Meccanica del Continuum di Cauchy

La meccanica del continuo studia il comportamento di corpi continui. For- malmente, si definisce corpo continuo un corpo i cui punti materiali sono assimilabili con i punti geometrici di una regione regolare dello spazio e do- tati di massa per i quali esista una funzione densità di massa che ne possa rappresentare la misura.

Sia i solidi che i fluidi appartangono al modello corpo continuo che è associato al concetto di corpo deformabile, poichè mentre il moto le varie componenti sono sottoposte a variazioni di forma e di volume. I continui deformabili possono essere visti come sistemi con infiniti gradi di libertà e le relative equazioni meccaniche assumono la forma di equazioni alle derivate parziali. Una classificazione di tali modelli può essere fatta in base alla dimensione dello spazio considerato. Rientra tra i modelli tridimensionali il continuo di

Cauchy, che è quello più conosciuto ed importante.

Lo studio del comportamento meccanico dei corpi continui si suddivide in tre fasi: la caratterizzazione cinematica, la definizione di relazioni generali di bilancio e di relazioni costitutive caratterizzanti il materiale che costituisce il

corpo. I primi due insiemi di equazioni rappresentano dei vincoli indipenden- ti dal materiale, mentre l’ultima equazione è legata allo specifico materiale constituente il corpo.

L’importanza della meccanica del continuo nasce dal fatto che tratta quan- tità fisiche indipendenti dal sistema di coordinate in vui vengono osservate, rappresentate quindi da tensori.

6.4.1.1 Cinematica

La cinematica analizza il moto e la deformazione di un corpo continuo a prescindere dalle cause che lo determinano. Un sistema si può ritenere co- me continuo alla Cauchy se si possono identificare i suoi elementi con punti geometrici di una regione regolare B. Questa regione è definita come confi-

gurazione del corpo.

É ovviamente possibile definire una configurazione K(B) ed indentificare ogni punto materiale del corpo con la sua posizione X in tale configurazione, de- finita configurazione di riferimento.

Una nuova configurazione è data dalla relazione vettoriale x = χ(X) che lega le varie posizioni dei punti.

Naturalmente affinchè essa possa essere ritenuta una variazione di configura- zione valida, l’applicazione χ(·) deve avere certe proprietà matematiche che traducano certe proprietà fisiche. É infatti necessario che i punti materiali mantengano la loro univocità, senza lacerazioni o comprenetrazioni di ma- teria. É necessario che la funzione χ(·) sia sufficientemente regolare, come nello specifico il gradiente della deformazione F = ∇χ(X).

Il moto è quindi spiegabile tramite una sequenza di cambiamenti di confi- gurazioni al variare del tempo. Esso è pertanto dato da un’applicazione del tipo x = χ(X, t) e da quest’ultima definizione si possono derivare concetti di moto come i campi vettoriali di velocità e di accelerazione.

Figura 6.2: Configurazione di Riferimento e Deformata del Continuo di Cauchy (fonte: [14])

L’analisi della deformazione consiste nello studio della funzione x = χ(X) che porta il corpo dalla configurazione iniziale alla configurazione deformata. Si definisce così lo spostamento del tipo u(X ) = χ(X) − X .

In particolare si definisce il gradiente della deformazione come:

F = I + ∇u(X ) (6.1) Il gradiente della deformazione è una misura della deformazione di un intorno di un generico punto.

In generale uno spostamento generico di un corpo è formato da uno sposta- mento e una deformazione pura. Effettuando una decomposizione polare del tensore si ottiene F = RU = VR con R tensore ortogonale e (U, V) tensori simmetrici e definiti positivi detti rispettivamente tensore destro e sinistro

della deformazione.

Una deformazione pura è necessariamente indipendente dalla rotazione rigida e quindi dal tensore R, per cui se ne deduce che è solo dipendente dai tensori destro o sinitro. Per tale motivo è bene definire il tensore di Green-Cauchy come:

E = 1 2(F

T_{F − I) (6.2)}

6.4.1.2 Bilancio

Come nella meccanica classica anche la meccanica del continuo ha concetti come: la massa e le forze. Alcune leggi note comeprincipi fondamentali della

meccanica legano questi concetti al concetto del moto.

ogni parte P del corpo possieda una massa m(P) definita come un numero reale positivo con la proprietà di continuità assoluta rispetto al volume del corpo. Ciò assicura l’esistenza di una funzione densità di massa ρ(·) > 0 definita sulla generica configurazione del corpo χ(B), tale che la massa di una sua generica parte sia misurata dall’integrale di volume:

m(P) =

Z

χ(P

ρ(x)dv (6.3)

A partire da questi concetti è possibile definire le forze che possono essere di due tipi: forze di massa e forze di contatto. A partire da tutto ciò è possi- bile definire un tensore delle tensioni T che rappresenti l’energia del sistema a causa di una deformazione avvenuta per un carico sul corpo continuo.

Figura 6.3: Forze di Massa e di Contatto nel Continuo di Cauchy (fonte: [15])

6.4.1.3 Legami Costitutivi

I legami costitutivi caratterizzano il comportamento del particolare materia- le costituente il corpo. Al variare di tali legami si avrà quindi una classe differente di materiale ideale (comportamenti ideali quali: elasticità, plasti- cità, viscosità, ecc.) che rappresentano un modello di comportamento per i materiali reali.

Una classe molto importante di materiali è quella dei materiali elastici, che godono della caratteristica per cui lo stato di tensione di deformazione, dipen- dente dal tempo, T(x, t) è determinato soltanto dallo stato di deformazione di tale configurazione rispetto alla configurazione di riferimento, e non da tutta la storia passata. Perciò per tali materiali il legame costitutivo è ricon- ducibile alla forma T(x, t) = T(F).

In particolare si parla di materiale iperelastico se esiste un funzionale del solo stato di deformazione attuale φ(E), con E tensore di Cauchy-Green, tale che il relativo gradiente sia rappresentativo dello stato di sollecitazione e cioè se vale la relazione S = _δEδφ. Si può quindi definire, per i materiali iperelastici, la potenza dello stato tensionale

W(P, t) = Z K(P) S · ( d dtE)dV = d dt Z K(P) φ(E)dV (6.4)

Esistono ovviamente altre classi di materiali che però esulano dallo studio di questa tesi e per questo non verranno affrontati.