Laser a semiconduttore

La differenza principale tra un laser che usi atomi o molecole come mezzo attivo ed un laser a semiconduttori `e dovuta al fatto che in un semiconduttore i livelli energetici hanno una distribuzione a bande anzich´e discreta. La transizione laser non avviene quindi tra due livelli energetici ben definiti, ma tra stati che appartengono a due bande. Lo schema dei livelli energetici di un semiconduttori `e mostrato in fig. 7.10. La banda di conduzione `e separata dalla banda di valenza da un gap energetico (banda di energie proibite) di ampiezza ∆E<sub>g</sub>. Ogni banda `e costituita da un grandissimo numero di livelli energetici molto vicini l’uno all’altro, che formano cos`ı un quasi-continuo. In base al principio

7.4. LASER A SEMICONDUTTORE 53

di esclusione di Pauli in ognuno di questi livelli possono trovarsi al massimo due elettroni con spin opposto. Il numero medio di occupazione di un livello di energia Er `e dato dalla statistica

banda di conduzione

banda di valenza

E

V

C

∆E

Figura 7.10: Banda di conduzione C, banda di valenza V ed energia di Fermi E_F in un semiconduttore.

di Fermi-Dirac

hnri = _e(Er−EF¹_{)/kT + 1}, (7.46) dove EF `e l’energia di Fermi. Al limite T → 0 otteniamo

hnri = 

1 se Er < EF

0 se Er > EF (7.47)

Per semiconduttori intrinseci (non drogati) l’ergia di Fermi EF si trova all’interno del gap di energia, cos`ı che per T = 0

la banda di valenza `e completamente occupata e la banda di conduzione `e completamente vuota. Per avere effetto laser abbiamo bisogno di una inversione di popolazione, cio`e elettroni che si trovino nella banda di conduzione e buche che si trovino nella banda di valenza. Questo, ovviamente, vuol dire avere una situazione diversa dall’equilibrio termico.

banda di conduzione banda di valenza banda di conduzione banda di valenza V C ∆Eg V C ∆Eg

a) drogaggio di tipo n b) drogaggio di tipo p

E_V

E_C

Figura 7.11: Semiconduttori con drogaggio di tipo n (a) e tipo p (b).

Ai semiconduttori estrinse-ci sono state aggiunte impurez-ze nel reticolo cristallino, si di-ce che sono stati “drogati”. In un drogaggio di tipo n vengono aggiunti al cristallo atomi detti donori che, avendo pi`u elettroni di valenza degli atomi del reti-colo, mettono in circolazione un eccesso di elettroni debolmente

legati. Questi elettroni, essendo tutti gli stati della banda di valenza occupati, vanno a finire nella banda di conduzione, e si ha un “quasi-livello di Fermi” EC come in fig. 7.11.a). In un drogaggio di tipo p vengono invece aggiunti atomi detti accettori che, avendo orbitali esterni liberi, prelevano elettroni dal cristallo, vuotando cos`ı gli stati pi`u alti della banda di valenza (buche). Si ha cos`ı un “quasi-livello di Fermi” EV come nella figura 7.11.b).

banda di conduzione banda di valenza V C hν ∆E_g E_C E_V

Figura 7.12: Inversione di popola-zione e transipopola-zione laser in un laser a semiconduttore.

Per arrivare all’effetto laser dobbiamo ottenere contempora-neamente elettroni negli stati pi`u bassi della banda di conduzione e buche negli stati pi`u alti della banda di valenza, come indicato nella figura 7.12. In queste condizioni potrebbero essere emessi fotoni con frequenze comprese nell’intervallo

∆Eg

h ^{< ν <}

EC− EV

h ^{. (7.48)}

Fotoni con frequenze in questo intervallo sarebbero amplificati per emissione indotta, mentre fotoni di frequenza ν > (EC− EV)

sarebbero assorbiti, portando elettroni dalla banda di valenza a stati liberi della banda di conduzione. L’inversione di popolazione in un laser a semiconduttore pu`o essere ottenuta in tre modi:

1. Per eccitazione via pompaggio ottico.

3. Per iniezione di portatori di carica attraverso una giunzione.

Essendo il caso di gran lunga pi`u interessante per le applicazioni pratiche, qui discuteremo soltanto il caso dell’iniezione. Questo tipo di laser a semiconduttore viene realizzato mettendo in sequenza due strati di semiconduttore estrinseci, uno con drogaggio di tipo p ed uno con drogaggio di tipo n, come in fig. 7.13.a), esattamente come in un diodo a semiconduttore (qui si parla di laser a diodo). Se ai capi del diodo non viene applicata tensione, la situazione delle bande energetiche `e quella schematizzata in fig. 7.13.b).

Zona attiva Emissione laser − + p n V a) Giunzione pn p n E ∆Eg p n En Ep En

b) Senza tensione applicata c) Con tensione applicata ∆Eg

Ep

Figura 7.13: Diodo laser.

