PINGU: analisi statistica della sensibilit` a alla gerarchia

della sensibilit`a alla gerarchia

Come già anticipato nella sezione precedente (Sez. 4.3), la sensibilità alla gerarchia dell’esperimento PINGU (Sez. 2.4.3) può essere stimata mediante una analisi statistica, assumendo come vera una delle due gerarchie (normale, NH, o inversa, IH) e confrontando il numero di eventi atteso nella gerarchia “vera” con quello atteso nella gerarchia opposta di “test”. Nella sezione precedente è stata stimata la sensibilità alla gerarchia di PINGU fissando i parametri di oscillazione ai valori numerici indicati nella (4.2) e trascurando le incertezze sistematiche. Sulla base di tali assunzioni è stato evidenziato come la risoluzione finita del rivelatore limiti fortemente la significatività della determinazione della gerarchia. Sommando su eventi di tipo µ e di tipo e, si è infatti stimata una significatività di ∼ 27σ nel caso ideale (rivelatore con risoluzione perfetta) e ∼ 7.5σ nel caso realistico (rivelatore con risoluzione finita). Nel seguito di questa sezione verrà stimata la sensibilità alla gerarchia dell’esperimento PINGU nel caso realistico di risoluzione finita, e tenendo anche conto delle incertezze dei valori numerici dei parametri di oscillazione (Sez. 1.2) e di alcune incertezze sistematiche legate alle caratteristiche del rivelatore e alla modellizzazione dei processi fisici coinvolti.

Rispetto alla sezione precedente, è necessario definire una opportuna distribuzione statistica χ2, e minimizzare quest’ultima rispetto alle variazioni dei parametri di oscillazione e degli errori sistematici (questa operazione è tecnicamente detta di “marginalizzazione”), sicché la significatività della determinazione della gerarchia è data da nσ = pχ2

min , ove χ2 min `e il minimo della distribuzione χ2 considerata. La distribuzione χ2, in particolare, sar`a data dalla

4.4 PINGU: analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia 115

somma di tre contributi. Il primo contributo sar`a ottenuto confrontando il numero di eventi atteso nella gerarchia vera (calcolato per parametri di oscillazione fissati ed in assenza di errori sistematici) con il numero di eventi atteso nella gerarchia test (calcolato al variare dei parametri di oscillazione e degli errori sistematici). Il secondo e il terzo contributo imporranno invece dei vincoli statistici (cosiddette “funzioni di penalizzazione”) alle variazioni dei parametri di oscillazione e degli errori sistematici.

Per quanto concerne l’inclusione nell’analisi statistica delle incertezze dei parametri di oscillazione, per ciascun parametro occorre definire un valore “vero” (true) di riferimento, un’incertezza σ e un intervallo di variabilità entro cui sono consentite le variazioni di tale parametro. Poiché è stato verificato che, come ci si aspetta da quanto osservato nei Cap. 2 e 3, le variazioni dei parametri solari δm²e ϑ12incidono solo marginalmente sui risultati dell’analisi, queste sono state trascurate ponendo ovunque δm² e s²₁₂ ai rispettivi valori veri indicati nella (4.2). Per i parametri ∆m², ϑ₁₃ e δ si sono assunti come valori veri i valori numerici indicati nella (4.2). Per ∆m² e s²₁₃ si è poi posto σ (∆m²) = 0.06 × 10⁻³ eV² e σ (s²₁₃) = 0.002, in accordo con gli intervalli di confidenza a 1σ indicati in Tab. 1.1, e si sono considerati come intervalli di variabilità gli intervalli a ±3σ centrati nei rispettivi valori veri. La fase δ, ad oggi sconosciuta, è stata invece lasciata libera nell’intero intervallo [0, 2π]. Per ϑ₂₃ sono state infine considerate le due possibili situazioni corrispondenti a ϑ₂₃ nel primo ottante (ϑ₂₃< π/4) o nel secondo ottante (ϑ₂₃ > π/4). Per ϑ₂₃ nel primo (secondo) ottante si è assunto come valore vero di riferimento s2

23 = 0.44 (s2

23 = 0.56). Come intervallo di variabilit`a di s2

23 `e stato poi scelto l’intervallo [0.3, 0.7], che comprende l’intero intervallo di confidenza a 3σ indicato in Tab. 1.1 (NH e IH), al fine di indagare la sensibilit`a di PINGU all’ottante di ϑ₂₃ (si veda il seguito).

