L’obiettivo di questo paragrafo `e analizzare le implicazioni del nuovo accordo di Basilea nel caso di esposizioni verso imprese corporate, soggetti sovrani e banche. Il punto centrale `e rappresentato dal calcolo del capitale assorbito a fronte di ogni operazione. I valori essenziali per tale calcolo sono la probabilit`a di insolvenza30, il tasso di perdita in caso di de- fault, l’esposizione al momento dell’inadempienza e la durata. La probabilit`a di insolvenza (PD) `e la probabilit`a che si manifesti l’inadempimento. Il tasso di perdita in caso di default (LGD) `e la quota di credito persa al momento dell’inadempienza (con LGD compresa tra 0 e 1). Il tasso di perdita in caso di default `e definito come LGD = 1 − tasso di recupero, dove il tasso di recupero `e la quota di credito recuperata al momento dell’ insolvenza. L’esposizione al momento dell’inadempimento (EAD) `e l’ammontare dell’esposizione al mo- mento dell’insolvenza (in euro). La durata (M) `e la scadenza residua dell’esposizione (in anni). Per analizzare il capitale assorbito occorre prendere in considerazione le tre formule di base proposte dal Comitato di Basilea le quali pongono le basi per il calcolo del sud- detto capitale. Esse stabiliscono la correlazione (R)31 e l’aggiustamento in funzione della
30I termini insolvenza, default, inadempienza sono usati dalla letteratura come sinonimi. 31
scadenza (b)32 in funzione della probabilit`a di insolvenza. Il requisito patrimoniale (K) `e definito a sua volta in relazione alla probabilit`a di insolvenza, al tasso di perdita (in caso di inadempienza), alla correlazione e all’aggiustamento in funzione della scadenza. Le tre formule sono: correlazione(R) = 0.12(1 − e −50P D) (1 − e−50) + 0.24 1 − (1 − e−50P D) (1 − e−50) ! (1.1)
aggiustamento in f unzione della scadenza(b) = (0.11852 − 0.05478 ln(P D))2 (1.2)
requisito patrimoniale(K) = [LGD N " (1 − R)−0.5G(P D) + R 1 − R 0.5 G(0.999) # + −P D LGD](1 − 1.5 b)−1(1 + (M − 2.5) b) (1.3)
dove N (.) rappresenta la distribuzione cumulativa di una variabile casuale normale standard e G(.) indica la distribuzione cumulativa inversa di una variabile casuale normale standard. Moltiplicando il requisito patrimoniale (K) per 12.5 si ricava il coefficiente di ponderazione, moltiplicando quest’ultimo per l’esposizione al momento dell’insolvenza si ottengono le at- tivit`a ponderate per il rischio. Moltiplicando le suddette attivit`a per 0.08 si ricava il capitale assorbito a fronte di ogni operazione. La seguente disuguaglianza33, stabilita dal Comitato di Basilea, riassume quanto detto sopra:
patrimonio di vigilanza
a. p. per rischio di mercato + a. p. per rischio di credito + a. p. per rischio operativo ≥ 8% dalla quale si ottiene che il patrimonio di vigilanza concernente il rischio di credito deve essere maggiore o uguale alle attivit`a ponderate per il rischio di credito moltiplicate per
32
L’aggistamento in funzione della scadenza `e compreso tra 0.014 e 0.317 ed `e funzione decrescente della probabilit`a di insolvenza.
33
Dove a. p. `e l’abbreviazione di attivo ponderato. Il patrimonio di vigilanza `e la parte di patrimonio di una banca che deve essere vincolato. Il rischio di mercato e il rischio operativo sono le altre due tipologie di rischio proposte da Basilea 2.
0.08. Le equazioni per il calcolo del coefficiente di ponderazione delle attivit`a ponderate per il rischio e del capitale assorbito sono le seguenti:
coef f iciente di ponderazione = K 12.5 (1.4)
attivit`a ponderate per il rischio = K 12.5 EAD (1.5)
capitale assorbito = K 12.5 EAD 0.08. (1.6)
Sostituendo la 1.1 e la 1.2 nella 1.3 si ottiene il requisito patrimoniale in funzione di P D, LGD e M : K(P D, LGD, M ) = [LGD N [(1 − 0.12(1 − e −50P D) (1 − e−50) − 0.24 1 − (1 − e−50P D) (1 − e−50) ! )−0.5G(P D) + + 0.12(1−e(1−e−50P D−50))+ 0.24 1 −(1−e(1−e−50P D−50)) 1 − 0.12(1−e(1−e−50P D−50))− 0.24 1 −(1−e(1−e−50P D−50)) 0.5 G(0.999)] + −P D LGD](1 − 1.5(0.11852 − 0.05478 ln(P D))2)−1 (1 + (M − 2.5)(0.11852 − 0.05478 ln(P D))2) (1.7)
Il capitale assorbito, come si pu`o notare dalla 1.6, a parit`a di EAD, `e direttamente pro- porzionale al requisito patrimoniale. Occorre, quindi, studiare l’andamento di tale requisito (formula 1.7) al variare di P D, LGD e M .
Il grafico34 della funzione 1.7 (con P D come variabile indipendente) per alcuni valori di LGD e M `e riportato in Figura 1.1, K(P D) ha un andamento parabolico (con concavit`a rivolta verso il basso). Come si pu`o notare dalla equazione 1.7 la funzione ha un andamento parabolico indipendentemente dai valori assunti da LGD e M .
