Corso di Laurea magistrale (ordinamento ex
D.M. 270/2004)
in Economia e Finanza
Tesi di Laurea
Un approccio multicriteriale alla
Selezione di Portafoglio
Relatore
Ch. Prof. Elio Canestrelli
Laureando
Simone Ceccato
Matricola 815802
Anno Accademico
2012 / 2013
INDICE
INTRODUZIONE ... 3
CAPITOLO I ... 7
1.LA SELEZIONE DI PORTAFOGLIO: IL MODELLO PROPOSTO DA MARKOWITZ ... 7
1.1 Premessa ... 7
1.2 Il modello di Markowitz ... 7
1.3 Strumenti di misurazione di redditività e di rischio... 9
1.4 Alcune considerazioni sull'uso della varianza come misura del rischio ... 12
1.5 Le principali critiche alla Modern Portfolio Theory ... 12
CAPITOLO II ... 17
2.MULTIPLE CRITERIA DECISION MAKING (MCDM) ... 17
2.1 Premessa ... 17
2.2 MCDM: aspetti generali ... 18
2.3 MCDM e il concetto di ottimizzazione ... 20
2.4 Alcuni concetti di base ... 21
2.5 Classificazione dei metodi multicriteriali ... 22
2.6 Metodi di superiorità ... 23
2.6.1 Il metodo ELECTRE ... 24
2.6.2 Il metodo PROMETHEE ... 25
CAPITOLO III ... 27
3.APPLICAZIONE PRATICA ... 27
3.1 La scelta dei criteri ... 30
3.2 L'uso dei momenti di ordine superiore ... 31
3.2.1 Momento di terzo ordine: l’asimmetria ... 33
3.2.2 Momento di quarto ordine: la curtosi... 37
3.2.3 Modifiche utili per l’applicazione pratica ... 39
3.3 Scelta dell'approccio multicriteriale ... 39
3.4 Applicazione del modello ... 43
3.5 La matrice di valutazione ... 44
3.6 Definizione delle soglie di indifferenza/preferenza ... 47
3.7 Alcune considerazioni sull'impostazione delle soglie e dei pesi ... 50
3.8 Principio di Concordanza e Discordanza ... 53
3.9 L’indice di superiorità ... 62
3.10 Ordinamento dei portafogli ... 64
3.11 Analisi dei risultati e commenti ... 71
CONCLUSIONI ... 77
APPENDICE ... 81
BIBLIOGRAFIA ... 119
Introduzione
La Teoria del Portafoglio costituisce un importante strumento finanziario.
Sin da quando Markowitz, economista statunitense, affrontò per la prima volta il problema della Selezione di Portafoglio, l'argomento è stato più volte ripreso negli anni successivi e si è costantemente evoluto ed espanso grazie al contributo di vari studiosi.
In questo contesto, si sono affermati nuovi approcci e modelli che affrontano il problema e che estendono il “classico” modello basato sul duplice criterio Media-Varianza.
In particolare, in tempi recenti, sono state sviluppate nuove soluzioni nate dalla consapevolezza che non tutte le informazioni rilevanti nelle decisioni di investimento possono essere catturate in termini di rischio/rendimento.
La maggior parte dei modelli, infatti, non tiene conto in maniera esaustiva delle preferenze individuali degli investitori e non incorpora la natura multidimensionale del problema.
Gli investitori potrebbero differenziarsi in maniera significativa in base alla loro percezione e all'importanza attribuita relativamente a diversi attributi come, per esempio, i dividendi, la stabilità finanziaria o le future aspettative di crescita.
Se si considerassero criteri addizionali o alternativi nelle scelte di portafoglio, oltre alla media e alla varianza, i risultati ottenuti potrebbero presentare rilevanti discordanze rispetto all'approccio di base.
Il problema, dunque, può essere inserito in un'ottica di analisi decisionale multicriterio che offre metodi adatti alla sua risoluzione.
Un approccio multicriteriale, infatti, permetterebbe una maggiore flessibilità nel modellare gli obiettivi degli investitori e rappresentare così al meglio le loro preferenze.
MCDM, acronimo di Multiple-Criteria Decision Making, è una branca della ricerca operativa che, in termini generali, si occupa proprio di questo ossia di strutturare e risolvere problemi decisionali e di pianificazione che coinvolgono più criteri.
Lo scopo, dunque, è quello di offrire supporto ai decisori che si trovino ad affrontare tali situazioni in condizioni di incertezza.
Essa trova applicazione negli ambiti più disparati ma ben si presta ad essere utilizzata anche in Finanza ed, in particolare, nella Selezione di Portafoglio.
Oggetto della tesi è l'analisi di come gli approcci multicriteriali possano essere utilizzati come strumento valido nel risolvere il problema di Selezione di Portafoglio, cercando di evidenziarne le principali caratteristiche ma anche gli eventuali aspetti critici.
In particolare, viene proposto ed analizzato uno specifico approccio multicriteriale per la scelta del portafoglio “ottimo”.
L’intento è quello di offrire un valido strumento a supporto delle decisioni dell’investitore che permetta, attraverso la scelta di diversi criteri di valutazione contemporaneamente, di ottenere un ordinamento dei portafogli in base ai criteri adottati.
L'elaborato è articolato in tre capitoli ognuno dei quali dedicato ad un aspetto particolare della ricerca.
Nel primo capitolo viene fornita una panoramica generale della Teoria del Portafoglio proposta da Markowitz analizzandone i principali aspetti tecnici, dandone le principali definizioni e spiegando il significato di alcuni aspetti fondamentali e criticità della teoria stessa. L'obiettivo è quello di introdurre il tema della Selezione di Portafoglio e specificare parte della notazione che verrà utilizzata in seguito.
Il secondo capitolo si addentra in maniera più specifica e tecnica nell'argomento riguardante i metodi decisionali multicriterio. Ne viene fornita un'introduzione e spiegati i vantaggi che un modello di questo tipo può apportare nel risolvere il problema della Selezione di Portafoglio. Si procede, poi, alla scelta dei criteri, alla descrizione e al significato di essi e all'analisi tecnica dell'approccio multicriteriale specifico scelto ai fini della ricerca.
L'ultimo e terzo capitolo, dunque, è interamente dedicato ad un'applicazione pratica al mercato finanziario italiano del metodo scelto. Viene fornita un'analisi dei dati ottenuti e seguono osservazioni e conclusioni finali.
In particolare, si metteranno a confronto i risultati ottenuti utilizzando l'approccio multicriteriale scelto in due diverse situazioni: nel primo caso, utilizzando solamente i due criteri Media e Varianza, caratterizzanti l'approccio “classico” alla Selezione di Portafoglio,
ed estendendo l’applicazione a quattro criteri (Media, Varianza, Asimmetria e Curtosi) nel secondo caso.
L'analisi dei risultati ottenuti confrontando i due casi permette di effettuare una valutazione sull'importanza di introdurre più criteri valutativi nel processo di Selezione di Portafoglio e, in particolare, di verificare che tipo di impatto l’utilizzo dei momenti di ordine superiore al secondo comporti sui risultati finali.
Percorrendo le varie tappe della ricerca è possibile comprendere in che senso gli approcci multicriteriali possano rappresentare un importante strumento in ambito finanziario e che ruolo rivestano nella Teoria di Portafoglio.
L'intento è quello di offrire al lettore un lavoro che permetta un'agevole introduzione allo strumento e un adeguato spunto nelle aree di problemi più rilevanti ed attuali.
CAPITOLO I
Il modello di Markowitz
1. La Selezione di Portafoglio: il modello proposto da Markowitz
1.1 Premessa
La Selezione di Portafoglio è un argomento di grande rilevanza in ambito finanziario. Esso ha rappresentato e rappresenta, insieme alla Teoria del Portafoglio, un importante strumento per gli investitori.
Non ci si deve dunque meravigliare di fronte alla vastità degli studi e delle pubblicazioni che sono stati compiuti su tale argomento e sull'evoluzione ed espansione che esso, grazie al contributo di vari studiosi, ha conosciuto negli anni.
Si tratta sicuramente di un argomento diffuso e frequentemente considerato. In questa sede, dunque, ci si limita a un breve accenno dando una panoramica generale della Teoria del Portafoglio proposta da Markowitz accompagnata dalle principali definizioni e spiegando il significato di alcuni aspetti fondamentali con lo scopo di introdurre il tema e specificare parte della notazione che verrà in seguito utilizzata.
1.2 Il modello di Markowitz
Con l'espressione “Selezione di Portafoglio” si intende il problema dell'allocazione di una data somma di denaro tra n diversi investimenti a reddito aleatorio (generalmente azioni) dove, il Portafoglio è definito come l'insieme delle attività detenute da un soggetto ad una certa data.
