In questa sezione è introdotta un’importante famiglia parametrica di serie tem- porali lineari, quella dei processi autoregressivi a media mobile o processi AR- MA.
Definizione 2.5.1. Sia {Zt}t∈Z ∼ WN(0, σ2). La serie temporale {Xt}t∈Z è
un processo autoregressivo a media mobile o ARMA(p, q) se è stazionario e soddisfa l’equazione:
Xt− φ1Xt−1− · · · − φpXt−p= Zt+ θ1Zt−1+ · · · + θqZt−q per t ∈ Z, (2.6)
dove i polinomi φ(z) = 1 − φ1z − · · · − φpzp e θ(z) = 1 + θ1z + · · · + θqzq non
hanno fattori in comune.
È comodo utilizzare la notazione più concisa: φ(B)Xt= θ(B)Zt t ∈ Z.
Definizione 2.5.2. La serie temporale {Xt}t∈Zè un processo ARMA(p, q) con
media µ se {Xt− µ}t∈Zè un processo ARMA(p, q).
Definizione 2.5.3. La serie temporale ARMA {Xt}t∈Zsi chiama:
• processo autoregressivo di ordine p o AR(p) se θ(z) = 1; • processo a media mobile di ordine q o MA(q) se φ(z) = 1.
Un’importante parte della Definizione 2.5.1 è la richiesta che la serie tempo- rale {Xt}t∈Zsia stazionaria.
CAPITOLO 2. MODELLI DI SERIE TEMPORALI 38 Proposizione 2.5.1. Esistenza e Unicità
Dato un rumore bianco {Zt}t∈Z, esiste un’unica serie temporali stazionaria
{Xt}t∈Zche soddisfa l’equazione (2.6) se e solo se:
φ(z) = 1 − φ1z − · · · − φpzp6= 0 ∀z ∈ C tale che |z| = 1.
Dimostrazione. Se φ(z) 6= 0 per ogni z nella circonferenza unitaria, la funzione razionale 1/φ(z) ammette lo sviluppo in serie di Laurent, che si indica con χ(z), in una corona circolare della forma C = {z ∈ C : 1 − δ < |z| < 1 + δ}. In dettaglio: 1 φ(z) = ∞ X j=−∞ χjzj per 1 − δ < |z| < 1 + δ.
La serie converge assolutamente in C e fissata la corona circolare, la rappresen- tazione è unica. Segue che P∞
j=−∞|χj| < ∞. Per cui, è ben definito il filtro
lineare χ(B) con coefficienti assolutamente sommabili: χ(B) =
∞
X
j=−∞
χjBj.
Grazie all’Osservazione 2.8 si può concludere che χ(B)φ(B) = 1. Applicando χ(B)ad entrambi i lati di (2.6) si ricavano le seguenti uguaglianze:
Xt= ψ(B)Zt t ∈ Z, dove ψ(z) = χ(z)θ(z) = ∞
X
j=−∞
ψjzj. (2.7)
Il processo è definito come limite quasi certo e in media quadratica (Teorema 2.4.1). Inoltre, è stazionario per la Proposizione 2.4.1.
Resta da mostrare che la soluzione {Xt}t∈Z trovata è unica. Sia {Yt}t∈Z
un’altra soluzione stazionaria dell’equazione (2.6); soddisfa: φ(B)Yt= θ(B)Zt t ∈ Z.
Applicando χ(B) ad entrambi i lati dell’uguaglianza risulta: Yt=
∞
X
j=−∞
ψjZt−j per t ∈ Z.
In particolare, questo implica che {Yt}t∈Zsia uguale al limite in media quadra-
tica P∞
j=−∞ψjZt−j per t ∈ Z. Questo prova che il processo definito da (2.7) è
l’unica soluzione stazionaria dell’equazione (2.6).
Se il polinomio φ(z) avesse una radice complessa di modulo 1, non esisterebbe nessuna soluzione stazionaria dell’equazione (2.6).
