Universit`a degli Studi di Bari

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Universit` a degli Studi di Bari

Dipartimento Interateneo di Fisica “M. Merlin”

Corso di Laurea Magistrale in Fisica Indirizzo Fisica Teorica

OSCILLAZIONI DI NEUTRINI ATMOSFERICI

E PROSPETTIVE DI DISCRIMINAZIONE

DELLA GERARCHIA DI MASSA

Relatori:

Dott. Eligio Lisi

Dott. Antonio Marrone

Laureando:

Pietro Corcella

Anno Accademico 2013/2014

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Indice

Introduzione i

1 Masse, mescolamenti e oscillazioni dei neutrini 1

1.1 Termini di massa e matrice di mescolamento dei neutrini . . . 2

1.1.1 Neutrini nel Modello Standard . . . 2

1.1.2 Neutrini come segnale di nuova fisica oltre il Modello Standard . . . 4

1.1.3 Massa di Dirac . . . 5

1.1.4 Massa di Majorana . . . 7

1.1.5 Mescolamento dei neutrini . . . 8

1.2 Masse e mescolamenti: conoscenza attuale . . . 10

1.2.1 Parametri di oscillazione . . . 10

1.2.2 Masse assolute dei neutrini . . . 15

1.3 Oscillazioni nel vuoto . . . 16

1.3.1 Probabilit`a di oscillazione: caso generale . . . 16

1.3.2 Simmetrie discrete nel vuoto . . . 19

1.3.3 Probabilit`a di oscillazione nel limite δm² → 0 . . . 20

1.3.4 Probabilit`a di oscillazione nel limite δm² → 0 e ϑ₁₃→ 0 . . . 21

1.4 Oscillazioni nella materia . . . 22

1.4.1 Potenziale effettivo di materia . . . 22

1.4.2 Equazione di evoluzione nella materia . . . 25

1.4.3 Simmetrie discrete nella materia . . . 28

1.4.4 Effetto MSW . . . 29

1.4.5 Probabilit`a di oscillazione per δm² → 0 e densit`a di materia costante . 34 2 Fenomenologia dei neutrini atmosferici 39 2.1 Sorgenti di neutrini atmosferici . . . 39

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2.1.1 Simmetria up-down . . . 44

2.2 Rivelazione di neutrini atmosferici . . . 46

2.2.1 Sezioni d’urto di interazione . . . 47

2.2.2 Effetto Cherenkov . . . 49

2.2.3 Discriminazione elettroni-muoni . . . 50

2.3 Fenomenologia attuale . . . 51

2.4 Fenomenologia futura . . . 57

2.4.1 Configurazione dell’osservatorio IceCube . . . 58

2.4.2 Finalit`a scientifiche e recenti risultati dell’osservatorio IceCube . . . 58

2.4.3 PINGU . . . 61

3 Oscillazioni di neutrini atmosferici in tre generazioni 67 3.1 Oscillogrammi: cenni preliminari . . . 67

3.1.1 Oscillogrammi nel caso ipotetico senza materia . . . 68

3.1.2 Materia terrestre: Preliminary Reference Earth Model (PREM) . . . . 68

3.2 Oscillogrammi nella materia nel limite δm² → 0 . . . 72

3.2.1 Oscillogrammi per gerarchia normale e parametri di oscillazione fissati . 72 3.2.2 Dipendenza dalla gerarchia e dai parametri di oscillazione . . . 80

Dipendenza dalla gerarchia di massa . . . 80

Dipendenza da ∆m² . . . 80

Dipendenza da ϑ13 . . . 80

Dipendenza da ϑ₂₃ . . . 81

3.3 Oscillogrammi nella materia: caso generale . . . 84

3.3.1 Dipendenza dalla fase δ . . . 88

3.3.2 Oscillogrammi e discriminazione della gerarchia di massa . . . 91

4 Prospettive di discriminazione della gerarchia di massa dei neutrini 95 4.1 Prospettive generali a breve e medio termine . . . 95

4.2 PINGU: distribuzioni di eventi in energia e angolo . . . 98

4.2.1 Caso ideale: risoluzione perfetta . . . 100

4.2.2 Caso realistico: risoluzione finita . . . 105

4.3 PINGU: sensibilit`a alla gerarchia per parametri fissati . . . 108

4.3.1 Caso ideale: risoluzione perfetta . . . 109

4.3.2 Caso realistico: risoluzione finita . . . 112

4.4 PINGU: analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia . . . 114

(5)

Indice

4.4.1 Riepilogo . . . 123

Conclusioni 125

Bibliografia 127

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Introduzione

Le oscillazioni dei neutrini rappresentano uno dei fenomeni più interessanti scoperti in fisica delle particelle negli ultimi due decenni. Allo stato attuale, la maggior parte dei fenomeni di oscillazione osservati è spiegabile in termini di mescolamento fra i tre neutrini di sapore (“flavor”) definito ν_e, ν_µ e ν_τ e tre neutrini di massa definita ν₁, ν₂ e ν₃. Della matrice di mescolamento sono noti i tre angoli di rotazione (ϑ₁₂, ϑ₁₃, ϑ₂₃), ma non la fase complessa δ, che potrebbe generare una violazione della simmetria CP nel settore leptonico. Sono anche note due differenze di masse quadre con scale molto diverse, |∆m²₂₁| |∆m²₃₁|, ma non le masse assolute dei neutrini (comunque molto piccole m_1,2,3 . 1 eV), né il loro ordinamento.

In particolare, le attuali informazioni sperimentali sono quasi insensibili ai due possibili ordinamenti dello spettro di massa dei neutrini, ovvero la cosiddetta gerarchia normale (m₃ > m_1,2 oppure sign(∆m²₃₁) = +1), che renderebbe lo spettro qualitativamente simile a quello dei quark, e la gerarchia inversa (m₃ < m_1,2 oppure sign(∆m²₃₁) = −1), che segnalerebbe una netta differenza qualitativa dei neutrini rispetto a tutti i fermioni carichi. La determinazione della gerarchia di massa dei neutrini risulta quindi di grande interesse per la costruzione di modelli teorici che spieghino sia i piccoli valori assoluti delle masse m_1,2,3 che il loro ordinamento. Allo stesso tempo, la conoscenza della gerarchia migliorerebbe notevolmente la sensibilit`a degli esperimenti di oscillazione ad altri parametri incogniti, quali la fase δ e l’ottante di ϑ₂₃ (< π/4 oppure > π/4). Anche gli esperimenti sensibili alle masse assolute dei neutrini beneficerebbero di una previa conoscenza della gerarchia di massa.

