Procedure basate sulla correlazione diretta tra L-h e σ-ε

L-h e σ-ε

Approcci basati sulla correlazione diretta tra la curva L-h e la corrisponden- te curva tensione-deformazione possono essere trovati in Nayebi et al. [43, 44]. Il metodo proposto prevede l’approssimazione della curva L-h con una funzione polinomiale determinata tramite modellazione FEM di processi di indentazione sferica su materiali elasto-plastici che ubbidiscono alla legge di Hollomon. Anche se la procedura sviluppata da Nayebi et al. [43, 44] `e ca- ratterizzata da una grande semplicit`a, manca di utilit`a pratica perch´e pu`o essere valutata la curva L-h di una sola classe di materiali. Oltre a ci`o, gli autori non specificano come la procedura di ottimizzazione funzioni e quale tipo di errore sia stato minimizzato.

Un metodo pi`u elaborato basato sulla stessa idea `e stato proposto da Be- ghini et al. [57]. Anche in questo caso, la struttura costitutiva considerata per generare le curve teoriche L-h `e quella di Hollomon. Sono state consi- derate svariate combinazioni dei parametri costitutivi del materiale (E, σ0,

ni materiali metallici. Dato che il modulo di Young pu`o essere considerato approssimativamente costante all’interno di ogni classe di materiale, dove il rapporto di Poisson `e vicino a 0.3 per quasi ogni metallo, i parametri costi- tutivi sono stati ridotti alla tensione di snervamento σ0 e il coefficiente di

incrudimento n. Per le tre classi di materiali considerate dagli autori: allu- minio, rame e acciaio; sono stati identificati intervalli specifici, all’interno dei quali la tensione di snervamento e il coefficiente di incrudimento possono va- riare, e il database di curve L-h `e stato infine ottenuto tramite modellazione FEM.

Analizzando l’intero database di curve L-h simulate, `e stata trovata una espressione che approssima ogni curva entro ogni classe di materiali conside- rata. E’ stata attuata un’analisi inversa dopo aver scelto il criterio adatto per comparare le curve sperimentali L-h con le curve di riferimento corri- spondenti ad una coppia di valori noti σ0 e n.

Secondo gli autori, la convessit`a del problema assicura l’esistenza di un mi- nimo e di una rapida convergenza della soluzione per ogni gruppo di punti sperimentali.

3.3.3

Procedura di inversione di Moussa et al. [40]

Le deformazioni rappresentative menzionate nel par.3.3.1 non hanno signifi- cato fisico (tranne la definizione di Zhao et al. [67]). In pi`u, nessuno di questi studi ha dato una chiara risposta sulla validit`a della legge di incrudimento identificata e della sensitivit`a della prova di indentazione sferica ai parametri della legge di incrudimento. Questi parametri sono stati calcolati tramite fitting della risposta all’indentazione di un certo intervallo di propriet`a dei materiali.

Il lavoro proposto da Moussa et al. [40, 41] `e uno studio di identificazione per l’indentazione sferica usando la curva L-h. Si divide in due parti: nella pri- ma verr`a introdotto il problema e data una nuova definizione di deformazione rappresentativa; nella seconda, questo concetto verr`a sfruttato per identifi- care la legge tensione-deformazione, partendo dalla curva carico-profondit`a di indentazione, applicandolo per varie h.

Definizione della deformazione rappresentativa

In questa prima parte viene presentata un’analisi agli elementi finiti su ma- teriali elasto-plastici per definire la precisione della soluzione che pu`o essere determinata dalla curva L-h. `E proposto un metodo di identificazione, non basato su alcuna assunzione, ed `e definita una deformazione rappresentati- va. Il metodo conduce alla identificazione di un dominio di confidenza che tiene conto delle imprecisioni sperimentali e della eterogeneit`a del materiale. Questo metodo viene applicato per il caso di hmax/R = 0.23, con indentatore

avente raggio di 0.5mm.

Il materiale scelto per questo studio `e una lega di acciaio 20MnB5, e l’ana- lisi sperimentale per asserirne l’omogeneit`a e quindi la buona riproducibilit`a dell’esperimento `e riportata in [40].

