Metodo di inversione basato sulla geometria del cratere

cratere residuo di Wang et al. [66]

Wang et al. [66] hanno proposto un nuovo metodo per determinare le pro- priet`a elastiche e plastiche di materiali metallici usando solo l’impronta resi- dua dell’indentazione sferica. Il vantaggio di questo metodo `e che non neces- sit`a la conoscenza dell’intera storia di carico dell’indentazione [28]. Quindi, l’esperimento pu`o essere facilmente implementato con una macchina per pro- ve di durezza e un microscopio per misurazioni laser 3D.

L’impronta residua contiene le caratteristiche di deformazione essenziali del materiale (pile-up e sink-in) ed `e strettamente collegata alle propriet`a costi- tutive del materiale.

Gli autori hanno studiato una lega di alluminio, pi`u precisamente il 2099-T83 Al-Li, ampiamente usato nell’industria aerospaziale. Le propriet`a meccani- che di questo materiale sono state ricavate tramite una prova di trazione monoassiale secondo gli standard ASTM [58]. Tramite fitting usando la leg- ge di incrudimento di Hollomon, hanno determinato le seguenti propriet`a meccaniche: E = 77.68GP a, σy = 372.60M P a e n = 0.0678.

Nelle prove di indentazione eseguite, con diametro dell’indentatore pari a 2.50mm, Wang et al. [66] hanno utilizzato due carichi di indentazione, pa-

ri a 612.745N e 1838.235N ; questi sono risultati in valori del rapporto tra profondit`a residua e raggio dell’indentatore hf/R di 0.0415 e 0.123, rispetti-

vamente.

Gli autori hanno definito una funzione di costo da minimizzare per determi- nare i parametri costitutivi del materiale indentato, adoperando la tecnica della decomposizione ortogonale propria [66]. Questa `e stata parametrizzata con funzioni a base polinomiale e per risolverla `e stato usato l’algoritmo di ottimizzazione del Interior-point [7, 45].

Un classico modello FEM 2D assialsimmetrico `e stato usato da Wang et al. [66] per simulare il processo di indentazione, modellando il materiale in- dentato con la nota legge di Hollomon modificato (vedi eq. 3.5 e 3.6). Il rumore presente nei dati sperimentali ottenuti dalle prove di indentazione `

e stato rimosso tramite l’utilizzo di un approccio adjacent-averaging (AAv), ottenendo dati lisci.

L’intervallo di materiali considerati per il processo di inversione numerica `e 30GP a ≤ E ≤ 110GP a, 280M P a ≤ σy ≤ 460M P a e 0.005 ≤ n ≤ 0.125.

Essendo la funzione di costo non convessa, gli autori hanno deciso di utiliz- zare otto differenti possibili punti iniziali per il loro algoritmo di inversione e sono stati considerati due approcci: nel primo, i dati relativi ai due carichi di indentazione sopra menzionati sono stati inseriti nell’algoritmo separata- mente; nel secondo, `e stata fatta una media prima di elaborare i dati. I risultati dell’algoritmo di inversione ottenuti adottando il primo approccio sono riportati in fig.3.2, mentre le linee tratteggiate rappresentano i valori attesi: E = 77.68GP a, σy = 372.60M P a e n = 0.0678. Gli autori hanno

quindi concluso che per il carico di 612.745N il problema `e mal posto e non si ha unicit`a della soluzione; per il carico di 1838.235N , al contrario, il pro- blema risulta essere ben posto e i risultati ottenuti dagli otto diversi punti di partenza convergono a valori molto vicini a quelli attesi.

Wang et al. [66] hanno investigato in maniera pi`u approfondita gli insod- disfacenti risultati ottenuti per il carico pi`u ridotto, attestando che data soluzione aveva identificato tre materiali caratterizzati da parametri costitu- tivi diversi tra di loro (fig. 3.3), che per`o forniscono risposte all’indentazione praticamente identiche, un esempio dei cosiddetti ”materiali mistici” [12].