Utilizzando una notazione matematica, il portafoglio finanziario può essere rappresentato da un vettore: 𝑥′ = (𝑥 1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑛) 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 dove: x ≥ 0 7
indica la percentuale del capitale C da investire nell’attività i-esima. Si dovrà poi rispettare il vincolo:
� 𝑥𝑖 = 1 𝑛
𝑖=1
Da un punto di vista storico, il 1952 rappresenta una pietra miliare per l’asset management: la pubblicazione dell’articolo “Portfolio Selection” porta alla luce le intuizioni di Harry Markowitz che introducono quella che oggi noi conosciamo come Modern Portfolio Theory. Il pensiero di Markowitz diede un apporto determinante alla diffusione della teoria delle scelte in condizioni di incertezza.
Markowitz, infatti, fu il primo a formulare il problema della costruzione del portafoglio come un modello di programmazione matematica e a proporre un algoritmo al fine di giungere alla soluzione del problema stesso.
Uno dei contributi più significativi dell’Autore, inoltre, è ravvisabile nell’introduzione di una funzione obiettivo di secondo grado a due variabili, all’interno della quale trovano spazio tanto il rendimento atteso, quanto il rischio (rappresentato dalla deviazione standard).
Questa intuizione fu notevole. Pose, infatti, fine alla prassi consolidata di identificare l’obiettivo dell’investitore nella mera massimizzazione del rendimento atteso ponendo l’accento sui vantaggi che egli ha nel diversificare il suo rischio.
La diversificazione di portafoglio, infatti, ha come conseguenza una diminuzione del rischio. Ciò è legato al fatto, e si può dimostrare, che la varianza della media dei rendimenti dei titoli decresce all'aumentare del numero N dei titoli.
Con “diversificazione di portafoglio” intendiamo il detenere all'interno del portafoglio più titoli piuttosto che concentrare tutta la ricchezza nel titolo con maggior rendimento.
Il modello di Markowitz permette, in particolare, di identificare il portafoglio ottimo ossia quel portafoglio che ripartisce il rischio su un numero elevato di titoli, riducendolo, a parità di rendimento atteso.
Si basa, però, su alcune ipotesi, richieste poiché la complessità della materia impone di lavorare in un ambiente circoscritto.
Di seguito si elencano alcune delle principali assunzioni:
Un sistema economico caratterizzato da N attività a rendimento aleatorio (oppure da N-1 attività a rendimento aleatorio ed una attività a rendimento certo);
Un intervallo temporale “uniperiodale” [t0, t1];
Un operatore economico razionale e avverso al rischio, caratterizzato da una funzione di utilità u(.), il quale possiede all’istante t0 un importo certo C0;
Principio di non sazietà: più soldi l’investitore guadagna più è contento.
Con l’espressione investitore razionale si intende il soggetto che in un contesto di incertezza, dato il rischio, massimizza il rendimento atteso, e viceversa, minimizza il rischio dato il rendimento atteso.
L’investitore avverso al rischio è, invece, il soggetto che al crescere del rischio chiede un incremento più che proporzionale del rendimento atteso.
1.3 Strumenti di misurazione di redditività e di rischio
Come già accennato, il criterio di Markowitz è basato sulla scelta dei momenti del primo e del secondo ordine della distribuzione di probabilità del rendimento.
Egli, dunque, assume l'ipotesi che tutte le caratteristiche di un titolo possano essere riassunte con due parametri: il suo rendimento medio (momento del primo ordine) e la sua varianza (momento del secondo ordine).
Un’assunzione tipica nelle scelte di investimento è quella di massimizzare il rendimento atteso. E’ necessario, dunque, avvalersi di strumenti matematici che ci consentano di valutare analiticamente la redditività di un’attività finanziaria.
Per calcolare la redditività di un’attività finanziaria esistono principalmente due strumenti: il rendimento percentuale e il rendimento logaritmico.
Il rendimento percentuale di un'attività finanziaria può essere espresso con la notazione: 𝑅%,∆𝑡 = 𝑃𝑡𝑃− 𝑃𝑡−∆𝑡
𝑡−∆𝑡
dove
Pt indica il prezzo di vendita dell’attività finanziaria all’epoca finale t;
Pt−Δt indica il prezzo di acquisto dell’attività finanziaria.
Il rendimento logaritmico di un'attività finanziaria, invece, è calcolato come di seguito: 𝑅𝑙𝑛,∆𝑡 = ln �𝑃𝑃𝑡
𝑡−∆𝑡�
La formula generale, sia per il calcolo del rendimento percentuale che per quello logaritmico, prevede l'inclusione anche degli eventuali dividendi e premi (in notazione: +Dt−Δt). Ai fini della nostra analisi e per semplicità tali quantità non verranno considerate.
La scelta tra quale dei due strumenti utilizzare per calcolare la redditività dell'attività finanziaria è in parte soggettiva.
Da un punto di vista teorico, scegliere il rendimento percentuale significa assumere l’ipotesi che i prezzi delle attività finanziarie si evolvano nel tempo secondo la legge dell’interesse semplice, mentre, scegliere il rendimento logaritmico equivale ad assumere l’ipotesi che i prezzi delle attività finanziarie si evolvano nel tempo secondo la legge dell’interesse esponenziale.
È possibile dimostrare, applicando l’espansione in serie di Taylor, che preferire una tecnica di calcolo rispetto all'altra non ha importanza se non quando i rendimenti sono particolarmente elevati.
Pertanto si verifica che:
𝑆𝑒 𝑅%,∆𝑡 ∈ (−1,1) ⇒ 𝑅%,∆𝑡 ≅ 𝑅𝑙𝑛,∆𝑡
Il rendimento di un portafoglio è dato dalla media ponderata dei rendimenti dei titoli che compongono il portafoglio stesso:
𝑅𝑝 = � 𝑥𝑖𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1
dove:
Rp è il rendimento del portafoglio;
Ri è il rendimento dell'attività i-esima;
xi è il peso dell'attività i-esima nel portafoglio.
Poiché il rendimento è una variabile casuale di cui non è possibile conoscere a priori la realizzazione, non ci si può avvalere degli strumenti appena presentati ma occorre effettuare una sostituzione ricorrendo al valore atteso.
Di conseguenza, il rendimento atteso di un portafoglio è dato dalla media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli titoli:
𝐸�𝑅𝑝� = 𝐸 �� 𝑥𝑖𝑅𝑖 𝑛 𝑖=1 � = � 𝐸(𝑥𝑖𝑅𝑖) = � 𝑥𝑖𝑅�𝚤 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 dove:
𝑅�𝚤è il rendimento atteso dell’i-esimo titolo.
𝑅�𝑖 = 𝐸(𝑅𝑖)
La varianza di un portafoglio, invece, è data da:
𝑉𝑎𝑟�𝑅𝑝� = 𝐸[𝑅𝑝 − 𝐸(𝑅𝑝)]2 = � � 𝑥𝑖𝑥𝑘 𝑛 𝑘=1 𝑛 𝑖=1 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑘) = = � 𝑥𝑖2𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑖) + 2 𝑛 𝑖=1 � 𝑥𝑖𝑥𝑘 𝑖<𝑘 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑘) dove:
Var(Ri) è la varianza del rendimento atteso del titolo i-esimo.
𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑖) = 𝐸(𝑅𝑖− 𝑅�𝑖)2
La formula della varianza mette in luce un risultato importante. Come si può notare, la varianza di un portafoglio dipende non solo dalle varianze dei singoli titoli ma anche dalla covarianza o correlazione tra i titoli.
Ciò aiuta a comprendere meglio come la diversificazione sia un fattore importante da considerare nella Selezione di Portafoglio.
In conclusione, il principio base che governa la teoria di Markowitz è che al fine di costruire un portafoglio efficiente occorre individuare una combinazione di titoli tale da minimizzare il
rischio (rappresentato dalla varianza) e massimizzare il rendimento complessivo compensando gli andamenti asincroni dei singoli titoli.
1.4 Alcune considerazioni sull'uso della varianza come misura del rischio
Come già più volte affermato, il modello di Markowitz utilizza la varianza come misura di rischio.
Essa, però, risulta una misura di rischio troppo semplificata, incapace di discriminare tra fenomeni premianti e penalizzanti.
La varianza, infatti, calcola la dispersione dei dati attorno alla media sia verso il basso ma anche verso l’alto.
Tale problema fu affrontato dallo stesso Markowitz. Egli, afferma che il ricorso a tale indicatore è più una scelta di convenienza, suggerita dalla necessità di non appesantire il processo di programmazione matematica.
Alternativamente, come miglior misura di dispersione, è stato proposto l'uso della semivarianza ossia il contributo alla varianza dei soli scarti negativi, e, precisamente, il valor medio dei quadrati degli scarti ove quelli positivi sono sostituiti da zeri.
Lo stesso Markowitz esprime in una delle sue pubblicazioni le sue considerazioni a riguardo:
«One of the measures considered, the semideviation, produces efficient portfolios somewhat
preferable to those of the standard deviation. Those produced by the standard deviation are satisfactory, however, and the standard deviation itself is easier to use, more familiar to many, and perhaps easier to interpret than the semideviation […] Efficient portfolios based on variance, however, cannot be characterized as bad or undesirable»
(Markowitz, 1959) 1.5 Le principali critiche alla Modern Portfolio Theory
Nonostante la sua importanza da un punto di vista teorico, la Modern Portfolio Theory introdotta da Markowitz ha sollevato e solleva parecchie domande e critiche sul fatto che possa essere considerata come una strategia di investimento ideale.
I mercati finanziari ipotizzati in questa teoria, infatti, non corrispondono alla realtà per diversi motivi.
Il modello proposto da Markowitz, infatti, è basato su precise ipotesi con riguardo agli investitori e al mercato.
Alcune sono esplicite nelle formule del modello come, ad esempio, l'uso della distribuzione normale per i rendimenti; altre, invece, sono implicite come, per esempio, la decisione di non considerare le tasse e i costi di transazione.
Com'è facile intuire, molte di queste ipotesi non trovano riscontro nel mondo reale ed ognuna di esse compromette la Modern Portfolio Theory a diversi livelli.
Vengono ora elencate alcune delle principali ipotesi del modello corredate dalle principali critiche alle stesse:
Gli investitori, nell'ottimizzazione di portafoglio, sono interessati alla massimizzazione della media per una data varianza.
Nella realtà, gli investitori sono caratterizzati da funzioni di utilità sensibili anche ai momenti di ordine superiore della distribuzione dei rendimenti.
L'importanza di considerare i momenti di ordine superiore al secondo nel processo di Selezione di Portafoglio è un argomento che verrà ripreso in seguito. Si rimanda, dunque, alla parte relativa alla scelta dei criteri per l'applicazione pratica per maggiori informazioni.
I rendimenti dei titoli sono variabili casuali normalmente distribuite.
In realtà, è stato spesso osservato che i rendimenti nel mercato equity e in altri mercati non sono normalmente distribuiti.
Anche in questo caso, si rimanda alla parte relativa alle considerazioni sull'uso dei momenti di ordine superiore per informazioni più dettagliate a riguardo.
Le correlazioni tra i titoli sono costanti nel tempo.
Le correlazioni dipendono dalle relazioni sistematiche tra i titoli. Queste possono cambiare quando queste relazioni variano. Si pensi ad un paese che dichiari guerra ad un altro o ad una crisi finanziaria. Durante le crisi finanziarie, ad esempio, tutti titoli tendono a diventare positivamente correlati perché tutti si muovono verso il basso assieme.
La Modern Portfolio Theory da questo punto di vista è inefficiente nel momento esatto in cui gli investitori necessitano maggiormente protezione dal rischio.
Tutti gli investitori mirano a massimizzare l'utilità economica ossia, in altre parole, a fare più soldi possibile indipendentemente da tutto il resto.
Si tratta di una ipotesi chiave per l'ipotesi di mercati efficienti sui quali la stessa Modern
Portfolio Theory pone le proprie fondamenta.
Tutti gli investitori sono razionali e avversi al rischio.
Anche in questo caso, si tratta di un'ipotesi chiave per l'ipotesi di mercati efficienti.
Nella realtà, però, è dimostrato dagli studi comportamentali che gli investitori non sono sempre razionali o consistentemente razionali. Tale ipotesi non tiene conto delle decisioni emotive, del cosiddetto “herd behaviour” (effetto gregge in italiano) o degli investitori che inseguono il rischio per scelta (un po’ come i giocatori d'azzardo pagano per il rischio al casino).
Tutti gli investitori hanno accesso alle stesse informazioni allo stesso tempo.
Nei mercati reali si assiste ad asimmetria informativa e a fenomeni quali l'insider trading. Gli investitori hanno una precisa concezione dei rendimenti attesi.
Ciò che gli investitori ipotizzano difficilmente corrisponde alla reale distribuzione dei rendimenti.
Si assiste, inoltre, a fenomeni in cui le aspettative degli investitori sono di parte, rendendo i prezzi di mercato inefficienti da un punto di vista informativo.
Si pensi a fenomeni quali l'overconfidence. Non ci sono tasse o costi di transazione.
I prodotti finanziari sono soggetti sia alle tasse sia ai costi di transazione (ad esempio le spese di intermediazione). Tenere queste spese in considerazione altera la composizione del portafoglio ottimo.
Tutti gli investitori sono price takers.
Ciò assume che le loro azioni non influenzino i prezzi. Nella realtà, vendite o acquisti sufficientemente grandi di singoli titoli possono spostare i prezzi di mercato per quei titoli e altri titoli (elasticità della domanda).
Ogni investitore può prestare o prendere a prestito un ammontare illimitato ad un tasso risk
free.
Nella realtà, ogni investitore ha un limite di credito.
Tutti titoli possono essere divisi in lotti di qualsiasi dimensione.
Nei mercati reali, frazioni di azioni, di solito, non possono essere comprate o vendute, e alcune attività hanno ordini minimi di dimensioni.
Il rischio/la volatilità di un titolo è conosciuto a priori/è costante.
Molto spesso i mercati prezzano il rischio in maniera inappropriata o inadeguata e la volatilità cambia rapidamente.
Pur esistendo alternative e più complesse versioni della Modern Portfolio Theory che rappresentano meglio la complessità e sofisticatezza della realtà (ad esempio i modelli che tengono conto delle distribuzioni non normali e delle tasse), tutti i modelli finanziari matematici si basano ancora su alcune premesse od ipotesi non realistiche.
Con questo lavoro, si vuole presentare un'estensione al modello proposto da Markowitz che, attraverso un approccio multicriteriale al problema, intervenga e provi a risolvere, in particolare, una delle critiche poste al modello stesso nata dalla consapevolezza che non tutte le informazioni rilevanti nelle decisioni di investimento possono essere catturate in termini di rischio/rendimento in quel complesso processo che è la selezione e ottimizzazione di portafoglio.
Le preferenze individuali degli investitori e la loro percezione dell'importanza attribuita relativamente a diversi criteri valutativi hanno un profondo impatto sul processo di selezione.
CAPITOLO II
Multicriteria Decision Making
2. Multiple Criteria Decision Making (MCDM)
2.1 Premessa
Nella prima parte di questo elaborato è stato introdotto il classico approccio all'ottimizzazione di portafoglio basato sulle intuizioni di Markowitz.
In particolare, si è posto l'accento sul fatto che tale approccio si basa su due criteri di ottimizzazione conflittuali: da un lato il rischio di portafoglio rappresentato dalla sua varianza, la quale l'investitore ha interesse a minimizzare, mentre, dall'altro lato, il rendimento atteso di portafoglio il quale si ha interesse, contemporaneamente, a massimizzare.
Negli ultimi anni, sono, però, emerse alcune “critiche” al modello classico di base proposto da Markowitz. In particolare, si evidenzia il fatto che tale approccio non permette di tener conto in maniera appropriata ed esaustiva delle preferenze individuali degli investitori.
In generale, spesso, si è osservato che nel processo di ottimizzazione di portafoglio non è raro che gli investitori si orientino verso portafogli che si trovano al di fuori della frontiera non dominata del modello di Markowitz (la cosiddetta frontiera efficiente) anche se questi portafogli risultano dominati da altri che rispettano il doppio criterio rendimento atteso/rischio.
Una possibile spiegazione a tale particolare fenomeno può essere il fatto che non tutte le informazioni rilevanti per l’investitore possono essere catturate in termini espliciti di rendimento atteso e rischio.
Se si considerassero criteri addizionali alternativi, un portafoglio dominato rispetto al criterio rischio/rendimento potrebbe ottenere una buona performance rispetto ad uno o più criteri addizionali recuperando così il gap rispetto ai due criteri.
Il portafoglio scelto dall'investitore, quindi, risulterebbe essere non dominato in un ambiente multicriteriale.
In conclusione, un modello multicriteriale basato su più di due funzioni obiettivo (oltre al rendimento atteso e al rischio) permetterebbe una maggiore flessibilità nel modellare gli obiettivi degli investitori ottenendo come risultato una maggior rappresentazione delle loro preferenze.
In questo contesto, è facile capire perché il Multicriteria Decision Making sia un campo che ha visto un considerevole sviluppo durante l’ultimo decennio.
Tale fenomeno è evidenziato dall'aumento del numero di pubblicazioni a riguardo in riviste rivolte alla ricerca operativa e alla teoria delle decisioni e dal gran numero di studi presentati sul tema a diversi incontri scientifici.
Inoltre, tre diversi gruppi di lavoro a livello internazionale tengono regolarmente incontri per esaminare questo argomento, segno che si tratta di una disciplina che suscita interesse nella comunità scientifica.
2.2 MCDM: aspetti generali
Con l’acronimo MCDM (Multi Criteria Decision Making) o MCDA (Multi Criteria Decision
Analysis) si indica quella branca della ricerca operativa che considera esplicitamente criteri
multipli in ambienti decisionali.
Sia nella vita di ogni giorno o in un ambiente professionale, vi sono generalmente diversi criteri conflittuali che necessitano di essere valutati nel prendere una decisione.
L’esempio che spesso viene fatto riguarda l'acquisto di un’automobile: il prezzo, il comfort, la sicurezza e il costo del carburante sono sicuramente alcuni dei principali criteri che vanno valutati prima di procedere all'acquisto. È raro, però, che si verifichi che la macchina meno costosa sia anche la più confortevole e la più sicura.
Il decisore, quindi, si trova a dover effettuare una scelta tenendo conto di più criteri in conflitto tra di loro.
Nella gestione di portafoglio si è interessati ad ottenere alti rendimenti ma allo stesso tempo ridurre il rischio. I due criteri, però, sono in conflitto tra di loro: i titoli che hanno il potenziale di portare alti rendimenti tipicamente portano anche elevati rischi di contrarre perdite.
Nelle nostre vite quotidiane, ci si trova continuamente ad affrontare scelte di questo tipo. Normalmente, i criteri vengono “pesati” implicitamente e il risultato delle nostre scelte si riduce solo all’intuizione.
Dall'altro canto, però, quando i rischi sono alti, è importante strutturare in modo appropriato il problema e valutare esplicitamente i molteplici criteri.
Si pensi, ad esempio, alla decisione legata alla costruzione di una centrale nucleare e dove costruirla. Si tratta non solo di problemi molto complessi che coinvolgono criteri multipli ma vi sono anche numerose parti fortemente influenzate dalle conseguenze.
Normalmente, non esiste un'unica soluzione ottimale per tali problemi e le preferenze del decisore svolgono un ruolo fondamentale poiché risultano necessarie per poter differenziare le varie possibili soluzioni.
La presenza di più di un criterio da valutare per effettuare la scelta è all'origine del problema e rappresenta la principale difficoltà da affrontare.
MCDM attinge alle conoscenze di molte discipline scientifiche come la matematica, la teoria comportamentale, l'economia e l’ingegneria informatica.
Il fatto che non sia ristretto ad un’area isolata ma riguardi ogni ramo della ricerca operativa, rappresenta un’importante ed incoraggiante caratteristica.
In altre parole, ricercatori e studiosi sono sempre più coscienti della necessità di gestire problemi decisionali nella vita reale che riguardano criteri multipli, qualsiasi sia la loro natura.
Si può affermare che il Multiple Criteria Decision Making si occupa, in generale, di strutturare, risolvere e pianificare problemi che coinvolgono criteri multipli.
L'obiettivo è dare al decisore alcuni strumenti che lo supportino nel risolvere problemi decisionali dove più, e a volte contraddittori, punti di vista devono essere presi in considerazione.
Strutturare problemi complessi in maniera adeguata considerando più criteri esplicitamente porta, nel complesso, ad effettuare decisioni migliori.
In questo campo, ci sono stati importanti sviluppi sin dalla nascita della MCDM moderna avvenuta nei primi anni ‘60. MCDM, infatti, è stato un’attiva area di ricerca sin dagli anni ’60-’70.
Lo sviluppo, nel tempo, ha portato alla creazione di una notevole varietà di approcci e metodi. 2.3 MCDM e il concetto di ottimizzazione
In generale, non esiste un'unica soluzione ottimale ad un problema MCDM che possa essere ottenuta senza incorporare l'informazione delle preferenze. Il concetto di una soluzione ottimale è spesso rimpiazzato da un gruppo di soluzioni non dominate.
Una soluzione non dominata possiede una particolare proprietà: non è possibile muoversi verso un'altra soluzione senza sacrificare almeno un criterio. Perciò ha senso per il decisore scegliere una soluzione dal gruppo non dominato.
Il primo fatto che dovrebbe essere preso in considerazione quando si affronta un problema decisionale multicriterio è che non esiste, in generale, nessuna soluzione la quale sia la migliore, contemporaneamente, per tutti i punti di vista.
Perciò, la parola ottimizzazione, per come viene generalmente intesa nella ricerca operativa, non ha alcun senso in un contesto come questo.
I metodi multicriteriali non tendono alla ricerca della soluzione migliore. Queste soluzioni non esistono. Molto spesso la parola ottimizzazione viene sostituita con la parola inglese “aid” intesa come supporto alle decisioni per evidenziare questa differenza.
Risolvere un problema multicriteriale consiste, quindi, nell’aiutare il decisore a gestire la spesso complessa mole di dati coinvolti nei problemi di questo tipo avanzando verso una “soluzione”.
L’analisi multicriteriale si prefigge, in definitiva, di fornire un supporto al decisore per realizzare un compromesso accettabile tra i diversi obiettivi perseguiti.
La “soluzione”, in particolare, deve essere enfatizzato, dipende fortemente dalla personalità del decisore, dalle circostanze nel quale il processo di decisione si sviluppa, dal modo nel quale il problema è presentato e dall’approccio utilizzato.
Come si può facilmente immaginare, queste caratteristiche risultano inadeguate dal punto di vista di un ricercatore scientifico, abituato a risolvere problemi nel quale la soluzione esiste indipendentemente.
Non si può negare, dunque, che parte della comunità scientifica consideri ancora questa branca della ricerca operativa non molto seria o non abbastanza rigorosa.
L'evoluzione dei metodi multicriteriali nel tempo illustra questo punto di vista perfettamente. Inizialmente, infatti, alcuni ricercatori proposero alcuni metodi che tentavano di trasformare un problema multicriteriale in un problema matematico.
L’obiettivo era quello di traslare il problema multicriterio verso un problema di ottimizzazione. In questo modo, però, si rischia di deformare completamente gli stessi.
Tale approccio fu, infatti, contestato e progressivamente rimpiazzato da un metodo più flessibile, meno “matematico” e meno rigoroso.
Ad ogni modo, il fatto che la maggior parte dei problemi decisionali riguardino diversi criteri sembra essere largamente accettato al giorno d’oggi. Come molto spesso succede in Matematica Applicata, lo sviluppo di modelli ed approcci multicriteriali è dettato da problemi di vita reale.
Non sorprende, quindi, che siano apparsi e si siano diffusi metodi privi di una chiara metodologia generale o teoria di base.
Il gap, però, si sta progressivamente riempiendo grazie all’apporto dato dalle recenti ricerche. 2.4 Alcuni concetti di base
Con il termine Decisione in un problema multicriterio si intende la scelta di una alternativa tra un insieme di alternative ammissibili effettuata sulla base di due o più criteri.
Multiple Criteria Decision Making (MCDM) può essere, dunque, tradotto come “Processo
decisionale in presenza di più criteri”.
Nei problemi MCDM i criteri, in generale, sono contrastanti e in conflitto tra di loro. Le alternative considerate possono essere:
discrete e finite (enumerabili);
continue ed infinite (non enumerabili).
Nel primo caso si parlerà di attributi intesi come la misura (valore) della prestazione ottenuta da un’alternativa.
Nel secondo caso si parlerà di funzione obiettivo ossia una funzione che misura una prestazione per un'alternativa definita come punto nello spazio delle variabili decisionali. Un problema MCDM è caratterizzato da molti criteri in conflitto tra di loro, molti attributi/obiettivi incommensurabili tra di loro e dalla scelta tra un insieme finito di alternative definite esplicitamente o un insieme infinito di alternative definite implicitamente.
In generale, i problemi MCDM si distinguono in:
• problemi Multiattributo (MultiAttribute Decision Making, MADM); • problemi Multiobiettivo (MultiObjective Decision Making, MODM).
Nel primo caso, a differenza del secondo, si tratta di effettuare una selezione tra un numero finito di alternative discrete.
Un Metodo Decisionale Multiattributo è definito dalla cosiddetta Matrice delle Decisioni. Essa descrive le alternative finite che vanno prese in considerazione.
La matrice D è determinata dall'analisi del problema decisionale: individuazione dei criteri ed attributi
selezione di un insieme di alternative candidate valutazione dei valori degli attributi per le alternative
Alcuni di questi concetti verranno ripresi e ulteriormente sviluppati in relazione ad un particolare approccio multicriteriale in seguito presentato. Si faccia, dunque, riferimento alla parte relativa all’applicazione pratica di questo elaborato per maggiori informazioni.
2.5 Classificazione dei metodi multicriteriali
Generalmente, gli studiosi hanno l'abitudine di dividere i metodi multicriteriali in tre grandi famiglie, anche se i confini tra queste risultano particolarmente labili:
1) Multiple Attribute Utility Theory (metodi basati su funzioni di utilità); 2) Outranking Methods (metodi basati su una relazione di superiorità)
3) Interactive Methods (metodi interattivi);
La prima famiglia, di ispirazione americana, consiste nell'aggregare differenti punti di vista in un’unica funzione la quale viene successivamente ottimizzata.
La seconda famiglia, di ispirazione francese, mira, invece, a costruire una relazione chiamata anche relazione di superiorità la quale rappresenta le preferenze fortemente stabilite dal decisore date le informazioni che ha a disposizione.
A fini di questa ricerca, si vuole porre maggiore attenzione ad una particolare famiglia di metodi ossia la famiglia dei metodi basati su di una relazione di superiorità (Outranking
Methods).
L’applicazione pratica, infatti, si basa su un approccio appartenente a tale famiglia rendendo, dunque, una più accurata descrizione necessaria per poter comprendere appieno i concetti e le formule che verranno utilizzate successivamente.
2.6 Metodi di superiorità
L'idea alla base di questi approcci è quello che è meglio accettare un risultato meno “ricco” rispetto a quello risultante dall’applicazione di una funzione di utilità se si può evitare di introdurre ipotesi matematiche che sono troppo forti o chiedere al decisore domande particolarmente complesse ed intricate.
Il risultato è, quindi, in generale, una via di mezzo tra i risultati che si otterrebbero con la relazione di dominanza e i risultati che si otterrebbero utilizzando la teoria dell’utilità con multipli attributi.
In altre parole, questi metodi mirano ad arricchire le relazioni di dominanza con alcuni elementi stabilendo fortemente le preferenze.
Una relazione di superiorità è una relazione binaria S definita in modo tale che si verifica che, considerate due alternative a e b, aSb se, dato quello che si conosce con riguardo alle preferenze del decisore e data la qualità e la natura del problema, ci sono abbastanza argomenti per decidere che a è abbastanza buono tanto quanto b, mentre non c'è ragione essenziale per rifiutare questa affermazione.
Nella maggior parte dei metodi di superiorità proposti il numero di alternative considerate è un numero finito ma la filosofia generale di questi metodi è ovviamente applicabile a casi infiniti.
Il metodo outranking utilizzato per l’applicazione pratica si basa su due dei metodi più conosciuti della famiglia dei metodi basati su di una relazione di superiorità: ELECTRE III e PROMETHEE.
2.6.1 Il metodo ELECTRE
ELECTRE è l’acronimo francese di ELimination Et Chiox Traduisant la Realitè traducibile come “Eliminazione e scelta che esprimono la realtà”.
Questa famiglia di metodi fu proposta per la prima volta da Bernard Roy, uno dei massimi esponenti della scuola Francese.
L’idea alla base di questi approcci è che i rigorosi assiomi matematici non possono descrivere una realtà complessa come quella del processo decisionale caratterizzato da molte contraddizioni.
In particolare, considerano che il decisore possa essere un decisore irrazionale.
In altre parole, viene rifiutato il cosiddetto teorema di completezza: date due alternative, il decisore posto di fronte ad esse, è sempre in grado di esprimere la sua preferenza o indifferenza.
I metodi ELECTRE, dunque, si basano sul concetto di incompletezza:
i sensi umani hanno capacità di discriminazione finita e operano per classi; la percezione della differenza di prestazione è soggettiva;
la compensazione tra due alternative con opportuni pesi non sempre è possibile.
Questa famiglia di metodi ha visto un considerevole sviluppo e diffusione negli anni. Le diverse versioni sono indicate in numeri romani.
Ai fini dell’applicazione pratica è stato scelto un approccio che si basa su due dei più famosi modelli outranking; uno di questi è appunto ELECTRE III.
Questo metodo si differenza dalle versioni precedenti in quanto tiene conto delle soglie di preferenza ed indifferenza e si basa su di una relazione di superiorità (chiamata relazione di
surclassamento) che, rispetto a quella ordinaria, è meno sensibile alle variazioni dei dati dei parametri introdotti.
La relazione di surclassamento è basata sulla definizione dell’indice di surclassamento associato a ciascuna coppia di azioni.
Questo indice ha un range compreso tra 0 e 1.
A ciascun criterio preso in esame viene poi assegnato un peso.
Il metodo si sviluppa calcolando l’indice di concordanza e discordanza tenendo conto delle soglie di preferenza, indifferenza e veto. Tali indici risultano poi fondamentali per il calcolo dell’indice di surclassamento descritto sopra.
Molti di questi concetti, con particolare riguardo alle soglie e al calcolo degli indici di concordanza, discordanza e surclassamento, verranno ripresi e ulteriormente sviluppati in seguito nella parte relativa all’applicazione pratica. Si rimanda, dunque, a quella parte di questo elaborato per maggiori informazioni.
2.6.2 Il metodo PROMETHEE
PROMETHEE è il risultato degli studi compiuti da Jean-Pierre Brans.
Il nome stesso è l'acronimo di Preference Ranking Organization METHod for Enrichment
Evaluations.
Presentato per la prima volta nel 1982 dal professor Brans, fu successivamente sviluppato e implementato dallo stesso e dal professor Bertrand Mareschal.
Questo particolare approccio usa funzioni di preferenza soggettive per ogni singolo criterio per classificare le diverse alternative.
La funzione delle preferenze definisce il grado con il quale, rispetto ciascun criterio, un'alternativa è preferita ad un'altra.
PROMETHEE va classificato tra i metodi MADM ossia, come già chiarito nella parte relativa alle nozioni generali sui metodi multicriteriali, appartiene alla classe degli approcci multiattributo.
Esso, si articola generalmente in due fasi: una prima fase che consiste nella costruzione di una relazione di superiorità su un numero finito di alternative, mentre, la seconda fase utilizza questa relazione per dare una risposta al problema multiattributo.
In particolare, permette, attraverso la creazione di appositi flussi, di ottenere un ordinamento parziale o totale delle alternative fornendo all’investitore dei risultati di facile comprensione e lettura.
Anche in questo caso, si rimanda al capitolo relativo all’applicazione pratica per informazioni più dettagliate sul calcolo dei flussi e sul loro ordinamento.
CAPITOLO III
Un’applicazione pratica multicriteriale alla Selezione di Portafoglio
3. Applicazione pratica
Si vuole ora porre all'attenzione del lettore un'applicazione pratica alla Selezione di Portafoglio tramite l'utilizzo di un particolare approccio multicriteriale.
L'obiettivo è quello di “traslare” in pratica quanto appreso finora in teoria fornendo uno strumento che permetta all'investitore di effettuare una scelta del portafoglio che più si adatta alle proprie preferenze ed esigenze e che metta in risalto le proprietà e i vantaggi di ricorrere agli approcci multicriteriali rispetto ad altre alternative.
In particolare, si vuole fornire la possibilità di effettuare scelte di portafoglio in condizioni di incertezza che prendano in considerazione, contemporaneamente, diversi criteri di valutazione.
Basandosi sulle preferenze e sugli input forniti dall'investitore, si vuole ottenere un ordinamento dei portafogli in base ai criteri scelti facilitando, in questo modo, il processo di scelta dell'investitore stesso.
A tal fine si è propeso, per la realizzazione dell'esempio pratico, per l'uso di uno strumento quale il foglio di calcolo Excel. La scelta di tale strumento non è casuale. L'approccio multicriteriale scelto, infatti, che verrà analizzato nei dettagli successivamente, si basa principalmente sulla costruzione di matrici, anche di grandi dimensioni. Excel è uno strumento informatico che eccelle in tale compito e si adatta perfettamente alle esigenze del lavoro. Inoltre, la sua particolare flessibilità e personalizzazione danno la possibilità al lettore o ad altri utenti di modificare facilmente i dati di input (le quotazioni dei titoli, la composizione e numero dei portafogli, i pesi e le soglie assegnati a ciascun criterio) fornendo uno strumento facilmente adattabile alle più disparate esigenze.
Si considerino, dunque, cinque titoli appartenenti ad aziende quotate che operino in settori differenti in modo che i portafogli che si verranno a creare siano i più diversificati possibili. Ai fini della nostra ricerca si è scelto di considerare i seguenti cinque titoli appartenenti all’indice azionario FTSE MIB:
A) Luxottica: azienda che produce e commercializza occhiali; B) Telecom: principale azienda italiana di telecomunicazioni;
C) Enel: società per azioni prima in Italia e seconda in Europa come fornitore di energia elettrica;
D) Campari: società che opera nel settore alimentare, particolarmente attiva nel beverage; E) Autogrill: primo operatore nel mondo nei servizi di ristorazione e vendite al dettaglio
per viaggiatori.
FTSE MIB, acronimo di Financial Times Stock Exchange Milano Indice di Borsa, è, come suggerisce il nome stesso, il più significativo indice azionario della Borsa italiana.
Esso è un paniere che racchiude le azioni delle 40 società italiane ed estere quotate maggiormente capitalizzate sui mercati gestiti da Borsa Italiana. Nato dalla fusione tra Borsa Italiana e il London Stock Exchange, rappresenta circa l'80% della capitalizzazione del mercato azionario italiano.
La banca dati utilizzata come fonte per reperire i dati relativi ai cinque titoli è stato il software finanziario Bloomberg. In particolare, i dati utilizzati si riferiscono alle quotazioni giornaliere (prezzi di chiusura) dei titoli suddetti in un periodo temporale compreso dal 02/01/2012 al 31/12/2012 per un totale di 261 osservazioni.
La matrice di correlazione dei rendimenti (simmetrica) rappresenta un utile strumento per controllare che i titoli scelti permettano di costruire portafogli sufficientemente diversificati:
Matrice Correlazione
Luxottica Telecom Enel Campari Autogrill Luxottica 1,000000 0,207630 0,285003 0,399682 0,428037
Telecom 1,000000 0,567238 0,218054 0,427984
Enel 1,000000 0,332735 0,557812
Campari 1,000000 0,299140
Autogrill 1,000000
Come si può notare, nella maggior parte dei casi si ha una correlazione debole tra i diversi titoli in quanto 0<pxy<0,3 con alcuni casi di correlazione moderata (0,3<pxy<0,7).
In ogni caso, non sono presenti situazioni di forte correlazione (pxy>0,7).
Si sono costruiti tutti i possibili portafogli che è possibile assemblare dati cinque titoli ponendo però alcuni vincoli:
a) La somma delle quantità con cui i singoli titoli partecipano alla composizione del portafoglio deve essere pari al 100%.
b) Il singolo titolo deve partecipare alla composizione del portafoglio per almeno un 10%.
c) La partecipazione alla composizione del portafoglio di ciascun titolo varia di decimale in decimale. Di conseguenza, tenuto conto dei primi due vincoli a) e b), ciascun titolo può partecipare alla composizione del portafoglio assumendo un valore(peso) compreso tra 0,1 e 0,6 (10% - 60%).
L'assunzione di tali vincoli è meramente legata a necessità computazionali. Se si considerassero tutti i portafogli possibili senza imporre i vincoli di cui sopra si otterrebbe un numero potenzialmente infinito di portafogli che risulterebbe difficilmente gestibile con gli strumenti a disposizione e renderebbe difficoltosa l'analisi dei risultati e delle principali osservazioni.
Ricorrendo ai tre vincoli, invece, è possibile ridurre la quantità di portafogli considerati senza però influire significativamente sui risultati.
Si ottiene, così, considerando solo i portafogli nei quali tutti i titoli partecipano alla composizione del portafoglio, un totale di 126 portafogli.
La seguente tabella illustra i portafogli ottenuti e i pesi con cui ciascun titolo partecipa alla composizione di ciascun portafoglio.
Si riporta l’estremità superiore ed inferiore della tabella ottenuta a titolo esemplificativo. L’intera tabella è riportata ed è visibile in appendice.
Portafoglio Luxottica Telecom Enel Campari Autogrill
1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,6 2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,5 3 0,1 0,1 0,1 0,3 0,4 4 0,1 0,1 0,1 0,4 0,3 5 0,1 0,1 0,1 0,5 0,2 6 0,1 0,1 0,1 0,6 0,1 29
Portafoglio Luxottica Telecom Enel Campari Autogrill 7 0,1 0,1 0,2 0,1 0,5 8 0,1 0,1 0,2 0,2 0,4 9 0,1 0,1 0,2 0,3 0,3 10 0,1 0,1 0,2 0,4 0,2 … 120 0,4 0,2 0,2 0,1 0,1 121 0,4 0,3 0,1 0,1 0,1 122 0,5 0,1 0,1 0,1 0,2 123 0,5 0,1 0,1 0,2 0,1 124 0,5 0,1 0,2 0,1 0,1 125 0,5 0,2 0,1 0,1 0,1 126 0,6 0,1 0,1 0,1 0,1
Esempio: Il portafoglio n° 10 è composto per il 10% da azioni Luxottica, per il 10% da azioni Telecom, per il 20% da azioni Enel, per il 40% da azioni Campari e per il 20% da azioni Autogrill. Esso rispetta i vincoli imposti poiché ciascun titolo partecipa alla composizione del portafoglio per almeno un 10% e la somma dei pesi è pari ad 1 (0,1+0,1+0,2+0,4+0,2=1=100%).
Ciascuna riga della tabella rappresenta un'alternativa tra le quali l'investitore può scegliere. Ognuno di questi portafogli, poi, è identificato, oltre che dalla diversa composizione, anche dalle differenti caratteristiche rappresentate dai criteri di valutazione adottati.
Ai fini della ricerca, ciascun portafoglio è identificato da quattro criteri. La scelta del numero dei criteri e la tipologia degli stessi è soggettiva e lasciata al ricercatore.
3.1 La scelta dei criteri
Come già anticipato nella prima parte di questo elaborato, l'approccio classico di Markowitz all'ottimizzazione di portafoglio si basa su due criteri di ottimizzazione: la Media di portafoglio intesa come misura di rendimento e la Varianza di portafoglio intesa come misura di rischio.
Media e Varianza di portafoglio, dunque, sono sicuramente i primi due criteri che vanno presi in considerazione nella scelta del portafoglio ottimo.
In particolare, l'investitore cercherà di massimizzare il rendimento (Media) cercando contemporaneamente di minimizzare il rischio (Varianza).
La scelta di ulteriori criteri è legata alle decisioni dell'investitore e, in particolare, agli obiettivi che questi si pone durante la Selezione di Portafoglio.
L'adozione di più criteri, oltre al rendimento e al rischio, permette una maggiore flessibilità agli investitori dando la possibilità di rappresentare al meglio le loro preferenze.
Alcuni esempi di criteri addizionali che l'investitore può prendere in considerazione nel suo processo di scelta possono essere le performance del titolo in periodi temporali differenti (rendimento a breve termine vs rendimento a medio/lungo termine), il ranking assegnato ad un titolo o, in generale, qualsiasi altro criterio che l'investitore reputi significativo ai fini della sua decisione.
Un'interessante applicazione, invece, può essere quella di considerare i momenti di ordine superiore al secondo come criteri significativi nella scelta del portafoglio ottimo.
Si vuole, dunque, assumere come terzo e quarto criterio valutativo l’asimmetria e la curtosi di portafoglio.
3.2 L'uso dei momenti di ordine superiore
Per molti decenni, la teoria prevalente per la Selezione di Portafoglio è stata quella basata sull’approccio Media/Varianza diffuso da Markowitz.
Pur esistendo variazioni al metodo, in realtà tutte si basano su selezionare combinazioni di titoli bilanciando il rischio e rendimento e si differenziano solo nel modo in cui queste sono calcolate.
Alcuni recenti lavori, però, basati sugli studi di Chunhachinda, Dandapani, Hamid e Prakash (1997), Prakash, Chang e Pactwa (2003), Sun e Yan (2003) hanno mostrato l'importanza di includere i momenti di ordine superiore nella selezione.
Da tempo, è stato, infatti, riconosciuto che i rendimenti non si distribuiscono normalmente.
Inoltre, è dimostrato che la distribuzione lognormale è un modello molto più appropriato per rappresentare la distribuzione dei rendimenti rispetto ad una normale o un mix di normali. Una delle caratteristiche della distribuzione lognormale è la sua significativa natura asimmetrica.
Esistono significative evidenze che i momenti di ordine superiore hanno un'utilità nel selezionare i titoli finanziari.