34
Analizzando il requisito patrimoniale, K(P D), in funzione di PD si nota che (fissato M ) l’ascissa del punto di massimo non muta al variare di LGD mentre il valore di K(P D) si alza all’aumentare di LGD. Sta- bilito invece LGD l’ascissa del punto di massimo si abbassa mentre il valore di K(P D) aumenta all’aumentare di M .
Il grafico della funzione 1.7 (con LGD come variabile indipendente) `e riportato in Figura 1.2, per alcuni valori di P D e M . L’andamento di K(LGD) `e rettilineo ascendente indipendentemente dai valori assunti da P D e M . All’aumentare di P D (fissato M ) la retta trasla verso l’alto, la traslazione verso l’alto avviene anche all’aumentare di M fissato P D. Il grafico della funzione 1.7 (con M come variabile indipendente) `e riportato in Figura 1.3, per alcuni valori di P D e LGD. L’andamento di K(M ), anche in questo caso, `
e rettilineo ascendente indipendentemente dai valori assunti da P D e LGD. Come sopra all’aumentare di P D (fissato LGD) la retta trasla verso l’alto, la stessa traslazione avviene anche all’aumentare di LGD fissato P D.
Dall’analisi precedente si deduce che il requisito patrimoniale (fissato EAD) e quindi il capitale assorbito aumentano al crescere di M e LGD, come `e logico, infatti, maggiore `e la durata del prestito (e quindi l’incertezza della restituzione) e il tasso di perdita in caso di insolvenza (e quindi la quota di credito perso) maggiore sar`a il capitale assorbito. L’andamento parabolico del requisito patrimoniale in funzione di P D non desta problemi, infatti, K(P D) `e crescente per P D compresa tra 0 e circa 0.3, all’aumentare della probabilit`a di insolvenza cresce il capitale assorbito. Ovviamente non si pu`o concedere un prestito a una azienda con probabilit`a di insolvenza superiore al 30%. La Tabella 1.1 riporta un caso di calcolo con excel del capitale assorbito a fronte di una operazione relativa alla classe di esposizione oggetto di questo paragrafo. Si assume EAD equivalente al valore nominale dell’operazione (1 milione di euro), la probabilit`a di insolvenza pari 0.0034 (rating A di Standard & Poor’s), il tasso di perdita in caso di insolvenza pari a 0.45 e la durata pari a 2.5 anni (entrambi valori standard proposti dal Comitato di Basilea). Il capitale assorbito
per questa operazione `e 463336.43 euro.
CALCOLO DEL CAPITALE ASSORBITO CON EXCEL IMPRESE CORPORATE, SOGGETTI SOVRANI E BANCHE
valore nominale 1000000 EAD (esposizione al momento dell’insolvenza) 1000000 PD (probabilit`a di insolvenza) 0.0034 LGD (tasso di perdita in caso di insolvenza) 0.45
M (durata) 2.5
correlazione [R] 0.2212 aggiustamento in funzione della scadenza [b] 0.1848 requisito patrimoniale [K] 0.0463
coefficiente di ponderazione 0.5792 attiv`a ponderate per il rischio 579205.32 capitale assorbito 46336.43
Tabella 1.1: Fonte: Elaborazione propria. Calcolo del capitale assorbito per imprese corpo- rate, soggetti sovrani e banche.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 PD K(PD)
Figura 1.1: Fonte: Elaborazione propria. Requisito patrimoniale in funzione della proba- bilit`a di insolvenza con durata uguale a 2.5 e tasso di perdita in caso di insolvenza uguale a 0.45. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 LGD K(LGD)
Figura 1.2: Fonte: Elaborazione propria. Requisito patrimoniale in funzione del tasso di perdita in caso di insolvenza con durata uguale a 2.5 e probabilit`a di insolvenza uguale a 0.0034.
0 2 4 6 8 10 0.00 0.05 0.10 0.15 M K(M)
Figura 1.3: Fonte: Elaborazione propria. Requisito patrimoniale in funzione della durata con tasso di perdita in caso di insolvenza uguale a 0.45 e probabilit`a di insolvenza uguale a 0.0034.
Capitolo 2
I principali modelli per il rischio di
credito
2.1
Introduzione
Questo capitolo ha lo scopo di presentare i diversi modelli proposti in letteratura per il calcolo del VaR, cio`e la massima perdita probabile, associata ad un dato livello di confidenza, implicita nella struttura dei crediti della banca. In letteratura i modelli sono raggruppati in tre categorie:
• approccio alla Merton: Appartengono a tale categoria il modello CreditMetrics e il modello KMV, che, nella stima del tasso di insolvenza, fanno esplicito riferimento al modello di Merton per l’analisi della struttura del capitale dell’impresa;
• approccio econometrico: appartiene a tale categoria il modello CreditPortfolio View;
algoritmi tipici della gestione dei portafogli delle compagnie di assicurazione.
Il primo paragrafo descrive il modello KMV, il secondo paragrafo e il terzo paragrafo sono dedicati rispettivamente a CreditMetrics e CreditRisk+, l’ultimo paragrafo concerne Cred- itPortfolio View. Per ciascuno dei modelli sopracitati sono esposti i pregi e i difetti. il presente capitolo include alcuni casi di studio di CreditRisk+ e tre casi di studio di Cred- itPortfolio View.