Nell’ambito delle oscillazioni di neutrino, esiste un unico modo per determinare la gerarchia di massa, ovvero sign(∆m²₃₁) = +1 (normale) oppure sign(∆m²₃₁) = −1 (inversa): bisogna fare interferire la fase di oscillazione indotta da ∆m²₃₁ (di segno indefinito) con un’altra fase di segno conosciuto, e osservare i relativi fenomeni di interferenza al livello di dettaglio sufficiente per discriminare i due casi. Una possibilità di questo tipo è offerta dagli effetti di propagazione dei neutrini nella materia, che alterano la fase di oscillazione di una quantità perfettamente calcolabile nel Modello Standard, di segno ben definito ed opposto per neutrini e antineutrini

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(il cosiddetto “effetto MSW”, descritto nel Cap. 1).

In questo contesto, un approccio molto promettente rispetto alla determinazione della gerarchia di massa `e rappresentato dalla fenomenologia delle oscillazioni dei neutrini atmosferici (Cap. 2). Neutrini e antineutrini elettronici e muonici sono prodotti continuamente dai raggi cosmici che urtano l’atmosfera terrestre, con flussi che possono essere calcolati con buona precisione e che sono stati misurati e vincolati da una serie di esperimenti. Rivelatori sensibili ai flussi dei neutrini atmosferici sono sensibili, in linea di principio, ad effetti MSW nella materia terrestre attraversata dai neutrini stessi.

Purtroppo, gli esperimenti attuali con neutrini atmosferici sono affetti da incertezze statistiche e sistematiche che non consentono una chiara osservazione degli effetti di materia.

Tale approccio sar`a invece possibile in esperimenti di altissima statistica, come l’estensione dell’attuale rivelatore Cherenkov nel ghiaccio antartico (IceCube) con una pi`u fitta rete di sensori ottici, ovvero il progetto “PINGU” (Cap. 2).

Disponendo di misurazioni accurate dei flussi dei neutrini atmosferici in energia e direzione di provenienza, è possibile, in linea di principio, investigare in dettaglio la ricca fenomenologia delle oscillazioni di neutrino in tre generazioni. Il Cap. 3 è dedicato a tale studio dettagliato, in cui si descrivono ed interpretano i cosiddetti oscillogrammi, ovvero le probabilità di oscillazione in energia ed angolo di provenienza. Nello studio degli oscillogrammi si parte da alcune sempli- ficazioni teoriche approssimate, per arrivare ad una descrizione completa e particolareggiata, al livello dell’attuale stato dell’arte teorico e fenomenologico nel settore.

Ovviamente, gli oscillogrammi di probabilit`a non sono direttamente osservabili, e bisogna calcolare gli effetti misurabili in specifiche condizioni sperimentali. Nel contesto del progetto PINGU, tale calcolo e la relativa analisi statistica della sensibilit`a alla gerarchia sono affrontati nel Cap. 4, il quale rappresenta il contributo specifico ed originale del presente lavoro di tesi. In particolare, nel Cap. 4 si affronta il calcolo analitico e numerico delle distribuzioni di eventi muonici ed elettronici osservabili in PINGU nelle due gerarchie (normale o inversa).

Si affronta poi una analisi statistica di tali distribuzioni, tenendo conto delle maggiori incertezze sistematiche oltre a quelle statistiche, assumendo un periodo di osservazione di cinque anni.

Si ricava che, in generale, la gerarchia di massa può essere discriminata ad un livello di confidenza di ∼ 3σ, con variazioni che dipendono dai vari casi possibili; nel caso più favorevole la sensibilità è > 4σ. Tali risultati sono in linea con analisi indipendenti apparse recentemente in letteratura, fra cui quella della stessa collaborazione dell’esperimento PINGU (apparsa dopo che il lavoro di tesi era cominciato), e mostrano che la teoria e la fenomenologia dei neutrini atmosferici può ancora offrire un contributo importante allo studio delle proprietà

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Introduzione iii

fondamentali dei neutrini.

Il presente lavoro di tesi `e strutturato come segue. Nel Cap. 1 si introducono i termini di massa e il mescolamento dei neutrini (assenti nel Modello Standard originale), e si deducono le probabilit`a di oscillazione di sapore nel caso di propagazione nel vuoto e nella materia.

Nel Cap. 2 si introduce la fenomenologia dei neutrini atmosferici, i risultati a cui essi hanno portato negli ultimi anni, e le prospettive a breve e medio termine, specie nel contesto dei rivelatori Cherenkov. In particolare, si introduce il progetto PINGU, previsto nel prossimo decennio (presumibilmente operativo nel ∼ 2020) come estensione del gi`a esistente esperimento IceCube. Nel Cap. 3 si applica la teoria descritta nel Cap. 1 al calcolo degli oscillogrammi di probabilit`a nell’intervallo di energie ed angoli di provenienza di interesse per PINGU.

La dipendenza degli oscillogrammi dalla gerarchia e dai parametri di oscillazione è discussa in dettaglio e allo stato dell’arte. Nel Cap. 4 si applicano gli strumenti descritti nei capitoli precedenti alla situazione realisticamente osservabile in PINGU, tenendo conto degli effetti di risoluzione finita in energia ed angolo, delle incertezze legate ai parametri di oscillazione, e di alcuni possibili errori sistematici. Si effettua inoltre una analisi statistica degli spettri osservabili, al fine di determinare la sensibilità alla gerarchia ottenibile in PINGU. Si deduce una sensibilità tipica a livello di ∼ 3σ, e > 4σ nel caso più favorevole. La tesi è completata dalla bibliografia citata nel testo.

