I pesi di decisione

In prospect theory, la valutazione di una lotteria tiene conto sia del valore soggettivo degli esiti, espresso dalla funzione v(·), sia della funzione peso di decisione π(·), secondo le due equazioni (4.1) e (4.2). Una prima osservazione che emerge dal paradosso di Allais e di Ellsberg, e da diversi esperimenti di Kahneman e Tversky `e che, in generale,

π(p) 6= p :

i pesi dei valori non possono essere probabilit`a, altrimenti non si spieghe- rebbero le inversioni sistematiche delle preferenze dei soggetti sperimentali, quando le probabilit`a di tutti gli esiti non-nulli di una lotteria sono scalate uniformemente.

`

E ragionevole supporre che la funzione π(·) che sia crescente rispetto alla probabilit`a: se p < q, allora π(p) < π(q). Poich´e gli esiti impossibili sono del tutto trascurati nella valutazione di una lotteria, π(0) = 0; inoltre, la scala `e normalizzata, in modo che π(1) = 1 (ci`o si ottiene, naturalmente, se π(p) `e il rapporto tra il peso della probabilit`a p e il peso dell’evento certo).

Con le assunzioni sulla concavit`a di v(·) e i dati dei problemi 8 e 80 di [21], si pu`o caratterizzare meglio il comportamento di π(·) sulle basse probabilit`a. In particolare, sia il problema 8, sia il problema 80 indicano che

π(0.001) π(0.002) >

1 2,

se si usa l’equazione (4.2) e si tiene conto delle concavit`a di v(·) sulle vincite e sulle perdite. La diseguaglianza precedente naturalmente equivale a

π(0.001 + 0.001) < π(0.001) + π(0.001),

il che suggerisce che che π(·) sia subadditiva, almeno sulle basse probabilit`a. D’altra parte, nei problemi 7 e 70 i soggetti sperimentali mostrano prefe- renze inverse a 8 e 80; ci`o che cambia in 7 e 70 sono le probabilit`a degli esiti non nulli, 90 volte pi´u alte. Stavolta la concavit`a di v(·) non aiuta e non si pu`o dire nulla sui pesi di decisione: se le probabilit`a non sono molto basse (ad esempio sono 45% e 90%, come in questo caso), la subadditivit`a non `e

garantita.

Kahneman e Tversky fanno anche due esperimenti che riproducono il funzionamento dei biglietti del lotto (vincita alta, bassa probabilit`a) e del- le assicurazioni (perdita sicura del premio, ma protezione contro danni ad alto impatto e bassa probabilit`a). Nei problemi 14 e 140, la vincita attesa eguaglia il costo del biglietto del lotto, e la perdita attesa eguaglia il premio assicurativo:

(5000, 0.001) o (5, 1) (−5000, 0.001) o (−5, 1).

Ciononostante, le preferenze della maggior parte dei soggetti sperimentali sono per la lotteria rischiosa nel primo caso (propensione al rischio su una vincita) e per la lotteria sicura nel secondo (avversione al rischio su una per- dita): cio`e queste persone, a queste condizioni, giocherebbero al lotto, ma stipulerebbero l’assicurazione.

Se i pesi di decisione non alterano le probabilit`a, i risultati di questi esperimenti non sono coerenti con il modello elaborato finora, che prevede avversione al rischio sulle vincite e propensione al rischio sulle perdite. Kah- neman e Tversky ipotizzano allora che i pesi delle probabilit`a molto basse siano maggiori delle probabilit`a stesse, cio`e

π(p) > p se p `e molto bassa. (4.3) In questo modo, si riesce a rendere ragione delle preferenze dei soggetti spe- rimentali mantenendo l’ipotesi sulla concavit`a di v(·). Chiamiamo l’effetto descritto dall’equazione (4.3) iperponderazione delle basse probabilit`a. Notia- mo che non `e la stessa cosa della sopravvalutazione delle probabilit`a degli eventi rari, fenomeno tipico delle decisioni in condizioni di incertezza. Nei problemi 14 e 140 i soggetti sperimentali sono sempre di fronte a probabilit`a numeriche ben definite, e non si fa menzione dell’evento a cui queste probabi- lit`a sono associate: ci`o che avviene, `e che tali probabilit`a sono pesate pi´u del normale. La sopravvalutazione delle probabilit`a degli eventi rari, invece, agi- sce in molti contesti di incertezza, ad esempio le assicurazioni contro eventi catastrofici imprevedibili. Se la televisione ha dato notizia di un terremoto, diciamo, in Australia, la popolazione di una zona sismicamente “sicura” ten- der`a a stipulare un’eventuale assicurazione contro il terremoto, pure con un

premio molto alto: cos´ı facendo, dimostra di sopravvalutare la probabilit`a (del resto sconosciuta) che un terremoto la colpisca. L’iperponderazione del- le basse probabilit`a, invece, fa s´ı che siano stipulate assicurazioni con premi molto alti anche quando le probabilit`a del danno sono note; il peso che queste probabilit`a hanno nella decisione, infatti, `e maggiore di quello che dovreb- bero avere secondo il modello dell’utilit`a prevista. Ovviamente, i due effetti possono agire insieme, rendendo le persone ancora pi´u avverse al rischio di un grosso danno, per quanto poco probabile.

Un’ulteriore caratteristica della funzione π(·) serve a spiegare il com- portamento dei soggetti sperimentali di fronte al paradosso di Allais (e ai problemi di [21] che ne riproducono la struttura, ad esempio 1 e 2). Si tratta dell’ipotesi che per ogni p ∈ ]0, 1[ valga

π(p) + π(1 − p) < 1

(come abbiamo visto, π(·) non `e ovunque subadditiva, sicch´e questa non `e una conseguenza della subadditivit`a). Kahneman e Tversky chiamano questa caratteristica di π(·) subcertezza: essa ha naturalmente a che fare con la sopravvalutazione della certezza, per cui un evento certo non `e la stessa cosa che la somma di due eventi “soltanto probabili”, anche se la probabilit`a dei due eventi somma a uno.

Infine, una caratteristica pi´u “tecnica”, che serve per`o a render ragione dei mutamenti nelle preferenze dei soggetti sperimentali, quando le probabilit`a degli esiti non-nulli sono scalate. `E quella che Kahneman e Tversky chiamano subproporzionalit`a:

π(pq) π(p) ≤

π(pqr) π(pr)

per tutti i p, q, r ∈ ]0, 1[. Il rapporto tra i pesi di decisione di due probabilit`a `

e tanto maggiore, quanto minori sono le probabilit`a. Ci`o permette di spiegare varie violazioni dell’assioma di sostituibilit`a, perch´e giustifica il fatto che, se (x, p) ∼ (y, pq), allora (x, pr) ≺ (y, pqr).

Nella figura 4.4 `e tracciato un possibile grafico della funzione π(·) che tenga conto di tutte queste caratteristiche. Le probabilit`a basse (ma non sappiamo con precisione quanto basse) sono minori dei loro pesi di decisione, cio`e sono iperponderate, mentre le probabilit`a medio-alte hanno un impatto

0 1 Probabilit`a 1 Peso di decisione 0.5 0.5 π(x)

Figura 4.4: Un’ipotetico grafico di π in accordo con prospect theory.

ridotto sulle decisioni. In sostanza, il cambiamento delle probabilit`a presen- tate nelle lotterie non comporta un cambiamento proporzionale dei pesi di decisione (subcertezza). Agli estremi, sappiamo che π(0) = 0 e π(1) = 1, ma l’effetto della certezza fa s´ı che il passaggio da una probabilit`a molto alta, come 0.99, alla sicurezza, sia un salto brusco. (Un effetto analogo, na- turalmente, si verifica nel passaggio da una probabilit`a molto bassa, come 0.01, all’impossibilit`a.) Questi “salti bruschi” sono rappresentati graficamen- te dalle discontinuit`a della funzione π(·) agli estremi. Notiamo anche che, nonostante l’iperponderazione delle basse probabilit`a, π(·) `e comunque una funzione crescente delle probabilit`a.

La caratteristica distintiva della funzione peso di decisione, in ogni caso, `

e la non-linearit`a rispetto alle probabilit`a. Questa caratteristica dei pesi di decisione, inevitabile in qualsiasi modello descrittivo che voglia tener con-

to degli esperimenti di [21] e analoghi, ha delle conseguenze importanti. La pi´u rilevante `e che la valutazione delle lotterie delineata in prospect theory pu`o non rispettare la dominanza stocastica: infatti, in certi casi l’equazione (4.2) per le lotterie miste, pi´u la non-linearit`a di π(·) implica violazioni di dominanza (vedi la sezione 4.5). L’assunzione fatta precedentemente, che le alternative dominate siano escluse dalla valutazione gi`a a partire dalla fase di editing, gioca allora un ruolo di fondamentale importanza, se si vuole che la dominanza stocastica di prim’ordine sia rispettata (almeno su coppie di lotterie).

In conclusione, `e opportuno ribadire che i pesi di decisione delineati fin qui non servono a misurare gradi di convinzione. Sono, abbiamo visto, distorsioni di probabilit`a note, cio`e di valori numerici forniti nei questionari durante gli esperimenti. La non-linearit`a dei pesi rispetto alle probabilit`a pu`o dipendere da una grande variet`a di fattori, non ultima la possibile difficolt`a dei soggetti sperimentali a lavorare con probabilit`a numeriche (e dall’altra parte una cer- ta facilit`a a rappresentarsi vincite o perdite sicure). Di conseguenza, anche le tendenze osservate nell’approccio al rischio vanno contestualizzate al tipo specifico di problema che gli esperimenti propongono.

Quello che abbiamo presentato `e il modello originale di prospect theory, da [21]. Come si `e visto, esso cerca di tenere conto di un certo numero di fenomeni diversi, e di conseguenza `e piuttosto articolato. Anche se `e stato presentato per una classe abbastanza specifica di problemi di decisione in condizioni di rischio (soltanto lotterie monetarie con al pi´u due esiti non- nulli), si pu`o estendere facilmente a trattare un’ampia gamma di situazioni decisionali, con esiti anche non monetari, ma con probabilit`a note. Alcune di queste estensioni saranno discusse nel capitolo successivo.

Nelle sezioni finali di questo capitolo, sono presentati due fenomeni speri- mentali interessanti, perch´e in contraddizione sia con il modello classico, sia con vari modelli alternativi. prospect theory riesce a rendere conto di questi fenomeni, ed `e un successo sul piano della descrizione del comportamento rea- le delle persone. Tuttavia, entrambi sono fenomeni in cui il comportamento delle persone reali `e irrazionale sotto ogni punto di vista; perci`o, si tratta di comportamenti normativamente inaccettabili. Ci`o esclude categoricamente

un possibile valore normativo della teoria di Kahneman e Tversky. Il primo fenomeno presentato `e la violazione della dominanza stocastica, il secondo la violazione del principio di invarianza o estensionalit`a.