2.4.1 Generalità
Con il termine stallo dinamico si intende un fenomeno che si manifesta in diverse applicazioni ingegneristiche (VAT, elicotteri, turbomacchine), che comporta lo stallo di una superficie portante in condizioni non stazionarie, per esempio in moti di beccheggio [62].
Fig. 2.1: Illustrazione moto di pitching per un airfoil [63].
Per un airfoil in pitching motion infatti l’angolo di attacco aerodinamico α non è costante ma cambia nel tempo nel seguente modo:
𝛼(𝑡) = 𝐴 + 𝐴 sin (𝜔𝑡)
Si ha che la curva CL vs α in tali condizioni differisce dalla corrispondente curva
statica e le sue caratteristiche dipendono dalla geometria dell’airfoil, dalle condizioni del flusso e del moto stesso, ovvero dalla massima ampiezza dell’oscillazione A0 + A1 e dalla pulsazione angolare ω.
Lo studio dei meccanismi di stallo dinamico per la configurazione più semplice di airfoil oscillanti fornisce ottime indicazioni anche per turbine ad asse verticale, in quanto si può dimostrare che in un sistema di riferimento rotante solidale alla pala di una VAT , quest’ultima percepisce una variazione ciclica della velocità relativa e
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dell’angolo di attacco molto simile a quella sperimentata da un airfoil in moto sinusoidale di pitching in un sistema di riferimento stazionario [63].
Nelle turbine ad asse verticale, il fenomeno si manifesta ciclicamente ad ogni rotazione ed è responsabile, per i motivi che si analizzano nel prossimo paragrafo, della riduzione del coefficiente di potenza Cp, specialmente ai TSR λ bassi, per i quali i valori massimi dell’angolo di attacco sono elevati. Lo stallo dinamico risulta invece meno impattante sulla performance per λ ottimale, in quanto il flusso si presenta quasi completamente attaccato e irrilevante per λ superiori.
A conferma di quanto appena detto si riportano in basso gli andamenti del coefficiente di potenza Cp in direzione azimutale ottenuti da simulazioni CFD 2D
per turbina monopala, con TSR ottimale pari a 3, di cui si discuterà meglio nel prosieguo della tesi.
Fig. 2.2: Variazione azimutale Cp per diversi λ. Per TSR=1.2 la prestazione della turbina crolla sia in upwind che downwind
2.4.2 Fasi
Allo scopo di contestualizzare meglio il modello di stallo proposto, è utile preliminarmente definire le fasi in cui questo complesso fenomeno non stazionario può essere suddiviso. Nella descrizione che segue si analizza un caso in cui lo stallo dinamico è profondo, deep stall, in modo da evidenziare chiaramente i fenomeni fisici principali che si verificano; come anticipato, tuttavia, non è remota la possibilità di avere uno stallo dinamico light, che si tradurrebbe in una curva d’isteresi CL-α meno ampia [62].
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Con riferimento alla Fig. 2.3 la fase 1-2 corrisponde a un incremento lineare del CL
durante la fase di upstroke 𝛼̇(𝑡) > 0 : si osserva che il CL continua a crescere
linearmente fino ad un angolo di attacco apprezzabilmente maggiore rispetto all’angolo di stallo statico; questo comportamento trova giustificazione nella comparsa e successiva crescita di un vortice concentrato in corrispondenza del leading edge dell’airfoil, il cosiddetto Leading Edge Vortex.
Fig. 2.3: Esempio di stallo dinamico profondo con vortex shedding [62].
Le aspirazioni indotte dal LEV causano un incremento del CL anche se lo strato
limite è ampiamente separato. Il LEV inizia a staccarsi dall’airfoil approssimativamente in corrispondenza del punto 2; aumentando ancora α il LEV inizia a muoversi downstream con velocità quasi costante.
Quando poi il LEV non è più vicino alla superficie dell’airfoil il CL crolla, in
corrispondenza del punto 3. In particolari condizioni può accadere che vortici secondari si formano al LE e TE, portando a picchi multipli del CL (fase 3-4).
Durante la corsa di downstroke, lo strato limite rimane separato fin quando α raggiunge un valore di soglia, identificato dal punto 5, che dipende dalle condizioni di moto, da cui lo strato limite inizia a riattaccarsi fase 5-1.
2.4.3 Modellazione del coefficiente di portanza dinamico
Nella routine di stallo dinamico il coefficiente di portanza dinamico è valutato come la somma di due contributi:
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dove CL,d è il contributo base che fornisce il comportamento dinamico generale del
corpo senza considerare la presenza di alcun vortice, mentre CL,v è il contributo
oscillatorio, che tiene conto non solo dell’effetto del LEV ma anche degli ulteriori vortici che vengono a distaccarsi da LE e TE .
