3.3 Verifica dell’efficacia
4.1.3 Opportunità di mediazione
Vediamo dunque ora quali testi situati possono essere considerati come opportunità di mediazione per l’insegnante che voglia proporre queste attività. Utilizzeremo, per maggiore chiarezza, la tabella sottostante a tre entrate: nella prima colonna inseriremo il testo situato; nella seconda espanderemo il significato attribuibile al testo, limitata- mente al contesto situato dell’attività; infine nell’ultima colonna esploreremo i possibili collegamenti con aspetti matematici formali attribuibili ai testi. Considereremo, per la compilazione di questo, l’incontro nella sua totalità.
Testo situato Significati situati Segni e signifi-
cati matematici Aspetti matematici
Singola nota
Suddivisioni per- sonali del PM del- le "note".
Blocco Base.
Si avvicina al concetto di BB ma non in tutti i casi le suddi- visioni riguardano insiemi di tasselli tutti uguali tra loro.
Pezzettini
Stanghetta Blocco Base.
BB fatto da due tasselli, parte di una suddivisione come PM composto.
Testo situato Significati situati Segni e signifi-
cati matematici Aspetti matematici
Stanghetta Blocco Base.
Un BB che può essere com- plementare al precedente in una suddivisione come PM composto.
Collegamenti
Pezzettini Blocco Base.
BB fatto da due tasselli, parte di una suddivisione come PM composto.
Portone
Suddivisioni per- sonali del PM del "castello".
Blocco Base.
Si avvicina al concetto di BB ma non in tutti i casi le suddi- visioni riguardano insiemi di tasselli tutti uguali tra loro. Sbarra
Colonna Pezzo
Blocco Base.
Un BB che può essere com- plementare al precedente in una suddivisione come PM composto.
Cancello
Pezzo Blocco Base.
Un BB che prevede sovrappo- sizioni.
Coda
Rimozione o ag- giunta di:
Coda del PM.
Utilizzo del termine per in- dicare la stessa coda da noi definita formalmente nel Paragrafo 1.2.1. Unità di misura Il disegno della F5PM delle "note". Proporzione, rapporto.
Per impostare una proporzio- ne ha bisogno di un rapporto che preleva dal dato numerico proposto.
Testo situato Significati situati Segni e signifi-
cati matematici Aspetti matematici
Numero di note/portoni
Numero di ripeti- zioni della sequen- za.
Variabile algebrica.
Indica una nozione embrio- nale di variabile, vista come "numero qualsiasi" in senso statico, con poco riferimento alla variazione.
Ripeterla il numero di volte che vuoi
Numero del- le "note" da aggiungere a destra della sequenza. Successione mo- notona crescen- te.
Crescenza monotona delle ripetizioni della sequenza.
Variabile algebrica.
Variabile come "numero qual- siasi". [Varie espres- sioni algebri- che con la lettera] n Relazione genera- le in risposta alla richiesta. Espressione algebrica.
L’utilizzo corretto della lette- ra nella relazione non è ne- cessariamente collegato ad un concetto di variabile corretto.
Al posto di 100 metti n Cancellazione e sostituzione: Variabile algebrica.
Idea di variabile come "segna- posto" e "numero qualsiasi".
Qualsiasi nu- mero che è ne- cessario usare in quel mo- mento
Cosa intende per n.
Variabile algebrica.
Idea di variabile come "segna- posto" e "numero qualsiasi".
Note tutte uguali
Figure che si ripe- tono che abbiano lo stesso numero di tasselli.
Blocco Base.
Emerge una proprietà neces- saria del BB: che sia scelto in modo sue ripetizioni sempre uguali (più o meno la coda) compongano il PM.
Testo situato Significati situati Segni e signifi-
cati matematici Aspetti matematici
Serie di note Caratteristica del disegno proposto.
Pattern a Mosaico.
Potrebbe riferirsi non solo al caso particolare proposto, ma ad una qualsiasi FnPM.