Figura 3.2 Processo di iterazione per l’identificazione di tre parametri del materiale: E, σy, n della lega 2099-T83 Al-Li. In (a), (c) ed (e), `e stata usata l’impronta del singolo esperimento al carico di 612.745N . In (b), (d) e (f), `e stata usata l’impronta del singolo esperimento al carico di 1838.235N [66].

Figura 3.3 I parametri del materiale identificato ricavati dall’analisi inversa usando i dati dell’impronta singola ottenuti al carico di 612.745N [66].

Ricordando che, per il valore di carico pi`u piccolo hf/R = 0.0415, mentre

Figura 3.4 Le impronte residue di tre materiali mistici sotto due carichi differenti [66].

per quello pi`u grande che ha dato ottimi risultati, hf/R = 0.123, gli au-

tori hanno supposto che l’unicit`a della soluzione del problema di inversione potesse dipendere dall’entit`a dell’indentazione. Il problema principale `e la mancanza di indicazioni sull’entit`a del carico che si deve applicare in una situazione reale, in cui non si conosce nulla del materiale che si ha inten- zione di identificare, per far s`ı che il problema di inversione sia ben posto. La soluzione proposta da Wang et al. [66] `e quella di eseguire una media dei dati ottenuti dai due diversi carichi di indentazione prima di adoperare l’algoritmo di inversione.

In fig. 3.5 si mostrano i risultati di questo secondo approccio, che sono in buon accordo con quelli del primo, per il carico maggiore. L’errore rispetto

Figura 3.5 Processo di iterazione per l’identificazione di tre parametri del materiale: E, σy e n della lega 2099-T83 Al-Li usando la media pesata dei dati ottenuti ai due carichi scelti 612.745N e 1838.235N . In (a) per E, in (b) per σye in (c) per n [66].

ai dati sperimentali ottenuti dalla prova di trazione `e stato quantificato es- sere inferiore al 10%.

Infine, Wang et al. [66] hanno verificato la sensitivit`a del metodo da loro proposto rispetto a errori sperimentali, introducendo un disturbo di ±5% sui dati in ingresso e ottenendo buoni risultati in uscita, con oscillazioni di pochi punti percentuali per E e σy, ma superiori al 10% per n.

3.3

Procedure di valutazione basate sull’ana-

lisi della curva carico-profondit`a di inden-

tazione

Dedurre le propriet`a costitutive comparando la curva sperimentale L-h di un materiale indentato con una curva L-h generata artificialmente e corri- spondente ad una struttura costitutiva nota pu`o rappresentare un’alternativa molto attraente e potente. Tuttavia, per implementare questa idea, devono prima essere definiti una struttura costitutiva e un criterio di comparazione. Oltre a ci`o, essendo impossibile creare un database infinito di curve per co- prire tutte le combinazioni possibili dei parametri costitutivi scelti per de- scrivere il comportamento del materiale, deve essere definita una procedure automatica per generare una generica curva L-h da un numero finito di curve predefinite, assicurando quindi l’esistenza di un termine di paragone per ogni curva sperimentale.

Questi studi possono essere divisi in due categorie: nella prima, la deforma- zione rappresentativa dipende solo dai parametri misurati (L e h) [31, 67, 9, 10, 47] e nella seconda, dipende da L, h e dai parametri meccanici della legge di incrudimento di Hollomon (σy e n) [63, 31, 10, 32]. In tutti questi

studi, sono stati proposti dei metodi di identificazione di questi parametri meccanici.

Nei prossimi due sotto paragrafi, verranno introdotti brevemente i metodi basati sullo studio della curva L-h che si appoggiano alla definizione di una deformazione caratteristica; e quelli basati sulla correlazione diretta tra curva L-h e curva σ-ε, per poi passare ad analizzare pi`u nel dettaglio le metodologie pi`u recenti e innovative.