Premesse
Il modello a concentrazioni, con soltanto due parametri deterministici α e β , riesce a descrivere bene la dinamica cellulare che, lungo l’intero corso della vita , regola l’evoluzione della popolazione linfocitaria di fenotipo Vergine e lo studio delle funzioni di sopravvivenza ad essa legata daranno nel successivo capi-tolo un ottimo accordo sperimentale. Tuttavia nel modello a due soli parametri sulle concentrazioni linfocitarie si considerano alcune ipotesi non completamente giustificabili per quanto riguarda l’effetto dello stress antigenico cronico sui due pool; se tali ipotesi danno la possibilita’ di lavorare su oggetti matematici facil-mente trattabili in forma analitica, si deve comunque osservare quanto queste limitazioni ci discostino dalle reali interazioni e reazioni del SI agli stimoli subiti. Le variazioni stocastiche a cui le due popolazioni sono soggette hanno nel modello precedente una perfetta complementarieta’ e l’accordo sperimentale dei risultati ottenuti mostrano come tale ipotesi non si discosti quantitativamente da una piu’ generale ipotesi di rumore indipendente su entrambi i compartimenti linfocitari. Mettere in luce la validita’ di questa approssimazione ci permettera’ sul piano teorico di ricondurci ai risultati ottenuti dal vecchio modello per un ulteriore stu-dio sulle curve di sopravvivenza.
Matematicamente il problema sorge dall’aver inserito il rumore nell’equazione differenziale per le concentrazioni, dopo aver imposto la condizione di vincolo V(t)+M(t)=costante, che quindi non viene modificata. Dal punto di vista im-munologico e’ assolutamente piu’ corretto ipotizzare un rumore che provochi anche una fluttuazione sull’intero repertorio T e che agisca in maniera scorrelata sui due repertori Vergine e di Memoria. In questo secondo modello aggiungeremo queste ipotesi riguardo la parte stocastica del sistema; ovviamente l’analisi deterministica avra’ gli stessi risultati della precedente a meno di un cambio di variabili, passando dalle concentrazioni ai valori assoluti.
Nuova Analisi Stocastica
Il modello assume la seguente forma dV
dt = −α V − β M + ǫ cos2(θ )ξ (t) dM
dt = +α V + β M + ǫ sin
2(θ )ξ (t) (2.26) dove ricordiamo (par 2.3) che α rappresenta la rapidit`a di conversione da cellule Vergini a cellule di Memoria dopo un attacco antigenico primario. β descrive la rapidita’ di riattivazione di cellule T di Memoria dovuto ad un successivo attacco dell’ antigene; la riespansione del clone T di Memoria ha un effetto inibitorio sulla popolazione di cellule T Virgini. ǫ ξ(t) `e un rumore bianco ( < ξ(t) >= 0 e < ξ(t′), ξ(t) >= 0 ) che rappresenta la fluttuaziuone di Stress Antigenico con cui l’ambiente continuamente disturba le popolazioni. θ descrive la distribuzione sulle 2 popolazioni dello stress cronico, dandoci la possibilita’ di ipotizzare una risposta distinta delle popolazioni, dipendente dalle proprie carat-teristiche fenotipiche . Mentre i valori di α e β restano identici nel passaggio
tra vecchio e nuovo modello, dovendo descrivere l’andamento dello scambio tra
i due comparti, il fattore ǫ sara’ riscalato in maniera proporzionale al numero
di particelle presenti nel sistema. Ponendo come condizioni iniziali del sistema
V (0) = V0 e M (0) = 0 , le medie delle popolazioni in valore assoluto sono (
vedi app. B)
hV i = V0 β − α e(β−α )t
β − α hMi = V0α
e(β−α )t− 1
β − α (2.27)
Le traiettorie stocastiche V (t) e M (t) (soluzioni del modello) sono
