LA LEGGE DEL MOTO

Il movimento di una particella rigida è determinato dalla risultante delle forze e dei momenti che agiscono su di essa e può essere descritto in termini di moto di traslazione e di rotazione. Il primo è definito dall’accelerazione (x&& ) del centro _i

della particella; il secondo da quella angolare (ω&& ). i

Indicando con Fi la risultante delle forze applicate all’elemento e con gi il vettore

accelerazione di gravità, l’equazione del moto di traslazione di una particella di massa m diventa (Fortin, 2005):

(

)

i m x g

F = ⋅ && − (7.12)

Il moto di rotazione invece può essere descritto dall’equazione:

i i I

M = ⋅ω&& (7.13)

dove Mi è la risultante dei momenti agenti sulla particella ed I il suo momento

7.6. LO SMORZAMENTO

L’energia cinetica che si genera nel sistema in seguito all’interazione tra le particelle è dissipata attraverso i relativi slittamenti. Nel caso in cui questi ultimi non siano sufficienti a far raggiungere al modello uno stato di equilibrio, entra in gioco il fattore di smorzamento (local damping) che applica ad ogni elemento costituenti una forza di smorzamento (damping force) proporzionale alla corrispondente forza non bilanciata (unbalanced force). Quest’ultima è un parametro che permette di controllare se il modello ha raggiunto l’equilibrio statico; il sistema, infatti, si considera in equilibrio quando la massima forza non bilanciata è piccola rispetto a quelle applicate. Se l’unbalanced force si attesta ad un valore costante non nullo (seppur piccolo) significa che, probabilmente, si stanno verificando rotture o deformazioni plastiche all’interno del modello (Jensen et al., 1999 e 2001).

Il fattore di smorzamento si introduce nell’equazione del moto (7.12) come segue (Hazzard, 2000):

(

)

id

i F m x g

F + = ⋅ && − (7.14)

dove Fid rappresenta la forza di smorzamento valutabile in funzione della velocità

della particella (x& ) mediante la seguente equazione: i

i i id F x

F =−α⋅ ⋅& (7.15) Il valore del coefficiente di smorzamento α varia tra 0 ed 1; di default è pari a 0.7. 7.7. LA CREAZIONE DEL MODELLO

7.7.1. Introduzione

Per la definizione di un modello è necessario specificare:

• la distribuzione e le dimensioni delle particelle che compongono il sistema;

• il comportamento dei contatti e le proprietà dei materiali, che dettano il tipo di risposta del mezzo quando è sottoposto ad una causa perturbatrice; • le condizioni al contorno e quelle iniziali, che definiscono la situazione in

situ, cioè prima dell’introduzione della perturbazione.

La procedura generale di soluzione prevede la valutazione dello stato di equilibrio iniziale del sistema, l’applicazione delle alterazioni ed il calcolo della risposta del modello (Figura 7.5).

Start

MODEL SET-UP

1. Generate assembly of particles and compact 2. Define contact behaviour and material properties 3. Specify boundary and initial conditions

Step to initial equilibrium state

Examine the model response

PERFORM ALTERATIONS (for example: excavate material,

change boundary conditions) Model makes sense

Step to solution Examine the model response Acceptable result End No More tests needed Yes Parameter study needed Results unsatisfactory

Figura 7.5: Procedura di soluzione generale di PFC (Itasca, 2002). 7.8. LA GENERAZIONE DELLE PARTICELLE

Gli elementi che compongono il sistema possono essere generati attraverso due procedure distinte (Jiang et al., 2003; Koerner, 1999)):

• quella semplice, che prevede la creazione di una particella per volta definendone il raggio, la posizione ed il numero identificativo (ID

number). Sulla base delle informazioni ricevute il software inserisce

l’elemento nella posizione fissata, sovrapponendolo ad eventuali altri già esistenti. La sovrapposizione al momento della generazione può creare tensioni e forze di repulsione iniziali molto elevate, ragione per cui questa procedura non si utilizza frequentemente;

• quella generale, che consiste nel creare un insieme iniziale di particelle specificandone le dimensioni dell’area occupata, l’intervallo di variazione del raggio (rmin ed rmax) e la relativa distribuzione granulometrica. Il

software provvede a creare queste ball disponendole in modo casuale all’interno dello spazio fissato non permettendo però la sovrapposizione tra particelle o tra particelle ed elementi al contorno. Questa procedura è quella più utilizzata in quanto consente di generare sistemi formati da molti elementi in tempi di calcolo ragionevoli.

Una volta create le particelle, le si compatta utilizzando diverse modalità (Dolezalova, 2002)):

• per spostamento delle pareti: consiste nell’avvicinare reciprocamente i confini del sistema fino al raggiungimento della densità desiderata. Questo tipo di approccio presenta notevoli problemi in quanto:

• andando a spostare le pareti, si perde la geometria iniziale del modello; • la convergenza all’equilibrio è molto lenta, in quanto il disturbo che si

genera ai confini deve propagarsi all’interno;

• la distribuzione di particelle ottenuta non è uniforme;

• per espansione dei raggi (generation by radius expansion): consiste nel creare un insieme iniziale di particelle di piccolo raggio, successivamente dilatate fino al raggiungimento della densità prevista. È il metodo più semplice ed affidabile, in quanto mantiene le dimensioni iniziali del sistema e, espandendo le particelle dello stesso fattore in tutte le direzioni, gli conferisce proprietà uniformi ed isotrope (Figura 7.6);

(a) (b)

Figura 7.6: Istante iniziale (a) e finale (b) del procedimento di generazione per espansione (Itasca, 2002).

• per repulsione esplosiva (generation by explosive repulsion): consiste nel creare un insieme iniziale di particelle di raggio tale da raggiungere la porosità desiderata. Queste ultime sono disposte casualmente all’interno del sistema con conseguenti sovrapposizioni (Figura 7.7) ed elevate forze di repulsione che possono raggiungere valori tali da permettere ad alcune ball di sfuggire attraverso le pareti del sistema.

(a) (b)

Figura 7.7: Istante iniziale (a) e finale (b) del procedimento di generazione per esplosione (Itasca, 2002).

Sfruttando la logica clump e quella cluster, il software prevede inoltre la possibilità di modellare elementi di forma generica ottenuti assemblando particelle circolari che mantengono la stessa posizione reciproca durante l’intera simulazione (Figure 7.8 e 7.9). L’unità così formata può essere dotata di comportamento rigido (clump) o deformabile (cluster). In questo modo è possibile

Figura 7.8: Elementi clump o cluster (Konietzky, 2002).

Figura 7.9: Interazione tra elementi clump costituiti da tre particelle (Thomas et al., 1997).