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Capitolo 1

Masse, mescolamenti e

oscillazioni dei neutrini

La fenomenologia delle oscillazioni dei neutrini, contrariamente a quanto ipotizzato nel Modello Standard, consente di concludere che i neutrini sono particelle massive, e che i tre autostati di flavor ν_e, ν_µ e ν_τ sono mescolati con i tre autostati di massa ν₁, ν₂ e ν₃. Poiché il fenomeno delle oscillazioni dei neutrini ha natura puramente quantistica, le quantità fisicamente rilevanti sono le probabilità di oscillazione, le quali vengono discusse sia nel caso di propagazione nel vuoto che nel caso di propagazione nella materia, considerando, in particolare, effetti ed approssimazioni utili alla comprensione della fenomenologia delle oscillazioni dei neutrini atmosferici. Sinora gli esperimenti di oscillazione hanno permesso di misurare con buona precisione cinque dei sei parametri di oscillazione, le due differenze di masse quadre (δm², ∆m²) e i tre angoli di mescolamento (ϑ₁₂, ϑ₁₃, ϑ₂₃), mentre restano ancora sconosciuti il valore della fase δ, legata alle eventuali violazioni della simmetria CP, l’ottante di ϑ₂₃, l’ordinamento delle masse (gerarchia) e il valore delle masse assolute, per le quali esistono solo dei limiti superiori. Sebbene sia possibile estendere formalmente il Modello Standard per accomodare dei termini di massa di Dirac o di Majorana, ad oggi non è nota l’origine delle masse dei neutrini, differenti per almeno sei ordini di grandezza dalla massa dell’elettrone.

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1.1 Termini di massa e

matrice di mescolamento dei neutrini

Nel contesto del Modello Standard, i tre neutrini ad oggi conosciuti (ν_e, ν_µ e ν_τ) ed i rispettivi antineutrini (ν_e, ν_µ e ν_τ) sono descritti come particelle a massa nulla, e sono perciò contemporaneamente autostati di flavor e di massa. L’osservazione del fenomeno delle oscillazioni dei neutrini consente, però, di concludere che essi hanno massa, e che i tre autostati di flavor ν_e, ν_µ e ν_τ sono mescolati con i tre autostati di massa ν₁, ν₂ e ν₃, tramite un’opportuna matrice di mescolamento. Sebbene non sia ancora nota l’origine delle masse dei neutrini, è possibile estendere il Modello Standard per accomodare dei termini di massa, in modo dipendente dalla natura di Dirac o di Majorana dei neutrini.

1.1.1 Neutrini nel Modello Standard

Il Modello Standard (MS) [1, 2], proposto originariamente da S. L. Glashow, S. Weinberg e A. Salam [3–5], rappresenta il modello teorico di riferimento per la descrizione delle interazioni deboli, forti ed elettromagnetiche. Il MS è una teoria di gauge non abeliana basata sul gruppo di simmetria SU(3)_C × SU(2)_L× U(1)_Y, in cui C denota la carica di colore, L la chiralità sinistrorsa (Left-Handed, LH) e Y l’ipercarica debole. I campi di materia (fermioni di spin 1/2)¹, suddivisi in quark e leptoni, sono basi delle rappresentazioni di tale gruppo, mentre i bosoni (spin 1) di gauge (gli otto gluoni g, il fotone γ ed i bosoni vettori W^± e Z⁰), che mediano le interazioni, rappresentano i generatori del gruppo². Le masse delle particelle e dei bosoni vettori W^± e Z⁰ sono generate mediante il meccanismo di Higgs [6–8], introducendo una particella scalare (spin 0) elettricamente neutra, detta anche bosone di Higgs, la cui scoperta è stata recentemente annunciata [9] dalla collaborazione dell’esperimento LHC (Large Hadron Collider, Ginevra). In Fig. 1.1 sono schematizzate le particelle note, divise in quark e leptoni, assieme ai bosoni di gauge ed al bosone di Higgs; per ciascuna particella elementare è indicata la massa, la carica elettrica e lo spin.

Per quanto concerne i neutrini, sui quali verte la presenti tesi, nel MS si assume che:

• esistono tre diversi neutrini e tre corrispondenti antineutrini, uno per ognuna delle tre famiglie di flavor;

1Nel presente lavoro di tesi adottiamo il sistema di unit`a naturali in cui ~ = c = 1.

2Pi`u precisamente, i campi associati al fotone γ ed ai bosoni vettori W^± e Z⁰ sono combinazioni lineari dei campi generatori del gruppo di simmetria elettrodebole, SU(2)_L× U(1)_Y.

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1.1.1 Neutrini nel Modello Standard 3

Figura 1.1: Schematizzazione delle particelle elementari incluse nel Modello Standard (MS). Per ciascuna particella è indicata la massa, la carica elettrica (in unità della carica fondamentale) e lo spin (in unità di ~).

• i neutrini e gli antineutrini interagiscono con la materia solo mediante l’interazione debole, ovvero possiedono solo carica debole;

• i neutrini e gli antineutrini hanno massa nulla, e pertanto sono contemporaneamente autostati di flavor e di massa;

• i neutrini hanno chiralit`a sinistrorsa (Left-Handed, LH), mentre gli antineutrini hanno chiralit`a destrorsa (Right-Handed, RH)³.

Nel contesto del MS, si conservano sia il numero leptonico totale L = L_e+ L_µ+ L_τ, che il numero leptonico L_α (α = e, µ, τ ) di ciascuna famiglia, ottenuto come differenza tra il numero di leptoni ed il numero di antileptoni di flavor α coinvolti in un determinato processo.

3Definita la matrice γ⁵= iγ⁰γ¹γ²γ³ (anche detta operatore di chiralità), ove le γ^j (j = 0, 1, 2, 3) sono le matrici di Dirac, a partire da un generico campo di Dirac ψ (particella di spin 1/2), è possibile introdurre dei campi a definita chiralità (Left-Handed, LH, e Right-Handed, RH) come: ψ_L= Î−γ₂⁵ψ e ψ_R= Î+γ₂⁵ψ, ove I è la matrice identità 4 × 4. Essi soddisfano infatti γ⁵ψL = −ψL e γ⁵ψR= +ψR, in quanto (γ5)²= I. Nel contesto del MS, i neutrini (antineutrini) sono autostati dell’operatore di chiralità γ⁵, con autovalori pari a −1 (+1).