Nell’analisi statistica effettuata sono stati inclusi quattro rilevanti errori sistematici, due legati al calcolo dei flussi dei neutrini atmosferici e due legati alle caratteristiche del rivelatore. Per quanto riguarda il calcolo dei flussi dei neutrini atmosferici, si `e considerato un errore sistematico del 5% sulla stima del rapporto tra i flussi di neutrini muonici ed elettronici (φνµ+ φνµ)/(φνe + φνe) (σ_µ/e = 0.05), e un errore del 6% sulla stima del rapporto tra i flussi di antineutrini e neutrini (φ_ν_e + φ_ν_µ)/(φ_ν_e + φ_ν_µ) (σ_ν/ν = 0.06) [115], in accordo con la stima degli errori sistematici nella Sez. 2.1. Per le incertezze legate alle caratteristiche del rivelatore, si `e poi considerato un errore sistematico del 15% sulla normalizzazione del numero di eventi (σ_norm = 0.15), il quale tiene conto delle incertezze nella stima del volume efficace del rivelatore e dei flussi assoluti dei neutrini atmosferici, e un errore sistematico dell’8% sul rapporto tra il numero di eventi di tipo µ e di tipo e (N_µ/N_e), che tiene conto di possibili ricostruzioni errate del flavor (e, µ) dei neutrini rivelati (σ_(µ/e)_R = 0.08). Nel contesto dell’analisi statistica, per

ciascuna incertezza sistematica occore introdurre una “variabile” ξ ξ_µ/e, ξ_ν/ν, ξ_norm, ξ_(µ/e)_R, rispetto alla quale sarà minimizzata la distribuzione χ2 (si veda il seguito). Le incertezze sistematiche sono incluse nell’analisi in maniera tale che a ξ = 0 (valore vero) sia associata l’assenza dell’errore sistematico corrispondente. Per ciascuna incertezza sistematica, l’intervallo di variabilità della variabile ξ corrispondente è poi definito convenzionalmente come l’intervallo a ±3σ centrato attorno al valore vero ξ = 06.

Prima di introdurre la distribuzione statistica χ2 che misura la sensibilit`a alla gerarchia dell’esperimento PINGU, `e conveniente definire i vettori ~λ e ~λ⁰ come

~_{λ =}∆m2, s²₂₃, s²₁₃ , δ, ξ_µ/e, ξ_ν/ν, ξ_norm, ξ_(µ/e)_R

, (4.20a)

~_λ0

=∆m2, s²₂₃, s²₁₃ , δ, ξ_µ/e, ξ_ν/ν . (4.20b) Il vettore ~λ contiene i parametri di oscillazione (∆m2, s2

23, s2

13, δ) e le variabili sistematiche (ξ_µ/e, ξ_ν/ν, ξ_norm, ξ_(µ/e)_R) rispetto alle quali sarà minimizzata la distribuzione χ2. In Tab. 4.1 sono riportati i valori veri (true), le incertezze σ e gli intervalli di variabilità considerati per ciascuna componente del vettore ~λ (si veda sopra). Il vettore ~λ⁰ è ottenuto da ~λ eliminando le ultime due componenti (gli errori di normalizzazione ξ_norm e ξ_(µ/e)_R) per motivi di convenienza futura [si veda l’Eq. (4.23)].

Introdotto il parametro

h = sign ∆m² , (4.21)

che identifica il tipo di gerarchia (+ per gerarchia normale, NH; − per gerarchia inversa, IH), e considerato il caso realistico di risoluzione finita [Eq. (4.14)], il numero di eventi atteso (per eventi di tipo µ e di tipo e) nella gerarchia vera (h_true) `e definito, per parametri di oscillazione fissati ed in assenza di incertezze sistematiche, come

N_α^true = N_αh_true, ~λ⁰_true, δm²_true, s²₁₂_true (α = e, µ) , (4.22) ove ricordiamo che i valori numerici veri (true) del vettore ~λ⁰ [Eq. (4.20b)] sono riportati in Tab. 4.1, mentre i valori veri (true) dei parametri δm² e s²₁₂ sono indicati nella (4.2).

Il numero di eventi atteso (per eventi di tipo µ e di tipo e) nella gerarchia test (h_test) è invece calcolato, nel caso realistico di risoluzione finita [Eq. (4.14)], al variare dei parametri di oscillazione e degli errori sistematici entro i rispettivi intervalli di variabilità, indicati in 6Intervalli più ampi per la variazione degli errori sistematici e dei parametri di oscillazione non incidono in maniera significativa sui risultati, ma rallentano notevolmente l’analisi statistica condotta tramite tecniche Monte Carlo (MC).