Sequenza da cinque [o altri numeri] note
Vari casi particola- ri del PM.
Pattern a Mosaico.
In questo caso rispetto al pre- cedente emerge esplicitamen- te il riferimento a diverse FnPM, ma si può pensare che
entrambi siano utilizzati con la stessa accezione.
Sempre
Utilizzo della re- gola generale per risolvere i casi par- ticolari a), b) e c).
Generalizzazione.
In questo caso il termine si ricollega alla generalità della relazione trovata e al suo uti- lizzo ipotetico per ogni caso particolare.
Sempre
Un procedimento («levo sempre due» in 9n − 2) indipen- dente dal numero di ripetizioni.
Termine noto
della relazione lineare.
Il termine rimanda ad un’ot- tica generalizzante legata al riconoscimento di una quan- tità costante relativamente ad una che può variare.
Ogni BB deve ave- re lo stesso nume- ro di tasselli.
Blocco Base.
Necessità di definire univoca- mente ciò che rappresenta la variabile. Ogni volta aggiungo Il ripetersi potenzialmente indefinito della procedura di aggiunta di un BB alla sequenza. Illimitatezza del- l’insieme N.
Riconducibile alla potenziali- tà della variabile di aumenta- re indefinitamente su tutti i numeri naturali.
Successione mo- notona crescen- te.
Crescenza monotona delle ripetizioni della sequenza.
Testo situato Significati situati Segni e signifi-
cati matematici Aspetti matematici
Crescere delle ri- petizioni, unica- mente verso de- stra. Illimitatezza del- l’insieme N. Infinito Successione mo- notona crescen- te.
Crescenza monotona delle ripetizioni della sequenza. É possibile sceglie-
re ogni numero (naturale).
Variabile algebrica.
Variabile come "numero qual- siasi".
Costante
Un numero fissa- to. Vedi Figura 4.7.
Costante.
Alcune lettere vengono uti- lizzate esplicitamente come quantità costanti: sembrereb- be che lo scopo sia arrivare ad una formula espressa solo con lettere.
Formula Soluzione per la
richiesta d).
Relazione algebrica.
Relazione algebrica vista co- me una formula per il calcolo di tasselli, a seconda del nu- mero di ripetizioni dato: «è co- me dire "base per altezza diviso due"».
x
Numero dei tas- selli da calcolare nelle varie doman- de.
Incognita.
Utilizzata come incognita, an- che qualora sia stata utilizzata la lettera n in riferimento al- la variabile per il numero di ripetizioni.
4.2
Incontro 2
4.2.1 Strategie risolutive
Fase 1: Generalizzazione ed equivalenza
Ricordiamo che questa prima fase coincide, a parte l’utilizzo di PM diversi (vedi Figura 3.9), con l’ultimo quesito posto nel primo incontro. Il fatto di aver proposto in una
fase unica questo tipo di domanda singola ha permesso di approfondire e variegare maggiormente le tipologie di strategie già viste in precedenza. Studiamo dunque le risposte alla domanda a), analizzando innanzitutto le relazioni algebriche che sono state prodotte, a partire dal PM della "scala":
• un gran numero di risposte, ritrovabili in tutte e tre le classi, hanno riguardato una relazione algebrica del tipo 6n+3: esse si rifanno a suddivisioni del PM come quelle in Figura 3.12 (vedi ad esempio Figura 4.11). Qualcuno ha scritto direttamente la relazione già formalizzata, espressa tramite variabile, altri l’hanno espressa in modo informale (vedi tabella seguente);
Figura 4.11: Alcune suddivisioni dei PM effettuate dagli studenti relative alla regola
6n+ 3.
[Classe B, Video 8]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succe-
de
(13:08) Jonathan Aggiungi sei quadratini neri.
(13:24) Jonathan Poi ne riaggiungi altri sei [...] il gradino successivo. (13:40) Jonathan Poi all’infinito ancora altri sei.
(13:44) Io "All’infinito", cosa intendi? (13:46) Jonathan Per tutte le volte che vuoi.
