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Modellazione delle perdite fluidodinamiche alle punte delle pale di turbine ad asse verticale negli approcci ibridi BEM-CFD

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(1)

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PISA

SCUOLA DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA MAGISTRALE

In Ingegneria Energetica

Modellazione delle perdite fluidodinamiche alle punte

delle pale di turbine ad asse verticale negli approcci

ibridi BEM-CFD

Relatori

Candidato

Stefania Zanforlin

Simone Sassano

Benedetto Rocchio

(2)

i

Cause nothin’ lasts forever

(3)

ii

Indice

Abstract ... ix

Introduzione ... x

CAPITOLO 1 ... 1

Perdite alle punte ... 1

1.1 Generalità ... 1

1.2 Modello BEM e Tip Loss Factor ... 5

1.2.1 Formulazione di Prandtl-Glauert ... 9

1.2.2 Formulazione di Shen ... 11

1.3 Letteratura sull’analisi delle tip losses nelle VAT basata su CFD ... 13

1.3.1 Studio CFD 3D: effetti dell’AR e del TSR sulle perdite alle punte ... 13

1.3.2 Tip losses: valutazione quantitativa ... 16

1.3.3 Analisi 3D aerodinamica di una singola pala ... 18

1.3.4 Blade Tip Shape: miglioramento della performance ... 21

1.4 Modellazione BEM-CFD tip losses in VAT ... 24

1.4.1 Generalità modelli ibridi per VAT ... 24

1.4.2 Letteratura modelli ibridi per VAT ... 28

CAPITOLO 2 ... 30

Modello a cilindro attuatore ... 30

2.1 Caratteristiche principali modello ibrido BEM-CFD ... 30

2.2 Termini di sorgente ... 31

2.3 Indicazioni su UDF ... 32

2.4 Modello di stallo dinamico ... 33

2.4.1 Generalità ... 33

2.4.2 Fasi... 34

2.4.3 Modellazione del coefficiente di portanza dinamico ... 35

2.4.3.1 Contributo di base CL,d ... 36

2.4.3.2 Contributo oscillatorio CL,v ... 37

2.5 Modello di camber virtuale ... 38

2.6 Modello di perdite alle punte ... 41

2.7 Output ed elaborazione risultati ... 41

CAPITOLO 3 ... 42

Modello computazionale ... 42

3.1 Caso Monopala ... 42

3.1.1 Mesh e settaggi ... 47

3.1.1.1 CFD 2D ... 47

3.1.1.2 Modello ibrido BEM-CFD 2D ... 50

3.1.1.3 CFD 3D ... 52

3.1.1.4 Modello ibrido BEM-CFD 3D ... 57

3.1.1.5 Tabella riassuntiva Caso Monopala ... 58

3.2 Caso Tripala ... 58

(4)

iii

3.2.1.1 CFD 2D ... 59

3.2.1.2 Modelli ibrido BEM-CFD 2D ... 60

3.2.1.3 CFD 3D ... 60

3.2.1.4 Modello ibrido BEM-CFD 3D ... 60

3.2.1.5 Tabella riassuntiva Caso Tripala ... 61

CAPITOLO 4 ... 62

Risultati simulazioni CFD 3D ... 62

4.1 Caso monopala ... 62

4.1.1 Performance 3D e curve CP-θ per diversi μ ... 62

4.1.2 Confronti risultati monopala AR1 e AR2 ... 67

4.2 Caso tripala ... 70

CAPITOLO 5 ... 77

Tuning e validazione 2D modello ibrido ... 77

5.1 Curva di performance caso monopala 2D ... 77

5.2 Tuning modello di stallo dinamico ... 79

5.2.1 Parametri liberi e set adottato ... 79

5.3 Validazione modello di stallo dinamico ... 81

5.3.1 Robustezza modello di stallo dinamico per solidità σ maggiori ... 83

CAPITOLO 6 ... 87

Risposta 3D Actuator Cylinder Model... 87

6.1 Caso di riferimento: AR1 Tripala TSR=2.0 ... 87

6.1.1 Formulazioni adottate ... 87

6.1.2 Effetto della formulazione per le perdite alle punte sull’algoritmo ... 89

6.1.3 CP(θ), CP(μ) e K(μ) ... 91

6.1.4 Coefficiente di forza normale CN ... 93

6.1.5 Mappe colorate del campo e profili di velocità adimensionali ... 96

6.1.6 Rendering dei vettori di velocità in near-wake ... 102

6.2 Confronti al variare di AR e σ ... 106

6.2.1 Variazione Angolo di Attacco ... 109

6.2.2 Coefficienti di forza aerodinamica Cm e Cn ... 111

6.3 Confronti al variare del TSR ... 112

6.4 Caso TSR ottimale turbina tripala ... 113

Conclusioni e sviluppi futuri ... 115

Appendice ... 117

(5)

iv

Elenco delle figure

Fig. 1.1: a) Tip vortices in scia ; b) Scie di fumo evidenziate da fumogeni alle punte per turbina NREL

in galleria del vento NASA-Ames [24]. ... 1

Fig. 1.2: Profilo alare finito. In questa figura, la curvatura delle stramlines sia sopra che sotto il profilo è accentuata per chiarezza [25]. ... 2

Fig. 1.3: Rappresentazione qualitativa dei tip vortices su superficie portante [27] ... 2

Fig. 1.4: Effetto downwash su sezione locale di un airfoil di un'ala finita [25]. ... 3

Fig. 1.5: Confronto tra le funzioni Γ adimensionalizzate di Betz e Prandtl [26]... 4

Fig. 1.6: a) Disco attuatore e tubo di flusso; b) Annulus di rotore di spesso δr [29] ... 5

Fig. 1.7: Elemento di pala spazza anello del disco [29] ... 5

Fig. 1.8: Triangolo di velocità e forze aerodinamiche su sezione 2D di un elemento di pala [29] .... 6

Fig. 1.9: Variazione azimutale di aB per diverse posizioni radiali, per un rotore tripala in condizioni di funzionamento ottimale operante a TSR=6 [29]. ... 7

Fig. 1.10: Variazione radiale del tip loss factor per una pala [29]. ... 8

Fig. 1.11: Variazione del Tip Loss Factor di Prandtl-Glauert in direzione span per a) diversi valori di TSR e numero di pale B=3; b) diversi valori di pale B e λ=5.4 ... 10

Fig. 1.12: Variazione del Tip Loss Factor di Shen per a) diversi valori di TSR e numero di pale B=3; b) diversi valori di pale B e λ=5.4 ... 12

Fig. 1.13: a) CP al variare di theta in direzione span; b) CP in direzione span per diversi AR [30] . .. 14

Fig. 1.14: a) Coefficiente di pressione per AR=1.9 e θ=90° per diversi μ; b) Sforzo di taglio alla parete (tangenziale e totale) per unità di superficie di pala, energia cinetica turbolenta e vorticità, per diversi μ, per AR=1.9 e θ=90° [30]. ... 15

Fig. 1.15: Componenti di velocità lungo z in prossimità della pala per AR=1.9 e θ=90°: b) Contour su piano Y=0 della componente z di velocità per AR =1.9 e θ=90° [30]. ... 15

Fig. 1.16: a) Distribuzione CP in direzione span per AR=3 al variare del TSR; b) Distribuzione CP in direzione span per AR=0.8 al variare del TSR [30]. ... 16

Fig. 1.17: Effetti di estremità per diverse taglie di turbina e AR per una velocità del vento di 10 m/s: a) accorciamento virtuale della pala, espressa come numero di corde perse; b) percentuale di materiale perso rispetto a un turbina di riferimento [30]. ... 17

Fig. 1.18: Streamlines in zona punta e componenti verticali di velocità sul lato in depressione della pala [7]. ... 18

Fig. 1.19: Coefficiente di coppia vs angolo azimutale: a) variazione in direzione span; b) simulazione 2D confrontata con profilo 3D in mezzeria e profilo medio 3D [32]. ... 19

Fig. 1.20: Confronto curve di coppia in direzione azimutale a semispan 0% e 90% [31]. ... 20

Fig. 1.21: a) Modello della turbina; b) Principali parametri del rotore [37]. ... 21

Fig. 1.22: a) Coppia istantanea delle sezioni a differenti altezze durante una rivoluzione; b) Vista della bulkhead ottimale [37]. ... 22

Fig. 1.23: Streamlines per diverse altezze delle sezioni di pala per θ=88° a) con bulkhead; b) senza bulkhead [37]. ... 22

Fig. 1.24: Coppia istantanea con e senza bulkhead ad un'altezza di: a) 0.25c; b) 0.5c; c) 1c; d) 3c; e) 5c; f) 7c [37]... 23

Fig. 1.25: Rappresentazione schematica dei modelli BEM a) Single, b) Multiple e c) Double-Multiple Streamtube [3] ... 24

Fig. 1.26: Schema di funzionamento modello ibrido adottato nella tesi [46] ... 26

Fig. 1.27: a) Vista schematica volume cilindrico discretizzato [47] ; b) Cilindro attuatore 3D nel dominio computazionale nella presente tesi. ... 26

