ILTeorema di Pick
Questo teorema venne scoperto daGeorge Alexander Pick,
un matematico austriaco, amico di Einstein, morto nel 1943 in uncampo di concentramento in Repubblica Ceca.
Teorema di Pick : Sia P poligono semplice ( lati non intrecciati) con
vertici nel reticolo quadrato. La sua area è data dalla formula:
Con :B = nodi sul bordo del poligono I =nodi interni al poligono
1 -I 2 B ) (P= + Area =8 =5 8 1 -5 2 8 1 -I 2 B ) (triangolo = + = + = Area
Ho chiesto come avrebbero fatto a calcolare l’area del triangolo sen-za Pick:
“conto i quadrati”, ma poi si accorgono che è difficile
“base per altezza diviso due”, ma si accorgono di non sapere quando valgono
“costruisco un rettangolo e sotraggo le aree dei triangoli rettangoli”, metodo è molto laborioso.
Ecco, invece, che la formula di Pick riesce a dare un risultato im-mediato.
Iniziamo la dimostrazione del teorema, partendo da una mappa con-cettuale che riassume i passi principali della dimostrazione.
Schema della dimostrazione Ogni poligono è
triangolabile
2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo
1) Pick vale per UNIONE
di poligoni reticolari
Pick vale per figure formate dall’UNIONE di TRIANGOLI
Partiamo dimostrando che la formula di Pick è additiva e che vale per triangoli.
Passo 1) La formula è additiva. Questa parte della dimostrazione è stata rivista varie volte. Inizialmente volevamo provare a presentarla con una dimostrazione valida in generale per due poligoni, nella quale, però, comparivano un sacco di lettere (vedi approfondimenti).
Pochi giorni prima ci siamo convinti che sarebbe stato troppo impe-gnativo per i ragazzi seguirla, soprattutto di un tecnico. Allora ab-biamo deciso di fargli prendere atto della validità dell’additività con un esempio, che ho costruito su Geogebra.
L’esercizio aveva un pulsante che permetteva di mostrare la costru-zione delle figure passo per passo.
s o .
Questa figura è la stessa che avevano della scheda, dove dovevano compilare la parte in cui di chiedevano :I, B e l’area con Pick.
La domanda che ho fatto è stata: “ma siamo sicuri che se Pick vale per le due figure a sinistra, vale ancora per la figura a destra ottenuta come unione delle due?“
Un ragazzo ha fatto notare che ci sono dei nodi che a destra sono nel bordo che poi diventano interni e che quindi la formula di Pick poteva cambiare. Allora ho colto l’occasione per far svolgere l’esercizio fino a verificare che effettivamente la formula è additiva.
Ogni triangolo generico può essere inscritto in un rettangolo con lati paralleli ai bordi :
quindi la sua area , può essere calcolata:
Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(triangoli rettangoli)
Poiché Pick vale per le unioni di poligoni , cioè se sommo o sottraggo poligoni:
ci basta dimostrare che Pick vale per RETTANGOLI e TRIANGOLI RETTANGOLI.
2) Pick vale per TRIANGOLI nel reticolo
T Passo 2…
Per dimostrare questo abbiamo osservato che in realtà ci basta di-mostrare Pick per triangoli rettangoli e per rettangoli. Prima di ini-ziare , ho fatto fare ai ragazzi una piccola riflessione, come è possibile vedere nella slide seguente.
*piccola osservazione!
“Un contadino deve alberare un viale lungo 6 metri, con alberi distanti 1 metro l’uno dall’altro….
Di quanti alberi avrà bisogno?”
“Un geometra deve progettare un porticato lungo 10 metri, con colonne distanti 1 metro l’una dall’altra.
quante colonne deve realizzare?”
Attenzione! Nel geopiano vale la stessa regola per i NODI e le UNITA’! Ogni segmento lungo nunità contiene n+1 nodi
6 unità , 7 nodi !
Poi ho chiamato alla lavagna uno studente e ho fatto dimostrare che Pick vale per i rettangoli, seguendo questa slide:
Pick vale per RETTANGOLI?
Supponiamo di avere un rettangolo di baseb e
altezza h. (Es. nella figura b=4 unità, h=6 unità ) ¾ Per la formula geometrica conosciuta:
area(rettangolo)= b ·h
Siamo sicuri che anche Pick mi da questo risultato? Proviamo
Nodi sul bordo = B= (b+1)+(b+1)+(h+1)+(h+1)-4 = = 2b+2h
Nodi all’interno = I= (b-1)·( h-1) = b·h-b-h+1 Applicando la formula di Pick si ha:
Area con Pick(rettangolo) =
= b · h 1 -I 2 B + (b·h -b-h 1)-1 2 2h) (2b+ + + = 1 -1 h -b -b·h h b+ + + =
Il ragazzo ha seguito un procedimento di conteggio diverso dal mio: contava mentre cerchiava i nodi con il pennarello magnetico. E’ stato molto interessante vedere che ci sono più metodi per il conteggio . Il suo è stato:
(b+1)+h+b+(h-1)=2b+2h
Abbiamo poi calcolato quelli interni, osservando che in ogni riga c’erano (b-1) nodi interni e (h-1) righe. Abbiamo poi verificato che, sostituendo nella formula di Pick il conteggio fatto, ottenevamo la formula per l’area conosciuta.