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1.1.2 Neutrini come segnale di nuova fisica

oltre il Modello Standard

Sebbene il MS descriva in maniera accurata la fenomenologia delle interazioni deboli, forti ed elettromagnetiche, è necessario un modello teorico più generale per accomodare anche l’interazione gravitazionale, descritta dalla teoria della relatività generale [10]. Vi sono inoltre alcune evidenze sperimentali, dirette o indirette, che non possono essere spiegate nel contesto del MS. Tra queste ricordiamo:

• asimmetria materia/antimateria: l’Universo `e costituito prevalentemente di materia, ma il MS non prevede alcun meccanismo capace di spiegare una tale asimmetria;

• evidenze indirette dell’esistenza della materia oscura e dell’energia oscura: dalle osser- vazioni cosmologiche [11] segue che la materia ordinaria contribuisce solo per il 5%

circa all’energia totale dell’Universo; il restante 95% viene attribuito alla materia oscura (∼ 27%) e all’energia oscura (∼ 68%). Nel MS non sono contemplate particelle elementari che possono ricoprire il ruolo di materia oscura (Fig. 1.1), ed inoltre non viene spiegata la natura dell’energia oscura;

• oscillazioni dei neutrini: l’osservazione di tale fenomeno rappresenta un’evidenza indiretta della natura massiva dei neutrini, contrariamente all’assunzione di massa nulla nel MS.

Le oscillazioni dei neutrini, ipotizzate originariamente da B. Pontecorvo [12], rappresentano, in particolare, un fenomeno di natura puramente quantistica. La fenomenologia delle oscillazioni

`e ben descritta da un modello teorico in cui gli stati con definito flavor ν_e, ν_µ e ν_τ sono sovrapposizioni lineari degli stati con definita massa ν₁, ν₂ e ν₃ (Sez. 1.2). La fenomenologia delle oscillazioni consente per`o di misurare solo le differenze delle masse quadre associate agli stati massivi. Le masse assolute, misurabili in esperimenti di diversa tipologia (quali esperimenti di decadimento β e di doppio decadimento β senza neutrini, e cosmologia di precisione), sono ad oggi sconosciute, sebbene esistano dei limiti superiori al loro valore (. 1 eV, Sez. 1.2).

L’origine delle masse dei neutrini `e anch’essa sconosciuta, ed i modelli teorici proposti sono strettamente legati alla natura stessa dei neutrini, i quali essendo elettricamente neutri, possono essere particelle di Dirac o di Majorana. Nel primo caso, neutrini e antineutrini sono particelle distinte, mentre nel secondo coincidono, come teorizzato da E. Majorana [13].

In taluni modelli, ad esempio nel meccanismo see-saw [14], la differenza di almeno sei ordini di grandezza riscontrata tra la massa dei neutrini e quella dell’elettrone, la particella massiva pi`u leggera contemplata nel MS, `e spiegata mediante meccanismi di soppressione delle masse,

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1.1.3 Massa di Dirac 5

presumibilmente legati alla scala di grande unificazione (∼ 10¹⁴− 10¹⁶ GeV). La discussione di tali modelli esula per`o dagli scopi della presente tesi.

1.1.3 Massa di Dirac

Le masse dei neutrini possono essere generate con la stessa metodica adoperata nel contesto del MS per fermioni e bosoni massivi, ovvero tramite il meccanismo di Higgs [14]. L’estensione del MS che ne deriva, detta anche estensione minimale, richiede l’introduzione della componente destrorsa (Right-Handed, RH) ναR (α = e, µ, τ ) dei campi quantistici associati ai neutrini.

Questi ultimi sono invarianti rispetto alle trasformazioni del gruppo di simmetria del MS:

sono singoletti del gruppo SU(3)_C × SU(2)_L ed inoltre viene assegnata loro un’ipercarica debole Y = 0. Potendo quindi interagire solo tramite l’interazione gravitazionale, i campi ν_αR (α = e, µ, τ ) sono anche detti sterili [15].

Nell’estensione minimale del MS, il contributo del Lagrangiano relativo agli accoppiamenti di Yukawa dei leptoni contiene, oltre al termine riferito ai leptoni carichi, anche un termine riferito ai neutrini:

LH,L = − X

α,β=e,µ,τ

Y_αβ^0l LαL Φ β_R⁰ − X

α,β=e,µ,τ

Y_αβ^0ν LαL Φ νe _βR⁰ + H. c. . (1.1) Nella (1.1), L_αL = (ν_αL⁰ , α⁰_L)^T indica i doppietti leptonici di isospin debole, α⁰_R e ν_αR⁰ sono i campi RH, singoletti di SU(3)_C × SU(2)_L, associati, rispettivamente, ai leptoni carichi e ai neutrini, Φ = (φ⁺, φ⁰)^T è il doppietto di Higgs (ove φ⁺ è un campo scalare complesso carico positivamente, mentre φ⁰ è un campo scalare complesso neutro), eΦ = iσ2Φ^∗ (ove σ2 è la seconda matrice di Pauli), ed infine Y^0l e Y^0ν sono le matrici (3 × 3) degli accoppiamenti di Yukawa, rispettivamente, per i leptoni carichi e per i neutrini. Nel gauge unitario si ha

Φ = 1

√2 0 v + H

!

, (1.2)

ove v ' 246 GeV [1, 2] è il valore di aspettazione nel vuoto del campo φ⁰ e H è il campo di Higgs, e il Lagrangiano (1.1) può essere scritto in forma matriciale come

LH,L = − v + H

√2

l⁰_L Y^0l l⁰_R+ ν⁰_L Y^0ν ν⁰_R

+ H. c. , (1.3)

avendo definito

l⁰_L=





 e⁰_L µ⁰_L τ_L⁰





 , l⁰_R=





 e⁰_R µ⁰_R τ_R⁰





 , ν⁰_L=





 ν_eL⁰ ν_µL⁰ ν_{τ L}⁰





 , ν⁰_R =





 ν_eR⁰ ν_µR⁰ ν_{τ R}⁰





 . (1.4)

(16)

Le matrici di Yukawa Y^0l e Y^0ν possono essere diagonalizzate con l’ausilio di opportune matrici unitarie V_L,R^l e V_L,R^ν :

V_L^l† Y^0l V_R^l = Y^l, con Y_αβ^l = y_α^l δ_αβ (α, β = e, µ, τ ) , (1.5a) V_L^ν† Y^0ν V_R^ν= Y^ν, con Y_kj^ν = y_k^ν δ_kj (k, j = 1, 2, 3) , (1.5b) ove i parametri y_α^l e y_k^ν sono reali e positivi. Introdotti, quindi, i campi dei leptoni carichi e dei neutrini a definita massa per entrambe le chiralit`a (LH e RH),

l_L= V_L^l† l⁰_L=





 eL

µ_L τ_L





 , l_R = V_R^l† l⁰_R =





 eR

µ_R τ_R





 , (1.6a)

n_L= V_L^ν†ν⁰_L=





 ν_1L ν_2L ν_3L





 , n_R = V_R^ν†ν⁰_R=





 ν_1R ν_2R ν_3R





 , (1.6b)

e tenuto conto che ν_k = ν_kL+ ν_kR (k = 1, 2, 3) e α = α_L+ α_R (α = e, µ, τ ), il Lagrangiano (1.3) diventa infine

LH,L = − X

α=e,µ,τ

m_αα α −

3

X

k=1

m_kν_kν_k − X

α=e,µ,τ

m_α

v α α H −

3

X

k=1

m_k

v ν_kν_kH + H. c. , (1.7) ove le masse m_α dei leptoni carichi (e, µ, τ ) e le masse m_k dei neutrini (ν₁, ν₂, ν₃) sono

m_α = y_α^l v

√2 (α = e, µ, τ ) , m_k= y_k^ν v

√2 (k = 1, 2, 3) . (1.8) Nel Lagrangiano (1.7), i primi due termini rappresentano i termini di massa dei leptoni carichi e dei neutrini (detti di Dirac), mentre gli ultimi due rappresentano l’accopiamento dei leptoni carichi e dei neutrini al campo di Higgs. Poich´e le masse dei neutrini nella (1.8) sono proporzionali al parametro v, proprio come le masse dei leptoni carichi e dei quark, la generazione delle masse dei neutrini tramite il meccanismo di Higgs non giustifica la differenza di almeno sei ordini di grandezza tra la massa dei neutrini e quella dell’elettrone. D’altronde, il meccanismo di Higgs non fornisce il valore delle masse generate per nessuna delle particelle massive contemplate nel MS, essendo sconosciute le matrici degli accoppiamenti di Yukawa.

Infine, va osservato che, in un’estensione minimale del MS con neutrini massivi di Dirac, si conserva il numero leptonico totale L = L_e+ L_µ+ L_τ, ma non i singoli numeri leptonici L_α (α = e, µ, τ ) associati a ciascuna famiglia di flavor, i quali restano comunque conservati nelle interazioni deboli di corrente carica [14]. Le oscillazioni dei neutrini rappresentano un’evidenza diretta della non conservazione del numero leptonico di flavor.

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1.1.4 Massa di Majorana 7

1.1.4 Massa di Majorana

Anche nel caso in cui si assuma che i neutrini siano particelle di Majorana, è possibile estendere il MS originale per accomodare dei termini di massa associati ai neutrini [14]. Prima di discutere la forma dei termini in questione, è però utile chiarire il concetto di particella di Majorana. A tal fine, si consideri l’equazione di Dirac per un generico campo quantistico ψ di spin 1/2 e massa m:

(iγ^µ∂_µ− m) ψ = 0 . (1.9)

Dalle definizioni dei campi chirali (ovvero a chiralit`a definita), ψ_L e ψ_R, legati al campo ψ dalla relazione ψ = ψ_L+ ψ_R, segue che l’equazione di Dirac (1.9) `e del tutto equivalente alle due equazioni

iγ^µ∂µψL= mψR , iγ^µ∂µψR= mψL . (1.10) Per m 6= 0, le evoluzioni dei campi chirali ψ_L e ψ_R sono accoppiate tra loro. Al contrario, per m = 0 le Eq. (1.10) diventano

iγ^µ∂_µψ_L= 0 , iγ^µ∂_µψ_R = 0 , (1.11) e prendono il nome di equazioni di Weyl. In questo caso, il fermione a massa nulla pu`o essere descritto mediante uno solo dei due campi chirali ψL e ψR, i quali constano di due sole componenti indipendenti.

La peculiarità della teoria di Majorana [13] risiede nella possibilità di descrivere fermioni massivi elettricamente neutri attraverso un campo quantistico avente solo due componenti indipendenti, proprio come i campi a massa nulla. Difatti, per fermioni massivi elettricamente neutri, esiste una relazione che lega tra loro i campi di diversa chiralità ψ_L e ψ_R, e che risulta consistente con le Eq. (1.10). Tale relazione può essere scritta come

ψ = ψ^C = C ψ^T , (1.12)

ove C rappresenta l’operazione di coniugazione di carica. La (1.12) impone che le particelle e le antiparticelle associate al campo ψ coincidano. Essendo elettricamente neutri e massivi, i neutrini possiedono tutte le caratteristiche richieste per essere dei fermioni di Majorana.

A tal proposito, va osservato che, essendo descritti da sole due componenti indipendenti (e non da quattro, come nella teoria di Dirac), i neutrini di Majorana appaiono pi`u “economici”

e pi`u “naturali” dei neutrini di Dirac.

Nel caso in cui i neutrini siano particelle di Majorana, sia il numero leptonico totale L = L_e+ L_µ+ L_τ, che il numero leptonico L_α (α = e, µ, τ ) di ciascuna famiglia, sono non

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conservati. Inoltre, i termini di massa nel Lagrangiano possono essere espressi in funzione della sola componente chirale ν_L. Senza entrare nei dettagli, si pu`o dimostrare [14] che il contributo del Lagrangiano relativo ai soli neutrini (di Majorana) `e esprimibile come

L^M = νL

←→

∂ νL− m

2 −ν_L^T C^† νL+ νL C νLT

, (1.13)

ove la derivata ambidirezionale←→

∂ `e definita come: ψ₁←→

∂ ψ₂ = ψ₁ ^•∂ψ₂− (∂ψ₁)^•ψ₂. Termini di massa di Majorana emergono in modo naturale in varie estensioni del MS (ad esempio, in teorie di grande unificazione), ed anche nel contesto di spiegazioni qualitative della piccola massa dei neutrini (meccanismo see-saw) [14].

1.1.5 Mescolamento dei neutrini

Considerando la corrente carica debole j_W,L^ρ = 2 ν⁰_L γ^ρ l⁰_L e le ridefinizioni dei campi in Eq. (1.6) si ha

j_W,L^ρ = 2 nL V_L^ν† γ^ρ V_L^l lL = 2 nL U^† γ^ρ lL = 2 νL γ^ρ lL= 2 X

α=e,µ,τ

ναL γ^ρ αL . (1.14)

Nella (1.14) `e stata introdotta la matrice di mescolamento del settore leptonico,

U = V_L^l† V_L^ν , (1.15)

analoga alla matrice di mescolamento dei quark [1, 2], e si sono definiti i campi dei neutrini a definito flavor con chiralit`a LH in funzione dei campi dei neutrini a definita massa:

ν_L = U n_L = V_L^l† ν⁰_L , con ν_L =





 ν_eL ν_µL ν_{τ L}





 . (1.16)

Si noti che la matrice di mescolamento U in Eq. (1.15) `e data dal prodotto di due matrici unitarie, ed `e quindi anch’essa unitaria.

Dalla relazione (1.16) segue che per neutrini massivi di Dirac, i campi dei neutrini a definito flavor ν_α (α = e, µ, τ ) sono sovrapposizioni lineari dei campi dei neutrini a definita massa ν_k

(19)

1.1.5 Mescolamento dei neutrini 9

(k = 1, 2, 3)⁴, con coefficienti determinati dalla matrice di mescolamento U : ν_αL=

3

X

k=1

U_αk ν_kL (α = e, µ, τ ) . (1.17)

Per ricavare il mescolamento degli stati quantistici di singola particella, occorre però ricordare che gli stati a definito flavor e definita massa per i neutrini sono ottenibili, rispettivamente, dall’azione dei campi ν_αL (oppure ν_αL^† ) e ν_kL (oppure ν_kL^† ) sullo stato quantistico di vuoto |0i, mentre gli stati a definito flavor e definita massa per gli antineutrini sono ottenibili dall’azione dei campi ν_αL e ν_kL. Tenendo conto di ciò, dalla (1.17) segue che il mescolamento degli stati quantistici dei neutrini è definito dalla relazione

|ν_αi =

3

X

k=1

U_αk^∗ |ν_ki (α = e, µ, τ ) , (1.18) mentre per gli antineutrini si ha

|ν_αi =

3

X

k=1

U_αk |ν_ki (α = e, µ, τ ) . (1.19)

Si noti che le matrici di mescolamento per neutrini e antineutrini sono legate semplicemente da un’operazione di coniugazione complessa.

La matrice di mescolamento U , anche detta di Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS) [15, 16], `e una matrice unitaria 3 × 3 ad elementi complessi. Analogamente alla matrice CKM (Cabibbo-Kobayashi-Maskawa) dei quark [17, 18], essa dipende da quattro parametri reali indipendenti: tre angoli, ϑ₁₂, ϑ₂₃ e ϑ₁₃ (0 ≤ ϑ_ij ≤ π/2), ed una fase δ (0 ≤ δ < 2π), legata alle eventuali violazioni della simmetria CP. La parametrizzazione usuale della matrice U `e

U = U23(ϑ23)IδU13(ϑ13)I_δ^∗U12(ϑ12) , (1.20) ove I_δ = diag(1, 1, e^iδ), mentre le matrici U_ij(ϑ_ij) identificano le rotazioni di angoli ϑ_ij nei piani ij. Esplicitamente la matrice U nella (1.20) `e

U =







Ue1 Ue2 Ue3

U_µ1 U_µ2 U_µ3 U_{τ 1} U_{τ 2} U_{τ 3}





=







c12c13 s12c13 s13e^−iδ

−s₁₂c₂₃− c₁₂s₂₃s₁₃eîδ c₁₂c₂₃− s₁₂s₂₃s₁₃eîδ s₂₃c₁₃ s₁₂s₂₃− c₁₂c₂₃s₁₃eîδ −c₁₂s₂₃− s₁₂c₂₃s₁₃eîδ c₂₃c₁₃





 , (1.21)

4Il mescolamento è applicato ai soli neutrini e non ai leptoni carichi, poiché la massa di questi ultimi viene misurata in maniera diretta negli esperimenti e permette cos`ı l’identificazione del flavor, essendo le masse dei leptoni e, µ e τ diverse per ordini di grandezza (Fig. 1.1). Poiché i neutrini sono invece rivelati in maniera indiretta, e il loro flavor coincide con quello del leptone carico prodotto nelle interazioni di corrente carica, non vi è a priori nessuna motivazione per cui i neutrini con definito flavor debbano anche avere una massa definita.

(20)

ove si `e posto s_ij = sin ϑ_ij e c_ij = cos ϑ_ij. Per neutrini massivi di Majorana, la matrice di mescolamento U nella (1.20) acquisisce un fattore extra [19]:

U → U ^•U_M con U_M = diag(1, eⁱ²^φ², e²ⁱ^(φ³^+δ)) , (1.22) ove φ2e φ3sono le cosiddette fasi di Majorana. Poiché le oscillazioni dei neutrini non consentono di indagare la natura di Dirac o di Majorana degli stessi (le probabilità di oscillazione risultano indipendenti dalle fasi di Majorana φ₂ e φ₃), se non diversamente specificato, nel seguito della tesi si farà riferimento alla sola parametrizzazione della matrice U in Eq. (1.20).

1.2 Masse e mescolamenti: conoscenza attuale

A partire dalla scoperta dell’esistenza del neutrino, avvenuta nel 1956 [20] (circa 20 anni dopo che W. Pauli ne postulò l’esistenza per spiegare lo spettro energetico del decadimento β), un’intensa attività di ricerca sia sperimentale che teorica è stata condotta al fine di comprendere se i neutrini avessero o meno massa. L’anomalia dei neutrini atmosferici (consistente in un deficit di neutrini provenienti dal basso), rivelata negli anni ’80 e successivamente spiegata in maniera ottimale in termini di oscillazioni di neutrino, ha consentito di provare definitivamente la natura massiva dei neutrini. Come vedremo nel seguito della sezione, gli esperimenti di oscillazione dei neutrini consentono di misurare i parametri di mescolamento del settore leptonico (ϑ₁₂, ϑ₂₃, ϑ₁₃ e δ) e le differenze tra le masse quadre associate agli stati massivi (Sez. 1.2.1). Le loro masse assolute possono essere invece misurate in esperimenti di singolo decadimento β e doppio decadimento β senza neutrini (0νββ), nonché per mezzo di dati di cosmologia di precisione (Sez. 1.2.2).

1.2.1 Parametri di oscillazione

In seguito alle oscillazioni dei neutrini vi è una probabilità non nulla che un neutrino di flavor α (α = e, µ, τ ) possa essere rivelato ad una distanza L come un neutrino di flavor β 6= α. Difatti, sebbene i neutrini prodotti in seguito alle interazioni di corrente carica abbiano flavor definito, per via del mescolamento introdotto nella Sez. 1.1.5 [Eq. (1.18) e (1.19)], essi corrispondono ad una miscela dei tre stati massivi ν₁, ν₂e ν₃. Poiché, però, sono le masse quadre (m²₁, m²₂, m₃²) associate ai neutrini ν₁, ν₂ e ν₃ che ne determinano le proprietà cinematiche,

se queste ultime sono diverse tra loro, i neutrini massivi acquisiscono fasi differenti durante il percorso sorgente-rivelatore, ed i neutrini con definito flavor non possono pi`u considerarsi tali,

(21)

1.2.1 Parametri di oscillazione 11

perch`e le proporzioni relative della miscela risultano alterate rispetto al punto di produzione.

Quando poi i neutrini (prodotti alla sorgente con flavor definito) interagiscono all’interno del rivelatore, essi possono essere considerati come una miscela di stati a definito flavor, ragion per cui vi è una probabilità non nulla che i neutrini siano rivelati con un flavor differente da quello di produzione. In questo tipo di fenomeno, le quantità fisicamente rilevanti sono, quindi, le cosiddette probabilità di oscillazione, che dipendono dai parametri ϑ₁₂, ϑ₂₃, ϑ₁₃ e δ, i quali determinano la matrice di mescolamento U in Eq. (1.20), e dalle differenze tra le masse quadre m²₁, m²₂ e m²₃.

I dati attualmente disponibili dagli esperimenti di oscillazione dei neutrini [21] possono essere interpretati nel contesto di un modello teorico in cui gli stati quantistici associati ai tre neutrini (antineutrini) di flavor νe, νµ, ντ (νe, νµ, ντ) sono combinazioni lineari degli stati massivi ν₁, ν₂, ν₃ (ν₁, ν₂, ν₃), con coefficienti determinati dalla matrice di mescolamento U (1.20) [Eq. (1.18) e (1.19)]. Sebbene si abbia a che fare con tre neutrini massivi, e quindi con

tre diverse differenze di masse quadre,

∆m²₂₁ = m²₂− m²₁ , ∆m²₃₁ = m₃²− m²₁ , ∆m²₃₂ = m²₃− m²₂ , (1.23)

solo due di esse sono indipendenti tra loro, essendo verificata la condizione ∆m²₃₂+ ∆m²₂₁−

∆m²₃₁ = 0. Di solito, i risultati ottenuti dagli esperimenti di oscillazione sono espressi in funzione della differenza ∆m²₂₁ e di una a scelta tra ∆m²₃₁ e ∆m²₃₂. Questo perch´e i dati sperimentali attualmenti disponibili sono consistenti, come specificato meglio nel seguito, con

∆m²₂₁' 7.5 × 10⁻⁵ eV² e |∆m²₃₁| ' |∆m₃₂² | ' 2.4 × 10⁻³ eV²: gli autovalori m²₁ e m²₂ risultano quindi “prossimi” tra loro, ma “lontani” dal terzo autovalore m²₃.

Ad oggi, `e noto il segno della differenza ∆m²₂₁ (∆m²₂₁= m²₂− m²₁ > 0) [21], mentre quello della differenza ∆m²₃₁ (∆m²₃₂) `e ignoto. La posizione relativa dell’autovalore m²₃ rispetto ai due autovalori m²₁ e m²₂ determina, quindi, i due possibili scenari di gerarchia rappresentati in Fig. 1.2: a sinistra, m²₃ m²₂ & m²1 e la gerarchia viene detta normale (Normal Hierarchy, NH); a destra, m²₂ & m²1 m²₃ e la gerarchia viene detta inversa (Inverted Hierarchy, IH).

Si noti che i due possibili ordinamenti in Fig. 1.2 fanno riferimento alla sola disposizione relativa degli autovalori m²₁, m²₂ e m²₃, e non al loro valore assoluto. Difatti, per ciascuna gerarchia, il punto interrogativo presente al di sotto del pi`u piccolo autovalore di massa riassume l’attuale ignoranza rispetto alla scala assoluta delle masse dei neutrini.

Prima di procedere con la discussione dei risultati dell’analisi globale degli esperimenti di

(22)

m2

0

solar~7×10⁻⁵eV² atmospheric

~2×10⁻³eV²

atmospheric

~2×10⁻³eV² m12

m22

m32

m2

0 m22

m12

m32

ν_e ν_µ ν_τ

? ?

solar~7×10⁻⁵eV²

Figura 1.2: Rappresentazione grafica dei due possibili ordinamenti degli autovalori di massa m²₁, m²₂ e m²₃. A sinistra: gerarchia normale (Normal Hierarchy, NH) con m²₃ m²₂& m²1; a destra: gerarchia inversa (Inverted Hierarchy, IH) con m²₂ & m²1 m²₃. Le bande colorate identificano la composizione degli stati di massa in termini degli stati di flavor, come indicato nella legenda. Per entrambe le gerarchie, l’ignoranza attuale rispetto alla scala assoluta degli autovalori di massa `e riassunta con un punto interrogativo al di sotto dello stato massivo pi`u leggero.

oscillazione, `e conveniente introdurre le differenze [19, 21]

δm² = ∆m²₂₁= m²₂− m²₁ > 0 , (1.24a)

∆m² =

m²₃− m²₁+ m²₂ 2

, (1.24b)

le quali sono legate agli autovalori di massa dalla relazione

M² = diag m²₁, m²₂, m²₃ = m²₁+ m²₂

2 I +

−δm²

2 , +δm²

2 , ±∆m²

(1.25) ove I `e la matrice identit`a 3×3, mentre il segno del parametro ∆m² identifica il tipo di gerarchia:

+ per gerarchia normale (a sinistra in Fig. 1.2), − per gerarchia inversa (a destra in Fig. 1.2).

