Le registrazioni

Le registrazioni audio sono state effettuate durante tutti gli interventi in classe. e sono state più volte riascoltate per l’individuazione degli episodi critici. Gli episodi critici sono stati selezionati cercando quei momenti dai quali si evince quando e/o come l’uso di strumenti e materiali strutturati piuttosto che la discussione permette lo sviluppo di capacità operative, di osservazione, di descrizione, di interpretazione. L’attenzione è rivolta soprattutto alle dinamiche di contrattazione di significati che vengono evidenziate dai dibattiti fra gli studenti, sia quando queste si sono svolte fra una coppia che quando il gruppo era più numeroso.

Come sessioni rappresentative sono stati considerati episodi critici piuttosto brevi, ciò perché l’interesse non era rivolto a capire l’evoluzione delle epistemologie o i cambiamenti di strutture ontologiche, bensì a caratterizzare gli sviluppi concettuali locali, i cambiamenti di strategie di osservazione, le semplici modifiche dei modelli descrittivi e interpretativi, che possono avvenire in poco tempo con brevi scambi di opinioni.

CAPITOLO 4

La fisica del progetto: Il Caos Deterministico

Introduzione

"Per quanto riguarda l'ultima parte della supposizione, si dovrà considerare che la più insignificante differenza nei fatti delle due vicende potrebbe dar luogo ai più importanti errori di calcolo, facendo divergere radicalmente le due sequenze dei fatti; proprio come in Aritmetica un errore che in sé non ha valore, alla fine, moltiplicandosi da un punto all'altro del procedimento, produce un risultato lontanissimo dal vero."

Da "Il mistero di Marie Rogêt" di Edgar Allan Poe (1842).

L’immagine dell’universo consegnateci dalla fisica classica, così come proposta da Galilei e Newton, ci descrive gli eventi della natura come analoghi a quelli di un perfetto orologio che aveva solo bisogno, pensava Newton, di essere ricaricato di tanto in tanto da Dio o che, come riteneva Leibniz, andava avanti da solo in moto perpetuo. In ogni caso una macchina caratterizzata dalla immutabile precisione e dalla massima prevedibilità.

Dunque, l’ideale conoscitivo che sta alla base della meccanica classica è contrassegnato da alcuni caratteri che si riassumono in alcune parole chiave utilizzate dagli storici della fisica (M. Cini, 1994; F. T. Arecchi, 1986):

meccanicismo, riduzionismo e determinismo.

Innanzitutto meccanicismo, ovvero convinzione che tutti i fenomeni fossero spiegabili in termini di elementi ultimi, tra di loro in interazione secondo le leggi della meccanica newtoniana; di conseguenza riduzionismo, ovvero la tesi che «le proprietà globali sono univocamente determinate dalle interazioni tra componenti e pertanto la fisica macroscopica (o macrofisica) è completamente deducibile dalla fisica delle interazioni fondamentali (o microfisica)».

Alla base dell’impostazione riduzionista sta la convinzione che il mondo microscopico sia più semplice di quello macroscopico e quindi, che per

comprendere quest’ultimo sia sufficiente scomporre i sistemi complessi in modo da trovare le loro componenti semplici governate dalle tradizionali leggi della meccanica. Una volta fatto ciò, si pensa sia possibile formulare delle espressioni matematiche, grazie alle quali ricavare (mediante integrazione) le equazioni dinamiche che descrivono il divenire del sistema. Dunque determinismo, ovvero l’idea che ogni processo fisico sia governato da leggi causali che definiscono in modo univoco i suoi stadi futuri, una volta noto lo stato iniziale.

Questo ha permesso di dire al famoso matematico Pierre Simon de Laplace nel diciottesimo secolo:

“… dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell’universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un’intelligenza che, per un istante dato, potesse conoscere tutte le forze da cui la natura è animata, e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, e che inoltre fosse abbastanza grande da sottomettere questi dati all’analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell’universo e quelli dell’atomo più leggero: nulla le risulterebbe

incerto, l’avvenire come il passato sarebbero presenti ai suoi occhi.

Lo spirito umano offre, nella perfezione che ha saputo dare all’astronomia, una debole parvenza di questa intelligenza.” (Essai

philosophique sur les probabilités, 1776)

Tuttavia la maggior parte dei fenomeni naturali non mostrano comportamenti regolari e prevedibili, ma sviluppano proprietà caotiche ed aleatorie che ne rendono intrinsecamente imprevedibile il comportamento dopo intervalli di tempo relativamente brevi. Ad esempio, anche se il moto dell’atmosfera segue le leggi della fisica classica al pari del moto dei pianeti, le previsioni del tempo vengono ancora espresse in termini probabilistici e la probabilità che si rivelino errate è tanto maggiore quanto più lontano è il giorno a cui esse si riferiscono. Dunque, le mutazioni meteorologiche, le devastazioni di un terremoto, la caduta di una meteorite, il flusso di un ruscello in montagna, il

rotolamento di un dado sono accomunati dall’avere aspetti non prevedibili. In questi fenomeni non vi è una chiara relazione tra causa ed effetto, pertanto non possiamo dire che siano fenomeni deterministici, sembra che in essi vi siano elementi casuali. Per questi sistemi non è possibile fare delle previsioni certe sul loro andamento futuro.

Da un punto di vista matematico, una caratteristica comune a questi sistemi è che la loro evoluzione temporale è descritta da equazioni differenziali non lineari. Come verrà sottolineato nel paragrafo successivo, questo vuol dire che, per questi sistemi, le variabili dinamiche che descrivono le proprietà del sistema (per esempio, posizione, velocità, accelerazione, pressione, ecc …) compaiono in equazioni in forma non lineare.