Osservazione 2.9. La Proposizione 2.5.1 prova la buona definizione della fa- miglia dei processi AR(1), introdotta nei paragrafi precedenti (equazione (2.1)). In dettaglio, dato {Zt}t∈Z ∼ WN(0, σ2) esiste un’unica soluzione stazionaria
dell’equazione:
Xt− φ1Xt−1= Zt per t ∈ Z, per ogni φ16= ±1. (2.8)
CAPITOLO 2. MODELLI DI SERIE TEMPORALI 39 I Per |φ1| < 1, è facile verificare che il processo definito da:
Xt= ∞
X
j=0
φj1Zt−j per t ∈ Z,
risolve l’equazione (2.8). I coefficienti del modello sono assolutamen- te sommabili in quanto serie geometrica con ragione |φ1| < 1. Dalla
Proposizione 2.4.1 segue che il processo è stazionario, con media 0 e ACVF: cX(h) = ∞ X j=0 φ2j+|h|1 σ2= σ 2φ|h| 1 1 − φ2 1 .
Il risultato sulla ACVF coincide con quanto trovato precedentemente con il calcolo diretto.
I Nel caso |φ1| > 1, l’unica soluzione stazionaria dell’equazione (2.8) è:
Xt= − ∞
X
j=1
φ−j1 Zt+j per t ∈ Z.
Questa soluzione è considerata innaturale perché il processo {Xt}t∈Z è
correlato con i valori futuri di {Zt}t∈Z, al contrario di quanto accade nella
soluzione per |φ1| < 1, che ha la proprietà che Xtè scorrelato con Zs per
ogni s > t. Per questa ragione, si restringe l’attenzione ai processi AR(1) con |φ1| < 1.
I Per φ1 = ±1, il polinomio φ(z) = 1 − φ1z presenta una radice di mo-
dulo 1. Dalla Proposizione 2.5.1 segue che non esiste nessuna soluzione stazionaria dell’equazione (2.8).
Adesso, si introducono i concetti di causalità e invertibilità. Definizione 2.5.4. Siano {Xt}t∈Ze {Yt}t∈Zdue serie temporali,
• {Xt}t∈Z è causale o è una funzione causale di {Yt}t∈Z, se può essere
rappresentata in termini del valore corrente e dei valori passati di {Yt}t∈Z,
ovvero se esistono delle costanti {ψj}j≥0 tali che:
P∞ j=0|ψj| < ∞ e Xt= ∞ X j=0 ψjYt−j per t ∈ Z. (2.9)
• {Xt}t∈Z è invertibile o meglio è una funzione invertibile di {Yt}t∈Z,
se {Yt}t∈Z è una funzione causale di {Xt}t∈Z, ovvero se esistono delle
costanti {πj}j≥0 tali che: P ∞ j=0|πj| < ∞ e Yt= ∞ X j=0 πjXt−j per t ∈ Z. (2.10)
CAPITOLO 2. MODELLI DI SERIE TEMPORALI 40 Proposizione 2.5.2. Causalità
Un processo {Xt}t∈Z ARMA(p, q) è una funzione causale di {Zt}t∈Z, dove
{Zt}t∈Zè il processo della Definizione 2.5.1, se e solo se:
φ(z) = 1 − φ1z − · · · − φpzp6= 0 per ogni |z| ≤ 1.
Dimostrazione. La dimostrazione segue dalle proprietà delle serie di Laurent. Dall’equazione (2.7) si osserva che {Xt}t∈Zè causale se e solo se χ(z) = P∞j=0χjz j,
che equivale al fatto che il polinomio φ(z) non abbia radici nel disco unitario {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Nel caso di un processo {Xt}t∈Z ARMA(p, q) causale, è facile esplicitare le
costanti {ψj}j≥0in (2.9). La successione {ψj}j≥0è determinata dalla relazione
ψ(z) =P∞
j=0ψjzj= θ(z)/φ(z), o equivalentemente dall’identità:
(1 − φ1z − · · · − φpzp)(ψ0+ ψ1z + ψ2z2+ . . . ) = 1 + θ1z + · · · + θqzq.