(13:58) Io Ok, poi?
• alcune risposte hanno riguardato una relazione algebrica del tipo 6 · (n − 1)+ 9: esse si rifanno a suddivisioni del PM come quelle in Figura 4.12. Qualcuno ha scritto direttamente la relazione già formalizzata, espressa tramite variabile, altri l’hanno espressa in modo informale (vedi tabella seguente);
Figura 4.12:In rosso il BB, in celeste la coda.
[Classe C, Video 11]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede
(00:20) Antonio Qua sopra c’è da mettere questi due.
(00:24) Antonio Poi ci sono questi due.
Indica verso destra:
(00:28) Antonio Ah e poi ci son gli altri due che lo rimandano giù!
Indica verso il basso:
(00:35) Io Ok, aggiungendone sei, sei riuscito a fare un altro gradino.
(01:11) Antonio Moltiplichi per [...] il numero che devi fare.
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede
(01:28) Francesco Sei per...
(01:31) Io Per quelli che vuoi?
(01:34) Antonio
Però aspetta il primo... Il primo per esempio è diverso dagli altri, quindi te da quelli che vuoi ci sottrai il primo [...] cioè il primo lo fai e dopo moltiplichi quelle sei per i restanti.
Indica:
• altre soluzioni ancora propongono una relazione del tipo 9n − 3 · (n − 1), derivante dalla scelta del BB come in Figura 3.10;
• non mancano relazioni algebriche errate, soprattutto del tipo 9n e 6n relative al caso in cui ci si limiti a contare i tasselli dei BB, scelti come in Figura 4.13, per poi effettuare il prodotto con il numero di ripetizioni.
Figura 4.13: Due BB per il PM della "scala".
Passando invece al PM della "catena", si hanno le seguenti proposte, tra coloro che hanno dato come risposta una relazione algebrica:
• un gran numero di risposte, ritrovabili in tutte e tre le classi, hanno riguardato una relazione algebrica del tipo 6n+2: esse si rifanno a suddivisioni del PM come quelle in Figura 3.15 (vedi ad esempio Figura 4.14). Qualcuno ha scritto direttamente la relazione già formalizzata, espressa tramite variabile, altri l’hanno espressa in modo informale a parole;
• alcune risposte hanno riguardato una relazione algebrica del tipo 6 · (n − 1)+ 8: esse si rifanno a suddivisioni del PM come quelle in Figura 4.15;
Figura 4.15: In blu il BB, in arancione la coda.
• altre soluzioni ancora propongono una relazione del tipo 8n − 2 · (n − 1), derivante dalla scelta del BB come in Figura 3.13. Qualcuno ha scritto direttamente la relazione già formalizzata, espressa tramite variabile, altri l’hanno espressa in modo informale a parole (vedi tabella seguente);
[Classe B, Video 2]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succe-
de
(00:00) Jonathan Ogni volta che formiamo un quadrato togliere due quadratini che sono quelli che vengono sovrapposti.
• non mancano, ancora una volta, relazioni algebriche errate, ad esempio del tipo 8n, relativa al caso in cui ci si limiti a contare i tasselli dei BB, scelti come in Figura 4.16, per poi effettuare il prodotto con il numero di ripetizioni.
Figura 4.16: Un BB per il PM della "catena".
Le soluzioni fondate fin dal principio sull’utilizzo più o meno esplicito di una relazione algebrica non sono state le uniche ad essere proposte:
• alcuni studenti, tentando di sfruttare il dato messo a disposizione dal testo, hanno elaborato un metodo che calcola, a seconda del numero di ripetizioni dato, il
numero di tasselli della sequenza con il numero di ripetizioni pari ad un multiplo di tre vicino a quello dato, per poi aggiustare alla fine il calcolo (vedi tabella seguente);
[Classe C, Video 9]
Tempo Chi
parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(01:06) Gigi
Se sono tre gradini per trovar- ne 6 si può moltiplicare 21 per 2 e viene 42 [...] e poi levare 3.