(6)

v

Fig. 1.28: a) Concetto base Actuator-Line Model (ALM) per HAT [49]; b) Discretizzazione delle pale

in punti attuatori, vettori velocità incidenti e forze locali e assiali per VAT [22]. ... 27

Fig. 2.1: Illustrazione moto di pitching per un airfoil [63]. ... 33

Fig. 2.2: Variazione azimutale Cp per diversi λ. Per TSR=1.2 la prestazione della turbina crolla sia in upwind che downwind ... 34

Fig. 2.3: Esempio di stallo dinamico profondo con vortex shedding [62]. ... 35

Fig. 2.4: Illustrazione qualitativa della trasformazione conforme [64]. ... 39

Fig. 2.5: Confronto tra le curve del coefficiente di potenza Cp da simulazioni BEM e CFD per: a) c/R=0.114 ; b) c/R=0.25 [66]. ... 40

Fig. 2.6: Compensazione camber virtuale per airfoil [41]. ... 40

Fig. 3.1: Andamento Lift Coefficient vs AoA ... 44

Fig. 3.2: Andamento Drag Coefficient vs AoA ... 44

Fig. 3.3: Rappresentazione profilo simmetrico originale NACA 0018 ... 45

Fig. 3.4: Profilo simmetrico con circonferenze interne ... 45

Fig. 3.5: Fase di "bending" della corda del profilo simmetrico ... 46

Fig. 3.6: Profilo finale curvato ... 46

Fig. 3.7: Rappresentazione schematica del dominio computazionale [69]. ... 47

Fig. 3.8: Dettagli mesh 2D: a) Regione stazionaria; b) Regione rotante con airfoil; c) Infittimento celle in zona leading edge; d) Infittimento in zona trailing edge ... 48

Fig. 3.9: Mesh 2D strutturata impiegata per modello ibrido. E’ evidente la crescita lineare delle dimensioni delle celle allontanandosi dal disco ... 51

Fig. 3.10: Zoom sulla O-Grid in corrispondenza del cilindro attuatore. L'UDF agisce sulla zona rossa iniettando i termini di sorgente. ... 51

Fig. 3.11: Dominio esterno senza inlet con vista interna dell'interfaccia rotante ... 52

Fig. 3.12: Dettagli relativi alla griglia rotante: a) distribuzione delle celle su un piano normale all'asse della turbina; b) regione ellittica attorno alla pala e infittimento esponenziale ... 53

Fig. 3.13: Monopala con "ribbons" su griglia rotante per AR1=0.666 ... 53

Fig. 3.14: Particolare relativo ad infittimento all'estremità della pala ... 54

Fig. 3.15: Settaggi Fluent per il monitoraggio del coefficiente di coppia Cm sui vari “ribbons” ... 56

Fig. 3.16: a) Mesh 3D Modello ibrido BEM-CFD; b) Zoom sul cilindro attuatore per configurazione AR2 ... 57

Fig. 3.17: Vista della griglia rotante 2D per simulazioni CFD caso tripala ... 59

Fig. 3.18: Turbina tripala AR1 nel dominio computazionale ... 60

Fig. 4.1: a) Curve CP medio turbina al variare di θ casi 3D vs 2D; b) Confronto CP medio ... 62

Fig. 4.2: Criterio di convergenza adottato per simulazioni 3D ... 63

Fig. 4.3: Curve Cp-θ a diversi μ per AR1=0.666 e TSR=3.0 ... 63

Fig. 4.4: Andamento in direzione span del Coefficiente di pressione Cp rispetto alla corda adimensionalizzata ... 64

Fig. 4.5: Cp in direzione span per caso AR1 ... 64

Fig. 4.6: Contours di Static Pressure su profilo a θ=90° per vari μ ... 65

Fig. 4.7: A sinistra rendering delle streamlines alla punta della monopala; a destra componenti di velocità z su piano y=0 a θ=90° ... 66

Fig. 4.8: Variazione percentuale Cp col procedere delle simulazioni per i diversi TSR per a) AR1; b) AR2 ... 67

Fig. 4.9: Confronti curve CP-θ 2D vs 3D per TSR a) 2.0; b) 3.0; c) 4.1; Cp medio curve di performance 2D vs 3D. ... 68

Fig. 4.10: Istogrammi relativi a e) CP medio casi 2D vs 3D; f) Riduzione % CP medio 3D vs 2D. ... 69

(7)

vi

Fig. 4.12: Curve CP-θ 2D e 3D per a) Turbina Monopala; c) Turbina Tripala; b) e c) Confronti CP

medio per i casi in esame. ... 71

Fig. 4.13: a) Curve di performance CP-TSR 2D per le due turbine; b) Curve CP-θ turbina tripala .... 73

Fig. 4.14: a) Curva CP(μ) e b) Andamento K(μ) al variare di AR e solidità per i casi in esame. ... 74

Fig. 4.15: A sinistra i diagrammi del Coefficiente di Pressione Cp per diversi μ a TSR=2.0 e AR1 =0-666; a destra le mappe colorate della Static Pressure per le due solidità a θ=90° ... 76

Fig. 5.1: Curva di performance CP vs TSR turbina monopala 2D... 77

Fig. 5.2: Curve CP-θ per tutti i TSR simulati per turbina monopala: a) da TSR minimo (1.2) a TSR ottimale (3.0); b) da TSR ottimale (3.0) a TSR massimo (4.5). ... 78

Fig. 5.3: Confronto curve CP-θ per diversi TSR: a) 2.0; b) 2.4; c) 3.0; d) 3.6; e) 4.1; f) Confronto CP medio CFD vs modello ibrido ... 81

Fig. 5.4: Curva di performance CFD 2D vs Modello ibrido ... 83

Fig. 5.5: Robustezza modello stallo dinamico per solidità del 16% al variare del TSR: a) 1.0; b) 1.2; c) 1.4; d) 1.6; e) 1.8; f) 2.0; g) 2.4; h) 3.0 . ... 84

Fig. 5.6: Correzioni implementate nell'UDF per il caso tripala a) TSR=2.0; b) TSR=1.4; ... 85

Fig. 5.7: Confronti curve CP-θ caso tripala per a) TSR=2.0; b) TSR=1.4; c) Miglioramenti sulla curva di performance ... 86

Fig. 6.1: Screenshot righe dell'UDF relative a formulazione Prandtl-Glauert ... 87

Fig. 6.2: Screenshot righe dell'UDF relative a formulazione di Shen di [28]. ... 88

Fig. 6.3: Screenshot righe dell’UDF relative a formulazione di Shen con modfica dei coefficienti. 88 Fig. 6.4: Screenshot righe dell’UDF relative a formulazione di Shen applicata sia al lift che al drag. ... 88

Fig. 6.5: Screenshot righe dell’UDF relative alla formulazione finale individuata. ... 89

Fig. 6.6: Effetto scelta formulazione finale nella modellazione delle perdite alle punte per i casi base ... 91

Fig. 6.7: Distribuzioni Cp-θ azimutali a diversi μ per il caso di riferimento AR1 Tripala TSR=2.0 . ... 91

Fig. 6.8: a) Diagrammi Cp medio in direzione azimutale; b) Istrogrammi Cp medio; c) Cp(μ) e d) K(μ) per le varie correzioni ... 92

Fig. 6.9: a) Schema di riferimento calcolo Cn su pala per CFD; b) Formulazione BEM per calcolo Cn in routine Matlab per modello ibrido; c) Andamento azimutale Cn a vari μ; d) Andamento in direzione span Cn per vari θ ... 93

Fig. 6.10: Confronti andamento Cn in direzione azimutale per diversi μ ... 94

Fig. 6.11: Andamento Cn in direzione span per a) θ=60°, b) θ=90°; c) θ=100° . ... 95

Fig. 6.12: Contours componente UX di velocità su piano y=0 ... 96

Fig. 6.13: Contours componente Uy su piano z=0.375 ... 97

Fig. 6.14: Contours componente Uz su piano y = 0 ... 97

Fig. 6.15: Contours componente Uz su piano y=0.375 ... 98

Fig. 6.16: Contours componente Uz su piano x=1D ... 99

Fig. 6.17: Profili di velocità adimensionalizzati rilevati su segmento verticale posizionato a θ=90° a diverse distanze radiali sia per modello ibrido che per CFD 3D (Caso di riferimento AR1 Tripala TSR=2.0) ... 101

Fig. 6.18: Confronto CFD vs Modello ibrido tra i vettori di velocità proiettati su piano x=0.8D, x=1D e x=1.2D dall’asse di rotazione. ... 102

Fig. 6.19: Mappe colorate relative alla componente x della vorticità Ωx da modellazione CFD e Modello ibrido in near-wake (x=0.8D, x=1D, x=1.2D dall’asse di rotazione della turbina). ... 103

Fig. 6.20: A sinistra vettori velocità; a destra mappe colorate componente Uz di velocità in near-wake, entrambe ottenute da Modello ibrido... 105

(8)

vii

Fig. 6.21: Grafici Cp(μ) e K(μ) per I casi base: a) e b) AR1 Tripala; c) e d) AR2 Tripala; e) e f) AR1

Monopala; g) e h) AR2 Monopala. ... 107

Fig. 6.22: Cp medio turbina per i casi base per le varie formulazioni e per CFD: a) AR1 Tripala; b) AR2

