3.5 Strategie di Rilevazione ed Isolamento Guasti per Sistem
3.5.1 Location Observer
Il Location Observer `e progettato per fornire una stima dello stato corrente qi del sistema, a partire dall’analisi delle informazioni relative agli ingressi
ed alle uscite, sia continue che discrete, di Hp. Di importanza notevole `e il
concetto di completa osservabilit`a della componente discreta di Hp, in quanto
da esso dipendono le scelte di progetto dell’osservatore discreto.
Sia M l’automa a stati finiti associato al sistema ibrido Hp definito da (2.22)-
(2.26)
σ(k + 1) ∈ ˆφ (q(k)) = [
x∈X,u∈U
φ (q(k), x, u)
Un osservatore O che restituisce la stima dello stato discreto corrente q(k) di M dopo ogni osservazione ψ(k) `e l’automa a stati finiti:
˜
q(k + 1) ∈ ϕO(˜q(k), ψ(k + 1)) (3.93)
con QO ∈ 2Q, ΣO = Φ, ΦO = QO.
L’osservatore riceve in ingresso l’uscita discreta ψ(k) di M ; l’output prodotto da O `e la stima ˜q(k) dello stato discreto q(k), che rappresenta il sottoinsieme di Q dei possibili stati discreti nei quali M potrebbe trovarsi dopo il k-mo evento.
La funzione di transizione dell’osservatore ϕO `e costruita per ispezione di M
seguendo l’algoritmo per il calcolo dell’albero di osservazione definito in [16]. In Figura 3.5 `e mostrato l’albero di osservazione, costruito per ispezione sulla base dell’algoritmo di Caines et al., del sistema ibrido riportato in Figura 2.2. Si precisa che un tale approccio `e applicabile solo nel caso di completa osser- vabilit`a dell’automa M , [15].
Teorema 3.3 [15] L’automa a stati finiti M `e completamente osservabile se e solo se l’osservatore corrispondente O (3.93)-(3.94) `e tale che:
1. l’insieme Q ∩ QO `e non-vuoto;
2. ogni ciclo primario Qi
c⊂ QO `e tale che l’insieme Qic∩ QO `e non-vuoto;
3. il sottoinsieme Q ∩ QO `e ρO-invariante
In sostanza, l’automa M `e completamente osservabile se esiste un intero K ta- le che, per ogni condizione iniziale q0∈ Q e per ogni sequenza di ingresso σ(k),
lo stato discreto q(i) pu`o essere determinato, per ogni i > K, dalla sequenza di osservazione ψ(k) attraverso un qualunque algoritmo di tipo deterministico.
Figura 3.5.Albero dell’osservatore ibrido
Nel caso in cui l’automa a stati finiti che descrive l’evoluzione discreta di Hp non sia completamente osservabile a partire dalle sequenze discrete di
input/output, allora, per stimare lo stato discreto corrente si sfrutta l’infor- mazione relativa alla componente continua del sistema, [15].
La Figura 3.6 mostra un automa a stati finiti non osservabile. Si noti, infatti, che dallo Stato 1 `e possibile transitare verso gli Stati 2 e 4 con la stessa se- quenza ingresso/uscita discreta (1/b).
3.5 Strategie di Rilevazione ed Isolamento Guasti per Sistemi LPV Ibridi 69
In particolare, siano N′ le dinamiche continue associate al sistema ibrido
1/b 0/a 0/a 1/b 1/b 0/b 0/a 1 4 2 3 0/b 0/a 0/a 0/b 1/b 1/b 0/a 1,2,3,4 2 2,4 3 0/a 4 (a) (b)
Figura 3.6. Automa a stati finiti non osservabile: automa a stati finiti M (a) e relativo osservatore O (b).
(2.26), (Ai(ρ(t)), Bi(ρ(t)), Ci(ρ(t)), Di(ρ(t))), i = 1, . . . , N′.
Se tali dinamiche continue, sono diverse in ogni stato q di Hp, allora, `e pos-
sibile utilizzare il Location Observer riportato in Figura 3.7, per stimare lo stato discreto del sistema.
Figura 3.7.Schema Location Observer
Tale osservatore dello stato discreto si compone di due blocchi fondamentali: il Signatures Generator ed il Location Identification Logic.
Il Signatures Generator `e costituito da un generatore di residui e da una fun- zione di decisione (Figura 3.7) ed ha il compito di individuare quale dinamica, tra quelle appartenenti ad un set di dinamiche conosciute, caratterizza il si- stema continuo.
Assumiamo che il Location Observer abbia stimato in modo corretto lo stato discreto corrente qi del sistema. Supponiamo, inoltre, che in un determinato
istante di tempo t il sistema Hp passi in un nuovo stato discreto qm 6= qi.
