3.3 Verifica dell’efficacia
4.1.1 Strategie risolutive
Nell’analisi a priori si prevedeva, dalle risposte a tutte le domande, una certa varietà nei ragionamenti e nelle proposte, cosa che in effetti abbiamo riscontrato: cercheremo di dare qui un’idea di ogni soluzione emersa, nonostante non si possa in questa sede sottolineare le singole differenze che l’individualità di ogni studente o di ogni coppia ha trasmesso alle proprie idee o al proprio modo di esprimerle. Divideremo l’analisi come nelle due fasi proposte durante l’incontro. Per esplicitare in modo più esauriente i fenomeni descritti, abbiamo deciso di riportare alcuni dialoghi estratti direttamente dalle attività di classe, che sono state registrate: i nomi degli alunni sono di pura fantasia.
Fase 1: Esplorazione dell’artefatto
Vediamo dunque quali sono state le principali soluzioni proposte dagli studenti relativa- mente alle domande di tipo a) e b) delle due attività. Per quanto riguarda le domande a), sono stati molti, in modo trasversale tra tutte le classi, a proporre strategie di conteggio, giustificate in modi diversi, mentre alcuni hanno optato per una risoluzione già in ottica generalizzata. Riassumendo:
• c’è stato chi, disegnando concretamente o facendolo a mente, ha composto la figura successiva del PM e ha sommato al dato iniziale il numero di tasselli conseguente (per i due PM in Figura 3.1 rispettivamente 9 e 8).
[Classe A, Video 13]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(09:07) Marco
Io ho preso come una nota nove quadratini, fino a qua era una nota per me.
(09:15) Marco
Quindi a questa nota qua ho aggiunto due quadratini e poi ho rifatto una stanghetta... Una nota, senza disegnare gli altri due perché li ho messi davanti, e quindi mi viene quarantatré più nove.
Con «questa nota qua» fa riferimen- to a quella all’e- strema destra del disegno.
Già da questa prima richiesta sono emerse dunque in modo evidente le personali visualizzazioni dei PM, che attribuiscono un significato differente a procedimenti di fatto identici;
[Classe A, Video 13]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(05:12) Mirko
Io invece questo qui [...] l’ho pensato come la riga dove metti le note.
Indica la par- te superiore del disegno:
(05:21) Mirko
E queste qui sono note sin- gole, e poi ho fatto la nota e ogni nota è ... Cioè, diciamo che fra ogni nota ci sono due quadretti e ho fatto due e poi ho aggiunto la nota.
Per «nota singo- la» intende quel- la fatta da sette tasselli.
(05:49) Io
Quindi il calcolo che hai fat- to è... Hai aggiunto due [tasselli] e poi i sette della nota?
(05:55) Mirko Sí.
• non tutti i procedimenti di aggiunta dei tasselli si sono rivelati corretti (si vedano gli esempi in Figura 4.1): ciononostante la fase di discussione ha permesso di integrare i propri ragionamenti, modificarli ed eventualmente correggerli (si riporta un esempio nella tabella seguente);
Figura 4.1:Alcuni esempi errati di prosecuzione della sequenza (uno dei quali disponibile direttamente come produzione grafica)
[Classe C, Video 12]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(02:30) Antonio Abbiamo aggiunto 14 quadra- tini.
Descrive l’ag- giunta:
(03:00) Io Avete provato a disegnare?
Come viene?
(03:04) Antonio
Ah è vero! Perché verrebbe uno in più, verrebbe un pezzo in più. Quindi verrebbe sette invece di 14. No aspetti eh... otto! Un pezzo verticale e due pezzettini... 46 allora!
La mia doman- da fa loro pen- sare che la ri- sposta sia sbaglia- ta e scatena le correzioni.
• non tutti coloro che hanno effettuato l’operazione di somma di cui si è parlato finora si sono basati sui ragionamenti precedenti: ad esempio alcune proposte hanno tentato l’utilizzo della divisione;
[Classe A, Video 13]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(06:59) Federico
Tutte le note sono formate da 9 diciamo, tranne una, che è formata da 7. Ho fatto il numero dei quadratini meno sette e mi è venuto trentasei, e poi questo l’ho diviso per il numero delle note che si vuole trovare meno una e mi veniva quattro.
Non è chiaro esattamente come sia fatta la nota da 9 tasselli, e dunque nemme- no se quella da 7 sia una coda a destra o a sinistra.
(07:19) Io Puoi spiegare un attimo meglio cosa intendi con "l’ho diviso"?
Non avendo inizialmen- te compreso cerco una riformulazione.
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(07:28) Federico
L’ho diviso per... Come si puó dire... Per tutte le note che sono cinque, quelle meno una che non ho contato che era sette. Quella da sette l’ho tolta e mi è venuto nove.
(07:53) Io Quindi, intanto la risposta che hai dato è?
(07:55) Federico 52.
(07:57) Io E il calcolo che hai fatto per arrivare a 52 è?
(08:05) Federico
Ehm... Ah sí, ho fatto quarantatré me- no sette che veniva trentasei, ho fatto cinque meno uno che veniva quattro, e ho fatto trentasei diviso quattro, nove, più quarantatré.
Questa soluzione sembra ridondante e scollegata dall’immagine, conside- rando che fin da subito lo studente esplicita l’utiliz- zo di BB fatti da 9 tasselli, più una coda da 7.
• nella Classe A una proposta si prefiggeva di utilizzare come strumento le pro- porzioni: effettivamente nella stessa classe diversi studenti hanno fatto ricorso a questo strumento, anche per le domande successive;
[Classe A, Video 5]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(00:00) Luigi Possiamo usare anche le proporzioni?
La proposta forse deri- va dall’influenza del pro- gramma scolastico antece- dente alle attività.
(00:04) Io Usa quello che ti viene in mente, quello che pensi sia la cosa più adatta. (00:13) Luigi
Tipo uso come unità di misura le cinque note con 43 quadratini, quindi 5 sta a 43 come 6 sta a ’x’.
Variabile usata come inco- gnita.
(00:22) Elia Non viene.
Il compagno con cui sta la- vorando sembra suggerire che la strada porti ad una soluzione non intera.
• infine, come avevamo in effetti previsto, qualche studente (solamente nella Classe A) ha proposto come soluzione una regola algebrica, più o meno formalizzata, già accettabile come risposta alla domanda d), a cui sono stati applicati i vari casi particolari. Un esempio relativo al PM delle "note" si riporta nella tabella seguente.
[Classe A, Video 13]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(03:10) Andrea
Io le dico 52 però se le dico come ho pensato rispondo già alla d).
Dimostra sicurez- za massima in tale convinzione.
(03:21) Io
Tu dicci come sei arrivato a 52, poi... Tu pensi che sia quello, magari non è detto che sia cosí.
(03:30) Andrea
Io intanto ho calcolato sem- plicemente quanti quadratini fossero una semplice nota. (03:37) Io Cosa consideri tu per "nota"?
(03:39) Andrea
Solo questo, senza considera- re questi due, questa prima [...] da sette, perché questa è quella di partenza.
Emerge un’ulterio- re interpretazione dei BB e della coda, che questa volta è a sinistra.
(04:05) Andrea
Quindi devo fare nove per... No, devo fare sette più aperta quad- aperta tonda.
Mima la co- struzione con le dita.
(04:11) Io Un’espressione! Tono volutamente
"stupito".
(04:12) Andrea
E faccio enne meno uno, cioè il numero delle altre note, per nove.
Dimostra buon con- trollo sul signifi- cato attribuito alla variabile.
(04:40) Andrea Con questo poi ho trovato tutto.
Rinnova la convin- zione iniziale.
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(04:59) Andrea Nove per enne meno uno più sette.
Suddivisione ana- loga a quella ipo- tizzata in Figura 3.8
Relativamente alle domande di tipo b), abbiamo assistito nuovamente ad una elevata varietà di strategie:
• alcune proposte si sono basate ancora una volta sull’aggiunta di BB per aumentare le ripetizioni della sequenza, aiutandosi o meno con il disegno;
[Classe B, Video 4]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede
(05:45) Valeria Ne abbiamo aggiunti altri nove..nove portoni..
(05:58) Valeria Li abbiamo disegnati..
(06:13) Io Ok..e quindi poi li avete contati?
(06:16) Gloria Sì, siamo partiti da 38 e mentre si faceva si continuava a contare e è venuto 78.
(06:29) Jonathan 78 anche noi..
(06:30) Io Il ragionamento?
(06:35) Mario
In pratica con la domanda a) sappiamo che sono 46 i quadratini, sapendo che i quadratini sono otto, da cinque a nove c’è quattro, abbiamo fatto otto per quattro, 32, 46 più 32 fa 78..
• numerose sono state le soluzioni che hanno cercato di sfruttare i dati forniti e la risposta alla domanda precedente, spesso però perdendo il controllo della figura e cadendo in errore. Un esempio evidente è emerso dal PM del "castello":
[Classe B, Video 4]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(07:04) Giada
Inizialmente i portoni sono quattro e i quadratini sono 38. Nella risposta a) i portoni sono cinque e i quadratini sono 46, abbiamo sommato i quadratini della risposta a) con i quadratini iniziali.
Il ragionamento sembra svolgersi esclusivamen- te sul piano aritmetico, senza più basarsi sul disegno.
(08:04) Maria
Noi 84, però s’è fatto 38 per due, che viene otto portoni, più otto, che viene un portone, quindi nove.
A differenza del preceden- te errore, in questo caso c’è l’utilizzo di un BB corretto, presumibilmente del tipo in Figura 3.4.
(10:38) Piero
No perché avanzano... Cioè c’è un’al- tra fila di quadratini lì accanto. Invece di soltanto una fila di quadratini neri ne verrebbero due.
Correzione spontanea dei ragionamenti da parte di un compagno, si veda Figura 4.2.
Figura 4.2: L’accostamento errato che conseguirebbe nel disegno dai ragionamenti riportati nel dialogo precedente.
Un fenomento simile è accaduto nel caso del PM delle "note", dove il dato fornito per 5 ripetizioni ha portato molti alunni, dovendo rispondere al caso di 10 ripeti- zioni, ad usare la moltiplicazione del dato per 2: ciononostante, c’è stato anche chi ha saputo completare questo ragionamento in modo comunque corretto (un esempio nella prossima tabella).
[Classe A, Video 13]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(16:42) Giulia Io ho fatto cinque sta a dieci come 43 sta a "x".
Viene usata la pro- porzione invece che la diretta moltiplica- zione per due.
(16:44) Giulia
Poi ho aggiunto due qua- dratini che servivano per collegare le note.
Presumibilmente ha collegato in questo modo due sequenze uguali a quella proposta nella scheda.
(16:48) Io Perchè hai aggiunto quei
due?
Cerco maggiori
chiarimenti. (16:50) Giulia Perché una nota...
Si ferma qual- che secondo a contare. (16:56) Giulia Era sette quadratini e poi
c’erano due che collegano.
Anche in questi casi dunque, le discussioni conseguenti hanno aiutato a far emergere alcuni errori: in tutte le classi infatti si è prima o poi intrapresa una discussione di stampo meta-matematico volta a capire se le soluzioni numeriche alle domande proposte potessero essere molteplici, arrivando in ogni caso alla conclusione che qualora la risposta sia un numero, nonostante i possibili ragionamenti diversi debba risultare sempre lo stesso. Questo aspetto, unito ad alcuni inviti, qualora necessari, dello sperimentatore a collegare maggiormente il ragionamento fatto al disegno proposto, hanno permesso di arricchire la discussione e condurla verso cambiamenti di opinione e correzioni di proposte;
• altri tentativi hanno riguardato una moltiplicazione diretta tra il numero di ripetizioni di un certo BB scelto e il numero di tasselli che lo compongono: in molti casi però, visto che i PM proposti non possono essere visti come BB ripetuti senza considerare code o sovrapposizioni, queste strategie si sono rivelate errate (un esempio in Figura 4.3). Qualcun altro invece ha prodotto un risultato corretto, ragionando come avevamo previsto nel Capitolo 3 (vedi Figura 3.6) aiutandosi con dei tasselli di coda aggiuntivi che sono stati poi rimossi;
Figura 4.3: La scelta di questi BB per i due PM rispettivamente ha portato a soluzioni errate del tipo 9 · 10 e 14 · 9
• infine, gli studenti che avevano già trovato in precedenza una formula algebrica completa, hanno confermato l’utilizzo della stessa in questo caso particolare, mentre qualcuno, che alla domanda a) aveva risposto senza generalizzazioni, lo ha fatto per rispondere a questa (discuteremo più in dettaglio delle regole generalizzatrici durante l’analisi della fase successiva).
Fase 2: Prime generalizzazioni
Le domande c) di questa seconda fase, che ricordiamo essere come formulazione analoghe a quelle di tipo a) e b), hanno permesso l’arricchimento ulteriore della casistica delle suddivisioni dei PM nonché l’avanzamento maggiore verso soluzioni generali. D’altra parte si è anche assistito ad un aumento delle risposte errate, riconducibile a un sempre più scarso controllo sulla sequenza dal punto di vista visivo. Riassumendo:
• molti tentativi, corretti, si basano su espressioni aritmetiche che sembrano aver assunto già la struttura di una regola algebrica, con l’unica mancanza della variabile. Tali soluzioni si riferiscono a suddivisioni già emerse, come nel caso di chi ha proposto un calcolo, per il PM delle "note", del tipo 9 · 100 − 2 (vedi Figura 3.6) o (100 − 1) · 9+ 7 (vedi Figura 3.8), ma anche a suddivisioni della sequenza del tutto nuove (un esempio in tabella);
[Classe A, Video 18]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(02:14) Rachele
Noi abbiamo moltiplicato cento per sette e dopo abbiamo fatto 99 per due, cioè quei pezzettini li abbiamo moltiplicati per 99, e li abbiamo sommati cioè 700 più 198.
La suddivisione con- siderata è analoga a quella in Figura 3.5.
• un numero elevato di tentativi ha riguardato l’utilizzo dei dati a disposizione, comprese le risposte alle domande precedenti: molti di questi si sono rivelati alla fine errati, come ad esempio un calcolo per il PM del "castello" del tipo (38+ 38) · 10 − 6 · 7, derivante dalla volontà di utilizzare il dato per 4 ripetizioni ma errato nel momento di determinare quali tasselli sovrapposti vadano rimossi; non sono tuttavia mancate discussioni in cui siano emerse prese di coscienza comunitarie di tale erroneità, come l’esempio in tabella, scatenato dalla proposta di calcolo per il PM delle "note" del tipo 88 · 10 − 2.
[Classe C, Video 22]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Commento
(02:26) Antonio
Dal risultato delle dieci note era già stato tolto il numero... I due pezzet- tini della nota... Dell’ultima nota, e quindi moltiplicando poi è stato tol- to pure a... cioè moltiplicando quello non c’era già piú, e poi sottraendo ancora.
Esprime in modo confusio- nario il ragionamento, ma si comprende che l’idea di fondo è corretta: in effet- ti 88 è il risultato per dieci ripetizioni derivante dalla rimozione della coda. (02:43) Io Quindi tu dici che in pratica hanno
tolto troppe volte quei quadratini?
Tentativo di riformulazio- ne.
(02:59) Antonio Sì, quei due, perché se no era 90. (03:03) Sonia Li hanno tolti in pratica dieci volte?
D’altra parte altri tentativi di questo stampo sono risultati fin da subito corretti e ben giustificati (un esempio in Figura 4.4);
Figura 4.4: Un esempio di risposta alla domanda c) per il PM delle "note".
• infine, ancora una volta, gli studenti che avevano già trovato in precedenza una formula algebrica completa, hanno confermato l’utilizzo della stessa in questo caso particolare, mentre qualcuno, che alla domande precedenti aveva risposto senza
generalizzazioni, lo ha fatto per rispondere a questa (discuteremo più in dettaglio delle regole generalizzatrici durante l’analisi della domanda successiva).
