine di massa nucleonico.

Ipotizziamo quindi che si verifichi un fenomeno di “rottura spontanea di sim-metria”, prendendo V della forma:

V φ2_σ + φ2_π= λ 4

(28)

Figure 3.1: Processi di ordine pi`u basso che contribuiscono all’urto πN. La linea tratteggiata rappresenta lo scambio un mesone σ.

dove F `e una costante con le dimensioni di una massa. Il minimo di V si ha per:

φ2_σ+ φ2_π = F2 (3.50)

Possiamo quindi ipotizzare che lo stato fondamentale della teoria (“vuoto”) cor-risponda al caso in cui i campi dei pioni abbiamo i seguenti valori di aspettazione:

hφσi = F , h~φπi = 0 . (3.51)

Questa situazione corrisponde alla cosiddetta “fase di Nambu-Goldstone”. Nat-uralmente esistono un numero infinito di vuoti equivalenti (dove per esempio h~φπi 6= 0), ma scegliamo la possibilit`a definita nella (3.51) perch`e vogliamo che il

vuoto abbia una parit`a definita. Definito, inoltre, il campo :

σ = φσ − F (3.52)

tale che hσi = 0, possiamo riscrivere la L nel seguente modo: L = iΨγµ∂µΨ − gπF ΨΨ − gπσΨΨ −igπΨ~φπ· τγ5Ψ + 1 2∂ µ_σ∂ µσ + 1 2∂ µ_φ_~ π · ∂µφ~π+ (3.53) −λ₄ σ2 + φ2_π+ 2F σ2 . (3.54)

Discutiamo brevemente il contenuto fisico di tale Lagrangiana. I nucleoni ora hanno massa M = gπF e anche il mesone σ ha una massa mσ = F

√

2λ. Sappiamo che il termine di accoppiamento igπΨ~φπ · ~τγ5Ψ non riproduce la lunghezza di

scattering pione-nucleone ”pari” (si veda la discussione nella Sezione 3.2.1). In questa teoria occorre per`o considerare anche l’interazione mediata dal mesone σ. In particolare i “vertici” NNσ e ππσ producono un interazione come in Fig. 3.1

`

E possibile dimostrare che tale diagramma cancella il contributo dato dal ver-tice pseudoscalare e anche la lunghezza di scattering “pari” diventa in accordo con il dato sperimentale. A questo scopo `e essenziale che le costanti di accoppiamento dei tre vertici siano relazionate tra loro, in particolare che i vertici NNπ e NNσ

(29)

3.3. MODELLO SIGMA LINEARE 29 abbiano la stessa costante d’accoppiamento gπ e che il vertice ππσ abbia costante

d’accoppiamento F λ = gπ(mσ)2/2M.

Dalla Lagrangiana (3.54) possiamo anche (usando il teorema di Noether) derivare una corrente assiale, con il seguente risultato (essendo la corrente definita a meno di una costante l’abbiamo arbitrariamente moltiplicata per gA)

~ Aµ= gAiΨγµ ~τ 2γ 5 Ψ − gAφ~pi∂µσ + gA(F + σ)∂µφ~π . (3.55)

Se assumiamo che questa corrente sia quella che entra nell’interazione debole, possiamo identificare gAF con fπ (la costante di decadimento del pione), e poich`e

F = M/gπ si ritrova la relazione di Goldberger-Treiman.

Infine per tenere conto del fatto che nel mondo reale i pioni non hanno massa nulla, possiamo inserire nella Lagrangiana un termine che viola la simmetria chi-rale (la parte assiale) tipo δL = −cφσ . Non `e difficile ritrovare cos`ı la P CAC

[24]

Nonostante questo modello “spieghi” in maniera semplice molti dati empirici, esso presenta anche alcuni problemi:

1. L’assenza di costante di accoppiamento piccola induce la necessit`a di includ-ere, nel calcolo delle varie ampiezze, i diagrammi di Feymann relativi a tutti gli ordini della teoria perturbativa;

2. la particella σ non `e una particella ben stabilita sperimentalmente, in quanto viene ritenuta pi`u uno stato risonante di due pioni; inoltre il vertice σππ induce un decadimento σ → π + π estramamente rapido (con una larghezza di circa 1700 MeV).