Gli autori hanno definito l’errore usato per quantificare la differenza tra due curve di indentazione, ERM S(hmax/R) = s 1 hmax Z hmax 0 (F1− F2)2dh (3.4)

dove R `e il raggio dell’indentatore, h la profondit`a di indentazione e F1 e F2

i carichi per due curve considerate.

Per tenere conto delle imprecisioni sperimentali e l’eterogeneit`a del materiale, ERM S `e stato calcolato tra la curva media di quattro curve di indentazione e

ognuna di queste quattro curve. I valori di ERM S sono presentati in fig. 3.6.

Gli autori [40] hanno poi definito il modello agli elementi finiti adottato

Figura 3.6 Valori del ERM S calcolati tra la curva media e le quattro curve sperimentali [40].

per simulare il processo di indentazione: l’indentatore ha E = 600GP a e ν = 0.23; il coefficiente di attrito `e fissato a 0.1. Il modello costitutivo scelto per il materiale indentato `e quello di Hollomon modificato:

σ = Enσ1−n_y εn(σ ≥ σy) (3.6)

Lo studio dell’andamento dell’errore ERM S tra la curva media sperimentale

prima definita e varie curve di indentazione ottenute da simulazioni FEM `e stato quindi usato dagli autori per studiare l’influenza dei parametri della legge di incrudimento sulla curva di indentazione.

I risultati ottenuti da questo studio sono presentati in fig. 3.7, nella quale si nota la presenza di una ”valle” in cui i valori di ERM S sono minimi e

quasi identici. La fig. 3.7 mostra anche che questa ”valle” ha una direzione. Purch´e la variazione di ERM S nella valle sia piccola, esiste un minimo per

il materiale studiato. I parametri del materiale che portano al minimo sono σy = 240M P a e n = 0.182 e sono rappresentati da un punto nero nella figura

seguente. Questo risultato prova l’unicit`a della soluzione quando viene usata

Figura 3.7 Distribuzione dell’errore quadratico medio (ERM S) tra la curva di indentazione speri- mentale media e ognuna delle curve di indentazione del database. I piccoli cerchi rappresentano le coppie di parametri che si trovano sul fondo della valle [40].

l’indentazione sferica per l’identificazione della tensione di snervamento e del coefficiente di incrudimento del materiale.

In seguito gli autori hanno sostituito la seguente grandezza al posto di σy,

k = (1 − n) logσy

E (3.7)

che porta la ”valle” a non essere pi`u incurvata (fig. 3.8) e permette di notare che la distribuzione di ERM S nel piano k-n prende la forma di un cono a

base ellittica. Moussa et al. [40] hanno, a questo punto, definito una funzio-

Figura 3.8 Distribuzione dell’errore quadratico medio (ERM S) tra la curva di indentazione sperimentale media e ognuna delle curve di indentazione del database sul piano k-n [40].

ne analitica a cinque parametri, che descrive la distribuzione di ERM S senza

bisogno di un grande numero di prove sperimentali per formare un database. I cinque parametri vengono ottenuti dal valore minimo di una funzione di costo che valuta l’errore tra il ERM S e l’errore descritto dalla funzione di cui

sopra, chiamato Eellipse.

La comparazione tra le due distribuzioni `e riportata in fig.3.9, nella quale le due distribuzioni si sovrappongono perfettamente, provando la bont`a del modello di cono a base ellittica adottato dagli autori [40]. Nella fig. 3.10 sono

Figura 3.9 Comparazione tra la distribuzione di ERM S e Eellipse[40].

disegnate, per comparazione, le quattro curve sperimentali con la loro cur- va media e la curva corrispondente al materiale di Hollomon con parametri costitutivi (σ0, n) uguali alle coordinate del punto di minimo della distribu-

zione di ERM S. La deformazione media rappresentativa `e stata identificata

tracciando l’andamento di varie curve caratterizzate dai parametri costituti- vi (σy, n) che si trovano sul fondo della valle (piccoli cerchi in fig.3.8), come

mostrato in fig. 3.11. Queste si intersecano tutte in uno stesso punto, ad una ascissa di 0.0487 per il caso considerato, che risulta quindi essere la zo- na nella quale la legge di incrudimento di Hollomon `e meglio caratterizzata

