Anno: 3 Periodo:2 Lezioni, esercitazioni, laboratori: 6+2+2 (ore settimanali) Docente: Claudio Canuto
Il corso ha lo scopo di preparare gli allievi alla risoluzione numerica di modelli matematici di interesse ingegneristico.
Il corso consta di due parti logicamente distinte, che possono essere svolte in maniera temporalmente integrata. Nella prima parte, avente carattere istituzionale, vengono visitati i luoghi classici dell'analisi numerica di base, attraverso la descrizione e la valutazione critica degli algoritmi e delle metodologie numeriche più importanti. La seconda parte, di tipo monografico, è volta alla formulazione di qualche semplice ma significativo modello matematico, all'analisi delle sue proprietà, alla scelta di una o più tecniche di discretizzazione numerica, alla loro analisi numerica e alla conseguente implementazione su calcolatore.
REQUISITI
l corsi di matematica e fisica del biennio. Capacità di programmare algoritmi di tipo matematico in uno dei linguaggi FORTRAN, C, PASCAL.
PROGRAMMA Parte istituzionale
Vari tipi di errore nel trattamento numerico di problemi matematici. [l ora]
Metodi diretti per la risoluzione di un sistema lineare: sostituzione in avanti e all'indietro; metodo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LV di una matrice; pivoting, scaling ed effetto del condizionamento della matrice, propagazione degli errori; metodo di Choleski, cenno ad altri metodi di fattorizzazione, fattorizzazione di matrici simmetriche, a banda, sparse; calcolo dell'inversa di una matrice. [8 ore]
Metodi iterativi per la risoluzione di sistemi lineari: generalità sulla convergenza di metodi iterativi; metodi di Jacobi, Gauss-Seidel e rilassamento, esempi; metodo di Richardson, cenno ai metodi multi-grid; metodi di discesa: gradiente semplice, gradiente coniugato e generalizzazioni; cenno al problema del precondizionamento di una matrice. [9 ore]
Altri metodi per la risoluzione di sistemi lineari: matrici di riflessione di Householder, fattofizzazione QR di una matrice; metodo dei minimi quadrati: formulazione, equazioni normali, decomposizione QR del sistema. [3 ore]
Calcolo di autovalori e autovettori di matrici: metodi del tipo potenza e varianti; cenno ai metodi di Jacobi e Givens; forma di Hessemberg di una matrice; metodo QR; cenno al metodo di Lanczos; cenno alla decomposizione in valori singolari di una matrice e alla pseudo-inversa di Moore-Penrose [5 ore]
Risoluzione di equazioni e sistemi nonlineari: teoremi di punto fisso e condizioni di convergenza, ordine di convergenza di un metodo iterativo; metodi delle corde, delle secanti, di Newton; metodi di accelerazione; metodi per il calcolo di zeri di polinomi; cenno al legame con i metodi di ottimizzazione. [5 ore]
Approssimazione di funzioni: interpolazione di Lagrange e di Hermite mediante poli-nomi algebrici; stima dell'errore; fenomeno di Runge e problema della scelta dei nodi;
polinomi ortogonali e loro zeri; approssimazione mediante funzioni spline; cenno ad altri tipi di approssimazione (trigonometrica, razionale). [5 ore]
Derivazione e integrazione numerica: formule di derivazione numerica su nodi equi-spaziati e non; formule di Newton-Cotes; formule Gaussiane; formule composite; stime dell'errore; scelta automatica delle formule, [4 ore]
'Equazioni differenziali ordinarie: generalità; metodi a un passo, espliciti e impliciti, esempi; errore locale di troncamento e di discretizzazione; ordine del metodo, consistenza e convergenza, influenza degli errori di arrotondamento; metodi di Runge-Kutta; metodi multipasso, esempi; consistenza, ordine, zero-stabilità e convergenza; metodi predictor-corrector; il problema della stabilità assoluta; metodi per sistemi stiff;scelta automatica del passo e dell'ordine della formula. [lO ore]
Equazioni alle derivate parziali: generalità; problemi ai valori al bordo e iniziali; pro-blemi ellittici, parabolici, iperbolici; esempi; metodi alle differenze finite; introduzione al metodo degli elementi finiti: formulazione variazionale del problema; metodi di proiezione di Galerkin; concetto di triangolazione; elementi finiti lineari, quadratici, etc.; matrice elementare di rigidità e di massa; assemblaggio delle matrici globali e loro proprietà; cenno alle stime dell'errore e ai metodi adattativi; esempi. [IO ore]
Parte monografica
Il modello matematico considerato viene tratto o dalla meccanica dei continui solidi, o dalla fluidodinamica, o dalla termodinamica. La scelta può variare di anno in anno, anche tenendo conto di eventuali suggerimenti e interessi applicativi prevalenti tra gli studenti. [12 ore]
ESERCITAZIONI
Le esercitazioni mirano a dare allo studente le capacità di utilizzare in pratica gli algoritmi visti a lezione. Per ognuno degli argomenti svolti a lezione vengono forniti esempi, eventualmente contro-esempi, vengono illustrati nel dettaglio casi particolari o situazioni singolari.
Alcuni esercizi richiedono soltanto una elaborazione matematica da parte dello studente, altri esercizi conducono alla scrittura di brevi programmi da implementarsi su calcolatore. Per i problemi più complessi, si farà uso di software di libreria; infatti, uno degli obiettivi delle esercitazioni èquello di fornire allo studente gli strumenti di valutazione e scelta per usare al meglio i grandi pacchettisoftware ora ampliamente disponibili.
BIBLIOGRAFIA Testi di riferimento:
G. Monegato, Fondamenti di calcolo numerico, Levrotto & Bella, Torino, 1989.
V. Comincioli, Analisi numerica: metodi, modelli, applicazioni, McGraw-Hill, Milano, 1995.
Testi ausiliari:
C.Johnson, Numerical solution of partial differential equations bythe finite element method, Cambridge Univo Press, 1990.
ESAME
Sono possibili due modali'tà di esame:
l. La preparazione di due relazioni durante il semestre, volte alla risoluzione numerica di problemi assegnati dal docente, permette di accedere a una forma più rapida di accer-tamento finale, consistente nella discussione dei contenuti delle due relazioni, seguita da un breve colloquio orale su altri argomenti del corso. Le relazioni possono essere svolte in gruppo, fino a un massimo di tre studenti per gruppo, mentre l'accertamento finale è sempre individuale. Questa modalità di esame è valida soltanto per tutte le sessioni di esame che si tengono nello stesso anno solare in cui lo studente ha frequentato il corso.
2. Chi non ha preparato le due relazioni durante il semestre di frequenza, oppure sostiene l'esame in un anno solare successivo all'anno di frequenza, accede alla forma tradizionale di accertamento finale, consistente in un articolato colloquio orale sugli argomenti del corso.