Nel seguito sar`a molto utile la seguente matrice 2 × 2 formata dai campi dei mesoni U = 1 fπ φσI2×2+ i~τ · ~φπ , (3.56)

(in generale si indicher`a con In×n la matrice identit`a di dimensione n), la cui

trasformazione sotto il gruppo G si pu`o sintetizzare come

U′ = LUR† , (3.57)

dove L = exp(−i~θL · ~τ/2) ed R = exp(−i~θR · ~τ/2). L’Eq. (3.57) pu`o essere

provata nel caso di trasformazioni infinitesime vettoriali (per le quali ricordiamo ~θR = ~θL ≡ ~θV) e assiali (con ~θR = −~θL ≡ ~θA), sapendo che φσ e ~φπ trasformano

(30)

3.4 Modello sigma non lineare

In questa sezione descriveremo una variante del modello discusso precedentemente in maniera da superare i problemi presenti nel modello sigma lineare. Per prima cosa discuteremo la parte di Lagrangiana dipendente solo dai campi dei pioni, quindi, in una successiva sottosezione, introdurremo anche i campi dei nucleoni.

3.4.1 Lagrangiana non lineare per i pioni

Cerchiamo ora di costruire una Lagrangiana invariante sotto il gruppo G = SU(2)L⊗ SU(2)R con solo i campi dei pioni. L’algebra di Lie di G, che

denoter-emo con Alg(SU(2)L⊗ SU(2)R), `e isomorfa all’algebra di SO(4), Alg(SO(4)),

il che implica che per costruire la rappresentazione di dimensione pi`u bassa del gruppo chirale occorreranno almeno 4 coordinate. Avendo a disposizione solo 3 coordinate, i campi dei pioni, ne segue che dovremo costruire una rappresentazione “non-lineare”.

In pratica, per eliminare il mesone σ, si impone la condizione 1 2Tr UU†= 1 f2 π φπ2+ φ2σ = 1 , (3.58)

ove fπ `e la costante di decadimento del pione, equivalente ad imporre che i due

campi siano vincolati a rimanere nella zona del minimo del potenziale V (si veda l’Eq. (3.49)). Di conseguenza si pu`o sostituire φσ =

p f2

π − φ2π. Alternativamente

si pu`o introdurre un nuovo campo ~π(x) tale che

U = 1 fπ φσ+ i~φπ · ~τ = ei~π·~τ /fπ _, _(3.59)

cosicch`e la condizione 1/2TrUU† _{= 1 sia automaticamente verificata.}

As-sumendo che i campi φσ e ~φπ trasformino in maniera lineare sotto G, chiaramente

il nuovo campo ~π(x) dovr`a trasformare in maniera non lineare. Esplicitamente, considerando l’Eq. (3.57) abbiamo

U′ = ei~π′·τ /fπ

= exp(−i~θL· ~τ/2)ei~π·τ /fπexp(+i~θR· ~τ/2) . (3.60)

Consideriamo prima il caso di trasformazioni vettoriali infinitesime, sviluppando U in potenze del campo ~π, si trova

~π′ _{= ~π − ~ǫ}V × ~π , (3.61)

quindi il campo ~π trasforma (ancora linearmente) come un isovettore. Per trasfor-mazioni assiali la trasformazione `e non lineare. Nel caso di trasformazione in-finitesima e per valori di |π| ≪ fπ possiamo vedere che

~π′ _{= ~π + ~ǫ}

(31)

3.4. MODELLO SIGMA NON LINEARE 31 e la comparsa del fattore costante ~ǫAfπ `e una conseguenza appunto che la

mazione `e non lineare (infatti se raddoppia il valore del campo ~π, il campo trasfor-mati ~π′ _{non raddoppia).}

La costruzione della lagrangiana chirale-invariante per i pioni si pu`o fare us-ando come “building-blocks” le matrici U, U†_{e le loro derivate. Notiamo}

innanzi-tutto che il potenziale V si pu`o omettere in quanto per la condizione (3.58) diventa una costante, come pure il termine Tr(UU†_{). Occorre usare perci`o la grandezza}

∂µ_{U (l’invarianza sotto trasformazioni di Lorentz richiede un numero di derivate}

pari) e la Lagrangiana si pu`o scrivere come

Lmes. = L(2)π + L(4)π + · · · , (3.63)

dove con L(n)π indichiamo il termine con n 4-gradienti. La Lagrangiana di ordine

pi`u basso contiene un solo termine: L(2)π = f2 π 4 h∂µU∂ µ_U† i, (3.64)

dove h· · · i indica la traccia nello spazio dell’isospin. Termini del tipo ∂µ∂µU sono

riconducibili alla forma dell’Eq.(3.64) tramite integrazioni per parti. La costante fπ2