dis-tribuite attorno alle curve delle medie deterministiche che interpolano i dati
curva a sinistra θ = 0o , curva al centro θ = 45o , curva a destra θ = 90o
Sono mostrati 3 diversi valori di θ ( 0 , π4 e π2 ) per entrambe i comparti cellulari Vergini e di Memoria . Al cambiare dell’angolo con cui si distribuisce il ru-more dalle cellule vergini ( θ =0) a quelle del compartimento di memoria θ = π2 la forma della varianza σ(t) muta significativamente. La distribuzione delle trai-ettorie per le cellule T Vergini dipende considerevolmente dall’angolo θ con cui si mescola il contributo stocastico, mentre per i cloni Memoria la dipendenza e’ molto minore. Il confronto sperimentale induce un’approssimazione ad angoli inferiori ai 45 gradi e porta ad una prima conferma di questo modello: riesce ad assegnare una importante caratteristica immunologica alle cellule Vergini, mag-giore sensibilita’ e dipendenza agli attacchi antigenici esterni. Infatti Se definiamo Lθ = (α cos2(θ ) + β sin2(θ )) allora le Deviazioni Standart di V (t) e M (t) sono ( vedi app. B)
σV2 (t) = ǫ2 β2 (α − β)2 t − 2 Lθβ (α − β)3 (1 − e(β−α)t) + L 2 θ 2(α − β)3 (1 − e2 (β−α)t (2.28) σM2 (t) = ǫ2 α2 (α − β)2 t − 2 α Lθ (α − β)3 (1 − e(β−α)t) + L 2 θ 2(α − β)3 (1 − e2 (β−α)t (2.29) come si vede le due deviazioni standard descrivono la diversa interazione tra i due compartimenti con l’ambiente esterno. Dal calcolo delle correlazioni tra i valori assoluti di V ed M si ottiene: hV (t)M(t)i = ǫ2 − α β (α − β)2 t + (α + β )Lθ (α − β)3 (1 − e(β−α)t) − L 2 θ 2(α − β)3(1 − e2(β−α)t (2.30)
L’equazione (2.30) conduce ad un’espressione per la deviazione standard dell’intera popolazione dei CD8+
σ2V +M(t) = ǫ2t (2.31)
Questi risultati ci permettono una prima analisi delle differenze nella parte fluttuante dei 2 modelli trattati:
1-Nel Modello a Concentrazioni la deviazione standard di cellule Vergini era identica a quella dei cloni Memoria, con un rilassamento esponenziale ad un valore costante σ∞ = ǫ√2T . Avendo imposto il vincolo V+M=costante prima dell’introduzione del rumore, la deviazione standard dell’intera popolazione e’ sem-pre nulla
2-Nel Modello a Valori Assoluti la crescita della deviazione dell’intera popolazione e’ lineare. Lo stesso andamento lineare e’ presente nel primo termine per le deviazioni standard di V ed M: tale termine risulta dominante per tempi lunghi a causa del decremento esponenziale degli altri due, mentre in fase iniziale tende ad annullarsi, e quindi ad avere un andamento simile a quello della deviazione standard del modello1.
Stime delle deviazioni standard
L’interpolazione con i dati sperimentali fornisce un stima dei parametri α ∼ 10−2 , β ∼ 10−3 , Lθ∼ α , ǫ ∼ 10 che permette approssimazioni per t inferiori a 100 anni ( stima per la vita umana ). Per quanto riguarda il compartimento di cellule Vergini
∼ ǫ2O(102) (1 − e2 −O(10−2)t)) (2.32)
Risulta quindi che nell’intervallo temporale dell’intero arco della vita umana le de-viazioni standard del nuovo modello hanno un andamento approssimabile a quelle del vecchio modello, in quanto l’unico termine che contribuisce significativamente e’
ǫ2 L
2 θ
2(α − β)3 (1 − e2 (β−α)t (2.33)
Questo risultato risulta di particolare importanza, essendo il primo passo per ri-condurre lo studio analitico delle curve di sopravvivenza effettuato sul modello a concentrazione anche a questo secondo modello; oltre alla dispersione dei dati si riuscira’ ad approssimare anche il valor medio delle concentrazione (sezione seguente).