4.4 PINGU: analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia 117

λ_i (i = 1, . . . , 8) Valore vero (true) σ Intervallo di variabilit`a

∆m2 2.4 × 10⁻³ eV² 0.06 × 10⁻³ eV² ±3σ sin²ϑ13 0.0237 0.002 ±3σ sin²ϑ₂₃ 0.44 oppure 0.56 – 0.3 − 0.7 δ 1.5π – 0 − 2π ξ_µ/e 0 5% (0.05) ±3σ ξ_ν/ν 0 6% (0.06) ±3σ ξ_norm 0 15% (0.15) ±3σ ξ_(µ/e)_R 0 8% (0.08) ±3σ

Tabella 4.1: Valori veri (true) di riferimento, incertezze σ ed intervalli di variabilit`a considerati nell’analisi statistica per ciascuna componente del vettore ~λ definito in Eq. (4.20a) (si veda il testo).

Tab. 4.1, ed `e perci`o definito come N_µ^test~λ = (1 + ξ_norm) 1 + ^ξ^(µ/e)R 2 N_µh_test, ~λ⁰, δm² true, s²₁₂ true , (4.23a) N_e^test~λ = (1 + ξ_norm) 1 − ^ξ^(µ/e)R 2 N_eh_test, ~λ⁰, δm² true, s²₁₂ true , (4.23b)

ove, se non diversamente specificato, si intende h_test = −h_true. Le incertezze sistematiche relative ai rapporti tra i flussi dei neutrini atmosferici (φ_ν_µ+ φ_ν_µ)/(φ_ν_e+ φ_ν_e) e (φ_ν_e+ φ_ν_µ)/(φ_ν_e+ φ_ν_µ) (corrispondenti alle variabili sistematiche ξ_µ/e e ξ_ν/ν) sono incluse nel calcolo del numero di eventi atteso nella gerarchia test moltiplicando i flussi dei neutrini atmosferici (φ_ν_e, φ_ν_e, φ_ν_µ, φ_ν_µ) per i fattori corrispondenti alle sostituzioni

φνµ+ φνµ φ_ν_e+ φ_ν_e → ^φ^νµ+ φνµ φ_ν_e + φ_ν_e ^{1 + ξ}^µ/e ' ^φ^νµ+ φ_ν_µ 1 + ξ_µ/e/2 (φ_ν_e + φ_ν_e) 1 − ξ_µ/e/2 ^, ^(4.24a) φ_ν_e + φ_ν_µ φ_ν_e + φ_ν_µ → ^φ^νe + φ_ν_µ φ_ν_e + φ_ν_µ ^{1 + ξ}^ν/ν ' ^φ^νe+ φ_ν_µ 1 + ξ_ν/ν/2 φ_ν_e + φ_ν_µ 1 − ξ_ν/ν/2 ^. ^(4.24b) Possiamo ora definire la distribuzione statistica χ², che misura la sensibilit`a alla gerarchia dell’esperimento PINGU, come

χ² = χ²_stat+ χ²_para+ χ²_sist . (4.25)

Come anticipato in precedenza, essa `e data dalla somma di tre diversi contributi: il contributo statistico χ2

χ2

para che vincola le variazioni dei parametri di oscillazione, ed il contributo χ2

sist che vincola le variazioni degli errori sistematici considerati. Nel dettaglio, il contributo statistico χ2

stat `e ottenuto sommando su eventi di tipo µ e di tipo e, ed `e quindi dato da

χ²_stat~λ = X α=e,µ 10 X i=1 16 X j=1  

N_α,ij^test~λ − Ntrue α,ij q Ntrue α,ij   2 , (4.26)

ove il numero di eventi atteso nella gerarchia vera Ntrue

α (α = e, µ) `e definito nella (4.22), mentre il numero di eventi atteso nella gerarchia test Ntest

α (α = e, µ) `e definito nella (4.23). Il contributo χ2

para `e invece dato dalle funzioni di penalizzazione:

χ²_para ∆m², s²₁₃ =^∆m 2− (∆m2)_true σ (∆m2) 2 + s2 13− (s2 13)_true σ (s2 13) 2 , (4.27)

ove i valori veri (true) e le incertezze σ dei parametri ∆m² e s²₁₃ sono riportati in Tab. 4.1. Si noti che nella (4.27) non è stato imposto alcun vincolo né sulla fase δ, essendo ad oggi sconosciuto il suo reale valore, né sul parametro s²₂₃, poiché si vuole indagare la sensibilità di PINGU all’ottante di ϑ₂₃ senza introdurre a priori alcuna informazione supplementare (si veda il seguito). Infine, il contributo χ2

sist `e dato da

χ²_sist ξ_µ/e, ξ_ν/ν, ξ_norm, ξ_(µ/e)_R =^ξ^µ/e σ_µ/e 2 + ξ_ν/ν σ_ν/ν 2 + ξ_norm σ_norm 2 + ξ_(µ/e)_R σ_(µ/e)_R 2 , (4.28) ove le incertezze σ associate a ciascun errore sistematico sono riportate in Tab. 4.1.