Mentre le bande energetiche della zona p e della zona n sono spostate le une rispetto alle altre, il livello di Fermi ha un valore costante in tutta la zona transizione pn, corrispondente all’equilibrio termico. A causa del drogaggio il livello di Fermi si trova all’interno della banda di valenza nella zona p, e all’interno della banda di conduzione nella zona n. Se adesso viene introdotta tra lo starto p e lo strato n una differenza di potenziale V corrispondente al gap di energia, cio`e V = ∆Eg/e, nella direzione di conduzione, come in fig. 7.13.c), le bande energetiche della zona n si innalzano rispetto a quelle della zona p (gli elettroni hanno carica negativa !). Come mostrato in fig. 7.13.c), l’energia di Femi En dello strato n viene innalzata di una quantit`a V e rispetto all’energia di Fermi Ep dello strato p. Esiste cos`ı una sottile zona attiva in cui si trovano sia elettroni in banda di conduzione che buche in banda di valenza, nella quale, cio`e, si ha un’inversione di popolazione, ed in cui `e possibile l’effetto laser. Il generatore esterno alimenta sia un flusso di elettroni dallo strato n che un flusso di buche dallo strato p sempre verso la giunzione np, che man mano rimpiazzano le coppie elettrone-buca ricombinate in seguito all’emissione di un fotone.

p i n + − + hν − − − − + + + +

-Figura 7.14: Laser a eterogiunzione.

Un importante miglioramento dell’efficienza dei laser a semiconduttore `e stato ottenuto usando lo schema pro-posto da Koemer e Alferov illustrato in fig. 7.14. Anzich´e due strati vengono usati tre strati successivi di semicon-duttori diversi: uno strato di semiconduttore estrinseco drogato p, uno strato di semiconduttore intrinsico (non drogato) ed infine un uno strato di semiconduttore estrin-seco drogato n. Gli strati p ed n hanno la stessa ampiezza del gap di energia proibita, mentre l’ampiezza del gap di energia proibita dello strato intrinsico i `e minore. Questo ha come conseguenza sia il confinamento dell’inversione

di popolazione in una zona pi`u ampia, che un ulteriore vantaggio dovuto al fatto che l’indice di rifra-zione dello strato i, in cui avviene il processo laser, `e maggiore che in p ed in n. Per l’emissione laser si ha cos`ı un effetto guida d’onda. Quando viene applicata la differenza di potenziale alle estremit`a del “sandwich”, le buche dello strato p e gli elettroni dello strato n si mettono in moto verso lo strato

7.4. LASER A SEMICONDUTTORE 55

i, dove si forma l’inversione di popolazione ed avvengono i fenomeni di ricombinazione con emissione di fotoni.

Capitolo 8

Fluttuazioni della radiazione e

interferenza

8.1 Instaurazione del regime oscillatorio

Per la statistica dei fotoni, i modi di oscillazione di una cavit`a laser si comportano come stati di particella singola. Consideriamo, per esempio, una cavit`a laser limitata da due specchi piani e paralleli a distanza L tra loro, come schematizzato in figura 8.1.

L

λ

Specchi

Figura 8.1: Onda stazionaria in una cavit`a laser.

Ogni modo della cavit`a corrisponde ad un’on-da stazionaria tra i due specchi. Perch´e l’onun’on-da sia stazionaria deve essere

L = r^λr

2 ^{, da cui λr =} 2L

r ^{, (8.1)} con r numero intero. Le frequenze possibili per i modi della cavit`a sono quindi

ν_r = ^c λr

= r ^c

2L^{, (8.2)} e ad ogni modo corrispondono fotoni di energia Er =

hνr. Finch´e il laser non raggiunge la soglia di oscillazione, i fotoni si comportano come se fossero all’equilibrio termico ad una temperatura efficace Teff. Trattandosi di bosoni, ogni modo|ri avr`a un numero medio di occupazione dato dalla (5.55), con il potenziale chimico µ posto uguale a zero

hnri = ¹

eEr/kTeff − 1^{. (8.3)} E’ da notare che la temperatura T_eff tende all’infinito man mano che ci si avvicina all’inversione di popolazione. Infatti la temperatura efficace Teff per i due livelli interessati alla transizione laser si ottiene risolvendo per T la relazione di Boltzmann N2/N1 = e−(E2−E1)/kT

T_eff = ^E2− E1

k log(N1/N2)^{. (8.4)} Cos`ı T<sub>eff</sub> diverge per N<sub>2</sub> → N1, per poi diventare negativa una volta che si `e raggiunta l’inversione di popolazione e N2 > N1 (per un laser, si passa da temperature positive a temperature negative non

passando attraverso 0 K, ma passando attraverso l’infinito!). I numeri di occupazione dei modi del laser tenderanno quindi a divergere con Teff. Per le fluttuazioni relative dei numeri di occupazione stessi man mano che ci si avvicina all’inversione di popolazione otteniamo dalla (6.18)

lim N2→N1 h(∆nr)2i hnri^{2 =}_hn^limri→∞ h(∆nr)2i hnri^{2 =}_hn^limri→∞  1 hnri^{+ 1}  = 1, (8.5)

da cui il numero di fotoni nel modo r ha fluttuazioni dell’ordine del 100% attorno al valor mediohnri. Se, dopo aver posto ε = +1 e µ = 0, inseriamo la (5.55) nella (5.50) otteniamo, per la probabilit`a di avere n fotoni in un modo con numero medio di occupazione hnri

W_r(n) = hnriⁿ

(hnri + 1)n+1. (8.6) Appena raggiunta la soglia di oscillazione del laser, il comportamento statistico dei fotoni cambia in modo discontinuo. La probabilit`a di avere n fotoni nel modo |ri quando il numero medio di occupazione `ehnri `e data adesso dalla distribuzione di Poisson

Wr(n) = hnriⁿ n! ^e

−hnri, (8.7)

cui corrispondono delle fluttuazioni relative s h∆n2i hn2i ⁼ 1 p hni^{, (8.8)}

uguali a quelle di un oscillatore classico stabilizzato in ampiezza.