Se la stessa stima viene fatta sulla deviazione standard del comparto di Memo-ria, che nel vecchio modello sottostimava la dispersione, il risultato tiene conto dei nuovi termini gia’ durante tutto l’arco temporale preso in considerazione (vita umana), mostrando come l’effetto di un rumore ambientale indipendente ne mod-ifichi la dispersione:
σ2M(t) ∼ ǫ2 O(100) t − O(102) (1 − e(β−α)t) + O(102) (1 − e2 (β−α)t) (2.34) i tre termini hanno tra 0 e 100 anni contributi confrontabili causando un aumento della deviazione mantenendola comunque sullo stesso ordine di grandezza prece-dente. Questo risultato va evidenziato in quanto sperimentalmente si trova una forte dispersione nei dati relativi ai cloni Memoria, dispersione a cui le cellule Vergini non sono sostanzialmente soggette.
Concentrazioni: analisi e confronti
A questo punto e’ utile vedere la correzione che un rumore bianco indipendente sulle due popolazioni impone alle concentrazioni di cellule Vergini e Memoria, cosi’ da stimare l’ambito di validita’ dello studio che portera’ dalle concentrazioni e dalle deviazioni del modello 1 alle curve di sopravvivenza ( cap.3). Sappiamo che i valori medi < V (t) > e < M (t) > dell’attuale modello sono gli stessi che si troverebbero nel modello precedente tramite un opportuno cambio di variabili. Notiamo allora che il vincolo sul repertorio cellulare si ridurra’ a
< V (t) + M (t) >=< V (t) > + < M (t) >= V (0) (2.35) Sviluppando le popolazioni linfocitarie rispetto a quella media si trova:
V (t) =< V > +ǫ V1 = V0 β − α e(β−α )t β − α + ǫ Z t 0 β − α e(β−α )t β − α cos 2 θξ(t − t′)dt (2.36) M (t) =< M > +ǫ M1 = V0αe(β−α )t− 1 β − α + ǫ Z t 0 αe(β−α )t− 1 β − α sin 2θξ(t − t′)dt (2.37) La concentrazione v(t) = V (t)+M (t)V (t) cambia il suo valor medio rispetto a v∗(t) = V (t)V
0 del modello precedente : < v(t) >=< V (t) V (t) + M (t) >=< < V > +ǫ V1 V0+ ǫ (V1+ M1) >= =< v∗(t) >< (1 + ǫ V1 < V >) (1 − ǫV1+ MV 1 0 + (ǫV1+ M1 V0 ) 2+ ...) (2.38)
dallo sviluppo del binomio al denominatore, usando le relazioni che mi riconducono alle deviazioni standard che ho precedentemente calcolato:
< V12 >= σ 2 V ǫ2 ; < M12 >= σ 2 M ǫ2 ; ...
otteniamo l’espressione per la variazione tra la nuova e la vecchia concentrazione media: δv(t) =< v(t) > − < v∗(t) >= ǫ 2 V2 0 (σV21+M1 − σV21− < V1M1 >) = = ǫ 2α V2 0(α − β)[t e (β−α )t− Lθ (α − β)2(1 − e(β−α)t)] (2.39) Questa differenza cresce monotonicamente e tende ad un valore fisso per t che va all’infinito:
δv∞ = ǫ
2α Lθ V2
0(α − β)3 (2.40)
Se calcolata per t=100 con i parametri fissati dai fit assume il valore
δv(100) ∼ 0.011 (2.41)
Queste due funzioni (fig. 2.5) sono identiche nei primi anni di vita, iniziando a discostarsi sensibilmente solo dopo i 100 anni ma da tale fascia temporale in avanti si viene a perdere il senso fisico della variabile v(t) che inizia ad assumere valori negativi; quindi per le analisi sulle concentrazioni i valori del primo modello sono un’ottima approssimazione di quelli ottenuti dal nuovo modello migliorato.
Conclusioni
Il modello appena studiato, benche’ riesca sia ad interpolare i dati sia a seguire gli andamenti delle distribuzioni sperimentali per entrambi i pool cellulari, non prende in considerazione alcuni contributi immunologici importanti (Timo, or-gani linfopoietici come il midollo Osseo), e tende a sovrastimare i valori dei cloni Memoria in fase senescente . Scopo dei prossimi modelli sara’ la verifica di come l’aggiunta di alcuni importanti elementi del SI migliori l’accordo sperimentale con le dinamiche di evoluzione,e quindi sia una ulteriore prova della consistenza delle semplici ipotesi usate nei modelli precedenti.