La sensibilit`a alla gerarchia dell’esperimento PINGU viene infine definita minimizzando, tramite simulazioni Monte Carlo (MC), la distribuzione statistica χ2 [Eq. (4.25)] rispetto a ciascuna componente del vettore ~λ [Eq. (4.20a) e Tab. 4.1]. Difatti, fissata la gerarchia vera (normale, NH, o inversa, IH) e fissato l’ottante vero di ϑ₂₃ (primo, s2

23 = 0.44, o secondo, s²₂₃ = 0.56), la gerarchia opposta di test risulta sfavorita rispetto alla gerarchia vera ad un livello di significativit`a pari a nσ =pχ2

min, ove si `e posto

χ²_min= min~_λ χ²~λ = min~_λ χ²_stat+ χ²_para+ χ²_sist . (4.29) In Tab. 4.2 sono riportati i risultati dell’analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia dell’esperimento PINGU, ottenuti assumendo un periodo di osservazione pari a 5 anni e distinguendo il tipo di gerarchia assunta come vera (NH o IH) e l’ottante di riferimento (vero) di ϑ₂₃(primo ottante, s2

23= 0.44, oppure secondo ottante, s2

23= 0.56). Dalla tabella emerge che la sensibilità alla gerarchia di PINGU è tipicamente di ∼ 3σ, e che può essere > 4σ nel caso più

4.4 PINGU: analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia 119

NH, 1oct NH, 2oct IH, 1oct IH, 2oct

nσ 2.73σ > 4σ 3.30σ 3.03σ

Tabella 4.2: Risultati dell’analisi statistica della sensibilità alla gerarchia dell’esperimento PINGU, relativi ad un tempo di osservazione di 5 anni. I risultati sono ottenuti distinguendo la gerarchia vera (normale, NH, o inversa, IH) e l’ottante vero di ϑ23 (primo, 1oct, o secondo, 2oct). La significatività della determinazione della gerarchia è definita in termini del numero di deviazioni standard nσ =pχ2

min, ove χ2

min`e dato dalla (4.29).

favorevole corrispondente a gerarchia normale vera e secondo ottante vero, in cui si riscontra il massimo numero di eventi. Studi analoghi effettuati dalla collaborazione dell’esperimento PINGU [82] forniscono risultati in parte più ottimistici rispetto a quelli riscontrati nella nostra analisi, come si evince dal confronto della Tab. 4.2 e della Fig. 2.19(b). In tale figura è indicata, in particolare, la significatività stimata della determinazione della gerarchia per ϑ₂₃ fisso nel primo ottante (linea rossa corrispondente al caso più pessimistico) e ϑ₂₃ fisso nel secondo ottante (linea verde corrispondente al caso più ottimistico). Nella nostra analisi, invece, ϑ23non `

e fissato a priori, ma è determinato dall’esperimento stesso (tecnicamente, è “marginalizzato” nella distribuzione χ²; si veda sopra). Questa è una differenza sostanziale, in quanto fissare ϑ₂₃ a priori o lasciarlo libero produce una notevole variazione della sensibilità alla gerarchia; in particolare, se l’esperimento PINGU non è in grado da solo di determinare l’ottante di ϑ₂₃ con una buona precisione (si veda il seguito), la sua sensibilità alla gerarchia sarà sempre prossima al caso più pessimistico, corrispondente a ϑ₂₃ fisso nel primo ottante [linea verde in Fig. 2.19(b)]. È dunque conveniente studiare separatamente la sensibilità di PINGU ai parametri di oscillazione.