In questi sistemi dinamici possiamo osservare improvvisi passaggi da dinamiche regolari a regimi irregolari. Essi presentano, infatti, una critica dipendenza da variazioni, anche piccole, delle condizioni iniziali, che rende l’evoluzione temporale del sistema totalmente imprevedibile. Ad esempio, nella dinamica dei fluidi, si possono osservare sia andamenti regolari che complessi. Il fumo di una sigaretta, o il flusso dell'acqua nell'alveo di un fiume, possono talvolta evolvere in modo semplice (il cosiddetto moto laminare) e altre volte in modo vorticoso e disordinato (il cosiddetto moto turbolento). Il passaggio alla turbolenza, che si osserva talvolta in modo improvviso durante il moto di liquidi o gas, è stato uno dei problemi che maggiormente hanno stimolato gli studi sui sistemi dinamici non lineari e fu studiato da Reynolds (1842-1912). Si racconta che Heisenberg, uno dei padri della Fisica quantistica e premio Nobel per la Fisica nel 1932, pochi minuti prima di morire abbia detto: "quando nell'aldilà avrò l'opportunità di interrogare il Creatore, gli voglio chiedere due cose: perché la relatività e perché la turbolenza. Almeno sulla prima spero di ottenere una risposta". In effetti, agli inizi del XX secolo l'interesse per questo settore sembrava destinato a ridursi, per mancanza di argomenti nuovi da proporre. C'erano problemi non risolti, come la turbolenza dei fluidi, ma la loro soluzione

appariva così difficile e lontana che sembrava non valesse la pena dedicarvi ulteriori sforzi.

I motivi per il risveglio di interesse vennero dagli studi del matematico, fisico e filosofo francese Henri Poincaré (1854-1912) che può essere considerato il fondatore della teoria qualitativa (o topologica) dei sistemi dinamici, ovvero di un modo di studiare le leggi del moto che rinuncia a ogni pretesa di conoscenza analitica o numerica delle soluzioni e si basa su metodi di tipo geometrico - visivo. Partendo da un problema apparentemente semplice, il moto di tre corpi che interagiscono tra loro attraverso la forza di gravità, H. Poincaré arrivò a descrivere in modo chiaro il fenomeno del caos deterministico, scrivendo nel 1903:

“Una causa molto piccola, che ci sfugge, determina un effetto considerevole che non possiamo non vedere, e allora diciamo che questo effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo nell’istante iniziale, potremmo predire con la medesima precisione la situazione dell’universo in un istante successivo. Ma quand’anche le leggi naturali non avessero più segreti per noi, potremmo conoscere la situazione iniziale solo in modo approssimativo. Se questa approssimazione ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, questo ci basterebbe per poter dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi: ma non è sempre così e può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali generino differenze grandissime nei fenomeni finali; un piccolo errore nelle prime produrrebbe un errore enorme negli ultimi. La predizione diventa allora impossibile e ci troviamo di fronte al fenomeno fortuito.” (Poincaré, Science et Mèthode, 1903)

Come pionieri dello studio del caos deterministico bisogna ricordare oltre Poincaré anche Volterra (1931) con i suoi studi sulla dinamica delle popolazioni, Van der Pol (1927) e Androv con gli studi sui circuiti elettronici con componenti

non lineari e ancora i lavori degli astronomi Hénon e Lorenz (1963). Tuttavia, i risultati ottenuti erano probabilmente troppo avanzati rispetto alle conoscenze scientifiche di allora e non suscitarono subito l'interesse che meritavano, anzi possiamo dire che non hanno scalfito per nulla la filosofia che stava alla base della meccanica e l’approccio a tali problemi.

Solo a partire dagli anni settanta tali tematiche sono state rivalutate fino a diventare temi di punta. Sicuramente uno dei fattori che ha influenzato ciò è stato l’avvento dei calcolatori. Qualche autore ha esplicitamente sostenuto che il caos fosse un nuovo quadro concettuale con il quale interpretare e spiegare la complessità del mondo reale in cui viviamo. La scoperta del “caos deterministico” ha creato un paradigma nuovo fra i modelli scientifici. Esso, da una parte comporta l’esistenza di nuove limitazioni fondamentali alla nostra capacità di compiere previsioni, dall’altra, il determinismo inerente al caos implica che molti fenomeni aleatori siano più prevedibili di quanto si potesse pensare: informazioni apparentemente aleatorie raccolte in passato (e archiviate perché ritenute troppo complicate) oggi possono essere spiegate in termini di leggi semplici. Il caos ci permette di scorgere un ordine nel disordine di alcuni fenomeni che osserviamo, esso infatti è generato da regole fisse che, di per sé, non contengono alcun elemento casuale (J. P. Crutchfield et al., 1986). In linea di principio ciò che accadrà in futuro è completamente determinato dalla situazione attuale ma in pratica le piccole imprecisioni con cui questa è conosciuta vengono amplificate; quindi, benché il comportamento del sistema fisico che si sta osservando sia prevedibile a breve scadenza, alla lunga non è più tale.

In questo capitolo verranno descritte le proprietà di un sistema dinamico e quelle di un sistema dinamico caotico. Successivamente verranno descritti tre esempi concreti di sistemi dinamici che presentano un comportamento caotico: il pendolo magnetico, la mappa logistica e il moto di una biglia in particolari biliardi (il biliardo di Sinai e il biliardo a forma di stadio). Tali sistemi dinamici sono stati utilizzati nella sequenza didattica progettata nell’ambito di questa tesi.