Tripala; c) AR1 Monopala; d) AR2 Monopala. ... 107

Fig. 6.23: Confronti modello ibrido (Formulazione Shen n°3) tra tutti I casi base: a) Cp(μ) e b) K(μ) . ... 108 Fig. 6.24: Distribuzione Angolo di attacco del flusso incidente per a) Caso Monopala, b) Caso Tripala ... 109 Fig. 6.25: a) Streamlines campo di moto su piano z=0 con pala fisicamente a θ=90°; b) Zoom streamlines in prossimità della pala ... 110 Fig. 6.26: Coefficienti di forza Cn e Cm per a) Caso Tripala AR1 e b) Caso Monopala AR1. ... 111

Fig. 6.27: Confronti Cp(μ) e K(μ) da modellazione ibrida per a) b) Caso Monopala; c) d) Caso Tripala ... 112 Fig. 6.28: Cp(μ) e K(μ) per AR1 a) e b); AR2 c) e d). ... 113

Fig. 6.29: Cp-θ e Cp medio turbina per AR1 a), b) e AR2 c) e d) per le diverse formulazioni e da CFD

(9)

viii

Elenco delle tabelle

Tabella 1.1: Caratteristiche geometriche operative relative al caso studio analizzato in [7] ... 18

Tabella 2.1: Parametri liberi modello stallo dinamico... 38

Tabella 3.1: Caratteristiche dominio computazionale caso monopala ... 48

Tabella 3.2: Settaggi modello computazionale simulazioni CFD 2D ... 49

Tabella 3.3: Modifiche principali nel modello computazionale con approccio BEM-CFD ... 52

Tabella 3.4: Caratteristiche griglia per casi monopala 3D, AR1 = 0.666 e AR2 = 2 ... 54

Tabella 3.5: Modifiche per modello computazionale CFD 3D ... 56

Tabella 3.6: Dettagli mesh modello computazionale 3D... 57

Tabella 3.7: Casi monopala simulati ... 58

Tabella 3.8: Modifica nel numero di celle mesh caso tripala ... 59

Tabella 3.9: Caratteristiche mesh 3D tripala ... 60

Tabella 3.10: Casi tripala simulati ... 61

Tabella 5.1: Set di parametri adottato per simulazioni BEM-CFD ... 80

(10)

ix

Abstract

L’analisi della performance aerodinamica di una turbina ad asse verticale è cruciale per una completa comprensione del suo funzionamento. In tal senso il rapido progresso dell’informatica e la disponibilità di risorse computazionali sempre migliori offrono l’opportunità attraverso la modellazione CFD di comprendere i fenomeni fluidodinamici caratterizzanti l’aerodinamica non stazionaria di tali rotori (perdite alle punte, stallo dinamico, interazione pala/scia) e al tempo stesso di usare questa conoscenza per validare strumenti computazionali meno onerosi, ma di più ampia diffusione per usi industriali.

In questa tesi, grazie alla disponibilità di una risorsa di calcolo a elevata efficienza, sono state eseguite simulazioni CFD 3D per diverse configurazioni di VATTs di tipo Darrieus. Parallelamente i risultati sono stati confrontati con quelli ottenuti da un modello ibrido BEM-CFD, messo a punto da ricercatori dell’Università di Pisa. L’obiettivo della presente tesi è quello di individuare e implementare una formulazione per le perdite alle punte per il modello a cilindro attuatore impiegato che sia robusta nel riprodurre il comportamento realistico di turbine ad asse verticale a pale dritte al variare di importanti parametri geometrici e operativi: Aspect Ratio AR, Tip Speed Ratio λ e solidità σ.

Sulla base dei dati ottenuti dalla campagna di simulazioni CFD 3D una correzione per gli effetti di estremità è stata messa a punto per il modello ibrido 3D per un caso di riferimento, valutandone successivamente la robustezza rispetto a casi operativi differenti. I risultati ottenuti hanno evidenziato un buon accordo tra le due tipologie di modellazione, sia nella previsione della performance complessiva della turbina, che nella caratterizzazione qualitativa e quantitativa del campo di moto prodotto. D’altro canto l’inadeguatezza e la debolezza della formule correttive di Prandtl e Shen originale per la modellazione 3D di turbine ad asse verticale a pale dritte è stata messa in evidenza. Infine la particolare configurazione di turbina presa in esame, con pale curvate sulla circonferenza, ha permesso di individuare una singolare struttura per la near wake, ove il recupero della scia è guidato da un fenomeno avvettivo a carattere prevalentemente laterale, anziché verticale come tipicamente accade per queste tipologie di rotori.

(11)

x

Introduzione

Negli ultimi anni lo sviluppo di turbine ad asse verticale Darrieus è aumentato rapidamente sia per lo sfruttamento di energia eolica [1], con applicazioni di piccola scala in ambiente urbano e generazione di potenza di taglia elevata su piattaforme offshore galleggianti, sia per lo sfruttamento di energia idrocinetica [2], attraverso la realizzazione di dispositivi HEC (Hydrokinetic Energy Converters) soprattutto per applicazioni di tipo tidal. Nonostante le VATs siano penalizzate da problematiche di auto-avviamento, oscillazione di coppia ed efficienze inferiori rispetto alle HATs, il rinnovato interesse nei loro confronti è connesso a una serie di vantaggi che l’adozione di una configurazione rotorica ad asse verticale comporta rispetto ai più diffusi rotori ad asse orizzontale: tali turbine sono insensibili alla direzione del flusso di aria o acqua e non necessitano di conseguenza di dispositivi di controllo dell’imbardata (yaw); offrono buone performance in condizioni di flussi inclinati e altamente turbolenti, generando quindi potenza indipendentemente dalla direzione del flusso (omnidirezionalità); la progettazione di pale ottimali è tipicamente più semplice (sezione del profilo alare in direzione span costante senza twisting o tapering); il generatore elettrico può essere installato fuori dall’acqua; i livelli di emissioni sonore sono più bassi, per effetto di TSR operativi inferiori rispetto ad una HAT; avendo una sezione trasversale di forma rettangolare possono essere più efficientemente organizzate in schiere rispetto alle HATs; infine le disposizioni in cluster di VATs raggiungono potenze specifiche maggiori, in quanto le strutture vorticose rilasciate da queste turbine favoriscono un più rapido recupero in scia, con la conseguenza di poterle disporre più vicine tra di loro.

Dall’altro lato, tuttavia, la continua variazione dell’angolo di incidenza α del flusso rispetto alle pale rotoriche durante una rivoluzione genera un campo di moto estremamente complesso e i fenomeni non stazionari che ne derivano hanno un impatto significativo sulla performance globale della macchina. Considerata la non completa esaustività e le difficoltà legate alla realizzazione di studi sperimentali, l’adozione di strumenti di modellistica numerica più accurati e robusti nel predire il comportamento aerodinamico rappresenta un mezzo versatile per migliorare la progettazione delle VATs. Gli approcci disponibili per l’analisi della potenza prodotta da queste turbine possono essere suddivisi in due macro-categorie: high e low-fidelity models, di cui si riassumono brevemente gli elementi principali.  High-fidelity models

In questa classe rientra la famiglia dei modelli CFD (Computational Fluid Dynamics). Benché le attuali frontiere della ricerca siano orientate verso un uso sempre più massivo del LES, la risoluzione delle equazioni URANS (Unsteady

(12)

xi

Reynold Navier-Stokes) rappresenta ancora il riferimento per applicazioni Darrieus, grazie a un costo computazionale più accettabile rispetto alla Large Eddy Simulation. La maggior parte degli studi disponibili in letteratura fanno uso di un approccio 2D, trascurando tuttavia importanti effetti aerodinamici (tip flow effects, downwash, secondary effects). Il ricorso ad analisi CFD 3D, pur richiedendo l’adozione di modelli computazionali ad elevato refining spaziale e temporale, appare come la soluzione più affidabile per una completa risoluzione del campo di moto di una VAT. Di contro, le elevate risorse di calcolo necessarie per condurre analisi di questo tipo restringono il campo di applicabilità di tale modellistica tipicamente a non più di una turbina alla volta.

 Low-fidelity models

A questa categoria appartengono modelli analitici, basati su diverse teorie, tradizionalmente più usati e validati sia per HATs che VATs [3]:

BEM (Blade Element/Momentum) models

Si tratta di modelli che, schematizzando la turbina come percorsa o avvolta da uno o più tubi di flusso, correlano mediante bilanci di quantità di moto le forze aerodinamiche agenti sulle pale al prodotto tra la portata in massa e la variazione di velocità complessivamente subita dal flusso. Rappresentano uno strumento utile per simulare la performance di una turbina alla volta ma, non essendo fisicamente presente il flusso, non forniscono indicazioni sulla scia. Negli anni diversi approcci di questo tipo, di complessità crescente, sono stati sviluppati per VAT, che hanno portato ai seguenti modelli: Single Streamtube Model sviluppato nel 1974 da Templin [4], Multiple Streamtube Modeldi ideato da Strickland nel 1976 [5] e Double-Multiple Streamtube Model, messo a punto nel 1981 da Paraschivoiu [6] e successivamente migliorato [7].

