I modelli di credito a informazione incompleta sono stati introdotti da Duffie e Lando (2001), Giesecke (2001) e Cetin, Jarrow, Protter e Yildirim (2002). Una discussione non tecnica dei modelli a informazione incompleta si ritrova in Goldberg (2004). Alla base di tutti i modelli di credito vi sono il processo d’insolvenza crescente N e il suo compensatore Aτ, grazie alla decomposizione di Doob-Meyer, si pu`o isolare il compensatore dal processo d’insolvenza2. La differenza `e una martingala, un processo equo i cui guadagni o le cui perdite attese sono zero. Il compensatore rappresenta la compensazione cumulativa equa per il rischio di credito a breve termine insito nel processo d’insolvenza. Se vi `e una incertezza a breve termine riguardo all’insolvenza in qualsivoglia stato del mondo, vi sar`a un processo
2Prendendo come tempo di insolvenza casuale τ , definiamo il processo di insolvenza come:
Nt= 1(τ ≤t)=
1 τ ≤ t 0 altrimenti.
Questo `e un processo puntiforme con un salto dimensionale pari a uno al momento dellinsolvenza. Essendo crescente, il processo dinsolvenza ha un trend verso lalto: la probabilit`a condizionata al tempo t che lazienda sia insolvente entro il tempo s ≥ t `e grande almeno quanto Ntstesso. Un processo di questo tipo viene detto
submartingala. Un processo con trend pari a zero viene detto martingala. Questo `e un processo equo nel senso che il guadagno o la perdita attesa `e zero. Il teorema di decomposizione di Doob-Meyer ci permette di isolare il trend verso lalto da N . Questo risultato fondamentale mostra che esiste un processo crescente Aτ
che inizia a zero, tale che N − Aτ diventa una martingala: si veda Dellacherie e Meyer (1982). Il processo unico Aτ controbilancia il trend verso lalto in N ed `e quindi spesso definito compensatore.
A che d`a luogo al compensatore: Aτt = Amin(t,τ )= At t < τ Aτ altrimenti.
Il processo A viene detto trend d’insolvenza e pu`o essere impiegato per stimare le probabilit`a d’insolvenza e i prezzi dei titoli sensibili al credito. Nei modelli strutturali tradizionali si pu`o prevedere l’insolvenza. In questo caso non vi `e un rischio di credito a breve termine che richiederebbe la compensazione. Allo stesso modo, il compensatore `e dato dal processo d’insolvenza stesso. Nei modelli a forma ridotta si sostiene che non si pu`o prevedere l’insolvenza; pertanto, per ipotesi, vi `e un rischio di credito a lungo termine. Il compensatore viene parametrizzato direttamente tramite una intensit`a λ. Il trend viene definito semplicemente come:
At=
Z t
0
λsds. (3.1)
Si pu`o quindi vedere il trend come se fosse un’intensit`a cumulativa d’insolvenza. In tale situazione, le dinamiche delle probabilit`a d’insolvenza ideali e dei prezzi dei titoli vengono estrapolate immediatamente dalle dinamiche dell’intensit`a esogena.
Anzich´e concentrarsi sull’intensit`a d’insolvenza e formulare ipotesi ad hoc sulle sue dinamiche, i modelli a informazioni incomplete cercano di definire il trend basandosi su una definizione ideale d’insolvenza. Si offre qui una caratterizzazione endogena del trend in termini di attivit`a e passivit`a societarie attraverso un modello strutturale di base. Ci`o funziona tuttavia solo se si `e in grado di modificare il modello strutturale di base in modo da comprendere il rischio di credito a breve termine. Vi sono due approcci per introdurre l’incertezza a breve termine nei modelli strutturali. Il primo `e quello che tiene conto dei
salti a sorpresa nel valore dell’azienda, come in Zhou (2001b), Hilberink e Rogers (2002) e Kijima e Suzuki (2001). In questa situazione vi `e sempre la possibilit`a che il valore dell’azienda salti al di sotto della soglia d’insolvenza, e non lo si pu`o prevedere. Tuttavia, vi `
e anche la possibilit`a che l’azienda semplicemente si diffonda sulla soglia, come nei modelli tradizionali con processi di valore continui. In questo caso si pu`o prevedere l’insolvenza. Quindi, a seconda dello stato del mondo, pu`o esservi o meno un rischio di credito a breve termine. Esiste un altro approccio che assicura che l’insolvenza non pu`o essere prevista e che, dunque, vi `e un rischio di credito a breve termine in ogni stato del mondo. Questo approccio deriva da un riesame degli assunti informativi che stanno alla base dei modelli strutturali tradizionali. In questi modelli, si afferma implicitamente che le informazioni di cui abbiamo bisogno per calibrare e gestire il modello sono di pubblico dominio. Queste informazioni comprendono il processo del valore dell’azienda con i suoi parametri, nonch´e la soglia d’insolvenza. Nel modello a informazione incompleta si punta sul fatto che, in realt`a, le nostre informazioni su queste quantit`a sono imprecise. Le informazioni che ab- biamo sono molto pi`u grossolane di quanto suggeriscano i modelli strutturali tradizionali idealizzati, come dimostrano gli scandali ad alto profilo di Enron, Tyco e WorldCom. In concreto, ci`o significa che non possiamo essere sicuri n´e del vero valore dell’azienda n´e delle esatte condizioni dell’azienda che innescher`a l’insolvenza. Ne deriva che siamo sempre in- certi sulla distanza dall’insolvenza. L’insolvenza `e pertanto una sorpresa totale: non la si pu`o prevedere. Il trend, che rappresenta la compensazione per il rischio di credito as- sociato a breve termine, pu`o essere caratterizzato in modo esplicito in termini di attivit`a societarie di soglia d’insolvenza. I modelli a informazione incompleta condividono molte
ottime propriet`a sia dei modelli strutturali che dei modelli a forma ridotta pur evitandone i punti deboli. Bench´e costruita su un approccio strutturale intuitivo ed economicamente significativo, l’insolvenza non pu`o essere prevista come nei modelli strutturali tradizionali e questo ha molte conseguenze desiderabili. Innanzitutto, un modello a informazione incom- pleta comprende un trend non banale che pu`o essere caratterizzato in modo esplicito. Il trend pu`o essere usato per calcolare le probabilit`a d’insolvenza e i prezzi dei titoli sensibili al credito attraverso formule a forma ridotta gestibili generalizzate. Nei modelli strutturali tradizionali, queste apposite formule a forma ridotta non funzionano. In secondo luogo, coerentemente con le osservazioni empiriche, i prezzi dei titoli sensibili al credito crollano bruscamente ai loro valori di recupero al momento dell’insolvenza. Terzo, i margini di credito a breve termine sono tipicamente limitati lontano dallo zero.