Poi abbiamo fatto fare la stessa cosa ad un altro ragazzo, ma stavol-ta con i triangoli retstavol-tangoli.
Pick vale per TRIANGOLI RETTANGOLI?
Supponiamo di avere un TRIANGOLO
rettangolo di baseb e altezza h.
(Es. nella figura b=4 unità, h=5 unità ) ¾Per la formula geometrica conosciuta:
area(rettangolo)= (b · h)
2 Siamo sicuri che anche Pick mi da questo risultato? Proviamo
Nodi sul bordo=B= (b+1)+(h+1)-1 = b+h+1 Nodi all’interno=I= (b-1)·( h-1)
2
Area con Pick(triang. rettangolo) = = ………. = 2 h · b 1 -I 2 B +
A questo punto, un ragazzo ha fatto una domanda davvero oppor-tuna: “ ma se ho nodi anche nell’ipotenusa come faccio?”
Volontariamente avevo lasciato quel caso per semplificare la dimo-strazione, però mi ha fatto
davvero piacere che qualcu-no l’abbia chiesto. Ho spie-gato che in quel caso pos-siamo sempre tracciare delle linee a partire dai nodi sull’ipotenusa che dividono il triangolo rettangolo in
ret-tangoli e triangoli retret-tangoli senza nodi nell’ipotenusa.
Poiché Pick è additiva, la formula di conseguenza varrà per l’intero triangolo rettangolo.
Nella figura precedente si trovano i due esempi fatti. Come possiamo notare a destra compaiono dei quadrati nella scomposizione e qualcu-no ha fatto la seguente osservazione:
“ma noi per i quadrati non l’abbiamo mica dimostrato Pick!” Allora ho spiegato la definizione di quadrato e il fatto che il quadra-to è un particolare rettangolo.
A questo punto ho mostrato di nuovo lo schema della dimostrazione, evidenziando le parti che avevamo già dimostrato. Siamo arrivati a concludere che Pick vale per unioni di triangoli.
Passo 3) Ogni poligono è triangolabile
Avevo preparato anche la dimostrazione per induzione di questo fat-to, ma i ragazzi erano già stanchi, si vedeva dalle loro facce. Allora abbiamo solo triangolato un poligono insieme e abbiamo detto che qualsiasi poligono è triangolabile.
Ho ricordato loro l’importanza della triangolazione per dei geometri: Ogni poligono è triangolabile?
Abbiamo già visto con la scheda alcuni metodi per triangolare:
• Triangolazione (web)
Ma siamo sicuri che anche i poligoni più difficili sono triangolabili? Dimostrazione per induzione.
TRIANGOLAZIONI A RETE ESEGUITE DALL' I.G.M.I. (Istituto geografico militare) PER COPRIRE IL TERRITORIO ITALIANO.
La triangolazione è un metodo di rilevamento del terreno introdotto dal geodeta olandese Snellius nel 1617.
Concludiamo cosi la dimostrazione del teorema e li lasciamo svolgere gli ultimi due esercizi della scheda.
A fine lezione cari-chiamo tutta la presen-tazione pdf su internet e chiediamo ai ragazzi di fare una breve rela-zione su quanto fatto a lezione.
LEZIONE 4 . ( 40 minuti ) 06-02-2014
Questa lezione è stata pensata per due motivi principali: il primo è che i ragazzi hanno in programma il teorema di Pitagora e quindi ab-biamo pensato di introdurlo con il Geopiano e l’altro è che durante il tirocinio osservativo mi sono resa conto che non sono riusciti ad assi-milare bene i concetti di equivalenza ed equiscomponibiltà.
Abbiamo pensato di fare una lezione che mettesse insieme questi due argomenti.
Scheda 4: Il Teorema di Pitagora
Cosa faremo: riprenderemo i concetti di equivalenza, equiscomponibilità e congruenza e dimo-streremo il Teorema di Pitagora
Due poligoni sono:
- CONGRUENTI: quando possono essere sovrapposti mediante un movimento rigido. - EQUIVALENTI: quando hanno la stessa area.
- EQUISCOMPONIBILI: quando sono somme degli stessi poligoni congruenti. Esercizio 1) Costruire nel Geopiano e nella griglia stampata:
- 2 poligoni equivalenti ma non congruenti - 2 poligoni equiscomponibili.
Esercizio 2) Costruire due figure diverse tra loro ma con lo stesso numero di nodi sul bordo e di nodi interni. Utilizzando il teorema di Pick, cosa possiamo affermare con certez-za?_______________________________________
Esercizio 3) Indicare per ogni affermazione se è vera o falsa:
- poligoni congruenti sono sempre equivalenti V F
-poligoni equivalenti sono sempre congruenti V F
-poligoni equiscomponibili sono sempre equivalenti V F -poligoni congruenti sono sempre equiscomponibili V F
Abbiamo chiesto ai ragazzi di leggere le definizioni e cercare riflet-tere e rispondere alle domande degli esercizi. Ci siamo resi conto che, mentre per equivalenza e congruenza sono riusciti a capirne il senso dopo qualche esercizio, per quanto riguarda l’equiscomponibilità tutti avevano il medesimo concetto errato: