Momento di terzo ordine: l’asimmetria

Il terzo momento di una distribuzione, spesso indicato con il suo termine inglese “skewness”, è una misura dell’asimmetria della stessa.

L'asimmetria di una distribuzione è imperniata intorno al valore della sua media. Se il suo valore è 0, la forma della distribuzione sul lato sinistro rispetto alla media risulterà l'immagine speculare della forma assunta sul lato destro sempre rispetto alla media.

Pertanto, in una distribuzione normale il valore dell'asimmetria sarà sempre zero poiché la sua distribuzione è perfettamente simmetrica.

Quando il suo valore è diverso da 0, invece, si ottengono distribuzioni asimmetriche positive o negative. Queste sono caratterizzate, rispettivamente, da una più grande coda destra e da una più grande coda sinistra.

𝐴𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 = �= 0,> 0, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 < 0, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

La seguente figura riassume ed illustra le varie possibili distribuzioni che possono essere assunte, in generale, dai dati rispetto alla media:

Figura 1 - Simmetria e Asimmetria positiva/negativa

Quando una distribuzione è simmetrica tutte tre le misure di media moda e mediana coincidono. Ciò, però, non accade quando la distribuzione è asimmetrica.

Nelle distribuzioni positivamente asimmetriche (asimmetria a destra), la mediana è posta alla sinistra della media e il suo valore è maggiore.

Nelle distribuzioni negativamente asimmetriche (asimmetria a sinistra), invece, la mediana è posta alla destra della media e il valore della media è più piccolo rispetto alla mediana.

Figura 2 - Media, Moda e Mediana nei tre casi

Da un punto di vista finanziario, un indice di asimmetria positivo implica una probabilità maggiore che si verifichi un profitto positivo, mentre un valore negativo ha come conseguenza una notevole probabilità di contrarre un profitto negativo.

Nel corso degli anni diverse misure di asimmetria sono state proposte dagli studiosi.

Il primo ad introdurre un metodo per misurare l'asimmetria di una distribuzione fu, nel 1895, il matematico e statistico britannico Karl Pearson.

Egli propose una misura basata sulla differenza standardizzata tra il valore medio e la moda della distribuzione:

𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =𝜇 − 𝑚𝑜𝑑𝑒_𝜎

Dove µ rappresenta il rendimento medio e σ è la deviazione standard della distribuzione. Successivamente, rivisitò la formula sostituendo la moda con la mediana che, generalmente, è più facile stimare per un campione:

𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =3(𝜇 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛)_𝜎

Normalmente, l'indice di asimmetria per una distribuzione è definito in questo modo:

𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =_{𝑁 � �}1 𝑥𝑖_{𝜎 �}− 𝑥̅ 3

𝑁 𝑖=1

Dove N è il numero delle osservazioni.

In generale, dunque, l'asimmetria è misurata attraverso il terzo momento centrale diviso per la deviazione standard al cubo.

Essa è una misura invariante per la traslazione e per i cambiamenti di scala.

È importante notare come l'asimmetria sia una misura particolarmente sensibile al modo nel quale viene misurata, dalla numerosità del campione e da altri fattori.

Il non uso dell'asimmetria nella Selezione di Portafoglio nel modello media/varianza di Markowitz può essere giustificata da almeno tre ragioni:

 la funzione di utilità è ipotizzata quadratica. Pertanto tutti i valori oltre la varianza nell'espansione in serie di Taylor della funzione di utilità risultano pari a zero.

 La distribuzione dei rendimenti dei titoli è ipotizzata come una distribuzione normale. I primi due momenti (media e varianza), dunque, descrivono completamente la distribuzione. Questo perché se la distribuzione è simmetrica, allora tutti i momenti di grado superiore alla varianza risulteranno pari a zero.

 Se si considerano solo i primi due momenti, il problema di ottimizzazione è un problema lineare e può essere risolto facilmente.

È intuitivo capire perché l'asimmetria vada considerato come un fattore importante per gli investitori. Un’asimmetria positiva, per l'investitore, significa avere maggiori probabilità di ottenere guadagni estremamente più grandi e perdite limitate.

La preferenza di un soggetto per una distribuzione asimmetrica positiva può anche essere spiegata, per similitudine, osservando il comportamento delle persone che comprano i biglietti della lotteria: la distribuzione dei rendimenti di tali biglietti è largamente asimmetrica verso destra; vi è la possibilità di un importante e grande guadagno mentre la perdita è limitata al costo del biglietto.

Dall'altro lato, le persone sono avverse rispetto un’asimmetria negativa. Anche in questo caso, un esempio utile, può essere quello di osservare il comportamento delle persone che acquistano una polizza assicurativa: il valore atteso di guadagno di un'assicurazione è negativo (costo del servizio offerto dalla compagnia di assicurazione), ma l'assicurazione protegge le persone da potenziali grandi e gravi perdite e le persone sono disposte a pagare per questo.

Gli stessi concetti possono essere applicati al settore degli investimenti dove si verificano fenomeni simili.

Alderfer e Bierman (1970), pubblicarono uno studio empirico nel quale ponevano l'investitore di fronte a diverse alternative di investimento. Alcune di queste alternative possedevano valori di media e rischio simili ma diversi valori di asimmetria della distribuzione dei rendimenti.

Lo studio mostrò chiaramente la preferenza dei partecipanti per le alternative caratterizzate da distribuzioni asimmetrie positive anche nei casi in cui l'asimmetria positiva era associata ad un rendimento medio minore. Le persone, dunque, erano disposte a “pagare” per l’asimmetria positiva.

In modo simile alla varianza di portafoglio, l'asimmetria di portafoglio non è data da una media pesata dei momenti terzi dei rendimenti dei titoli.

Poiché i titoli tendono a muoversi assieme, i loro rendimenti non possono essere assunti indipendenti. Per il calcolo dell’asimmetria di portafoglio, non è dunque necessario solamente conoscere il valore dell'asimmetria dei rendimenti ma anche la cosiddetta coasimmetria tra i rendimenti (in inglese coskewness).

Per rendere facilmente comprensibile il concetto di coasimmetria si pensi in maniera simile a cosa rappresenta la covarianza tra i titoli. Si noti, però, che la matrice di asimmetria e coasimmetria è rappresentata da una matrice cubica mentre la matrice varianza covarianza è una matrice quadrata.

Per semplicità, l'asimmetria verrà considerata, ai fini di questo lavoro, come il terzo momento centrale non normalizzato così come proposto da Ingersoll (“Theory of financial decision

making”, Studies in Financial Economics, 1987).

𝑠 = 𝐸�(𝑅𝑖𝑗 − 𝑅�𝑖)�3

La coskewness tra i titoli i,j e k (sijk), dunque, è calcolata secondo la seguente formula:

𝑐𝑜𝑠𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 = 𝑠𝑖𝑗𝑘 = 𝐸[(𝑅𝑖 − 𝐸(𝑅𝑖)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘))]

L’asimmetria di un portafoglio composto da due titoli, indicata con la notazione sp, sarà data

da:

𝑠𝑝 = 𝑥13𝑠111+ 3𝑥12𝑥2𝑠112+ 3𝑥1𝑥22𝑠122+ 𝑥23𝑠222