4 assicura che la Lagrangiana abbia la giusta dimensione e sia in

grado di dare l’usuale Lagrangiana libera per campi scalari a massa nulla scritta in termini dei pioni, espandendo in potenze del campo ~π,

L(2)π = 1 2∂µ~π∂ µ_{~π +} 1 2f2 π (∂µ~π · ~π)2+ O ~π6. (3.65)

Per i termini successivi di Lmes. come L(4)π , L(6)π , · · · la costruzione `e simile e fa uso

di integrazioni parziali ed equazioni del moto per eliminare i termini ridondanti. Risulta interessante notare che nella precedente costruzione abbiamo ottenuto una particolare rappresentazione non lineare del gruppo G = SU(2)L⊗ SU(2)R.

Tale costruzione, in virtù di certe scelte arbitrarie fatte nel procedimento, non è unica. Scegliendo diverse parametrizzazioni della matrice U si ottengono diverse realizzazioni non lineari del gruppo chirale G. Richiedendo che U sia unitaria, nello sviluppo in serie di potenze del campo del pione di U solo i primi tre termini sono fissati da tale condizione. In generale si può scrivere

U(~π) = I2×2+ i~τ · ~π fπ − ~π2 2f2 π − iα ~π2_{~τ · ~π} f3 π + (8α − 1) ~π4 8f4 π + O ~π 5_. _(3.66)

dove α è una costante arbitraria che riflette la libertà nella parametrizzazione della matrice U. Sorgerebbe quindi il problema che le osservabili che si intendono calco-lare siano in qualche modo affette dalla non-unicità della scelta della parametriz-zazione della matrice U. Fortunatamente si può mostrare [32] che tutte le realiz-zazioni del gruppo chirale sono equivalenti l’una all’altra modulo una ridefinizione non lineare dei campi e che, secondo il teorema di Haag [33], gli elementi della matrice S non dipendono dal parametero α. Nel seguito continueremo ad usare la parametrizzazione definita dalla (3.59) (corrispondente ad α = 1/6).

(32)

3.4.2 Lagrangiana non lineare per i nucleoni

In analogia a quanto succedeva prima con il tripletto di pioni il doppietto di isospin nucleonico dovrebbe trasformare non linearmente sotto G = SU(2)L ⊗ SU(2)R

ma linearmente sotto l’azione del sottogruppo H = SU(2)V. Nel caso nucleonico

risulta particolarmente utile introdurre la matrice

u =√U = ei~π·~τ /2fπ _, _(3.67)

avente le seguenti propriet`a di trasformazione sotto l’azione di G (dedotte dalle note propriet`a di trasformazione di U sotto G):

u′ =√LUR†_{≡ Luh}−1_, _(3.68)

dove abbiamo introdotto la matrice h ≡ h(L, R, ~π) che dipender`a non linearmente dai parametri della trasformazione (e dal campo pionico), in pratica

h = u′†Lu =√LUR†−1_L√_{U ,} _(3.69)

da cui deduciamo che h `e hermitiana. Si pu`o anche dimostrare che Luh† _{= huR}†_.

Riassumendo le propriet`a di u ed h:

u′ _{= Luh}† _{= huR}† _, _hh† _{= I}

2×2 . (3.70)

La matrice h è chiamata il ”campo compensatore”. Nel caso di trasformazioni vettoriali (cioè di isospin) L = R = V , abbiamo U′ _{= V UV}† _{per cui seguirà}

che u′ _{= V uV}†_{, e quindi in questo caso il campo compensatore diventer`a}

~π-indipendente e coincider`a con V .

Per costruire la Lagrangiana con i campi nucleonici conviene introdurre un nuovo campo N = uΨR+ u†ΨL che sotto le trasformazioni chirali trasforma cos`ı

N′ = (huR†) RΨR+ (hu†L†) LΨL = hN , (3.71)

come segue dalle relazioni (3.70). Quindi sotto trasformazioni vettoriali h = V il campo N trasforma come un doppietto di isospin. Sotto trasformazioni assiali h diventa una funzione complessa di θA e π e la trasformazione `e non lineare.