Figura 3.10 Comparazione tra le curve della prova di trazione e le leggi di incrudimento identificate con la definizione di cono ellittico dalla curva di indentazione media sperimentale e le quattro curve di indentazione sperimentali [40].

e identificata partendo da una curva L-h, ed `e stato scelto da Moussa et al. [40] come valore della deformazione media rappresentativa εaR. A diffe-

renza di studi precedenti (alcuni dei quali descritti nel paragrafo 3.3.1), la εaR

proposta dagli autori `e strettamente determinata dall’osservazione della ri- sposta del materiale all’indentazione sferica, senza dipendere dalla scelta dei parametri funzionali usati per descrivere il processo di indentazione. Inol- tre, negli altri studi la deformazione media rappresentativa `e ottenuta per uno specifico stato di indentazione [1, 8-13, 15-17, 19 MOUSSA], questo stu- dio supera tale limitazione avendo proposto una εaR caratteristica dell’intera

risposta all’indentazione. Sfortunatamente, questo metodo consente di otte- nere informazioni dettagliate sulla parte di curva σ-ε vicina a εaR e non di

identificare la legge di incrudimento di Hollomon del materiale.

Per tenere conto della eterogeneit`a del materiale e gli errori sperimentali, gli autori [40] hanno deciso di definire un dominio della soluzione in base all’errore massimo presentato in fig. 3.6 tra la curva L-h media e le quattro curve sperimentali da cui `e stata generata. In fig. 3.12 `e mostrata la curva

Figura 3.11 Leggi di incrudimento dei materiali i cui set di parametri (σy, n) si trovano sul fondo della valle (rappresentati dai piccoli cerchi in fig. 3.8) e la percentuale del gap relativo massimo tra queste curve [40].

di livello per Eellipse = 2.5N (errore massimo della tabella in fig. 3.6). Dato

che tutti i materiali contenuti in questa regione danno vita a curve L-h con ERM S minore di 2.5N , questa curva di livello `e definita dagli autori come il

dominio della soluzione. Il dominio di confidenza `e l’equivalente del dominio

Figura 3.12 Dominio della soluzione con i set di parametri del materiale identificato dalle quattro curve sperimentali e quella media [40].

della soluzione nel piano σ-ε. Gli inviluppi di tutte le curve σ-ε ottenute da materiali interni al dominio sono riportati in fig. 3.13(a).

In fig. 3.13(b) sono evidenziate, insieme agli inviluppi, le curve corrispon- denti ai punti a, b, c, d, con i quali sono indicati i punti di intersezione del dominio della soluzione con i suoi assi principali. Dato che le due regioni sono praticamente uguali, il dominio di confidenza viene definito dalle curve corrispondenti ai quattro punti sopra citati; cos`ı facendo il dominio della so- luzione viene ridotto da un’ellisse a un rombo. Gli autori [40] hanno ottenuto

Figura 3.13 (a) Soluzione identificata e dominio di confidenza limitato dall’inviluppo (b) Zoom su εar: soluzione identificata, dominio di confidenza limitato dall’inviluppo e leggi di incrudimento corrispondenti ai punti a, b, c, d sopra descritti [40].

le ascisse dei punti di intersezione delle curve di fig. 3.13(b) εab e εbc, tra i

quali viene definito l’intervallo di confidenza. Ogni legge di incrudimento di Hollomon localizzata all’interno dell’intervallo di confidenza tra εab e εbc `e al

suo interno per ogni valore della deformazione. Il dominio di confidenza `e quindi definito dalle leggi di incrudimento corrispondenti ai punti b e d, tra εab e εbc, come mostrato in fig. 3.13(b). Questo studio ha perci`o mostrato

come, in accordo con diverse pubblicazioni [9, 10, 32], sia possibile ottene- re un set di parametri del materiale unico (σy, n) da una singola curva L-h

di una prova di indentazione sferica. `E per`o anche stato dimostrato come, in campo sperimentale, sia impossibile parlare di unicit`a della soluzione, se vengono usate due o pi`u curve di indentazione, che `e inevitabile a causa degli errori sperimentali e l’eterogeneit`a del materiale. La soluzione deve perci`o essere un dominio che include i parametri identificativi ottenuti da ognuna delle curve di indentazione.