Vortex models

Si schematizza il profilo alare come una distribuzione continua di vortici potenziali (bound vortex, tip vortices e shed vortices), andando poi a correlare l’intensità dei vortici all’evoluzione della portanza sulla pala. Tali modelli, in origine sviluppati per analisi 2D [8], hanno raggiunto un notevole successo nel settore aerodinamico, per la loro accuratezza e per un costo computazionale non eccessivo.

Cascade models

Si tratta di modelli, il cui impiego è poco frequente per VATs oggi, che discendono dalla cascade theory ampiamente applicata alle turbomacchine. Una descrizione dettagliata del modello è contenuta in [9].

(13)

xii Hybrid models

In questa classe di approcci numerici poco esigenti da un punto di vista computazionale rientrano i più recenti modelli ibridi BEM-CFD, sia di tipo ASSM (Actuator Swept Surface Models) che di tipo ALM (Actuator Line Models): in questi casi il campo di moto è risolto con metodologia RANS/LES mentre l’azione delle pale, che non sono presenti nel dominio computazionale, è modellata mediante l’introduzione di forze volumetriche distribuite, calcolate dalla teoria BEM. A differenza dei modelli puramente analitici, tuttavia, in questi casi è possibile avere un’idea dell’effetto della turbina sull’ambiente circostante e sulla scia, e si prestano quindi bene alle simulazioni di turbine in farm. Nell’ambito di modelli ibridi ha trovato ampio impiego per HATs, sia in configurazione isolata che in array, il robusto VBM (Virtual Blade Model), sia per turbine eoliche [10], [11], [12], [13], che marine [14], [15], [16], [17]. I modelli ibridi per VATs [18], [19], [20], [21], [22], [23] si trovano invece ad uno stadio di sviluppo meno avanzato rispetto ai precedenti, a causa dei molteplici sotto-modelli che è necessario mettere a punto e che ne limitano spesso il campo di applicazione; ciononostante, un congruo numero di studi è oggi disponibile, alcuni dei quali si discutono nel primo capitolo. La presente tesi è sviluppata adottando sia una modellazione CFD URANS (2D e 3D) che ibrida (2D e 3D), del tipo ASSM, di cui nel prosieguo si approfondiscono le rispettive peculiarità. L’elemento di novità di questo lavoro è rappresentato dal proposito di analizzare la risposta 3D di una VAT a pale dritte con un modello ibrido a cilindro attuatore, tenendo in considerazione il fenomeno delle perdite alle punte. L’obiettivo è infatti quello di compensare un deficit evidente in letteratura nell’utilizzo di questa tipologia di approccio numerico, per la quale, nella maggior parte dei casi, l’importanza degli effetti di estremità sulla performance di rotore è trascurata. Di seguito viene sinteticamente illustrato il contenuto dei cinque capitoli in cui la tesi è suddivisa. Nel 1° capitolo si analizza il fenomeno dei tip vortices che si manifestano alle estremità di profili alari di lunghezza finita e si esamina l’approccio al problema delle perdite alle punte attraverso modellazione BEM e ibrida BEM-CFD. Nel 2° capitolo viene descritto il modello ad anello/cilindro attuatore impiegato nel lavoro di tesi, fornendo una overview delle principali subroutines. Nel 3° capitolo si presentano i modelli computazionali 2D e 3D e i settaggi adottati in Fluent. Nel 4° capitolo si discutono i risultati delle simulazioni di CFD 3D condotte per i due casi esaminati (Turbina Monopala e Tripala). Nel 5° capitolo infine si descrive la messa a punto del modello ibrido 2D e la relativa validazione; segue infine la risposta del modello 3D in assenza e presenza di formulazioni per le perdite alle punte, confrontando i risultati rispetto a quelli ottenuti, per i medesimi casi, da simulazioni di puro CFD 3D.

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Capitolo 1

Perdite alle punte

In questo primo capitolo si presenta il fenomeno delle perdite alle punte e si analizzano le modalità con cui è possibile valutarne gli effetti prestazionali in modellazioni di tipo BEM e di tipo ibrido BEM-CFD. Una disamina dei principali studi CFD 3D presenti in letteratura su turbine ad asse verticale, focalizzati sugli effetti tridimensionali del flusso e sulle perdite alle punte, consente di esaminare le cause e gli effetti sul campo di moto delle tip losses al variare di alcuni importanti parametri operativi e geometrici di una turbina. Segue infine un’analisi degli studi condotti su VATs attraverso metodologia simulativa di tipo ibrido per comprendere come gli effetti di estremità vengono valutati in questi casi.

1.1 Generalità

Un profilo alare di lunghezza finita sperimenta un crollo in lift e incremento in drag in prossimità dell’estremità, che si traducono in un sensibile decadimento prestazionale della superficie portante, sia essa l’ala di un aereo, la pala di una turbina o l’elica di un rotore.

Fig. 1.1: a) Tip vortices in scia ; b) Scie di fumo evidenziate da fumogeni alle punte per turbina NREL in galleria del vento NASA-Ames [24].

Questo fenomeno di perdita aerodinamica, la cui evidenza visiva nel campo di moto è rappresentata dai cosiddetti tip vortices, è legato al fatto che, a causa della finitezza del profilo, il flusso tende in prossimità della punta a non seguire più correttamente il profilo, ma a scavalcare dal lato in sovrapressione al lato in depressione, generando un vortice d’estremità. La fuga del flusso indotta dalla

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differenza di pressione tra pressure side e suction side determina la nascita di componenti spanwise di velocità del flusso, sia sulla top che sulla bottom surface di un profilo alare finito, che tendono, in maniera diversa, a curvare le streamlines rispettivamente verso le punte e verso l’interno dell’ala [25]. In generale maggiore è il carico sul profilo, maggiore è il gradiente di pressione tra i due lati dello stesso e maggiore sarà l’intensità dei vortici generati [26].

Fig. 1.2: Profilo alare finito. In questa figura, la curvatura delle stramlines sia sopra che sotto il profilo è accentuata per chiarezza [25].

Fig. 1.3: Rappresentazione qualitativa dei tip vortices su superficie portante [27]

Con riferimento al caso classico di un’ala di aeromobile, inclinata di un angolo di attacco α, questi vortici di estremità inducono nel campo di moto a valle in prossimità del profilo una piccola componente verso il basso di velocità nel flusso, grazie alla loro capacità di trascinare parte del fluido circostante. Tale componente La tendenza del flusso a sfuggire in prossimità delle estremità ha un altro importante effetto sull’aerodinamica di un’ala finita: si stabilisce infatti un moto circolatorio delle particelle di fluido che, sommandosi al moto assiale, conferisce ai tip vortices un caratteristico andamento elicoidale, o swirlato, a valle del profilo alare, similmente a deboli tornado [2].

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è denotata come downwash, con simbolo w, e si combina con la velocità di flusso indisturbato 𝑉 determinando una velocità locale relativa, inclinata verso il basso in prossimità di ciascuna sezione di airfoil del profilo alare, come rappresentato in Fig. 1.4.

Fig. 1.4: Effetto downwash su sezione locale di un airfoil di un'ala finita [25].

Si osserva come la velocità relativa percepita dal profilo sia inclinata rispetto alla velocità di freestream dell’angolo αi, che rappresenta l’angolo di attacco indotto.

La presenza della componente di downwash e il suo effetto nel determinare l’inclinazione della velocità relativa hanno due importanti conseguenze sulla sezione locale dell’airfoil:

1. nonostante il profilo alare si trovi ad un angolo di attacco geometrico α, localmente l’airfoil vedrà un angolo d’attacco più piccolo, definito come αeff, dato dalla seguente relazione:

𝛼 = 𝛼 − 𝛼

2. il vettore locale di portanza è allineato in direzione perpendicolare rispetto alla velocità relativa, quindi è inclinato di 𝛼 oltre la verticale (Fig. 1.4); è evidente la presenza di una componente del vettore lift locale in direzione di 𝑉 , che rappresenta un effetto di induced drag Di per la presenza della

componente di downwash [25].

La rotazione all’indietro del vettore di portanza locale rappresenta quindi un modo utile per schematizzare l’effetto dei tip vortices e per cogliere la generazione fisica della resistenza indotta. L’effetto downwash giustifica inoltre la progressiva riduzione del gradiente di pressione in direzione span su un profilo alare.