L’approccio statistico discusso in questa sezione pu`o essere utilizzato per stimare la sensibilit`a di PINGU ai parametri di oscillazione (∆m2, s2

23, s2

13, δ)7. In questo caso, non si deve pi`u confrontare il numero di eventi atteso nelle due gerarchie, ma fissare a priori il tipo di gerarchia, imponendo h_test= h_true nel contributo statistico χ2

stat in Eq. (4.26). Le regioni di confidenza in un qualsiasi piano bidimensionale sono poi ottenute fissando un punto del piano e minimizzando tramite simulazioni MC la distribuzione χ2 rispetto ai restanti parametri di oscillazione e alle variabili sistematiche (Tab. 4.1), sicché per ogni punto la significatività è nσ =pχ2− χ2

min, ove χ²_min `e il minimo della nuova distribuzione χ².

In Fig. 4.6 sono mostrate le regioni di confidenza a 1, 2 e 3σ nel piano (sin²ϑ₂₃, ∆m2), 7Non è possibile stimare la sensibilità di PINGU ai parametri di oscillazione solari δm2 e ϑ12, poiché si trascurano le relative incertezze (si veda la discussione precedente).

stimate per l’esperimento PINGU assumendo un tempo di osservazione di 5 anni. In figura, ciascun pannello è riferito ad un diverso caso d’esame: i pannelli in alto (basso) sono stati ottenuti assumendo vera la gerarchia normale (inversa), mentre quelli di sinistra (destra) sono stati ottenuti assumendo vero il primo (secondo) ottante di ϑ₂₃. Dal confronto della Fig. 4.6 con i valori numerici indicati in Tab. 1.1 emerge che, nei quattro casi considerati, gli intervalli di confidenza stimati per il parametro ∆m2 (Fig. 4.6) sono più restrittivi degli intervalli di confidenza ottenuti dall’analisi globale attaule degli esperimenti di oscillazione (Tab. 1.1). In particolare, definita l’accuratezza media a 1σ come 1/6 della larghezza dell’intervallo di confidenza a 3σ, dalla Fig. 4.6 si stima per PINGU una precisione di ∼ 1% sul parametro ∆m², mentre dall’analisi globale attuale essa risulta di ∼ 2.6% (Sez. 1.2). Per quanto concerne l’angolo di mescolamento ϑ₂₃, dalla Fig. 4.6 emerge che la determinazione dell’ottante è generalmente migliore nel caso di gerarchia normale (pannelli in alto) rispetto al caso di gerarchia inversa (pannelli in basso). Nel caso di gerarchia normale, infatti, l’ottante “sbagliato” è sfavorito ad un livello di confidenza > 2σ qualora si assume vero il primo ottante, e > 3σ qualora si assume vero il secondo ottante; nel caso di gerarchia inversa, l’ottante sbagliato è invece sfavorito ad un livello di confidenza < 2σ in entrambi i casi considerati. Tenendo conto che dai risultati dell’analisi globale (Sez. 1.2) il primo ottante è favorito rispetto al secondo ad un livello di confidenza di ∼ 2σ nel caso di gerarchia normale e 0.4−0.5σ nel caso di gerarchia inversa, si desume che, stando all’analisi effettuata (Fig. 4.6), l’esperimento PINGU possa fornire un contributo non trascurabile (∼ 2σ) alla determinazione dell’ottante di ϑ₂₃, e che in un uno dei quattro casi esaminati (gerarchia normale e secondo ottante) esso possa persino determinare l’ottante di ϑ₂₃ ad un livello di confidenza > 3σ. Questo è l’unico caso in cui, come evidenziato in Tab. 4.2, si riscontra una sensibilità alla gerarchia > 4σ. Negli altri casi, il fatto che l’ottante non sia discriminabile entro ∼ 3σ comporta una riduzione della sensibilità alla gerarchia nella nostra analisi (Tab. 4.2), rispetto al caso ottimistico (linea verde) in Fig. 2.19(b).

In Fig. 4.7 e in Fig. 4.8 sono mostrati gli intervalli di confidenza, rispettivamente, dell’angolo di mescolamento ϑ₁₃ e della fase δ, stimati per l’esperimento PINGU assumendo un tempo di osservazione di 5 anni. Per entrambe le figure, ciascun pannello `e riferito ad un diverso caso d’esame: i pannelli in alto (basso) sono stati ottenuti assumendo vera la gerarchia normale (inversa), mentre quelli di sinistra (destra) sono stati ottenuti assumendo vero il primo (secondo) ottante di ϑ₂₃. Dalla Fig. 4.7 emerge che, in tutti e quattro i casi considerati, gli intervalli di confidenza stimati per l’angolo di mescolamento ϑ₁₃ coincidono, a meno di piccole differenze, con gli intervalli di variabilit`a fissati a priori nell’analisi [Tab. 4.1 ed Eq. (4.27)]. Ne consegue