Indica:
(01:31) Io Perché levi 3?
(01:35) Gigi Perché il primo [gradino] è da 9.
(01:52) Io Ok, però se voglio un numero qualsiasi? [...] 13 per esempio.
Propongo un esem- pio che non sia multiplo di 3.
(02:35) Ivan 13 per 6 devi fare, no? Il compagno tenta
una strada diversa. (02:43) Gigi
Moltiplico finché mi trovo 12 gradini e poi aggiungo 6 [tasselli].
Aggiungere 6 indica l’aggiunta del tredi- cesimo gradino. (02:52) Gigi Moltiplico, arrivo a 12, levo 9.
Emerge la necessi- tà di rimuovere i tasselli di troppo. (03:01) Io Ah ok, perché ogni volta devi
togliere...
(03:04) Gigi La parte d’inizio qua.
Indica:
(03:27) Gigi 84, levo 9 viene 75, e poi aggiungo 6 e sarebbe 81.
Esplicita il calcolo (corretto).
Tempo Chi
parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(03:38) Gigi Moltiplico finché è possibile... Il più vicino.
Indica il raggiungi- mento del multiplo di tre più vicino al valore dato.
• qualche alunno ha risposto risolvendo il problema per un caso particolare a scelta, in modo corretto o meno, fornendo dunque una risposta numerica senza alcun segno di generalizzazione.
Una trattazione a parte meritano i momenti in cui, come previsto nell’analisi a priori, sono state affrontate le discussioni riguardanti l’equivalenza algebrica delle regole emerse dalle risposte alle domande di tipo a): esse sono state intraprese qualora si fosse arrivati ad almeno due relazioni algebriche differenti (dal punto di vista della forma), che sono state affiancate alla lavagna (un esempio in Figura 4.17).
Figura 4.17:Regole per il PM della "catena" in un’unica lavagna.
Almeno inizialmente, sono state considerate come distinte anche le soluzioni che presentassero differenze riguardanti l’ordine delle operazioni e l’utilizzo di diversi simboli e parentesi. Dunque i primi passaggi delle discussioni sono stati dedicati a giustificare l’equivalenza di tali regole "simili":
• l’equivalenza di espressioni in cui le operazioni risultano invertite è stata giustificata dagli studenti con l’utilizzo della proprietà commutativa della somma e del prodotto;
• l’equivalenza di espressioni differenti solo per la presenza di alcuni livelli di parentesi (solo tonde o sia quadre che tonde) è stata giustificata riconoscendo il
ruolo delle stesse, che riguarda il mettere in evidenza l’ordine in cui le operazioni vadano effettuate.
In seguito l’attenzione si è spostata su quelle regole differenti anche dal punto di vista strutturale. In questi casi le risposte alla domanda «Come mai i vostri ragionamenti corretti sembrano diversi? C’è qualcosa che li lega tutti?» sono risultate particolarmente significative:
• qualcuno ha cercato di trovare una giustificazione nell’efficacia attribuibile a tutte le diverse regole di restituire la soluzione corretta nei casi specifici (un esempio nella seguente tabella);
[Classe A, Video 8]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(23:05) Nicolò
Fare il primo procedimento [...] e fare il secondo [...] fa sempre 21. Indica 6n+3 e 6· (n−1)+9, nel ca- so particolare n= 3. Sembrerebbe ac- contentarsi di un solo caso partico- lare.
(23:16) Io Ok, in quel caso lì torna
uguale.
(23:20) Nicolò
Bisognerebbe provare in altri modi. Magari cambiare il va- lore di n e se viene sempre lo stesso numero vuol dire che è la stessa cosa.
Avanza l’ipotesi che serva qual- cosa di più per poter giustifica- re l’equivalenza, aprendo forse al generale.
• alcuni studenti hanno cercato una giustificazione che rimanesse in stretto con- tatto con il lato strettamente grafico del PM, presentando motivazioni, come da esempio nella seguente tabella, che sottolineano il fatto che, a parte tutti i possibili ragionamenti corretti e le soluzioni diverse, il disegno del PM rimane sempre lo stesso;
[Classe A, Video 8]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(15:34) Cristina
Viene sempre lo stesso risultato, l’u- nica cosa che cambia è che ognuno il gradino l’ha visto... Cioè la figura l’ha vista in un modo diverso.
Riferimento ai BB di Figura 4.13
(15:50) Cristina
Magari qualcuno ha visto le parti uguali da 6, un’altra persona ha visto il primo gradino da 9.
Vedi Figura 4.13
(15:57) Io Ok, e quindi perché secondo te
portano tutte alla stessa soluzione?
(16:03) Cristina Perché la figura è la stessa.
Non è chiaro se si riferi- sca solo al disegno pro- posto o ad una rappre- sentazione grafica di una generica FnPM
• altri alunni hanno invece trovato delle giustificazioni che abbandonano il lato grafico del PM per rimanere esclusivamente legati agli aspetti algebrici astratti. Infatti c’è stato chi ha effettuato dei passaggi tramite trasformazioni algebriche per mutare una relazione in un’altra in modo esplicito, alla stregua di quella tipologia di esercizi meccanici che perseguono l’obiettivo di semplificare espressioni letterali complesse (un esempio in Figura 4.18). Da segnalare come tale soluzione agli occhi di molti altri sia apparsa come innaturale e strana;
Figura 4.18:Regole per il PM della "catena" in un’unica lavagna.
• infine qualcuno ha intrapreso una via di mezzo, esprimendo un ragionamento narrativo che trova la sua genesi su aspetti aritmetici e algebrici astratti, cercando
poi di riallacciarsi all’aspetto grafico visivo. Un esempio di quest’ultimo caso, per il PM della "scala" è riportato nella tabella seguente.
[Classe A, Video 8]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succe-
de Commento
(23:42) Andrea
Io dico che sono uguali perché [...] 9 se io lo scompongo è uguale a 6 più 3.
Si riferisce a 6n+ 3 e 9 + 6 · (n − 1).
Lui aveva proposto come soluzione 9+ 6 · (n − 1).
(24:08) Andrea
Di conseguenza hanno levato il meno uno e hanno consi- derato quel 6 un altro [...] gradino.
In riferi-
mento a
n − 1.
Effettua ciò che po- tremmo chiamare raccoglimento.
(24:25) Andrea
E il 3 l’hanno preso come pez- zo volante e l’hanno sommato dopo alla scala.
Intende co- me in Figu- ra 3.12.
Sembra riconoscere la relazione tra la co- da della sua solu- zione e la coda di quella alternativa.
(24:44) Cristina
Secondo me,è un po’ strano quello che ha detto lui [...] per- ché c’è proprio una differenza di base di come uno vede una figura e come uno vede una parte di scalino. Lui ha preso il 9 come primo scalino.
Indica la co- da come in Figura 4.12.
Sembra che il pro- blema per lei stia nel fatto che Andrea nella seconda par- te del ragionamen- to sposta la coda alla destra del PM, invece che a sinistra:
(26:05) Cristina Invece questa parte serve praticamente per chiudere.
Indica la co- da come in Figura 3.12.
Fase 2: Regole inverse
I quesiti di questa fase rappresentano una totale novità rispetto ai precedenti: le domande di tipo b) e c) differiscono per il dato numerico più elevato ma, poiché non sono emerse
differenze sostanziali nelle strategie risolutive, faremo una trattazione unificata, anche per quanto riguarda i due diversi PM. Riassumendo:
• come previsto, molte risposte hanno effettuato un processo meccanico di disegno e conteggio, anche per il caso di un numero elevato di tasselli (vedi Figura 4.19). Tali tentativi, a meno di semplici errori di disattenzione, hanno comunque prodotto risposte corrette;
Figura 4.19: Soluzione tramite disegno per le domande b) e c) del PM della "scala".
