SCHEDE II A

¾ Costruisci le seguenti figure nel reticolo quadrato del Geopiano: - Un triangolo rettangolo isoscele

- Un quadrato con le diagonali parallele ai bordi del Geopiano

- Due triangoli che abbiano come altezza un segmento contenente 6 nodi. ¾ Costruisci le seguenti figure nel reticolo triangolare del Geopiano: - Un trapezio rettangolo

- Un triangolo equilatero

- Un triangolo con nessun lato parallelo ai bordi del Geopiano - Un parallelogramma con lo stesso numero di nodi in ogni lato.

Cosa abbiamo imparato:

Data Classe

Nomi dei componenti del gruppo

Scheda 2: Triangolazione e Conteggio dei Nodi

Cosa faremo: cercheremo di triangolare alcuni poligoni e cercheremo delle relazioni “particolari” tra nodi

Triangolare un poligono: scomporlo in triangoli, non necessariamente congruenti tra loro. I triangoli non

devono sovrapporsi l’un con l’altro e i loro lati non devono intrecciarsi. Esercizio 1) Triangola le seguenti figure nel reticolo quadrato del Geopiano:

Figura

a)

Figura

b)

Figura

c)

Esercizio 2) Inventa una figura e fai una triangolazione.

- Ogni poligono è triangolabile?____________________________________________________________ - Che metodo hai usato per triangolare?_____________________________________________________

Chiamiamo :

- NODI INTERNI: i nodi che non toccano nessun lato del poligono. Li indicheremo con la lettera “I”.

- NODI sul BORDO: i nodi che toccano (internamente o esternamente) un lato. Li indicheremo con “B”

Esercizio 3) Utilizzando le figure dell’Esercizio 1) , completa la tabella qui a fianco:

Assumiamo che il lato di ogni quadrato del reticolo sia 1 unità = ͳݑ. Quanto sarà la sua area?__________ Un rettangolo con base 3ݑ e altezza ʹݑ, avrà una misura di superficie di ______. In effetti esso è costituito da _________ quadrati del reticolo, ognuno di area_______, come detto precedentemente.

Nodi interni = I Nodi sul bordo = B Figura a)

Figura b)

Esercizio 4) Cerchiamo di vedere se esiste una relazione tra I , B e l’area di un poligono. Osserva le seguenti figure e completa la tabella:

Figura

d)

Figura

e)

Figura

f)

Figura

g)

Figura

h)

Figura

i)

- Noti qualche relazione particolari tra i nodi?_________________________________________________________ - vedi delle relazioni particolari tra i nodi e l’area dei poligoni? ___________________________________________

Prova a trovare un formula GENERALE, che leghi queste tre quantità. Se è necessario, costruisci nel Geopiano altri poligoni di cui sai calcolare l’area e conteggia nodi interni ed esterni.

(Geopiano online: http://www.geogebra.org/en/upload/files/italian/giovanna/grigliaPick.html ) Nodi interni = I Nodi sul bordo = B AREA

Figura d) Figura e) Figura f) Figura g) Figura h) Figura i)

Data Classe

Nomi dei componenti del gruppo

Scheda 3: Il Teorema di Pick per poligoni semplici

Teorema di Pick . Sia P poligono semplice ( lati non intrecciati) con vertici nel reticolo quadrato. La sua area è data

dalla formula: 

࡭࢘ࢋࢇሺࡼሻ ൌ^࡮ ૛^{൅ ࡵ െ ૚} Con : B = nodi sul bordo , I =nodi interni

NOVITA’!! Riusciamo a calcolare le AREE , contando PUNTI!

E’un formula potente e molto semplice, ma ha una dimostrazione complicata.

1)

Componendo figure, la formula di Pick continua a valere? Vediamolo con un esempio.

I I I

B B B

2)

Pick vale per i TRIANGOLI nel reticolo ?

Ogni triangolo generico può essere inscritto in un rettangolo con lati paralleli ai bordi. Quindi la sua area , può essere calcolata:

Area(T) = Area(Rettangolo) - Area(Triangoli rettangoli)

Poiché Pick vale per unioni di poligoni per 1), basta dimostrare che Pick vale per RETTANGOLI e TRIANGOLI RETTANGOLI. Vediamolo:

¾ Pick vale per Rettangoli?

¾ Pick vale per Triangoli Rettangoli?

Quindi Pick vale rettangoli e per triangoli rettangoli! E da quello che abbiamo dimostrato in 1) segue che: * Attenzione! Nel Geopiano ogni segmento lungo n unità contiene n+1 nodi.

3)

Ogni poligono è triangolabile?

Triangola il seguente poligono:

Abbiamo già visto con la scheda precedente alcuni metodi per triangolare. (C’è una dimostrazione per induzione…)

METTENDO INSIEME I Passi 1) 2) E 3) SIAMO RIUSCITI A DIMOSTRARE CHE

PICK VALE PER OGNI POLIGONO RETICOLARE.

ESERCIZI:

• Scegli una figura a tuo piacimento, costruiscila nel Geopiano e nella griglia stampata. Poi dividila in due poligoni e completa la tabella:

x Triangola nella griglia stampata una delle seguenti figure. Poi riproducila nel Geopiano e calcolane l’area con Pick.