Identificazione della legge di incrudimento sfruttando εaR per di-

versi valori della profondit`a di indentazione

Una volta definita la deformazione rappresentativa [40], gli autori hanno pensato di sfruttare questo concetto per diversi valori della profondit`a di in- dentazione, ottenendo quindi l’intervallo delle deformazioni per cui la legge di incrudimento `e identificata in maniera precisa e permette di determinare un dominio di confidenza che tiene conto delle imprecisioni sperimentali e l’eterogeneit`a del materiale.

Dopo aver ideato questo nuovo metodo che permette di identificare il set di parametri (σy, n) della legge di Hollomon `e stata proposta la deformazio-

ne rappresentativa per una profondit`a di indentazione specifica (hmax/R =

0.2344). Dato che la deformazione rappresentativa definita dagli autori in- dica la parte della legge di Hollomon che viene identificata con la maggiore precisione, Moussa et al. [41] hanno pensato di applicare questa procedura per varie profondit`a di indentazione.

Come riportato in fig.3.15, la profondit`a massima di indentazione ha una for- te influenza sui valori dei parametri identificati: con l’aumentare del rapporto

Figura 3.14 Comparazione tra le curve della prova di trazione, le leggi di incrudimento identificate usando le quattro curve di indentazione sperimentali e il dominio di confidenza. (a) Curva totale tensione-deformazione (b) Zoom sul valore della deformazione rappresentativa media [40].

hmax/R si ha un aumento di n e una riduzione di σy. I risultati presentati in

Figura 3.15 Set di parametri del materiale (σy, n) identificati tramite indentazione sferica per differenti profondit`a di indentazione (0.0055 ≤ hmax/R ≤ 0.2344) per il caso della lega di acciaio 20MnB5 e il caso di un materiale con σy= 260M P a e n = 0.16 (risultati simulazione FE) [41].

nero sono stati ottenuti dal 20MnB5, mentre i risultati in rosso derivano da un materiale che segue la legge di Hollomon. Per quest’ultimo, i valori otte- nuti di σy e n sono quasi identici per ogni valore di hmax/R. Quando la legge

di incrudimento corrisponde perfettamente alla legge di Hollomon quindi, la profondit`a di indentazione non ha effetto sui parametri identificati.

Alla luce di questo fatto, Moussa et al. [41] hanno deciso di usare la defor- mazione rappresentativa, che prima era stata adoperata solo per identificare la zona meglio descritta della legge di incrudimento, per costruirla punto a punto.

Sono stati quindi calcolati vari set di valori (εar, σar) per diversi hmax/R, e il

risultato di questa procedura viene mostrato in fig.3.16. Per tenere conto del- le imprecisioni sperimentali e della eterogeneit`a del materiale, gli autori [41] hanno calcolato il Root Mean Square Error ERM S tra la curva sperimentale

Figura 3.16 Curve dalla prova di trazione, legge di incrudimento identificata con il metodo proposto e dominio di confidenza determinato [41].

simo valore di ERM S per ogni valore di hmax/R.

La curva media unita al massimo valore di ERM S ha portato alla caratteriz-

zazione di un dominio di confidenza che tiene conto degli aspetti ”reali” del problema. Per ogni valore di hmax/R `e stato dunque identificato un massi-

mo e un minimo valore della tensione, in questo modo gli autori [41] hanno costruito il dominio di confidenza punto a punto (fig. 3.17). Si pu`o notare come le quattro leggi identificate dalle curve sperimentali siano all’interno del dominio di confidenza. Dominio che si riduce in ampiezza con l’aumentare della profondit`a di indentazione, pi`u grande `e h e maggiore risulta essere la precisione dell’identificazione dalla curva L-h mediante il metodo proposto dagli autori [41].

Infine, `e stato eseguito uno studio sull’effetto della scelta della espressione dell’errore, valutando il Root Mean Square Relative Error RERM S,

RERM S(hmax/R) = 100 s 1 hmax Z hmax 0  F1− F2 F1 2 dh (3.8)

Figura 3.17 Dominio di confidenza e le quattro leggi di incrudimento identificate determinate da ognuna delle curve L-h sperimentali [41].

al posto del ERM S.