4.4 PINGU: analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia 121 23 θ 2 sin 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 eV -3 /10 2 m ∆ 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 σ 3 σ 2 σ 1 23 θ 2 sin 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 eV -3 /10 2 m ∆ 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 σ 3 σ 2 σ 1 23 θ 2 sin 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 eV -3 /10 2 m ∆ 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 σ 3 σ 2 σ 1 23 θ 2 sin 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 2 eV -3 /10 2 m ∆ 2.35 2.40 2.45 2.50 2.55 σ 3 σ 2 σ 1

Figura 4.6: Regioni di confidenza a 1, 2 e 3σ nel piano (sin²ϑ23, ∆m²), stimate per l’esperimento PINGU assumendo un tempo di osservazione di 5 anni. I pannelli in alto (basso) sono ottenuti assumendo vera la gerarchia normale (inversa), mentre quelli a sinistra (destra) sono ottenuti assumendo vero il primo (secondo) ottante di ϑ23.

che l’esperimento PINGU non potrà aggiungere vincoli significativi a ϑ₁₃ rispetto alle misure attuali, confermando quanto evidenziato nella Sez. 3.2.2 circa la dipendenza da ϑ₁₃ delle probabilità di oscillazione (o equivalentemente degli oscillogrammi) dei neutrini atmosferici di tipo up-going alle energie considerate. Non avendo imposto alcun vincolo sulla fase δ nell’analisi statistica effettuata [Tab. 4.1 ed Eq. (4.27)], i pannelli in Fig. 4.8 rappresentano invece la reale sensibilità dell’esperimento PINGU alla determinazione della fase δ. In particolare, si riscontra che assumendo vera la gerarchia normale (pannelli in alto in Fig. 4.8) solo alcuni valori di δ sono sfavoriti ad un livello di confidenza > 1σ, mentre assumendo vera la gerarchia inversa (pannelli in basso in Fig. 4.8) tutti i valori di δ sono consentiti ad un livello di confidenza . 1σ.

Ne consegue che, per quanto concerne la fase δ, l’esperimento PINGU non `e in grado di fornire informazioni di rilievo, confermando quanto evidenziato nella Sez. 3.3.1 circa la dipendenza dalla fase δ delle probabilit`a di oscillazione dei neutrini atmosferici di tipo up-going alle energie considerate.

13 θ 2 sin 0.020 0.025 σ N 0 1 2 3 4 13 θ 2 sin 0.020 0.025 σ N 0 1 2 3 4 13 θ 2 sin 0.020 0.025 σ N 0 1 2 3 4 13 θ 2 sin 0.020 0.025 σ N 0 1 2 3 4

Figura 4.7: Intervalli di confidenza di sin²ϑ13, stimati per l’esperimento PINGU assumendo un tempo di osservazione di 5 anni. I pannelli in alto (basso) sono ottenuti assumendo vera la gerarchia normale (inversa), mentre quelli a sinistra (destra) sono ottenuti assumendo vero il primo (secondo) ottante di ϑ23.

π / δ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 σ N 0 1 2 3 4 π / δ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 σ N 0 1 2 3 4 π / δ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 σ N 0 1 2 3 4 π / δ 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 σ N 0 1 2 3 4

Figura 4.8: Intervalli di confidenza della fase δ, stimati per l’esperimento PINGU assumendo un tempo di osservazione di 5 anni. I pannelli in alto (basso) sono ottenuti assumendo vera la gerarchia normale (inversa), mentre quelli a sinistra (destra) sono ottenuti assumendo vero il primo (secondo) ottante di ϑ23.