Diversi ricercatori - Arditti and Levy (1975), Levy and Sarnat (1972), Samuelson (1970), Jean (1971) Jean (1973) - hanno notato che ignorare momenti della distribuzione superiori alla varianza è appropriato solo sotto alcune circostanze molto restrittive:
l'investitore non ritiene utili i momenti di ordine superiore; i rendimenti sono distribuiti normalmente;
l'investitore ha una funzione di utilità quadratica.
Si tratta di assunzioni particolarmente forti sui quali la teoria di Markowitz in parte si basa. In particolare, per un investitore, avere una funzione di utilità quadratica comporta diversi svantaggi di cui il più importante e degno di nota è sicuramente il fatto che ciò implica un'avversione al rischio assoluta incrementale (comunemente, invece, assunta decrescente). L'assunzione che la distribuzione dei rendimenti sia normale è, dunque, invalida nel mondo reale.
Diversi studi - Fama(1965), Mandlebrot (1964), Mandlebrot (1966), Singleton e Wingender (1986) - dimostrano ulteriormente come i rendimenti non siano normalmente distribuiti. Quando le decisioni di investimento si riferiscono a un intervallo di tempo finito, Samuelson (1970) ha dimostrato che l'efficienza del modello media/varianza diventa inadeguata e l'utilizzo di momenti di ordine superiore dei rendimenti assume un ruolo rilevante.
Ulteriori studi, condotti da Scott and Horvath (1980), dimostrano che se la distribuzione dei rendimenti di un portafoglio è asimmetrica o se la funzione di utilità dell'investitore è di ordine superiore a quello quadratico allora è necessario che almeno il terzo e quarto momento siano considerati nel processo di decisione.
In particolare, l'uso del terzo momento ossia l’asimmetria ha concentrato negli ultimi anni gran parte dell'attenzione dei ricercatori, in maniera sproporzionata rispetto all'uso del quarto momento.
Questa distinzione può trovare spiegazione nel relativo lento sviluppo di tecniche che affrontino le sfide algebriche associate al calcolo della curtosi.
Numerosi studi però confermano la necessità di prendere in considerazione entrambi i momenti nel processo decisionale.
3.2.1 Momento di terzo ordine: l’asimmetria
Il terzo momento di una distribuzione, spesso indicato con il suo termine inglese “skewness”, è una misura dell’asimmetria della stessa.
L'asimmetria di una distribuzione è imperniata intorno al valore della sua media. Se il suo valore è 0, la forma della distribuzione sul lato sinistro rispetto alla media risulterà l'immagine speculare della forma assunta sul lato destro sempre rispetto alla media.
Pertanto, in una distribuzione normale il valore dell'asimmetria sarà sempre zero poiché la sua distribuzione è perfettamente simmetrica.
Quando il suo valore è diverso da 0, invece, si ottengono distribuzioni asimmetriche positive o negative. Queste sono caratterizzate, rispettivamente, da una più grande coda destra e da una più grande coda sinistra.
𝐴𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 = �= 0,> 0, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 < 0, 𝑎𝑠𝑖𝑚𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
La seguente figura riassume ed illustra le varie possibili distribuzioni che possono essere assunte, in generale, dai dati rispetto alla media:
Figura 1 - Simmetria e Asimmetria positiva/negativa
Quando una distribuzione è simmetrica tutte tre le misure di media moda e mediana coincidono. Ciò, però, non accade quando la distribuzione è asimmetrica.
Nelle distribuzioni positivamente asimmetriche (asimmetria a destra), la mediana è posta alla sinistra della media e il suo valore è maggiore.
Nelle distribuzioni negativamente asimmetriche (asimmetria a sinistra), invece, la mediana è posta alla destra della media e il valore della media è più piccolo rispetto alla mediana.
Figura 2 - Media, Moda e Mediana nei tre casi
Da un punto di vista finanziario, un indice di asimmetria positivo implica una probabilità maggiore che si verifichi un profitto positivo, mentre un valore negativo ha come conseguenza una notevole probabilità di contrarre un profitto negativo.
Nel corso degli anni diverse misure di asimmetria sono state proposte dagli studiosi.
Il primo ad introdurre un metodo per misurare l'asimmetria di una distribuzione fu, nel 1895, il matematico e statistico britannico Karl Pearson.
Egli propose una misura basata sulla differenza standardizzata tra il valore medio e la moda della distribuzione:
𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =𝜇 − 𝑚𝑜𝑑𝑒𝜎
Dove µ rappresenta il rendimento medio e σ è la deviazione standard della distribuzione. Successivamente, rivisitò la formula sostituendo la moda con la mediana che, generalmente, è più facile stimare per un campione:
𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =3(𝜇 − 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛)𝜎
Normalmente, l'indice di asimmetria per una distribuzione è definito in questo modo:
𝑆𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 =𝑁 � �1 𝑥𝑖𝜎 �− 𝑥̅ 3
𝑁 𝑖=1
Dove N è il numero delle osservazioni.
In generale, dunque, l'asimmetria è misurata attraverso il terzo momento centrale diviso per la deviazione standard al cubo.
Essa è una misura invariante per la traslazione e per i cambiamenti di scala.
È importante notare come l'asimmetria sia una misura particolarmente sensibile al modo nel quale viene misurata, dalla numerosità del campione e da altri fattori.
Il non uso dell'asimmetria nella Selezione di Portafoglio nel modello media/varianza di Markowitz può essere giustificata da almeno tre ragioni:
la funzione di utilità è ipotizzata quadratica. Pertanto tutti i valori oltre la varianza nell'espansione in serie di Taylor della funzione di utilità risultano pari a zero.
La distribuzione dei rendimenti dei titoli è ipotizzata come una distribuzione normale. I primi due momenti (media e varianza), dunque, descrivono completamente la distribuzione. Questo perché se la distribuzione è simmetrica, allora tutti i momenti di grado superiore alla varianza risulteranno pari a zero.
Se si considerano solo i primi due momenti, il problema di ottimizzazione è un problema lineare e può essere risolto facilmente.
È intuitivo capire perché l'asimmetria vada considerato come un fattore importante per gli investitori. Un’asimmetria positiva, per l'investitore, significa avere maggiori probabilità di ottenere guadagni estremamente più grandi e perdite limitate.
La preferenza di un soggetto per una distribuzione asimmetrica positiva può anche essere spiegata, per similitudine, osservando il comportamento delle persone che comprano i biglietti della lotteria: la distribuzione dei rendimenti di tali biglietti è largamente asimmetrica verso destra; vi è la possibilità di un importante e grande guadagno mentre la perdita è limitata al costo del biglietto.
Dall'altro lato, le persone sono avverse rispetto un’asimmetria negativa. Anche in questo caso, un esempio utile, può essere quello di osservare il comportamento delle persone che acquistano una polizza assicurativa: il valore atteso di guadagno di un'assicurazione è negativo (costo del servizio offerto dalla compagnia di assicurazione), ma l'assicurazione protegge le persone da potenziali grandi e gravi perdite e le persone sono disposte a pagare per questo.
Gli stessi concetti possono essere applicati al settore degli investimenti dove si verificano fenomeni simili.
Alderfer e Bierman (1970), pubblicarono uno studio empirico nel quale ponevano l'investitore di fronte a diverse alternative di investimento. Alcune di queste alternative possedevano valori di media e rischio simili ma diversi valori di asimmetria della distribuzione dei rendimenti.
Lo studio mostrò chiaramente la preferenza dei partecipanti per le alternative caratterizzate da distribuzioni asimmetrie positive anche nei casi in cui l'asimmetria positiva era associata ad un rendimento medio minore. Le persone, dunque, erano disposte a “pagare” per l’asimmetria positiva.
In modo simile alla varianza di portafoglio, l'asimmetria di portafoglio non è data da una media pesata dei momenti terzi dei rendimenti dei titoli.
Poiché i titoli tendono a muoversi assieme, i loro rendimenti non possono essere assunti indipendenti. Per il calcolo dell’asimmetria di portafoglio, non è dunque necessario solamente conoscere il valore dell'asimmetria dei rendimenti ma anche la cosiddetta coasimmetria tra i rendimenti (in inglese coskewness).
Per rendere facilmente comprensibile il concetto di coasimmetria si pensi in maniera simile a cosa rappresenta la covarianza tra i titoli. Si noti, però, che la matrice di asimmetria e coasimmetria è rappresentata da una matrice cubica mentre la matrice varianza covarianza è una matrice quadrata.
Per semplicità, l'asimmetria verrà considerata, ai fini di questo lavoro, come il terzo momento centrale non normalizzato così come proposto da Ingersoll (“Theory of financial decision
making”, Studies in Financial Economics, 1987).