Con la domanda d), in generale abbiamo assistito ad un maggiore numero di risposte lasciate in bianco o errate rispetto alle domande precedenti, mentre le soluzioni corrette proposte riguardano per la maggiorparte relazioni algebriche con vari livelli di formalizzazione che tentiamo ora di sintetizzare, partendo dal PM delle "note".
• 9n − 2: ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 3.6; proposta in tutte e tre le classi ed espressa o con la scrittura algebrica formale, con l’utilizzo della variabile n, o in modo narrativo (vedi Figura 4.5);
Figura 4.5:Soluzione espressa in modo discorsivo: il "numero di quadratini" e la "coda" sono, per il risolutore, costanti di valore 9 e 2 rispettivamente.
• 9 · (n − 1)+ 7: ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 3.8; espressa con la scrittura algebrica formale;
• 7n+ 2n − 2: ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 4.6, espressa con la scrittura algebrica formale;
Figura 4.6:Due patterns separati, ma l’ultima ripetizione di uno dei due coincide con la coda da rimuovere.
• 7n+ 2 · (n − 1): ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 3.5; espressa con la scrittura algebrica formale;
• 9 · (n − 5)+ 43: utilizza il dato ottenuto per cinque ripetizioni; espressa come in Figura 4.7.
Figura 4.7:La soluzione è espressa anche mediante l’utilizzo lettere che fungono da costanti.
Analogamente, per il PM del "castello":
• 8n+ 6: ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 3.4; espressa con la scrittura algebrica formale, anche nella variante 8 · (m − 1)+ 6, dove m = n + 1 è stato indicato come il «numero di colonne», ovvero il BB in Figura 4.8;
Figura 4.8: Il BB definito «colonna».
• 8 · (n − 1)+ 14 ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 4.9; espressa con la scrittura algebrica formale;
Figura 4.9: La coda (in giallo) comprende una ripetizione del BB (in azzurro).
• 6m+ 2m − 2, dove m è nuovamente il numero di «colonne», ricollegabile alla scomposizione del PM in Figura 4.10; espressa a voce in modo formale.
Figura 4.10: Due patterns separati, ma l’ultima ripetizione di uno dei due coincide con la coda da rimuovere.
Quelle contenenti relazioni algebriche formalizzate non sono però state le uniche risposte emerse per i due PM dalla domanda d):
• alcune proposte hanno cercato di usare una strategia generalizzante che compren- desse l’utilizzo di variabili, impiegando però, coerentemente con quanto fatto per i quesiti precedenti, lo strumento delle proporzioni, nonché una variabile aggiuntiva come incognita (un esempio per il PM delle "note" è riportato nella tabella seguente);
[Classe A, Video 18]
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(11:50) Cristina Io ho fatto 45 quadretti, che mi servono per 5 note.
Ha aggiunto al PM altri due tas- selli per avere i BB tutti uguali (Figura 3.6). (11:55) Cristina
Sta a cinque note come x, cioè il numero che devo trovare.
Scrive la propor- zione:
45 : 5= x : ... (12:02) Io Hai chiamato "x" il numero
delle note?
(12:06) Cristina No, il numero dei quadretti. x è un’incognita.
(12:16) Cristina Come x sta al numero di note, le note che ho.
Aggiunge: n◦di note.
(12:43) Cristina Ah aspetta... Tutto meno due!
Mette la pro- porzione tra pa- rentesi, alla cui destra aggiunge "meno due". In questo mo- do l’incognita x non rappresenta più esattamente il risultato cercato.
Tempo Chi parla Cosa viene detto Cosa succede Commento
(13:04) Io Quindi, calcoli?
(13:06) Cristina 45 per il numero di note diviso 5, poi tolgo due.
Il ragionamento si rivela qualcosa di analogo a 9n − 2.
• qualche studente ha risposto risolvendo il problema per un caso particolare a scelta, in modo corretto o meno, fornendo dunque una risposta numerica senza alcun segno di generalizzazione.
In ogni classe l’incontro si è svolto con tempistiche dilatate, tali da preferire il rinvio delle discussioni sull’equivalenza alla prima fase del secondo incontro.