Allora il Location Observer, sulla base delle informazioni relative alla compo- nente discreta ed alla componente continua del sistema, deve essere in grado di individuare la transizione di stato ed allo stesso tempo rilevare il nuovo stato corrente qm.
Per raggiungere la completa osservabilit`a dell’evoluzione discreta di Hp, il
Signatures Generator deve quindi essere in grado di rilevare N′ differenti di-
namiche continue.
L’approccio pi`u semplice prevede l’uso di un generatore dei residui costituito da un banco di N′ osservatori di Luenberger, ognuno dei quali `e associato ad
una dinamica del sistema:
˙zm(t) = Hm(ρ(t))zj(t) + Bm(ρ(t))u(t) + Lm(ρ(t))y(t)
˜
rm(t) = Cm(ρ(t))zj(t) + Dm(ρ(t))u(t) − y(t) (3.95)
dove:
- zm`e la stima dello stato continuo di Hp
- ˜rm`e l’errore di stima o residuo
- Lm(ρ(t)) `e il guadagno dell’osservatore
- Hm(ρ(t)) = Am(ρ(t)) − Lm(ρ(t))Cm(ρ(t))
Il guadagno dell’osservatore deve essere progettato in modo tale da garantire reiezione dei disturbi e guasti. Una possibile scelta progettuale `e rappresen- tata dalla definizione di un osservatore il cui guadagno `e ottenuto attraverso un problema di ottimizzazione standard della norma H∞.
Gli N′ residui ˜r
msono utilizzati per rilevare la dinamica continua corrente.
Inoltre, poich`e le dinamiche continue del sistema ibrido potrebbero essere soggette a disturbi e malfunzionamenti il guadagno Lm(t) del generatore dei
residui (3.95) deve essere progettato in modo tale da garantire un adeguato livello di reiezione di disturbi e guasti.
In particolare i residui ˜rmsono elaborati attraverso il modulo Decision Func-
tion, che genera N′ segnali binari sulla base di una logica di decisione del
tipo:
rm(t) =
1 se k˜rm(t)k ≤ ε
0 se k˜rm(t)k > ε per m = 1, . . . , N′ (3.96)
dove ε `e una soglia scelta in modo opportuno.
Il segnale binario cos`ı ottenuto viene utilizzato per garantire l’osservabilit`a dell’automa a stati. In Figura 3.8 `e riportato l’automa di Figura 3.6 per il quale, grazie all’introduzione del Location Observer, `e possibile costruire il relativo osservatore.
In questo caso l’osservabilit`a `e garantita dall’introduzione del segnale binario r2.
Il teorema seguente fornisce la condizione sufficiente per garantire che il se- gnale binario assuma il valore rm= 1 in un intervallo di tempo ∆, a seguito
di una transizione del sistema ibrido Hp in un nuovo stato discreto avente
dinamiche continue (Am(ρ(t)), Bm(ρ(t)), Cm(ρ(t)), Dm(ρ(t))).
Teorema 3.4 Sia ∆ > 0 un intervallo di tempo, ε > 0 un valore di soglia e Z0
un upper-bound per kx − zik. Se il guadagno dell’osservatore (Li(ρ(t)))(3.95)
3.5 Strategie di Rilevazione ed Isolamento Guasti per Sistemi LPV Ibridi 71 1/b 0/a 0/a 1/b 1/b 0/b 0/a 1 4 2 3 1/b 0/a 0/a 1/b 1/r2 1,2,3,4 4 2 3 0/b 0/r2 (a) (b)
Figura 3.8.Automa a stati finiti osservabile: automa a stati finiti M (a) e relativo osservatore O (b) α(Hi(ρ(t))) ≤ 1 ∆log n kCi(ρ(t))k k(Hi(ρ(t)))Z0 ε (3.97)
allora ri assume valore 1 prima che sia trascorso un intervallo di tempo ∆, a
seguito di una transizione che porta il sistema ibrido in uno stato discreto ca- ratterizzato da dinamiche continue (Am(ρ(t)), Bm(ρ(t)), Cm(ρ(t)), Dm(ρ(t))),
m = 1, ..., N′, m 6= i.
Gli rm segnali binari generati, congiuntamente alle sequenze ingresso/uscita
discrete (σ,ψ), sono analizzati dal modulo Location Identification Logic per la stima lo stato discreto corrente qm.
Da un punto di vista formale il Location Identification Logic non `e altro che l’osservatore O definito in (3.93, 3.94) in cui vengono utilizzati come ingressi aggiuntivi i segnali binari rmin modo da renderlo current-location osservabile.
Lo stato discreto stimato ˜qm, restituito dal blocco Location Identification Lo-
gic, viene utilizzato dal Continuous Observer (vedi Figura 3.4) insieme alle sequenze ingresso/uscita continue (u,y) per calcolare la stima ˜x delle variabili continue di Hp.