In definitiva la pressure equalization tra i due lati del profilo ha come conseguenza diretta la riduzione di portanza, e quindi, per una turbina, di coppia e potenza

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sviluppata. La presenza dei tip vortices infine è indice localmente di un drastico incremento in resistenza di pressione. Se ne deduce che l’efficienza aerodinamica del profilo, e conseguentemente la sua performance, in quel punto non possono che crollare. Maggiori dettagli in merito alle caratteristiche tridimensionali del flusso all’estremità di un profilo alare e agli effetti sulla performance di una turbina ad asse verticale a pale dritte vengono discussi più avanti in questo capitolo. Da un punto di vista storico l’attenzione nei confronti del fenomeno delle perdite alle punte vede la luce nell’ambito di studi teorici sviluppati all’inizio del ventesimo secolo: la presenza di perdite prestazionali osservabili sulle eliche, come su profili alari finiti, dovute ad effetti aerodinamici tridimensionali, indirizzò le prime indagini teoriche sulla ricerca di quale fosse la distribuzione ottimale della circuitazione Γ, tale da minimizzare dette perdite, per una assegnata spinta [26] . Ad introdurre il concetto di perdite alle punte e a trattarne in maniera rigorosa gli aspetti matematici ad esse connessi fu Prandtl, che, nell’ambito degli studi su eliche con un numero finito di pale, mostrò che la circuitazione Γ di un rotore reale tende a zero esponenzialmente al tendere verso l’estremità della pala secondo la seguente espressione: 𝛤 = 𝛤 ∙ 𝐹(𝑟) = 𝛤 ∙2 𝜋acos exp( − 𝐵 2 1 − 𝜆 𝜆 1 + 𝜆 )

dove F rappresenta il tip loss factor, inteso come fattore moltiplicativo di ΓBe,

circuitazione di riferimento individuata invece da Betz. Per maggiori dettagli teorici sull’origine di queste espressioni e su approcci proposti anche da altri autori al problema si rimanda a [26]. Si riporta in basso un confronto tra le due diverse funzioni di circuitazione, in forma adimensionale.

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Tale risultato fu successivamente utilizzato da Glauert che, allo scopo di rendere più realistici i calcoli sulle performance di turbine ad asse orizzontale, mostrò come l’effetto delle perdite alle punte fosse integrabile in maniera semplice nella teoria BEM da lui sviluppata [28]. Si analizzano ora più nello specifico le modalità e le ragioni con cui Glauert e successivamente altri autori proposero di implementare il tip-loss factor F, a livello di equazioni risolutive in approcci di tipo BEM, quindi monodimensionali, per tenere conto del fenomeno in esame.

1.2 Modello BEM e Tip Loss Factor

La teoria BEM, acronimo per Blade Element/Momentum Theory, rappresenta una delle metodologie più utilizzate per valutare la performance aerodinamica e quindi la potenza prodotta da una turbina [29]. Si basa sull’integrazione dei risultati di due approcci concettualmente indipendenti:

 Axial and angular Momentum theory: consente di determinare la spinta assiale e la coppia sul rotore, schematizzandolo come un disco attuatore, tale, inoltre, che ogni anello del disco agisce indipendentemente nell’impartire quantità di moto al flusso di aria che passa attraverso di esso.

Fig. 1.6: a) Disco attuatore e tubo di flusso; b) Annulus di rotore di spesso δr [29]

In altre parole le forze aereodinamiche di portanza e resistenza sugli elementi di raggio r, lunghezza δr di un rotore munito di più pale sono responsabili della variazione della quantità di moto assiale e angolare di tutto il flusso che passa attraverso l’annulus spazzato dagli elementi di pala

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 Blade element theory: prevede una valutazione del contributo in termini di forze aerodinamiche da parte di un elemento di pala locale, utilizzando i coefficienti caratteristici bidimensionali di un profilo alare (airfoil), determinabili sperimentalmente, e la risultante W, velocità relativa, del triangolo di velocità locale:

𝑠𝑒𝑛𝛷 = 𝑈 ( 1 − 𝑎 )

𝑊 𝑐𝑜𝑠𝛷 =

𝛺𝑟(1 + 𝑎 ) 𝑊

𝑊 = 𝑈 (1 − 𝑎 ) + 𝛺 𝑟 (1 + 𝑎 )

Fig. 1.8: Triangolo di velocità e forze aerodinamiche su sezione 2D di un elemento di pala [29]

Si dimostra infine che, combinando i risultati delle due teorie, è possibile ricavare la completa performance del rotore risolvendo in maniera iterativa il seguente sistema di equazioni [28], per gli n elementi in cui sia stata discretizzata la pala:

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑎 1 − 𝑎 = 𝜎 𝐶 4𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑎 1 + 𝑎 = 𝜎 𝐶 4𝑠𝑖𝑛𝛷 𝑐𝑜𝑠𝛷

Dove σr rappresenta la solidità rispetto alla corda ad un dato raggio, Cx e Cy sono i

coefficienti di spinta assiale e di coppia, ricavati a partire dai coefficienti aerodinamici CL e CD dell’airfoil usato, e Φ è l’angolo di inflow tra il piano di rotore

e la velocità relativa. I parametri aB e a’B, introdotti dalle teorie della quantità di

moto prima citate, rappresentano infine rispettivamente il fattore di induzione assiale e il fattore di induzione tangenziale, entrambi intesi come valori locali ad un dato raggio.

Il primo, aB , fornisce una misura dell’effetto di interferenza indotto dall’elemento

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fattore di induzione assiale locale, in base alle equazioni sopra riportate, porta ad una riduzione dell’angolo di inflow locale Φ(r), determinando una progressiva rotazione del vettore di lift, che sarà quasi normale al piano del rotore [29]. Ne consegue che la componente tangenziale di questo vettore, 𝐿 𝑠𝑖𝑛𝛷, sarà piccola, riducendo di fatto il suo contributo in termini di coppia e quindi di potenza prodotta.

Il secondo, a’B, invece è correlato alla velocità tangenziale che l’aria acquisisce

nell’attraversamento del rotore, guadagnando quantità di moto angolare:

𝑈 , = 2𝑟𝛺𝑎

Da queste premesse segue che il modo in cui il fattore di induzione assiale varia in direzione azimutale e radiale deve essere noto per tenere adeguatamente conto del fenomeno delle perdite alle punte.

Fig. 1.9: Variazione azimutale di aB per diverse posizioni radiali, per un rotore tripala in condizioni di

funzionamento ottimale operante a TSR=6 [29].

In questo, tuttavia, si colgono le limitazioni intrinseche della teoria BEM. Essa infatti, ipotizzando che non vi siano scambi di quantità di moto tra i flussi che passano attraverso anelli contigui, assume implicitamente che il fattore di induzione assiale sia uniforme su tutto il disco.

In realtà, come si evince dalla Fig. 1.9, si possono fare due importanti osservazioni a questo riguardo:

 In corrispondenza delle coordinate azimutali θ in cui si trovano le pale (120°, 240° e 360°), per posizioni radiali più vicine all’estremità, i valori di aB , fattore

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di induzione assiale locale, sono più elevati, a conferma di quanto precedentemente discusso sul decadimento di performance;

 Al tempo stesso si può dire che la media azimutale del fattore di induzione assiale, che indicheremo con 𝑎(𝑟) , è radialmente uniforme, ad evidenziare che se da un lato elevati valori di 𝑎 (𝑟) si manifestano in vicinanza delle pale, dall’altro valori più bassi si osservano nelle altre parti.

In definitiva Glauert, nel suo lavoro, dedusse che la formula introdotta da Prandtl per il tip-loss factor F, che nasceva da considerazioni fluidodinamiche sui vortex sheets in scia , esprimesse il rapporto, per una data posizione radiale, tra le velocità indotte [28], o equivalentemente tra il fattore di induzione assiale medio azimutale e il fattore di induzione assiale locale:

𝐹(𝑟) = 𝑎(𝑟)

𝑎 (𝑟)

La figura in basso ne riporta l’andamento qualitativo: si nota che tale rapporto è unitario per buona parte della lunghezza della pala e crolla a zero solo in prossimità della punta

Fig. 1.10: Variazione radiale del tip loss factor per una pala [29].

Il vantaggio di una tale formulazione per il tip loss factor appare chiaro se si considera che nelle equazioni BEM la variazione di quantità di moto assiale è determinata considerando 𝑎(𝑟); il flusso in massa attraverso un annulus di rotore è pari infatti a [29]:

𝛿𝑚̇ = 𝜌𝑈 ( 1 − 𝑎 (𝑟) ∙ 𝐹(𝑟)) 2𝜋𝑟𝛿𝑟

Ne consegue quindi che alla punta, dove F(r) va a zero, si ottiene un risultato fisicamente significativo: la velocità assoluta del vento che arriva sulla punta della pala assume il valore indisturbato della corrente libera [29]. In altri termini le parti estreme non riescono ad estrarre in maniera efficiente quantità di moto alla corrente lavorando male. Le forze aerodinamiche sulle pale invece vengono

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valutate con 𝑎 (𝑟), il cui aumento in direzione radiale, come già detto precedentemente, è indicativo di una riduzione della performance locale della pala.