Eguagliando i coefficienti di zj per j ≥ 0 si trova:
ψj− p X k=1 φkψj−k= θj j ≥ 0, dove θ0= 1e θj = 0per j > q.
L’invertibilità ha una caratterizzazione simile in termini del polinomio di media mobile θ(z).
Proposizione 2.5.3. Invertibilità
Un processo {Xt}t∈Z ARMA(p, q) è una funzione invertibile di {Zt}t∈Z, dove
{Zt}t∈Zè il processo della Definizione 2.5.1, se e solo se:
θ(z) = 1 + θ1z + · · · + θqzq 6= 0 per ogni |z| ≤ 1.
Dimostrazione. Sia ξ(z) lo sviluppo in serie di Laurent nel disco {z ∈ C : 1−δ < |z| < 1 + δ}con δ > 0 della funzione razionale 1/θ(z):
ξ(z) =
∞
X
j=−∞
ξjzj.
La serie ha coefficienti assolutamente sommabili. Con ragionamenti analo- ghi a quelli fatti nelle dimostrazioni precedenti si osserva che ξ(B)θ(B) = 1. Applicando ξ(B) ad entrambi i lati dell’equazione (2.6) si ottiene:
Zt= ξ(B)φ(B)Xt= π(B)Xt per t ∈ Z,
dove π(z) = ξ(z)φ(z) = P∞
j=−∞πjzj.
La condizione di invertibilità equivale a richiedere che il polinomio θ(z) non si annulli nel disco unitario {z ∈ C : |z| ≤ 1}.
Analogamente a quanto visto per la causalità, dall’equazione (2.10) si tro- va che la successione {πj}j≥0 relativa ad un processo {Xt}t∈Z ARMA(p, q)
invertibile è determinata delle equazioni: πj+ q X k=1 θkπj−k= −φj j ≥ 0, dove φ0= −1e φj= 0per j > p.
CAPITOLO 2. MODELLI DI SERIE TEMPORALI 41
2.5.1
ACVF e ACF di un processo causale ARMA(p,q)
In questo paragrafo si esibisce un metodo per calcolare la funzione di auto- covarianza cX(·) di un processo ARMA(p, q) causale {Xt}t∈Z. La funzione di
autocorrelazione si trova facilmente dalla ACVF dividendo per cX(0).
Sia {Xt}t∈Zun processo ARMA(p, q) causale definito da:
φ(B)Xt= θ(B)Zt t ∈ Z,
con {Zt}t∈Z∼ WN(0, σ2), φ(z) = 1−φ1z−· · ·−φpzpe θ(z) = 1+θ1z+· · ·+θqzq.
L’assunzione di causalità implica che: Xt= ∞ X j=0 ψjZt−j per t ∈ Z, dove ∞ X j=0 ψjzj= θ(z)/φ(z) per |z| ≤ 1.
Nella sezione precedente si è visto come calcolare le costanti {ψj}j≥0. Dalla
Proposizione 2.4.1 si ottiene: cX(h) = σ2 ∞ X j=0 ψjψj+|h|. (2.11)
Esempio: Il processo MA(q) Per il processo:
Xt= Zt+ θ1Zt−1+ · · · + θqZt−q t ∈ Z, {Zt}t∈Z∼ WN(0, σ2),
l’equazione (2.11) fornisce il seguente risultato: cX(h) =
(σ2Pq−|h|
j=0 θjθj+|h| se |h| ≤ q,
0 se |h| > q.
La ACVF di un processo MA(q) ha l’aspetto distintivo di annullarsi per lag maggiori di q. Date le osservazioni {x1, . . . , xn} di una serie temporale, un ap-
proccio per determinare un modello adeguato per rappresentare i dati è cercare di sceglierne uno la cui ACF approssimi la ACF campionaria. Se si trattano dati per cui la ACF campionaria è significativamente diversa da 0 per lag compresi tra 0 e q ed è trascurabile per lag maggiori di q, una scelta appropriata potrebbe essere un modello a media mobile di ordine q.