4.4.1 Riepilogo 123

4.4.1 Riepilogo

Dall’analisi statistica effettuata è emersa la possibilità di discriminare tramite PINGU la gerarchia di massa dei neutrini (normale o inversa) ad un livello di confidenza di ∼ 3σ, o eventualmente > 4σ nel caso più favorevole, grazie all’alta statistica di eventi (di tipo µ e di tipo e) accumulabile dall’esperimento nei primi 5 anni di attività. Dal confronto dei risultati ottenuti nella nostra analisi con quelli ottenuti dalla collaborazione dell’esperimento, è poi emerso lo stretto legame tra la sensibilità di PINGU alla gerarchia e la sua sensibilità all’ottante di ϑ₂₃, qualora si consideri ϑ₂₃come parametro libero (da marginalizzare) e non fissato a priori (come nello studio della collaborazione). In particolare, nei casi in cui la sensibilità di PINGU all’ottante di ϑ₂₃ risulta < 3σ, la sua sensibilità alla gerarchia è di ∼ 3σ, mentre nell’unico caso (gerarchia normale e secondo ottante) in cui l’ottante di ϑ₂₃ viene determinato dall’esperimento PINGU ad un livello di confidenza > 3σ, la gerarchia viene discriminata ad un livello di confidenza > 4σ. Infine, si è stimato che l’esperimento PINGU possa misurare il parametro ∆m² con una precisione dell’1% nei primi 5 anni di attività (la precisione attuale è ∼ 2.6%), mentre, come ci si aspetta, è stato verificato che PINGU non può fornire informazioni di rilievo per l’angolo di mescolamento ϑ₁₃ e la fase δ. In conclusione, l’esperimento PINGU presenta ottime prospettive di portare contributi significativi su tre aspetti attualmente non ben conosciuti della fisica dei neutrini: (1) osservazione dell’effetto MSW nella materia terrestre (finora è stato osservato sperimentalmente solo nella materia solare); (2) determinazione della gerarchia di massa dei neutrini; e (3) discriminazione dell’ottante di ϑ₂₃. Va inoltre menzionato che PINGU può essere anche sensibile a nuova fisica dei neutrini, in particolare ad interazioni non-standard [116, 117], che però esulano dagli obiettivi della presente tesi.

Conclusioni

Nel presente lavoro di tesi è stato affrontato uno dei problemi ancora aperti nella fisica dei neutrini, ovvero la determinazione della gerarchia delle loro masse. La possibilità che m3 > m1,2 (gerarchia normale) è infatti attualmente indistinguibile da quella che m3 < m1,2 (gerarchia inversa). In altri termini, è sconosciuto il segno della differenza di masse quadre ∆m²₃₁, che ha un ruolo fondamentale nella fenomenologia delle oscillazioni di neutrino.

Un possibile approccio alla determinazione del segno di ∆m2

31 `e dato dall’osservazione di fenomeni di interferenza della fase di oscillazione indotta da ∆m2

31 (di segno indefinito) con la fase indotta da effetti di materia (di segno noto a priori). In tale contesto, i neutrini prodotti in seguito alle interazioni dei raggi cosmici primari con l’atmosfera terrestre, i cosiddetti neutrini atmosferici, offrono un’importante opportunit`a, poich´e quelli provenienti da direzioni al di sotto dell’orizzonte risentono degli effetti della materia terrestre.

Si è dunque affrontato un completo e rigoroso calcolo, analitico e numerico, delle probabilità di oscillazione dei neutrini atmosferici in energia e angolo, e dei loro effetti osservabili in rivelatori realistici, al fine di stimare la sensibilità alla gerarchia in tale approccio.

In particolare, ci si è soffermati su un particolare progetto in corso di studio, PINGU, che rappresenta un’estensione (con maggiore densità di sensori ottici) del più grande rivelatore Cherenkov esistente, ovvero IceCube. In tale contesto, il lavoro originale della presente tesi è stato quello di analizzare in dettaglio gli oscillogrammi di probabilità nell’intervallo di energie ed angoli di provenienza di interesse per PINGU, e di calcolarne gli effetti osservabili nelle due gerarchie, tenendo conto delle caratteristiche del rivelatore e delle più importanti incertezze parametriche e sistematiche, oltre che statistiche.

Si è trovato che la risoluzione in energia e angolo di PINGU, come pure le incertezze non puramente statistiche, riducono notevolmente la sensibilità di PINGU alla gerarchia (che, su base puramente statistica, raggiungerebbe livelli di confidenza di molte deviazioni standard). Nonostante ciò, in situazioni realistiche PINGU conserva una sensibilità alla discriminazione fra gerarchia normale e inversa di ∼ 3σ, o eventualmente > 4σ nel caso più favorevole. Questi

risultati indicano che PINGU rappresenta un progetto promettente e quindi da perseguire, specialmente se si dovesse riuscire a migliorarne ulteriormente la risoluzione e le incertezze sistematiche; ci`o `e in linea con le recenti analisi di PINGU apparse in letteratura.

La determinazione della gerarchia in PINGU e/o altri esperimenti rappresenterebbe un grosso passo in avanti nella comprensione delle proprietà fondamentali dei neutrini e dello spettro di massa dei fermioni in generale, con importanti implicazioni su futuri esperimenti con neutrini attualmente esaminati dalla comunità scientifica, ed anche sulle teorie proposte per la generazione delle masse e mescolamenti dei neutrini. Con la presente tesi, si è inteso portare un contributo di approfondimento attraverso una metodologia rigorosa, attenta sia agli aspetti teorici che a quelli fenomenologici.