Analogamente a quanto accade per i bosoni di Goldstone si dimostra che tutte le altre possibili rappresentazioni non lineari sono identiche a quella descritta precedentemente modulo una ridefinizione non lineare dei campi.

Note le regole di trasformazione dei campi {U, N} è possibile costruire la più generale lagrangiana per pioni e nucleoni che sia invariante chirale. In questo caso conviene introdurre alcune quantità che trasformano nella seguente maniera O′

i = hOih† e poi scrivere tutte i possibili termini della forma: N O1· · · OnN. La

derivata covariante del campo pionico `e data da: uµ= i u∂µu†− u†∂µu = ~τ · ∂µ~π fπ + O ~π 3 _, _(3.72)

(33)

3.4. MODELLO SIGMA NON LINEARE 33 che sotto trasformazioni del gruppo chirale si comporta cos`ı:

u′_µ = huµh† . (3.73)

La derivata del campo nucleonico ∂µN non trasforma in modo “covariante” (∂µN)′ =

h∂µN poich`e il campo compensatore h dipende in generale dai punti dello spazio

tempo. Conviene costruire

DµN ≡ (∂µ+ Γµ) N, con Γµ≡ 1 2 u †_∂ µu + u∂µu† . (3.74)

In questo caso non `e difficile dimostrare che DµN → (DµN)′ = hDµN.

Nel proseguio della Tesi, identificheremo π(x) con il campo dei pioni e N(x) con il campo dei nucleoni. Per costruire la Lagrangiana serve anche sapere come questi campi si trasformano sotto alcune simmetrie discrete come la parit`a e la coniugazione di carica. Sappiamo che sotto la parit`a [24]

UPN(t, x)UP† = +γ0N(t, −x) , UPπi(t, x)UP† = −πi(t, −x) , (3.75)

dove UP `e l’operatore unitario rappresentazione dell’operatore di parit`a nel nostro

spazio di Hilbert. Sotto coniugazione di carica carica [24]:

UCN(x)U_C† = ηCCN(x)T , C = −iγ0γ2 , CγµC†= −(γµ)T , (3.76)

dove UC `e l’operatore unitario rappresentazione dell’operatore di coniugazione di

carica C nel nostro spazio di Hilbert. Qui sopra ηC `e una fase che sar`a inessenziale

nel seguito, e con AT _{si indica la trasposta di A. Per i mesoni conviene dare le}

trasformazioni per i campi “carichi”

UCπ0(x)U_C†= π0(x) , UCπ+(x)U_C† = π−(x) , UCπ−(x)U_C† = π+(x) , (3.77)

dove π0, π± sono legati a πi, i = 1, 2, 3 come in Eq. (3.17), da cui si deriva:

UC~τ · ~π(x)UC†= +(~τ · ~π(x))T . (3.78)

Usando queste proprietà non è difficile dedurre le proprietà di trasformazione dei bilineari e di Dµ e uµ sotto P e C. In generale

UPN (t, x)Γµ1µ2···N(t, x)U † P = s P Γsµ1sµ2· · · N(t, −x)ΓN(t, −x) , (3.79) UCN(x)ΓN(x)U_C† = sCΓ N (x)ΓN(x) , (3.80)

dove Γ `e una delle matrici che formano l’algebra di Clifford, cio`e I4×4, iγ5, γµ,

γµ_γ

5, σµν mentre sµ = gµµ; sPΓ e sCΓ assumono valori ±1. Inoltre per X = u, D si

ha che

(34)

34 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE N N N γ5N NγµN Nγµγ5N NσµνN Dµ uµ χ+ χ− ǫµναβ

sP + – + – + + – + – –

sC ₊ ₊ _– ₊ _– _– ₊ ₊ ₊ ₊

h.c. + – + + + – + + + +

Table 3.1: Le propriet`a di trasformazione dei bilineari dei campi fermionici con gli elementi dell’algebra di Clifford e delle grandezze Dµ, uµ e χ± sotto parit`a (P),

coniugazione di carica (C) e coniugazione hermitiana (h.c.).