• altre risposte hanno ripreso la relazione algebrica emersa dalla domanda a) per poi procedere a tentativi, sostituendo alla variabile alcuni valori specifici, fino ad otte- nere il dato presente nel testo e quindi la soluzione corretta (vedi la tabella seguente);
[Classe B, Video 15]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede
(00:02) Sofia Abbiamo usato il procedimento che aveva fatto lei.
Indica la formula alla lavagna 6n+ 3.
(00:10) Sofia
Abbiamo preso il 6 e l’abbiamo moltiplica- to per avere un numero vicino al 57 e non veniva, e poi abbiamo aggiunto 3.
Potrebbero aver pensa- to di utilizzare la rego- la algebrica solo in un secondo momento. (00:25) Io
Ok quindi avete usato quella formula [...] e avete provato con un numero in modo che venisse vicino a 57?
• qualche studente ha ragionato dando vita ad una nuova relazione algebrica formale, definita in quasi tutti i casi «formula inversa», che esprima la variazione del numero di ripetizioni della sequenza a partire dal numero dei tasselli di cui è composta (un esempio in Figura 4.20). Questa nuova relazione è stata pensata ragionando sulla forma scritta delle precedente regola o anche osservando direttamente il disegno;
Figura 4.20: Un esempio di relazione algebrica "inversa", ottenuta a partire da 6n+ 3. • un numero elevato di alunni ha impostato soluzioni che non contengono segni
evidenti di generalizzazione, ma che riguardano solo i casi specifici. Alcune di queste soluzioni, tuttavia, prendono ugualmente come punto di riferimento la regola generale trovata in precedenza per poi, considerato il dato iniziale, procedere a ritroso fino alla soluzione, risolvendo quella che di fatto risulta un’equazione (un esempio in Figura 4.21 e nella tabella seguente).
Figura 4.21:La relazione algebrica diventa un’equazione che porta alla risposta (PM della "catena").
[Classe A, Video 9]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succe-
de Commento
(21:33) Andrea Ho fatto semplicemente 57 meno 9, diviso 6, più 1.
(21:55) Andrea La mia formula dice... Indica: 9+ 6 · (n − 1).
(22:02) Andrea Quindi io ho tolto 9 che è [...] un gradino di partenza.
(22:18) Andrea
Poi diviso 6, a questo punto dividendo 6 sono arrivato a sapere quanto è n − 1, che nel mio caso è 8. Quin- di quel meno 1 che c’è l’ho semplicemente riaggiunto per arrivare a n, che è 9.
Qui n è utilizza- to come incognita e il procedimento de- scritto risulta ana- logo alla risoluzio- ne di un’equazione lineare.
Soluzioni di questo tipo sono state invece proposte anche nel caso in cui non fosse emersa nella prima fase una regola formalizzata: in questi casi il ragionamento viene effettuato direttamente sul disegno, a seconda della suddivisione dei PM (un esempio in Figura 4.22);
Figura 4.22: Passaggi "a ritroso" che portano alla soluzione, basati sulla suddivisione grafica del PM e non su una regola algebrica (PM della "scala").
• un’altra casistica riguarda chi ha cercato di sfruttare il dato iniziale sul numero dei tasselli dei disegni proposti. Ad esempio, per il PM della "scala", c’è stato chi ha sottratto al dato, fornito nella domanda c), di 153 tasselli il numero di tasselli della figura fatta da 3 ripetizioni fornita nella scheda: il risultato ottenuto di 132 tasselli è stato poi diviso per 6 (sembra dunque esserci la consapevolezza che la divisione
possa essere fatta perchè la coda è contata già nei 21 tasselli di partenza) e al valore ottenuto di 22 sono stati aggiunte le 3 ripetizioni sottratte all’inizio;
• si è registrata la presenza di alcune procedure errate, a causa prevalentemente di una perdita di controllo sul legame tra le procedure aritmetiche/algebriche e le