Bench´e la definizione di un nuovo errore porti a delle differenze nei parametri della legge di Hollomon identificati (σy, n), la fig. 3.18 mostra che la legge

di incrudimento identificata si sovrappone alle curve della prova di trazione, confermando che la deformazione media rappresentativa indica in maniera accurata la parte della legge di incrudimento che `e identificata quando si usa la curva L-h. Gli autori [41] hanno concluso che la scelta dell’errore influisce solo sull’intervallo di deformazioni nel quale la legge di incrudimento viene identificata e l’ampiezza del dominio di confidenza.

Figura 3.18 Curve della prova di trazione, leggi di incrudimento identificate con il metodo proposto usando RERM S e il relativo dominio di confidenza [41].

3.4

Conclusioni

L’analisi fatta in questo capitolo ha mostrato che la stima delle propriet`a costitutive dei materiali metallici pu`o essere portata avanti analizzando la geometria del cratere e il campo di deformazioni plastiche sotto l’indentato- re, oltre alla caratteristica curva carico-profondit`a di indentazione. E’ stato osservato che la modellazione numerica gioca un ruolo chiave nello studiare la risposta all’indentazione dei materiali. Il ruolo dell’attrito non `e stato ana- lizzando approfonditamente, pur essendo nota la sua influenza significativa sull’evoluzione del profilo del cratere e il campo di deformazioni plastiche nella regione di indentazione.

Sviluppo di strumenti utilizzati

per l’Analisi Diretta

Dopo aver parlato dello stato dell’arte attuale per ci`o che riguarda l’inden- tazione strumentata e le propriet`a che `e possibile inferire grazie a questa tecnica, il presente capitolo tratta del lavoro che `e stato fatto per creare uno strumento informatico, scritto in linguaggio MATLAB, che ci consente di effettuare un processo di analisi diretta, ovvero di ottenere la curva di inden- tazione L-h partendo dai parametri costitutivi di Hollomon (σ0, n). L’analisi

diretta `e il primo passo fondamentale in un studio che ha come obiettivo la possibilit`a di ottenere la curva σ-ε partendo dalla curva L-h, tramite un pro- cesso di analisi inversa. In breve, partendo da una serie di dati sperimentali, consistenti nelle curve tensione-deformazione (σ-ε), ottenute tramite prove di trazione monoassiale, si passa a quelle tensione true-deformazione true pla- stica ˜σ-˜εpl. Dopo averle rese lisce tramite un algoritmo di fitting con metodo

dei minimi quadrati, ne viene fatta la media sulle ˜σ per ogni valore di ˜εpl e

si ottiene la cosiddetta curva master che potr`a essere inserita in un software di analisi strutturale per eseguire la simulazione FEM di una prova di inden- tazione sferica strumentata.

Inoltre, la suddetta curva master verr`a modificata opportunamente al fine di ottenere una famiglia di curve da questa derivanti. Questo passaggio porta a poter considerare non solo la legge costitutiva di un determinato materiale,

ma di tutti i materiali della stessa famiglia che hanno subito modifiche dei parametri costitutivi, ad esempio tramite trattamento termico o deformazio- ne plastica. Queste potranno poi essere sfruttate per generare un database di curve carico-profondit`a di indentazione (L-h) che costituisce il primo passo per l’analisi inversa della prova di indentazione.

4.1

Preparazione dei dati e prime elaborazio-

ni

Come dati di ingresso il programma necessita di:

• un file di input generale che contenga il numero identificativo del gruppo di dati in ingresso, il numero di provini presi in considerazione e il numero di punti con i quali si vuole ottenere la curva master in uscita;

• i file contenenti i dati sperimentali corrispondenti alle curve fornite per punti, il valore stimato della tensione di snervamento, insieme ad una indicazione della natura dei dati forniti, ovvero se le ε sono ingegneri- stiche oppure sono gi`a state trasformate in plastiche (questo passaggio verr`a spiegato nel dettaglio pi`u avanti).

Il programma in questione `e stato adoperato nel caso particolare per elabo- rare dati riguardanti provini assiali e radiali ricavati da dei dischi di turbina.