Altri operatori possono essere costruiti usando il tensore di Levi-Civita ǫµναβ. Le

proprietà di trasformazione sotto parità, coniugazione di carica e coniugazione hermitiana in questo caso sono le seguenti: sotto coniugazione di carica ed her-mitiana il tensore ǫµναβ non cambia, mentre sotto parità bisogna considerare che

agisca come uno pseudoscalare. Infatti, i 4 indici del tensore saranno contratti con 4 4-vettori. A causa del fatto che gli indici devono essere tutti diversi, altrimenti ǫµναβ = 0, avremo tre indici di tipo spazio e uno di tipo tempo. Sotto parit`a le

componenti di tipo spazio cambiano segno, quindi il prodotto di ǫµναβvµwνzαyβ

cambier`a in ogni caso di segno. I valori dei “segni” sP

Γ, sCΓ, sPX e sCX per i vari

bilineari, le quantit`a uµ, Dµ, χ±(definite pi`u avanti) e per il tensore di Levi-Civita

sono riportati nella Tabella 3.1.

La pi`_{u generale Lagrangiana di pioni e nucleoni invariante sotto P, C,} trasfor-mazioni di Lorentz e chirali al primo ordine nelle derivate `e

Lσ non−lin. = N iγµDµ− M − gA 2 γ µ_γ 5uµ N + Lmes. , (3.82)

dove M e gA sono rispettivamente la massa nucleonica e la costante di

accoppi-amento assiale-vettoriale. A differenza del modello sigma lineare qui si pu`o gi`a introdurre un termine di massa.

Discutiamo ora il contenuto fisico della Lagrangiana (3.82). Notiamo che i termini di interazione pione-nucleoni sono due: N iγµ_Γ

µN e Niγµγ5uµN.

Svilup-pando Γµ ed uµ in potenze del campo del pione si trova

Lπ−N = N − gA 2fπ γµ_γ 5~τ · ∂µ~π N + O(π2₎ _(3.83)

e quindi ora l’interazione pione-nucleone `e del tipo pseudo-vettoriale (si veda la (3.25). Come sappiamo con questo tipo di interazione si ritrova il potenziale di OPEP (la coda di lungo-range del potenziale NN) e un accordo ragionevole con le lunghezze di scattering π − N. La corrente assiale che si ricava dal teorema di Noether risulta

~

(35)

3.4. MODELLO SIGMA NON LINEARE 35 Confrontando con l’Eq. (3.34), possiamo giustificare la scelta fatta di definire U con il fattore 1/fπ e di aver inserito proprio la costante gA a moltiplicare il terzo

termine nella Lagrangiana (3.82). Inoltre confrontando l’Eq. (3.83) con LPV data

in Eq. (3.25) osserviamo che: f m = gA 2fπ = gπ 2M → gA fπ = gπ M, (3.85)

da cui si ricava la relazione di Goldberger–Treiman (3.35)

La simmetria chirale nella (3.1) considerando le masse dei quarks non trascur-abili risulta violata esplicitamente. Infatti il termine di massa Lm = qMq dove

M `e dato in Eq. (3.3) e pu`o essere scritto come:

Lm = qLMqR+ qRMqL . (3.86)

Sotto le trasformazioni (3.8) e (3.9) questo termine trasforma come:

Lm → qLL†MRqR+ qRR†MLqL . (3.87)

Considerando adesso ˜_{M come parametro esterno variabile che trasforma sotto il} gruppo chirale G nel seguente modo:

f

M → fM′ _{= L f}_MR†_, _(3.88)

f

M† → fM′†= L f_M†R†, (3.89)

si ottiene un termine di massa

Lme = qLMqf R+ qRMf†qL

invariante sotto trasformazioni chirali. Al fine di ottenere a livello di campi adronici una densità di Lagrangiana invariante sotto G occorrerà costruire con il campo U e il parametro esterno variabile f_{M quantità invarianti chirali. All’ordine} più basso nel parametro esterno variabile f_{M le due quantità invarianti chirali sono:}

Lef tme = a1· T r h f MU†i+ a2· T r h f M†Ui. (3.90)

Poniamo adesso il parametro esterno uguale alla matrice di massa dei quarks f

M = M. Dalla richiesta di hermitianit`a segue che:a1 = a∗2 = a e a2 = a∗1 = a∗:

Lef tm = aT r

h f

MU†i+ a∗T rh_Mf†Ui (3.91)

mentre dalla richiesta di invarianza sotto parit`a segue che a = a∗_{. Abbiamo quindi}

costruito una Lm (tralasceremo da ora in poi nella notazione l’apice ef t) che viola

la simmetria chirale esplicitamente allo stesso modo in cui il termine di massa nella Lagrangiana fondamentale (3.1) viola la simmetria chirale. Oppure con i