1.2.1 Formulazione di Prandtl-Glauert

Allo scopo di facilitare l’implementazione della formula nei calcoli di tipo iterativo della teoria BEM, Glauert introdusse in definitiva la seguente espressione approssimata per il tip-loss factor:

𝐹 (𝑟) = 2

𝜋𝑐𝑜𝑠 exp −

𝐵(𝑅 − 𝑟) 2𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛷

dove Φ=Φ(r) è l’angolo di inflow tra la velocità relativa e il piano di rotore ad una assegnata posizione radiale. Per ricavare la performance del rotore nel caso quindi di un numero di pale finite, superando le limitazione intrinseche della teoria BEM e tenendo così conto delle perdite alle punte, il sistema da risolvere iterativamente diventa il seguente [28], essendo aB, aB’ , Φ e σr ancora valori locali ad un dato

raggio: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑎 𝐹 1 − 𝑎 = 𝜎 𝐶 4𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑎 𝐹 1 + 𝑎 = 𝜎 𝐶 4𝑠𝑖𝑛𝛷 𝑐𝑜𝑠𝛷

La formulazione sopra riportata può essere riarrangiata ed esplicitata nei termini del Tip Speed Ratio λ e del local Tip Speed Ratio λr nel modo seguente:

𝐹 , (𝑟) = 2 𝜋𝑐𝑜𝑠 exp − 𝐵 2 𝜆 𝜆 − 1 ∙ 1 𝑠𝑖𝑛𝛷

A geometria di turbina ad asse orizzontale fissata è stata quindi condotta un’analisi semplificata, in maniera simile a quanto riportato in [26], che ha previsto la creazione di file script in Matlab, con l’obiettivo di valutare preliminarmente l’effetto dei parametri λ, Tip Speed Ratio, e B, numero di pale, sul fattore correttivo delle perdite alle punte.

Benché un’analisi più accurata avrebbe previsto la risoluzione iterativa del sistema di equazioni sopra riportate per determinare l’esatta distribuzione dei fattori di induzione assiale e tangenziale, e quindi dell’angolo di inflow Φ, in questa fase si ritenuto corretto procedere con un’ipotesi semplificativa: l’andamento dell’angolo di inflow Φ in direzione radiale è stato infatti calcolato assumendo valori dei fattori di induzione assiale e tangenziale per una progettazione ottimale

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di un rotore, tali da massimizzare la potenza estraibile, come riportato in [29] a proposito della teoria del disco rotore, e così relazionati:

𝑎 =1

3 𝑎 =

𝑎 (1 − 𝑎) 𝜆

Facendo riferimento quindi alle caratteristiche geometriche del rotore ad asse orizzontale NREL-S809 [28], di raggio pari a 5.03 m e frequenza 71.93 rpm, è stato considerato l’effetto di diversi tip speed ratio λ, variando Uinf nel range 4.5-15 m/s,

per rotore tripala (B=3); successivamente, per valutare l’effetto del numero di pale, ovvero della solidità complessiva della turbina, si è fissato λ pari a 5.4 e si è fatto variare B.

Fig. 1.11: Variazione del Tip Loss Factor di Prandtl-Glauert in direzione span per a) diversi valori di TSR e numero di pale B=3; b) diversi valori di pale B e λ=5.4

Si può quindi osservare:

a) Per una turbina ad asse orizzontale la formulazione di Prandtl-Glauert mette in evidenza come al diminuire di λ sia riscontrabile un effetto più marcato delle perdite alle punte; in base a quanto detto precedentemente, muovendosi in direzione span, una più rapida riduzione del tip loss factor ha come effetto nelle equazioni BEM una minora capacità di estrazione di potenza in zona punte;

b) All’aumentare del numero di pale B la formulazione di Prandtl-Glauert evidenzia un minore impatto in termini prestazionali delle tip losses. Tale

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andamento è giustificabile nei termini di una maggiore uniformità azimutale del fattore di induzione assiale.

1.2.2 Formulazione di Shen

Un’interessante correzione per tenere conto degli effetti tridimensionali delle perdite alle punte fu proposta da Shen et alii [28]. Fu da loro osservato che l’utilizzo in modelli di tipo BEM di coefficienti aerodinamici CL e CD bidimensionali

di un airfoil produce una forza risultante diversa da zero in prossimità della punta di una pala, assumendo infatti l’angolo di attacco un valore generalmente finito. Da un punto di vista fisico tuttavia la forza dovrebbe tendere a zero all’estremità a causa della pressure equalization tra i due lati di un profilo. Su questa base quindi fu proposto di valutare i coefficienti di forza risultanti, indicati con Cxr e Cyr nel

modo seguente:

𝐶 = 𝐹 𝐶 𝐶 = 𝐹 𝐶

Dove la funzione FSh rappresenta in sostanza una correzione in prossimità delle

punte alle polari 2D del profilo, essendo queste ultime legate ai coefficienti di spinta assiale e di coppia [29] dalle espressioni:

𝐶 = 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝛷 + 𝐶 𝑠𝑒𝑛𝛷 𝐶 = 𝐶 𝑠𝑖𝑛𝛷 − 𝐶 𝑐𝑜𝑠𝛷

Da una serie di considerazioni, riportate in [28], gli autori dedussero che la nuova funzione correttiva FSh dovesse avere un andamento da un punto di vista

matematico analogo alla formula correttiva proposta da Glauert, giungendo in definitiva alla seguente espressione:

𝐹 (𝑟) =2

𝜋𝑐𝑜𝑠 exp −𝑔 ∙

𝐵(𝑅 − 𝑟) 2𝑟 𝑠𝑖𝑛𝛷

dove g è un coefficiente che dipende dal numero delle pale, Tip Speed Ratio, distribuzione corda, angolo di pitch. Per semplicità fu proposta una formulazione per la funzione g dipendente solo da B e λ, assumendo la seguente forma:

𝑔 = exp [−𝑐 (𝐵𝜆 − 𝑐 )]

con c1 e c2 coefficienti determinati da dati sperimentali. In definitiva, impiegando

risultati di misurazioni su due casi di turbine ad asse orizzontale reali, gli autori giunsero ad una formulazione finale di g:

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A livello di implementazione nel modello BEM l’introduzione della funzione correttiva proposta da Shen modifica il sistema di equazioni risolvente in questo modo [28]: ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ (1 − 𝑎 𝐹 )𝑎 𝐹 (1 − 𝑎 ) = 𝜎 𝐶 𝐹 4𝑠𝑖𝑛 𝛷 𝑎 𝐹 (1 − 𝑎 𝐹 ) (1 + 𝑎 )(1 − 𝑎 )= 𝜎 𝐶 𝐹 4𝑠𝑖𝑛𝛷 𝑐𝑜𝑠𝛷

Si osserva quindi che la formulazione di Glauert, precedentemente analizzata, rimane valida in questo approccio, mentre la formulazione di Shen aggiunge un effetto correttivo sui coefficienti aerodinamici in prossimità della punta.

Per valutare l’effetto di λ e B sulla formulazione di Shen, è stata condotta un’analisi dello stesso tipo di quella sviluppata nel paragrafo precedente per la correzione di Prandtl-Glauert, considerando la medesima geometria e una progettazione ottimale (fattore di induzione assiale uniforme a=1/3) .

Fig. 1.12: Variazione del Tip Loss Factor di Shen per a) diversi valori di TSR e numero di pale B=3; b) diversi valori di pale B e λ=5.4

Si osserva che:

a) la correzione proposta da Shen evidenzia che all’aumentare del tip speed ratio si ha una più rapida riduzione dei coefficienti di forza Cxr e Cyr . Questo effetto

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b) L’aumento del numero delle pale, quindi della solidità complessiva della turbina, favorisce una prematura riduzione in direzione span dei coefficienti di forza .

L’utilità di queste valutazioni preliminari ai fini della seguente tesi verrà più avanti discussa, quando verrà proposta una formulazione correttiva per le perdite alle punte in turbine ad asse verticale sulla base di risultati da simulazioni CFD. Per ora si è voluto mostrare, sia pure con calcoli semplificati e grossolani, che nelle turbine ad asse orizzontale la formulazione per le perdite alle punte di Shen fornisce risultati più verosimili di quella originale di Prandtl-Glauert. La verosimiglianza sarà dimostrata più avanti nel capitolo 4 quando si analizzeranno i meccanismi fisici e le conseguenze sul flusso dei vortici alle punte mediante simulazioni dettagliate di puro CFD-3D di turbine ad asse verticale.

1.3 Letteratura sull’analisi delle tip losses nelle VAT basata su CFD

Allo scopo di comprendere in dettaglio le complesse caratteristiche non stazionarie dell’aerodinamica 3D di una VAT, il ricorso alla modellazione CFD, tipicamente attraverso la risoluzione delle equazioni URANS, rappresenta una soluzione accurata e affidabile, pur richiedendo ingenti risorse computazionali. Infatti i dati da simulazioni CFD rappresentano un prezioso strumento di verifica di dati sperimentali e, al tempo stesso, possono costituire un utile riferimento rispetto a cui calibrare e validare strumenti simulativi meno complessi. Si passano ora in rassegna alcuni studi CFD 3D di letteratura su VAT focalizzati sul fenomeno delle perdite alle punte.

1.3.1 Studio CFD 3D: effetti dell’AR e del TSR sulle perdite alle punte

In [30] vengono investigati gli effetti combinati del numero di Rec chord-based e

delle perdite alle punte sull’Aspect Ratio ottimale per turbina eolica ad asse verticale bipala del tipo straight-bladed, considerando un ampio range di potenze, dalla microgenerazione al MW.

L’AR, qui inteso come rapporto tra l’altezza totale palare e il diametro di rotore H/D, rappresenta uno dei principali parametri progettuali per queste turbine, e spesso viene fissato più dall’esperienza che da valutazioni circa l’entità delle perdite alle punte: queste ultime infatti hanno un minore impatto in termini prestazionali per valori di AR maggiori e viceversa.