Bibliografia

[1] F. Halzen and A. D. Martin, “Quarks and Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics” (Wiley, New York, USA, 1984), 396 pp.

[2] M. E. Peskin and D. V. Schroeder, “An Introduction To Quantum Field Theory” (Westview Press, Boulder, Colorado, USA, 1995), 842 pp.

[3] S. L. Glashow, Nucl. Phys. 22, 579 (1961). [4] S. Weinberg, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967).

[5] A. Salam, Proc. of the 8th Nobel Symposium on “Elementary Particle Theory, Relativistic Groups and Analyticity” (Stockholm, Sweden, 1968), edited by N. Svartholm, p. 367. [6] P. W. Higgs, Phys. Rev. Lett. 13, 508 (1964).

[7] F. Englert and R. Brout, Phys. Rev. Lett. 13, 321 (1964).

[8] G. S. Guralnik, C. R. Hagen, and T. W. B. Kibble, Phys. Rev. Lett. 13, 585 (1964). [9] G. Aad et al. [ATLAS Collaboration], Phys. Lett. B 716, 1 (2012).

[10] M. Gasperini, “Relativit`a generale e teoria della gravitazione” (Springer Verlag, Milan, Italy, 2010), 294 pp.

[11] J. Beringer et al. (Particle Data Group), Phys. Rev. D 86, 010001 (2012).

[12] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 33, 549 (1957) [Sov. Phys. JETP 6, 429 (1957)]. [13] E. Majorana, Nuovo Cim. 14, 171 (1937).

[14] C. Giunti and C. W. Kim, “Fundamentals of Neutrino Physics and Astrophysics” (Oxford University Press, Oxford, UK, 2007), 710 pp.

[15] B. Pontecorvo, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 53, 1717 (1967) [Sov. Phys. JETP 26, 984 (1968)]. [16] Z. Maki, M. Nakagawa, and S. Sakata, Prog. Theor. Phys. 28, 870 (1962).

[17] N. Cabibbo, Phys. Rev. Lett. 10, 531 (1963).

[18] M. Kobayashi and T. Maskawa, Prog. Theor. Phys. 49, 652 (1973).

[19] G. L. Fogli, E. Lisi, A. Marrone, and A. Palazzo, Prog. Part. Nucl. Phys. 57, 742 (2006). [20] C. L. Cowan, F. Reines, F. B. Harrison, H. W. Kruse, and A. D. McGuire, Science 124,

103 (1956).

[21] F. Capozzi et al., Phys. Rev. D 89, 093018 (2014).

[22] F. P. An et al. [DAYA-BAY Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108, 171803 (2012). [23] J. K. Ahn et al. [RENO Collaboration], Phys. Rev. Lett. 108, 191802 (2012). [24] Y. Abe et al. [Double Chooz Collaboration], Phys. Rev. D 86, 052008 (2012).

[25] M. Gasperini, “Lezioni di cosmologia teorica” (Springer Verlag, Milan, Italy, 2012), 250 pp. [26] R. F. Streater and A. S. Wightman, “PCT, spin and statistics, and all that” (Princeton

University Press, Princeton, NJ, USA, 2000), 209 pp. [27] L. Wolfenstein, Phys. Rev. D 17, 2369 (1978). [28] E. Kh. Akhmedov, Phys. Scripta T 121, 65 (2005).

[29] S. P. Mikheev and A. Yu. Smirnov, Yad. Fiz. 42, 1441 (1985) [Sov. J. Nucl. Phys. 42, 913 (1985)].

[30] S. P. Mikheev and A. Yu. Smirnov, Nuovo Cim. C9, 17 (1986).

[31] T. K. Gaisser and M. Honda, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 52, 153 (2002). [32] J. K. Becker, Phys. Rept. 458, 173 (2008).

[33] L. Anchordoqui, T. C. Paul, S. Reucroft, and J. Swain, Int. J. Mod. Phys. A 18, 2229 (2003).

Bibliografia 129

[34] K. Greisen, Phys. Rev. Lett. 16, 748 (1966); G. T. Zatsepin and V. A. Kuzmin, Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 4, 114 (1966) [JETP Lett. 4, 78 (1966)].

Nel documento Universit`a degli Studi di Bari (pagine 124-145)