Data Classe

Nomi dei componenti del gruppo

Scheda 4: Il Teorema di Pitagora

Cosa faremo: riprenderemo i concetti di equivalenza, equiscomponibilità e congruenza e dimostreremo il Teorema di Pitagora

Due poligoni sono:

- CONGRUENTI: quando possono essere sovrapposti mediante un movimento rigido. - EQUIVALENTI: quando hanno la stessa area.

- EQUISCOMPONIBILI: quando sono somme di poligoni congruenti. Esercizio 1) Costruire nel Geopiano e nella griglia stampata:

- 2 poligoni equivalenti ma non congruenti - 2 poligoni equiscomponibili.

Esercizio 2) Costruire due figure diverse tra loro ma con lo stesso numero di nodi sul bordo e di nodi interni. Utilizzando il teorema di Pick, cosa possiamo affermare con certezza?_________________________________________

Esercizio 3) Indicare per ogni affermazione se è vera o falsa: - poligoni congruenti sono sempre equivalenti V F -poligoni equivalenti sono sempre congruenti V F -poligoni equiscomponibili sono sempre equivalenti V F -poligoni equivalenti sono sempre equiscomponibili V F

Si racconta che Pitagora abbia scoperto il suo teorema mentre stava aspettando di essere ricevuto da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo del tiranno di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento..si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su di una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali: l’area del quadrato costruito sulla diagonale di uno dei due triangoli rettangoli risultava il doppio dell'area di una piastrella.

Esercizio 4) Costruire nel reticolo quadrato del Geopiano e in quello stampato, un triangolo rettangolo isoscele con cateti lunghi 3 unità.

- Dimostrare che vale ancora il Teorema di Pitagora utilizzando l’equiscomponibilità. - Verificare il Teorema di Pitagora utilizzando la formula di Pick

TEOREMA DI PITAGORA: In ogni triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti:

- COMPLETARE LE DUE DIMOSTRAZIONI: 1) Dimostrazione geometrica :

ܿଶൌ ܽଶ൅ ܾଶ

2) Dimostrazione algebrica:

TEOREMA DI PITAGORA ESTESO: Nel teorema di Pitagora costruiamo dei quadrati sui lati del triangolo rettangolo. In realtà se al posto dei quadrati costruiamo altri POLIGONI REGOLARI (o dei SEMICERCHI), vale ancora la regola:

AREA del poligono costruito sull’ipotenusa = SOMMA DELLE AREE dei poligoni costruiti sui due cateti

Esercizio 5) Utilizzando il reticolo triangolare del Geopiano, costruire il triangolo rettangolo

mostrato in figura.

- Costruire un triangolo equilatero su ogni lato del triangolo rettangolo

- verificare il Teorema di Pitagora esteso utilizzando la formula di Pick per il reticolo triangolare:

ۯܚ܍܉ሺ۾ሻ ൌ ሺ^۰

૛^{൅ ۷ െ ૚ሻ ή} ξ૜

Data Classe Nomi dei componenti del gruppo

Scheda 5: Proporzionalità tra grandezze e incommensurabilità

Esercizio 1) Costruire nel Geopiano e nella griglia stampata: - un rettangolo di area 6 ݑଶ ed uno di area doppia. -un triangolo di area 6 ݑଶ ed uno di area doppia.

Che metodo hai usato?___________________________________________________________________________ Esercizio 2) In un dialogo, tratto dal Menone, Platone scrive il seguente dibattito tra Socrate e uno schiavo:

<< …Socrate: “Il lato di questo quadrato è di due piedi; quanto sarà quello del quadrato avente superficie doppia?”

Schiavo: “ Evidentemente il doppio, Socrate!” …>>

- Secondo voi, lo schiavo ha ragione? SI NO

- Perché?________________________________________________

1. Costruire nel Geopiano (e nella griglia stampata) un quadrato ABCD di lato 2 unità ed accanto un quadrato di lato doppio. Osservare la figura:

- Quanti quadrati congruenti ad ABCD contiene il secondo quadrato? ____________________________ - Qual è il rapporto tra le superfici dei due quadrati costruiti?__________________________________ - Ha ragione lo schiavo?______________________________________

2. Consideriamo adesso il solito quadrato ABCD e un quadrato che pensate possa avere superficie doppia rispetto ad ABCD.

- Che quadrato avete ottenuto?Siete riusciti a disegnarlo nel geopiano?___________________________ - Secondo voi, a quale valore deve avvicinarsi la misura del lato del quadrato cercato?_____________________

3. Riprendiamo il quadrato ABCD , costruire nel geopiano (e nella griglia stampata) il quadrato DBEF avente per lato la diagonale DB.

- Come è la superficie del tr.rettangolo BCD rispetto a quella di ABCD?______________________________ - Quanti triangoli congruenti a BCD sono contenuti in DBEF? ____________________________________ - Quale è il rapporto tra le superfici dei quadrati?_________________________________________ - Che tipo di numero rappresenta il lato del quadrato cercato?_______________________________ 4. Esponi in forma di dimostrazione geometrica il punto 3 (consiglio:utilizzare l’equiscomponibilità) Esercizio 3) - Cosa significa che due grandezze sono incommensurabili?

2.2.6 Punti in comune tra l’attivit`a con il Geopiano e la programmazione

Nel documento Universit`a degli Studi di Firenze Scuola di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali (pagine 36-48)