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Il numero di Reynolds riferito alla corda del profilo, dato da 𝑅𝑒 = , invece, influenza il coefficiente di potenza delle VAT nella misura in cui, all’aumentare di Rec , migliora l’efficienza aerodinamica, ovvero aumenta CL e si riduce CD .

Ne consegue che, a parità di area trasversale di rotore Across= HD, lo studio mostra

come un’attenta valutazione dei parametri AR e Rec sia necessaria per

massimizzare la potenza prodotta: se da un lato infatti l’aumento del primo, con conseguente maggiore lunghezza della pala, riduce l’effetto delle perdite alle punte, migliorando la performance, dall’altro implica una riduzione del raggio del rotore, quindi del Rec , e in definitiva del coefficiente di potenza CP.

Fig. 1.13: a) CP al variare di theta in direzione span; b) CP in direzione span per diversi AR [30] .

Le figure sopra riportate evidenziano il decadimento prestazionale che si manifesta sulla pala a causa delle perdite alle punte: a sinistra è mostrato l’andamento azimutale del CP a diverse posizioni z, mentre a destra si osserva

l’effetto prima discusso dell’AR sulla distribuzione in direzione span del coefficiente di potenza . Entrambe denotano quindi l’incapacità della turbina ad estrarre correttamente potenza dal flusso muovendosi verso l’estremità della pala.

Lo studio fornisce anche evidenze su alcuni aspetti fenomenologici connessi alla formazione dei vortici alle punte e alle loro conseguenze. I tip vortices sono infatti generati dalla differenza di pressione tra i due lati del profilo, che tende anche a diminuire andando verso punta, riducendo così la portanza sviluppata localmente. I tip vortices implicano inoltre un forte incremento locale in termini di pressure drag come evidenziato da Fig. 1.14. E’ interessante osservare come le variazioni in direzione span delle grandezze rappresentative della resistenza non seguano il

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medesimo andamento osservabile per la distribuzione di portanza: in altri termini la progressiva riduzione di angolo di attacco in direzione span, noto come downwash effect, va ad influire principalmente sul lift e non sul drag, che solo all’estremità presenta un brusco aumento.

Fig. 1.14: a) Coefficiente di pressione per AR=1.9 e θ=90° per diversi μ; b) Sforzo di taglio alla parete (tangenziale e totale) per unità di superficie di pala, energia cinetica turbolenta e vorticità, per diversi μ, per AR=1.9 e θ=90° [30].

Inoltre gli effetti dei tip vortices non sono solo confinati vicino l’estremità ma si propagano lungo l’altezza palare determinando la comparsa di componenti di velocità verticali nel flusso in direzione span in prossimità della pala: tali componenti avranno valore massimo dove l’intensità dei vortici è maggiore, ossia alle punte, e diminuiscono invece muovendosi verso la parte centrale della pala, dove l’intensità dei vortici si indebolisce. Da Fig. 1.15 è evidente come queste componenti assumano valore positivo sulla suction side del profilo e negativo sulla pressure side.

Fig. 1.15: Componenti di velocità lungo z in prossimità della pala per AR=1.9 e θ=90°: b) Contour su piano Y=0 della componente z di velocità per AR =1.9 e θ=90° [30].

Nello studio [30] vengono infine valutati gli effetti sulla performance locale di una variazione del TSR per turbine da microgenerazione. In generale un aumento di questo parametro è correlato ad un peggioramento prestazionale dell’estremità della pala a causa di un’eccessiva riduzione dell’angolo di attacco α.

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Osservando le figure sotto riportate relative alla distribuzione in direzione span del CP locale occorre tuttavia fare una precisazione: ragionando sempre a parità di

area trasversale fissata, pari in questo caso a 4 m2, per AR maggiori sarebbe

opportuno incrementare il TSR allo scopo di limitare i fenomeni di separazione del flusso sulla pala, indotti da una minore riduzione dell’angolo di attacco in direzione span; per AR minori invece si nota che il TSR ottimale è 3.5, in quanto in questo caso il Rec è maggiore ed è meno probabile che avvenga separazione locale del

flusso. D’altro canto si osserva, sempre dalla figura in basso a destra, la maggiore capacità dei tip vortices nel condizionare la riduzione dell’angolo di attacco in direzione del midspan.

Fig. 1.16: a) Distribuzione CP in direzione span per AR=3 al variare del TSR; b) Distribuzione CP in direzione span

per AR=0.8 al variare del TSR [30].

In conclusione lo studio evidenzia la necessità per turbine di taglia medio-elevata di adottare configurazioni con pale lunghe, ossia AR elevati, in quanto in questi casi gli effetti delle perdite alle punte sono predominanti rispetto a quelli del Rec .

Al diminuire della taglia il ruolo del Rec diventa più importante, e va eseguita

un’attenta valutazione del TSR ottimale rispetto all’AR scelto: in questi casi un leggero incremento del TSR per alti AR può mitigare gli effetti di separazione del flusso nella parte centrale della pala. L'analisi degli effetti del TSR è tuttavia limitata alle sole turbine di piccola taglia, e copre un range modesto di TSR. Ad ora non si trovano invece studi CFD focalizzati sugli effetti del TSR sulle perdite alle punte, né per turbine ad asse orizzontale né per turbine ad asse verticale. Nel proseguo della tesi nel Capitolo 4 (paragrafi 1 e 2) si cerca di sopperire a questa lacuna.

1.3.2 Tip losses: valutazione quantitativa

Un modo per valutare quantitativamente l’effetto globale dei tip vortices è interpretare il fenomeno nei termini di una riduzione virtuale della lunghezza effettiva della pala [30]. I parametri che concorrono a determinare la lunghezza

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del tratto non operativo della pala sono diversi: solidità, numero di pale, TSR e AR, esprimibile alternativamente anche come AR*, ossia rapporto tra l’altezza totale della pala e la corda del profilo H/c .

In [30] viene riportato un grafico riassuntivo che quantifica le perdite alle punte come numero di corde perse, considerando entrambe le estremità della pala, rispetto alla performance, ottenuta per estrapolazione, di una turbina con altezza palare “infinita”. Tale condizione è sufficientemente rappresentata da una turbina con AR = 6.

Fig. 1.17: Effetti di estremità per diverse taglie di turbina e AR per una velocità del vento di 10 m/s: a) accorciamento virtuale della pala, espressa come numero di corde perse; b) percentuale di materiale perso rispetto a un turbina di riferimento [30].

All’aumentare di AR si osserva un continuo incremento nel blade virtual shortening: ciò è dovuto al fatto che pale più lunghe lavorano con un CP minore

rispetto al CP di riferimento di una turbina con lunghezza palare infinita. I valori più

bassi di BVS nel caso di micro-turbine indicano che il CP di riferimento in questi casi

è già di per sé basso. Gli stessi risultati possono anche essere espressi in termini di percentuale di materiale perso rispetto alla turbina di riferimento.

(31)

18

1.3.3 Analisi 3D aerodinamica di una singola pala

In [31] viene eseguito uno studio dettagliato delle caratteristiche tridimensionali del flusso simulando la performance di un rotore H-Darrieus, di cui si riportano in tabella la geometria e i parametri, con singola pala e per un’unica condizione operativa.

I vantaggi di un tale approccio risiedono nel fatto che un modello monopala, che verrà tra l’altro adottato anche in questa tesi, permette di isolare e analizzare i principali fenomeni aerodinamici relativi a pale di lunghezza finita, evitando effetti aerodinamici addizionali dovuti alle interazioni pala/scia che avvengono in rotori multipala. Allo stesso tempo dietro questa scelta ci sono anche limitazioni legate alle risorse computazionali a disposizione: per un rotore tripala infatti assicurare l’indipendenza dei risultati dalla raffinatezza della griglia imporrebbe la creazione di griglie computazionali con almeno 100 milioni di elementi [32].

In Fig. 1.19, a pagina successiva, si riporta a sinistra l’evoluzione azimutale del coefficiente di coppia per unità di lunghezza Ctz per diverse posizioni in direzione

span, a destra invece un confronto tra tre andamenti di coppia: il profilo 2D fa riferimento allo stesso rotore ma in un dominio bidimensionale e corrisponde a una situazione ideale in cui gli effetti di estremità sono assenti (pala di lunghezza

Caso studio

Tipologia di rotore H-Darrieus monopala Profilo impiegato NACA 0021 Corda profilo [m] 0.0858 Lunghezza della pala

[m] 1.5

Raggio di rotore [m] 0.515

AR* 17.5

TSR 3.3

Free stream velocity

[m/s] 9

Mesh size elements 64M

Tabella 1.1: Caratteristiche geometriche operative relative al caso studio analizzato in [7]

Fig. 1.18: Streamlines in zona punta e componenti verticali di velocità sul lato in depressione della pala [7].

(32)

19

infinita), il profilo 3D fa riferimento al coefficiente di coppia totale della turbina, mentre il profilo “0%” si riferisce alla coppia per unità di lunghezza rilevata sulla mezzeria della pala.

Fig. 1.19: Coefficiente di coppia vs angolo azimutale: a) variazione in direzione span; b) simulazione 2D confrontata con profilo 3D in mezzeria e profilo medio 3D [32].

