I modelli discussi fino ad ora permettono di studiare sistemi di pioni e nucleoni con buoni risultati fino a che si considerano i contributi dei diagrammi di Feymann all’ordine perturbativo pi`u basso e cio`e di tipo “albero” (senza loops). Quando si considerano gli ordini perturbativi pi`u alti si incontrano integrali divergenti che non si sanno eliminare in quanto la teoria non `e rinormalizzabile (cio`e non si possono assorbire le divergenze in un numero finito di costanti d’accoppiamento, masse, ecc.).
Questo problema pu`o comunque essere superato se si `e interessati a studiare il comportamento di bassa energia di un sistema che contiene una scala di alta energia, qui di seguito indicata con ΛX. Nel nostro caso per bassa energia si inten-
dono i processi in cui pioni e nucleoni hanno impulsi Q dell’ordine (al massimo) della massa del pione, cosa che si verifica per i problemi standard di Fisica Nu- cleare. La scala di alta energia `e rappresentata dalla scala tipica dell’interazioni forti, ΛX ≈ 1 GeV. L’idea `e di utilizzare questa differenza di scala per calcolare
le quantit`a di interesse come somma di potenze nel rapporto Q/ΛX. Per fare un
esempio pratico, consideriamo il calcolo di un elemento della matrice T tra uno stato iniziale |INi a quello finale |FINi, legato alla probabilit`a di transizione tra i due stati. Nella nostra teoria organizzeremo il calcolo di hFIN|T |INi come somma di termini, ognuno di essi proporzionale al fattore (Q/ΛX)ν, dove ν tipicamente
3.5. LA TEORIA DI CAMPO EFFICACE 37 `e un indice intero. La teoria funziona solo se ν non pu`o assumere valori negativi arbitrariamente grandi (meglio se ν ≥ 0). In tale caso possiamo organizzare il calcolo di hFIN|T |INi considerando prima i termini con indice pi`u basso ν = νmin
(leading order – LO). I termini di ordine ν = νmin + 1 (next-to-leading order
– NLO) porteranno la prima correzione e cos`ı via. In questa maniera si ha un controllo sistematico di hFIN|T |INi, con la possibilit`a in principio di poter incre- mentare la precisione del calcolo teorico. Una tecnica di calcolo cos`ı organizzata si chiama “teoria perturbativa chirale” (chiral perturbation theory – CPT) e l’indice ν spesso `e indicato come “indice chirale”.
Altro punto fondamentale `e che ad ogni ordine contribuiscano solo un numero finito di termini. Nel nostro caso, quest’ultima propriet`a e l’esistenza di un valore minimo per l’indice νmin sono assicurate dalla richiesta che la Lagrangiana sia
invariante (con buona approssimazione) sotto la simmetria chirale.
Rimane il problema della non rinormalizzabilit`a. Come per`o discusso da Wein- berg [5], in principio la Lagrangiana deve contenere tutti i possibili termini con- sistenti con le simmetrie che si ritiene importanti, non solo quelli pi`u semplici, come per esempio nel modello σ non lineare (3.82). Poich`e in generale esister- anno un numero infinito di termini compatibili con le simmetrie della teoria, nella Lagrangiana ci saranno infiniti termini (“vertici”) ognuno con una costante ac- coppiamento in generale arbitraria, con cui possiamo assorbire tutte le divergenze dei diagrammi con loops. Queste collezioni di costanti d’accoppiamento sono conosciute come le “costanti d’accoppiamento di bassa energia” (LEC – low en- ergy constants).
La teoria rimane predittiva in quanto, come detto sopra, ad ogni ordine in (Q/ΛX)ν contribuiscono solo un numero finito di termini. Supponiamo di voler
fare un calcolo fino ad un ordine ν0, cio`e includendo solo i termini fino a (Q/ΛX)ν0.
Nella Lagrangiana dovremo considerare tutti i termini compatibili con le date sim- metrie del sistema e che contribuiscono fino all’ordine ν0 fissato. Supponiamo che
tali termini siano in numero N0. Ci saranno quindi N0 costanti di accoppiameno
arbitrarie, che potranno riassorbire le divergenze ultraviolette associate a tutti i diagrammi con loops (un calcolo esplicito verr`a effettuto nel Cap.6). Infatti, an- che le parti divergenti moltiplicheranno operatori che verificano le simmetrie e che saranno al pi`u N0. La teoria quindi diventa senza divergenze e si possono fissare
le LEC paragonando i calcoli teorici ad (un minimo di) N0 dati sperimentali. A
quel dato ordine quindi la teoria diventa ora senza parametri e pu`o essere usata per fare delle predizioni su altre osservabili. Una teoria cos`ı organizzata si chiama ”teoria di campo efficace” (EFT – effective field theory) ed `e usata in molti campi della fisica descritti da una teoria fondamentale (nel nostro caso la QCD) molto complicata da studiare nel regime di bassa energia. Se si vuole fare un calcolo ad un ordine successivo, in generale si dovranno 1) introdurre nuovi termini nella Lagrangiana (e quindi nuove LEC), 2) riassorbire le nuove divergenze, 3) usare un set ulteriore di dati sperimentali per fissare le nuove LEC, 4) quindi avere di nuovo
38 CHAPTER 3. SIMMETRIA CHIRALE una teoria predittiva. Da notare che in linea di principio le LEC potrebbero essere calcolate usando la teoria fondamentale sottostante, ma se questo non `e possibile in pratica si fa ricorso ad un insieme di dati sperimentali.
Questo programma `e stato portato avanti in molti campi. In particolare per il settore dei pioni la teoria non ha praticamente parametri liberi, ed `e quindi pos- sibile fare una predizione assoluta della lunghezza di scattering π − π. Il calcolo pi`u completo [34] (all’ordine N2LO) fornisce la stima di aππ = 0.220 ± 0.005m−1,
dove l’errore teorico `e legato all’incertezza nella conoscenza dei parametri fπ, ecc.
Questo risultato `e in buon accordo con i risultati sperimentali citati precedente- mente aexpt
ππ = 0.217 ± 0.008 [29, 30].
Per quanto riguarda lo studio dell forza tra due nucleoni, il programma `e stato portato avanti in una serie di lavori [35], culminati in calcoli fino all’ordine Q4 [36,
37] per la parte “parity-conserving” (si vedano anche gli articoli di “review” [38]). Una introduzione a questa teoria (fino all’ordine Q2) `e riportata nel prossimo
Chapter 4
L’EFT per il caso PC
In questo Capitolo discuteremo la costruzione dell’EFT per un sistema di nu- cleoni e pioni, per descrivere l’interazione forte tra queste due particelle (il caso dell’interazione debole sar`a considerato nel prossimo capitolo). Le simmetrie che siamo interessati ad implementare nel nostro modello sono la covarianza rela- tivistica, la simmetria chirale e la parit`a e la coniugazione di carica. Vedremo anche come incorporare le piccole violazioni della simmetria chirale indotte dal fatto che le masse dei quarks non sono nulle (e che mu 6= md). Questo sar`a poi
utile nel prossimo Capitolo per tenere conto della violazione di parit`a indotta dall’interazione debole.
In questa Tesi, invece di derivare la densit`a di Lagrangiana pi`u generale (com- patibile con le varie simmetrie del sistema) e quindi usare una trasformazione di Legendre per arrivare all’Hamiltoniana, andremo a utilizzare il metodo equiva- lente di scrivere la densit`a di Hamiltoniana pi`u generale. Il problema `e che molti dei termini che si possono introdurre sono linearmente dipendenti da altri e quindi andranno omessi. Tale questione pu`o essere studiata in maniera semplice osser- vando se le riduzioni non relativistiche di questi termini (all’ordine dell’indice ν che ci interessa) sono tra loro diverse oppure no, come discuteremo di seguito.
Questo Capitolo `e organizzato come segue. Nella prima Sezione descriver- emo in dettaglio la notazione usata, successivamente in Sezione 4.2 introdurremo l’EFT. Nell’ultima Sezione, infine, verr`a discusso il modo di assegnare l’indice chirale ad ogni termine dell’espansione perturbativa della matrice T .
4.1
Notazioni
Per prima cosa definiamo la nostra notazione. Si lavorer`a in un volume finito Ω = L3; i valori dei momenti saranno quindi discreti, per esempio k
x = 2πnx/L
con nx = 0, ±1, ±2, . . .. Al limite Ω → ∞ possiamo sostituire tutte le somme
40 CHAPTER 4. L’EFT PER IL CASO PC sopra i valori discreti con una integrazione sopra i momenti come segue:
X
k
→ Ω
Z dk
(2π)3 (4.1)
Gli operatori di distruzione/creazione dei pioni e nucleoni verificano le regole: [ak,i, a†k′,j] = δk,k′δi,j , {bp,s,t, bp†′,s′,t′} = δp,p′δs,s′δt,t′ , (4.2)
dove i = x, y, z specifica la componente dell’isospin del pione e s, t sono le compo- nenti z dello spin/isospin del nucleone. Quindi ak,i `e l’operatore di distruzione di
un pione di impulso k e “specie” i, mentre bp,s,t=+1/2 (bp,s,t=−1/2) `e l’operatore di
distruzione di un protone (neutrone) di impulso p e proiezione di spin s. Inoltre dp,s,tindicher`a l’operatore di distruzione degli antinucleoni di tipo t.
L’Hamiltoniana libera `e per definizione data da H0 = X p,s,t Ep b†p,s,tbp,s,t+ d†p,s,tdp,s,t +X q,i ωqa†q,iaq,i , (4.3) com Ep = p M2 + p2 e ω q = p
m2 + q2, le energie dei nucleoni e pioni liberi,
rispettivamente. Nel seguito verr`a usata la notazione
α ≡ {p, s, t} . (4.4)
Il termine dell’Hamiltoniana che descrive l’interazione sar`a indicato con HI. Con-
sideriamo l’operatore HI in rappresentazione di interazione
HI(t) = exp(iH0t)HI exp(−iH0t) , (4.5)
e introduciamo una corrispondente densit`a di Hamiltoniana HI(x) tale che HI(t) =
R d3xH
I(x) (qui e di seguito x ≡ xµ). Affinch`e la nostra teoria abbia le simmetrie
richieste, richiederemo che HI(x) sia invariante sotto le trasformazioni associate
a queste simmetrie. In particolare, affinch´e la teoria sia invariante sotto trasfor- mazioni di Lorentz, HI(x) deve essere uno scalare [39].
Dalla teoria perturbativa dipendente dal tempo si trova che la matrice S sar`a data da un’espressione perturbativa del tipo (serie di Dyson) [40]
S = 1 + ∞ X n=1 (−i)n n! Z d4x1. . . d4xnT h HI(x1) · · · HI(xn) i , (4.6)
dove T [· · · ] sta per il prodotto T-ordinato e hFIN|S|INi `e legato alla probabilit`a di transizione dallo stato iniziale |INi a quello finale |FINi.
La densit`a HI(x) pu`o essere espressa in termini di prodotti locali dei seguenti
campi in rappresentazione di interazione Nt(x) = X p,s 1 p 2EpΩ
bp,s,tu(p, s)e−ip·x+ d†p,s,tv(p, s)eip·x
, (4.7) πi(x) = X q 1 p 2ωqΩ
aq,ie−iq·x+ a†q,ieiq·x
4.2. L’EFT PER IL CASO PC 41