𝑠 = 𝐸�(𝑅𝑖𝑗 − 𝑅�𝑖)�3
La coskewness tra i titoli i,j e k (sijk), dunque, è calcolata secondo la seguente formula:
𝑐𝑜𝑠𝑘𝑒𝑤𝑛𝑒𝑠𝑠 = 𝑠𝑖𝑗𝑘 = 𝐸[(𝑅𝑖 − 𝐸(𝑅𝑖)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘))]
L’asimmetria di un portafoglio composto da due titoli, indicata con la notazione sp, sarà data
da:
𝑠𝑝 = 𝑥13𝑠111+ 3𝑥12𝑥2𝑠112+ 3𝑥1𝑥22𝑠122+ 𝑥23𝑠222
3.2.2 Momento di quarto ordine: la curtosi
Il momento quarto di una distribuzione, spesso indicato con il suo termine inglese “kurtosis”, è un indicatore di quanto i valori della distribuzione si concentrino intorno alla sua media rispetto ad una distribuzione normale.
Il suo valore può essere anche visto, in altri termini, come un indicatore della dispersione dei dati sempre rispetto ad una distribuzione normale.
In termini generali, la curtosi è data dal momento quarto rispetto alla media diviso per la deviazione standard elevata alla quarta:
𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖 = 𝑁 � �1 𝑥𝑖𝜎 �− 𝑥̅ 4
𝑁 𝑖=1
L'elevazione alla quarta comporta determinate conseguenze: grandi deviazioni della varianza hanno un maggior effetto sulla media.
Un valore elevato per la curtosi implica che molti valori sono concentrati in un intorno della media con raggio pari alla deviazione standard.
In termini più semplici, si può affermare che la curtosi misura la concentrazione o la dispersione dei valori rispetto ad un valore centrale.
A seconda del valore di tale indice le distribuzioni assumono nomi diversi:
𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖 = �= 0, 𝑚𝑒𝑠𝑜𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎> 3, 𝑙𝑒𝑝𝑡𝑜𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 < 3, 𝑝𝑙𝑎𝑡𝑖𝑐𝑢𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎 Un esempio di distribuzione mesocurtica è la distribuzione normale.
La distribuzione platicurtica, detta anche iponormale, è caratterizzata da una concentrazione maggiore dei valori nelle code ed è riconoscibile dalla sua distribuzione con forma appiattita rispetto a quella normale.
La distribuzione leptocurtica, invece, chiamata anche ipernormale è caratterizzata dalla concentrazione dei dati intorno ad un valore massimo (un picco) e dalla sua forma appuntita rispetto alla normale.
Figura 3 - Distribuzione Mesocurtica, Platicurtica, Leptocurtica
La curtosi, come l'asimmetria, è una misura invariante per la traslazione e per i cambiamenti di scala.
Per semplicità, la formula della curtosi per un singolo titolo, come per l’asimmetria, viene rappresentata come il momento quarto centrale non normalizzato:
𝑠 = 𝐸�(𝑅𝑖𝑗 − 𝑅�𝑖)�4
Anche in questo caso, per il calcolo della curtosi di portafoglio non si può procedere utilizzando solo la media pesata dei momenti quarti dei rendimenti dei titoli.
Come per l'asimmetria di portafoglio, non è dunque necessario solamente conoscere il valore della curtosi dei rendimenti ma anche la cosiddetta cocurtosi tra i rendimenti (in inglese
cokurtosis).
La cokurtosis tra i titoli i, j, k e l (kijkl), dunque, è calcolata secondo la seguente formula:
𝑐𝑜𝑘𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑖𝑠 = 𝑘𝑖𝑗𝑘𝑙 = 𝐸[(𝑅𝑖− 𝐸(𝑅𝑖)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘)) ∙ (𝑅𝑘− 𝐸(𝑅𝑘)) ∙ (𝑅𝑙− 𝐸(𝑅𝑙))]
La curtosi di un portafoglio composto da due titoli, indicata con la notazione kp, sarà data da:
𝑘𝑝 = 𝑥14𝑘1111+ 4𝑥13𝑥2𝑘1112+ 6𝑥12𝑥12𝑘1122+ 4𝑥1𝑥23𝑘1222+ 𝑥24𝑘2222
3.2.3 Modifiche utili per l’applicazione pratica
Nella parte dedicata all'applicazione pratica, verranno considerati portafogli composti da cinque titoli.
Poiché le formule finora presentate per il calcolo dell’asimmetria e della curtosi di portafoglio si riferiscono a portafogli composti da due soli titoli è necessaria una modifica affinché tutti i titoli siano considerati nel calcolo degli indici di asimmetria e di curtosi.
L'asimmetria di ciascun portafoglio composto da cinque titoli è data dalla seguente formula: 𝟐 𝒕𝒊𝒕𝒐𝒍𝒊: 𝑠𝑝 = 𝑥13𝑠13+ 3𝑥12𝑥2𝑠112+ 3𝑥1𝑥22𝑠122+ 𝑥23𝑠23
⇓
𝟓 𝒕𝒊𝒕𝒐𝒍𝒊: 𝑠𝑝 = 𝑥13𝑠13+ 𝑥23𝑠23+ 𝑥33𝑠33+ ⋯ +
+3𝑥12𝑥2𝑠112+ 3𝑥1𝑥22𝑠122+ ⋯ +
+6𝑥1𝑥2𝑥3𝑠123+ ⋯ + 6𝑥3𝑥4𝑥5𝑠345
Seguendo lo stesso ragionamento e tenendo conto della formula per il calcolo della curtosi di portafoglio con due soli titoli è possibile ricavare la formula per il calcolo della curtosi per portafogli composti da cinque titoli.
3.3 Scelta dell'approccio multicriteriale
Esistono diversi modelli multicriteriali che affrontano con successo il problema della Selezione di Portafoglio. Numerose pubblicazioni offrono soluzioni a riguardo partendo da punti di vista e approcci differenti.
Ognuno di essi presenta vantaggi e svantaggi. Pur essendoci però differenze tra i vari metodi non si può affermare che un metodo sia superiore ad un altro. La scelta dell'approccio multicriteriale da applicare è dunque soggettiva e, in particolare, è una scelta che dipende dalle esigenze e dai bisogni dell'investitore.
In questo caso, si necessita di un metodo che abbia particolari e determinate proprietà:
• funzioni indipendentemente dalle caratteristiche dei diversi criteri presi in considerazione. Si vuole poter considerare criteri di tipo qualitativo così come criteri
di tipo quantitativo e che non siano necessariamente legati tra loro. Inoltre, si vogliono eventualmente considerare criteri con unità di misura differenti;
• deve permettere, data una serie di alternative (i portafogli considerati), di ottenere una sorta di classificazione ordinata delle stesse che tenga conto dei criteri valutativi scelti; • che tenga conto delle preferenze soggettive dell'investitore attraverso funzioni di
utilità o sistemi alternativi;
• che sia, possibilmente, stato applicato con successo al problema della Selezione di Portafoglio in passato o, in alternativa, basato su metodi che lo siano.
Fatte tali premesse, un approccio interessante da prendere in considerazione può essere quello basato sul metodo multiattributo che prende il nome di MUlticriteria RAnking MEthod. Pur essendo un approccio di recente sviluppo, esso rispetta tutte le caratteristiche ricercate, rendendolo una scelta particolarmente appetibile ai fini di questo esempio pratico.
Utilizzato originariamente in Armenia come supporto decisionale nel settore energetico (2001
– “Multicriteria Project Ranking in the Armenian Energy Sector” – 53rd Meeting of the European Working Group on Multicriteria Aid for Decisions), ben si presta come applicazione al problema della Selezione di Portafoglio e presenta diversi vantaggi in tal senso rispetto ad altre alternative. Ulteriore prova che gli approcci multicriteriali sono caratterizzati dalla loro particolare flessibilità e adattabilità alle più disparate esigenze del decisore.
Per comodità, d'ora in poi si utilizzerà l’acronimo MURAME per identificare l'approccio. Si analizzino le sue proprietà.
MURAME permette di considerare criteri di qualsiasi tipo, senza distinzioni, e la possibilità di applicare pesi differenti rispetto a ciascun criterio. Ciò lo rende particolarmente appetibile di fronte agli occhi degli investitori in quanto è facilmente personalizzabile secondo le proprie preferenze ed esigenze.
Nel caso in cui ci si trovi ad affrontare un problema in cui alcuni criteri sono di tipo qualitativo è necessario ricorrere all’utilizzo di scale opportunamente costruite.
Ai fini dell’applicazione pratica i criteri considerati sono di tipo quantitativo.