L’analisi di queste figure evidenzia alcuni aspetti molto importanti. Innanzitutto i profili di coppia 2D e 3D sono caratterizzati da andamenti simili, inclusa la corrispondenza dei massimi, uno in upwind e uno in downwind. In entrambi i casi questo comportamento è in linea con le analisi di altri lavori di letteratura [32], [33], [34], dove si mostra come i profili 2D/3D variano in ampiezza ma mantengono forme molto simili in direzione azimutale. Inoltre si nota che la differenza tra il profilo 2D e il 3D ottenuto allo 0% della pala sono quasi perfettamente sovrapposti, suggerendo che l’effetto dei tip vortices non raggiunge tale posizione. Infine si osserva chiaramente come le differenze principali tra i profili 2D e 3D emergono in quelle parti di rivoluzione in cui la turbina sperimenta un aumento dell’angolo di attacco. Di conseguenza la riduzione di coppia dovuta agli effetti alle punte aumenta perché l’intensità dei vortici si rafforza in situazioni di incrementata incidenza del flusso. Questo avviene in misura maggiore in upwind, ma il trend si osserva anche in downwind.

Osservando i profili di coppia per diverse posizioni in direzione span si possono aggiungere altre osservazioni:

a) I profili di coppia al 20%, 40%, 50% del semispan palare sono quasi sovrapposti, indicando quindi che per circa metà della sua lunghezza la pala è caratterizzata da un flusso prevalentemente 2D, con un impatto trascurabile degli effetti alle punte;

(33)

20

b) I profili di coppia al 60%, 70%, 80% del semispan palare mostrano una progressiva riduzione del picco di coppia rispetto a quello in mezzeria, mentre il resto della curva in downwind è meno influenzata;

c) I profili di coppia al 90%, 95% e 97.5 % del semispan palare mostrano che per queste posizioni gli effetti 3D sono impattanti sull’intera rivoluzione, con forte scadimento prestazionale locale;

d) In corrispondenza dell’estremità della pala, 99%, si arriva addirittura a non avere un contributo positivo alla coppia prodotta;

e) È interessante infine notare come muovendosi verso l’estremità la posizione azimutale per la quale si verifica il picco di coppia in upwind tende a shiftare di qualche grado azimutale verso destra. Questo può essere spiegato con una riduzione dell’angolo di incidenza (downwash effect), e trova conferma anche dagli esperimenti di Li e Calisal [35], che mostrano come l’effetto di shift sia più pronunciato per turbina con più basso Aspect Ratio (AR = 4.5).

Lo studio indaga inoltre in maniera dettagliata l’effetto di downwash, e quindi le conseguenze della variazione dell’angolo di attacco in direzione span, e l’effetto dell’interazione pala/scia per giustificare la differenza percentuale tra i profili di coppia in corrispondenza della mezzeria della pala 0% e del 90%.

Fig. 1.20: Confronto curve di coppia in direzione azimutale a semispan 0% e 90% [31].

Per i dettagli relativi a questo ulteriore approfondimento, che ha il merito di indagare a fondo i complessi fenomeni aerodinamici che si verificano già nel caso di rotore monopala, si rimanda all’articolo degli autori [31]. Nel capitolo 4 si cercherà di evidenziare aspetti simili a quelli ora illustrati anche dallo studio CFD relativo a un caso monopala trattato in fase preliminare in questa tesi.

(34)

21

1.3.4 Blade Tip Shape: miglioramento della performance

Come emerso dagli studi CFD ora esaminati, gli effetti legati ai vortici alle punte determinano un decadimento prestazionale in direzione span significativo in termini di coppia prodotta ed estrazione di potenza per una VAT. Allo scopo quindi di migliorare l’efficienza complessiva della macchina, negli ultimi anni molti sforzi da parte dei ricercatori sono stati indirizzati verso l’adozione di soluzioni tecniche progettuali per ridurre gli effetti di estremità.

Diversi studi, sia di tipo sperimentale che numerico, hanno evidenziato come attraverso cambiamenti della forma delle pale, optando tipicamente per geometrie di tipo elicoidale [33] o adottando punte di forma ellittiche [36], o mediante l’installazione di dispositivi all’estremità palare, come winglets o bulkheads [37], si ottenga una riduzione dell’effetto dei tip vortices sulla performance di turbina. In [38] uno studio parametrico CFD condotto su una turbina H-Darrieus analizza quantitativamente gli effetti sul CP locale di un blade

Aspect Ratio AR*=H/c finito e il miglioramento prestazionale conseguente all’installazione di end-plates terminali, opportunamente ottimizzate.

In [37], nello specifico, gli autori hanno condotto uno studio CFD 3D su un modello di VAWT di taglia elevata (Rated Power = 2.5 MW) in scala reale, con l’obiettivo di esplorare soluzioni che smorzassero gli effetti in punta, per ottimizzare la struttura complessiva del rotore e quindi le sue prestazioni.

Fig. 1.21: a) Modello della turbina; b) Principali parametri del rotore [37].

Per monitorare l’influenza dei tip vortices sulla superficie palare, la pala è stata suddivisa in lunghezza sulla base della misura della corda, a partire dall’estremità: per diverse posizioni in direzione span vengono così intercettate delle sezioni di airfoil di altezza hz pari a 5 cm, funzionali al monitoraggio in direzione azimutale

del coefficiente di coppia locale Ctz, dato da:

𝐶 = 𝑇

1

(35)

22

I risultati mostrati in Fig. 1.22 sono concettualmente in linea con quanto già visto nel paragrafo precedente 1.3.3, sia per i profili in upwind che in downwind.

Fig. 1.22: a) Coppia istantanea delle sezioni a differenti altezze durante una rivoluzione; b) Vista della bulkhead ottimale [37].

Allo scopo di contenere gli effetti indotti dai tip vortices, gli autori hanno inserito alle estremità delle bulkheads, ottenute estendendo la curva del profilo palare, secondo le modalità sopra riportate, dove Δ rappresenta la distanza tra il contorno esterno del dispositivo e la pala. Nello specifico la soluzione con Δ=0.35c, e con spessore di 0.2 m è stata valutata come la size ottimale nel caso in esame. Un interessante confronto, con e senza bulkheads, in corrispondenza della posizione azimutale θ=88°, evidenzia la maggiore regolarità indotta sulle streamlines dalla soluzione adottata, che forza il flusso ad avere caratteristiche bidimensionali [36].

Fig. 1.23: Streamlines per diverse altezze delle sezioni di pala per θ=88° a) con bulkhead; b) senza bulkhead [37].

Dal confronto tra i profili di coppia istantanea Ctz ottenuti per i due casi è evidente

l’effetto di inibizione dei tip vortices per altezze superiori a quella corrispondente alla sezione 1c, mentre non si registrano differenze tra le due soluzioni per altezze inferiori alla sezione 3c.

(36)

23

Fig. 1.24: Coppia istantanea con e senza bulkhead ad un'altezza di: a) 0.25c; b) 0.5c; c) 1c; d) 3c; e) 5c; f) 7c [37].

(37)

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1.4 Modellazione BEM-CFD tip losses in VAT

1.4.1 Generalità modelli ibridi per VAT

Si è visto come un’analisi più accurata del campo di moto prodotto da una VAT richieda l’adozione di modelli più complessi e onerosi da un punto di vista computazionale: studi CFD basati su simulazioni di tipo URANS (Unsteady Reynolds Average Navier-Stokes Simulations) o, meno frequentemente, di tipo LES (Large Eddy Simulations) consentono infatti di indagare in dettaglio fenomeni fluidodinamici come lo stallo dinamico e le perdite alle punte, che condizionano in maniera determinante la generazione della coppia e l’evoluzione della scia di una VAT. Nelle simulazioni di CFD 3D tradizionale, tuttavia, è opportuno riprodurre la geometria delle pale caratterizzanti la turbina, mettendola poi in rotazione così da replicare quanto accade nel reale esercizio della macchina. Questo comporta la realizzazione di griglie complesse da un punto di vista geometrico, caratterizzate inoltre da un numero elevato di celle, tipicamente diversi milioni, la maggior parte delle quali concentrate in zona pale. I tempi di calcolo per ottenere una soluzione affidabile del campo di moto sono generalmente lunghi, essendo funzione della complessità della griglia di calcolo, delle condizioni fluidodinamiche e operative della turbina e indubbiamente della potenza di calcolo a disposizione.

Storicamente l’adozione di approcci di tipo BEM per turbine ad asse verticale rappresenta invece il modo più semplice per progettarne le caratteristiche geometriche ed operative e valutarne la performance aerodinamica. Si tratta, come visto in precedenza, di modelli analitici che si basano sul concetto che il rotore possa essere analizzato utilizzando uno (Single Streamtube model) o più tubi di flusso, (Double or Multiple Streamtube model) che lo intercettano. L’evoluzione più recente di questi modelli è rappresentato dal Double-Multiple Streamtube Model (DMST), in cui ogni tubo di flusso parallelo viene suddiviso in una metà upwind e una downwind, per ciascuno dei quali viene calcolata una velocità indotta.

Fig. 1.25: Rappresentazione schematica dei modelli BEM a) Single, b) Multiple e c) Double-Multiple Streamtube [3]

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