2.4.3.1 Contributo di base CL,d
Il coefficiente di portanza base è calcolato in maniera diversa a seconda della fase del moto. Durante la fase 1-2 CL segue un comportamento lineare del tipo:
𝐶 , (𝑡) = 𝐶 , (𝑡)
dove CL,0(t) = CL,α α(t), con CL,α = 2π o estrapolato dalle curve del CL statico, caricate
nell’UDF.
In questa fase qui tuttavia lo strato limite inizia a separarsi dal TE e il punto di separazione risale fino a raggiungere un valore critico; nel punto 2 si individua αD,S,
angolo di inizio di stallo dinamico, oltre il quale il CL,d decresce secondo una
dinamica del 1° ordine del tipo:
𝐶̇ , (𝑡) + 𝜔 𝐶 , (𝑡) − 𝐶 , (𝑡) = 0
Dove 𝐶 , (𝑡) è il valore di coefficiente di portanza statico al medesimo angolo di
attacco e 𝜔 è un parametro libero.
L’equazione sopra riportata è valida nel tratto 2-4. Durante la fase di downstroke 4-5 la modellazione di 𝐶 , è sempre del 1° ordine ma cambia la frequenza e la
funzione forzante:
𝐶̇ , (𝑡) + 𝜔 𝐶 , (𝑡) − 𝐶 , (𝑡) = 0
Dove 𝐶 , è il minimo valore del coefficiente di portanza dinamico
corrispondente ad αmin, angolo limite a cui il flusso passa da condizioni
completamente stallate alla fase di riattacco dello strato limite.
Nell’ultima fase 5-1 lo strato limite comincia a riattaccarsi e quindi il coefficiente di portanza torna a crescere, seguendo sempre una dinamica del 1°ordine, come nella fase 2-4, ma a frequenza differente:
37 2.4.3.2 Contributo oscillatorio CL,v
Analizziamo ora il contributo al coefficiente di portanza dinamico, fornito sia dal LEV che da altri vortici addizionali.
Tenendo presente il ben noto comportamento osservabile per i corpi tozzi il modello proposto da Rocchio et alii [62] considera l’oscillazione prodotta dal distacco come una funzione sinusoidale con una frequenza specifica, la quale può essere derivata a partire dalla frequenza di Strouhal, caratteristica appunto del distacco di vortici in corpi tozzi.
Il coefficiente di portanza associato al vortex shedding è quindi calcolato come segue:
𝐶 , (𝑡) = 0 𝐹𝑎𝑠𝑒 1 − 2 𝐶 , (𝑡) = 𝐴(𝑡) sin(𝜔 𝑡) 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑜𝑣𝑒
Dove 𝜔 = 2𝜋𝑓 , con fshed frequenza di Strohual, data da 𝑓 = ∙ .
Durante la fase 1-2 l’incrementata linearità del comportamento del CL dinamico è
legato all’effetto del LEV, che si è formato e cresce.
Quando l’airfoil raggiunge αDS il vortice inizia a muoversi downstream, con velocità
avente componente parallela alla direzione della corda, uguale a ULEV. La posizione
del LEV a ogni istante può essere definita come:
𝑥 (𝑡) = 𝑈 (𝑡) ( 𝑡 − 𝑡 )
dove xLEV è la posizione normalizzata secondo la corda e tDS è il tempo a cui l’angolo
di attacco αDS è raggiunto.
Segue quindi che l’ampiezza A(t) della funzione sinusoidale di 𝐶 , (𝑡) è correlata
all’intensità del LEV nel seguente modo:
𝐴̇(𝑡) + 𝜔 𝐴(𝑡) − ∆𝐶 (𝑡) = 0 𝛼̇(𝑡) > 0 𝑒 𝑥 < 1 𝐴̇(𝑡) + 𝜔 𝐴(𝑡) = 0 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒
Dove ∆𝐶 (𝑡) = 𝐶 , − 𝐶 , rappresenta la differenza tra il valore del CL dinamico,
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In definitiva quindi il modello proposto prevede 9 parametri liberi, riportati in Tabella 2.1, in piena corrispondenza con le equazioni implementate nell’UDF. Maggiori dettagli in merito ai valori adottati per questi parametri verranno discussi nel capitolo 5, dove si mostrerà anche il set adottato per le simulazioni con modello ibrido BEM-CFD.
𝝎𝟒 Frequenza di CLb durante lo stallo dinamico (fase 3-4)
𝝎𝟔 Frequenza di CLb prima del riattacco dello strato limite (fase 4-5)
𝝎𝟓 Frequenza di CLb durante il riattacco dello strato limite (fase 5-1)
𝝎𝟑 Frequenza dell’ampiezza del vortice
ULEV Convection velocity del LEV
Str N° di Strouhal per il vortex shedding
αDS Angolo di inizio stallo dinamico
αmin Angolo minimo di attacco raggiunto durante il moto
CL,min Valore di CL ad αmin
Tabella 2.1: Parametri liberi modello stallo dinamico.