definizioni e le scoperte della lezione precedente. Alle domande fatte hanno risposto immediatamente, senza esitazione. Abbiamo perciò svelato la risposta alle domande riguardanti i poligoni costruibili nel Geopiano: nel reticolo quadrato possiamo costruire solo il quadrato tra i poligoni regolari e in quello triangolare, solo il triangolo equilate-ro e l’esagono regolare. Sono tutti d’accordo e poniamo una domanda non presente nella scheda:
“ Avendo scoperto che il quadrato non può essere costruito nel reti-colo triangolare, vi viene in mente qualche triangolo particolare, lega-to al quadralega-to, che quindi non può essere costruilega-to?”
I ragazzi ci pensano, ma effettivamente la domanda non è facile. Li aiutiamo, chiedendo in quali triangoli può essere scomposto un qua-drato. Rispondono che può essere scomposto in due triangoli rettango-li e che quindi i triangorettango-li rettangorettango-li non si possono costruire nella gri-glia triangolare, allora dico: “mi state dicendo che i triangoli rettangoli non possono essere fatti nel reticolo triangolare?..provateci allora!” Ne trovano subito qualcuno…allora pongo di nuovo la domanda chie-dendo come devono essere i lati del triangolo ottenuto dal quadrato e sento esclamare: “ ah! Allora non possiamo fare i triangoli isosceli!” Chiedo di nuovo di costruire un triangolo isoscele e ovviamente ci rie-scono.
Accorgendomi che nessuno arriva a dire triangolo isoscele rettangolo, facciamo un ripasso sulla classificazione dei triangoli in base ai lati e in base agli angoli. Ricordo che le due classificazioni si intersecano, ovvero quando chiedo: “può esistere un triangolo rettangolo isoscele ?” dopo qualche secondo di silenzio finalmente, M. dice.” Giusto! Certo che esiste! Basta prendere i cateti uguali e l’angolo retto!Allora nel reticolo quadrato non si può fare, altrimenti se lo sdoppio potrei fare anche un quadrato!”
Iniziamo allora la parte finale della scheda: ¾ Costruisci le seguenti figure nel reticolo quadrato del Geopiano:
- Un triangolo rettangolo isoscele
- Un quadrato con le diagonali parallele ai bordi
- Due triangoli che abbiano come altezza un segmento contenente 6 nodi. ¾ Costruisci le seguenti figure nel reticolo triangolare del Geopiano:
- Un triangolo equilatero
- Un triangolo con nessun lato parallelo ai bordi
- Un parallelogramma con lo stesso numero di nodi in ogni lato.
Dopo aver visto la facilità con la quale hanno costruito il primo tri-angolo retttri-angolo isoscele e avendo notato che anche questa volta hanno sempre la forma standard, siamo tentati di proporre questa co-struzione: un triangolo rettangolo con ipotenusa parallela ad un bordo del Geopiano ( a scelta se quadrato o triangolare).
Più o meno tutti ci riescono dopo varie prove, ma poi risulta difficile dare una dimostrazione matematica del perché quell’angolo è retto.
In generale i triangoli ottenuti sono riconducibili a questi due casi:
Abbiamo ricordato che le diagonali del quadrato e quelle del rombo sono ortogonali tra loro. Poiché i cateti dei due triangoli rettangoli stanno in queste diagonali, come di vede dalla figura successiva, allora essi sono ortogonali tra loro e il triangolo è davvero rettangolo. Cioè, nella figura sotto a sinistra abbiamo due quadrati evidenziati uguali e quindi le diagonali formate dell’elastico sono ortogonali tra loro, men-tre nella figura a destra sono le due diagonali dei due rombi affiancati ad essere ortogonali.
Dopo aver svolto l’esperienza ci è venuto in mente che forse un mo-do migliore per far capire che il triangolo è rettangolo nell’angolo in alto è quello di considerare una sola figura, non due come fatto in classe. Ovvero:
In questo modo utilizziamo un solo poligono per ogni caso, del quale tracciare le diagonali.
Durante la conclusione della scheda ci stupiamo di come la domanda sulla costruzione di un triangolo con nessun lato parallelo ai bordi ab-bia creato difficoltà. Notiamo che in un foglio ab-bianco è semplicissimo disegnarlo, ma nel Geopiano la costruzione non è cosi naturale. Entro la fine della lezione tutti ci riescono con un po’ di fatica.
Un’ ultima osservazione che voglio fare riguarda ciò che mi ha detto un ragazzo dopo aver costruito questa figura :
Mi chiede: “Prof. Scusi, questa figura ha i lati uguali e le diagonali parallele ai bordi, ma non è un quadrato, è un rombo! Per essere un quadrato dovrebbe essere girato il Geopiano..”
Questo è uno dei misconcetti di cui parlavamo nell’introduzione a questo lavoro: l’immagine mentale prevale sulla definizione.
Riprendo la definizione di quadrato ed insieme verifichiamo che ef-fettivamente è soddisfatta dalla sua costruzione. Lui capisce e si stu-pisce positivamente quando dico.
“un poligono che sia un quadrato, che ha quindi quelle proprietà, ri-mane un quadrato . Da qualunque parte tu lo guardi,tu lo giri, tu lo disegni. Sono le due proprietà che ti ho appena detto, che lo distin-guono dalle altre figure. “
LEZIONE 3. (1 ora) 27-01-2014
In questa lezione abbiamo utilizzato il Geopiano per studiare alcune proprietà dei numeri naturali. Abbiamo introdotto il significato di “numero figurato”, ovvero numeri rappresentati geometricamente con punti. Vennero studiati da Pitagora e dalla sua scuola, dove si era so-liti rappresentare i numeri come punti sulla sabbia o mediante ciotto-li: per questo venivano classificati a seconda delle forme che si ottene-vano disponendoli in vari modi come figure geometriche.
Al posto dei ciottoli e dei punti, in classe, abbiamo utilizzato i nodi del Geopiano triangolare.
Prima di iniziare la scheda 2, abbiamo fatto qualche esempio alla la-vagna. Il numero:
- 3 è triangolare,poiché tre nodi possono formare un triangolo - 4 è quadrato
- 5 è pentagonale,
- 6 è sia esagonale, ma anche triangolare, in quanto può formare un triangolo equilatero.
Iniziamo ad analizzare la famiglia dei numeri triangolari con i se-guenti esercizi.