Con la notazione appena introdotta [Eq. (1.24) e (1.25)], il passaggio da una gerarchia all’altra avviene, quindi, invertendo il segno del parametro ∆m², senza per`o modificarne il valore numerico, al contrario di quanto avviene per le differenze ∆m²₃₁ e ∆m²₃₂.

In Fig. 1.3 sono mostrati gli intervalli di confidenza per i sei parametri di oscillazione (δm²,

∆m², ϑ₁₂, ϑ₂₃, ϑ₁₃, δ), definiti in termini di numero di deviazioni standard N σ, e ottenuti da un’analisi globale degli esperimenti di oscillazione [21] fissando il tipo di gerarchia: linea blu continua per gerarchia normale (NH) e linea rossa tratteggiata per gerarchia inversa (IH).

(23)

1.2.1 Parametri di oscillazione 13

Per i parametri δm² e ϑ₁₂ (anche detti parametri solari, perché legati alle oscillazioni dei neutrini solari) viene mostrata solo la curva riferita alla gerarchia normale, poiché nel grafico non sono apprezzabili le discrepanze tra le due gerarchie. I punti di minimo assoluto delle curve in Fig. 1.3 identificano i valori di best fit per ciascun parametro di oscillazione. Inoltre, per via della definizione degli intervalli di confidenza, più sono lineari e simmetriche le curve in Fig. 1.3, più sono gaussiane le distribuzioni di probabilità ad esse associate.

In Tab. 1.1 sono riportati in forma numerica i valori di best fit e gli intervalli di confidenza a 1, 2 e 3σ per ognuno dei sei parametri di oscillazione, distinguendo, ove necessario, il tipo di gerarchia (normale, NH, o inversa, IH). Come anticipato in precedenza, in Tab. 1.1 i valori di best fit per le differenze di masse quadre [Eq. (1.24)] sono δm² ' 7.5 × 10⁻⁵ eV² e ∆m² ' 2.4 × 10⁻³ eV². Per quanto concerne gli angoli di mescolamento ϑ₁₂, ϑ₂₃ e ϑ₁₃, dalla Tab. 1.1 emerge che, contrariamente al caso dei quark, due di essi (ϑ₁₂ e ϑ₂₃) sono grandi (sin²ϑ₁₂ ' 0.31 e sin²ϑ₂₃ ' 0.44 al best fit), mentre ϑ₁₃ `e relativamente piccolo (sin²ϑ₁₃ ' 0.02 al best fit). La piccolezza delle quantit`a r_∆= δm²/∆m² ' 0.03 e s²₁₃ ' 0.02 rende il mescolamento dei neutrini in tre generazioni approssimativamente riducibile ad un mescolamento in sole due generazioni per alcuni casi di interesse fenomenologico.

Come si evince dalla Fig. 1.3, per l’angolo di mescolamento ϑ23 non è ad oggi esclusa l’ipotesi di massimalità (ϑ₂₃= π/4), e nel caso di ϑ₂₃ 6= π/4, non è noto l’ottante di riferimento (primo ottante, ϑ₂₃ < π/4; secondo ottante, ϑ₂₃ > π/4). Difatti, sebbene l’analisi globale degli esperimenti di oscillazione (Fig. 1.3) favorisca ϑ₂₃ nel primo ottante, l’ipotesi di ϑ₂₃ massimale

`e permessa ad un livello di confidenza < 2σ in gerarchia normale (NH) e < 1σ in gerarchia inversa (IH); il secondo ottante di ϑ₂₃ `e invece permesso ad un livello di confidenza di ∼ 2σ in gerarchia normale (NH) e < 1σ in gerarchia inversa (IH).

Per quanto concerne l’angolo di mescolamento ϑ₁₃, solo recentemente è stato possibile misurarne il valore numerico e stabilire cos`ı che esso è non nullo ad un livello di confidenza di ∼ 5σ [22–24]. Tale scoperta rende possibile, in linea di principio, la determinazione della gerarchia di massa (si veda il Cap. 4), rispetto a cui l’analisi globale attuale degli esperimenti di oscillazione non fornisce alcuna indicazione, nonché la misurazione della fase δ, responsabile delle eventuali violazioni della simmetria CP nel caso di δ 6= 0, π (si veda la Sez. 1.3). Per la fase δ, le indicazioni fornite dalla Fig. 1.3 sono dovute alla combinazione dei risultati dei vari esperimenti di oscillazione, piuttosto che ai singoli esperimenti, evidenziando cos`ı l’importanza di un’analisi di tipo globale nel contesto delle oscillazioni dei neutrini. In particolare, nonostante in entrambe le gerarchie nessun valore di δ nell’intero intervallo [0,2π] sia escluso ad un livello di confidenza > 3σ, dalla Fig. 1.3 emerge una marcata preferenza (> 1σ) per sin δ < 0, sebbene

(24)

θ12

sin2 0.25 0.30 0.35 0

1 2 3 4

θ23

sin2

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

θ13

sin2

0.01 0.02 0.03 0.04

eV 2

/10-5

m2

δ

6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 0

1 2 3 4

eV 2

/10-3

m2

∆

2.0 2.2 2.4 2.6 2.8

π / δ

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

σNσN

NH IH

Figura 1.3: Risultati dell’analisi globale attuale degli esperimenti di oscillazione [21]. Per ognuno dei sei parametri di oscillazione (δm², ∆m², ϑ12, ϑ23, ϑ13, δ) sono indicati gli intervalli di confidenza, definiti in termini di numero di deviazioni standard N σ, distinguendo, ove necessario, il tipo di gerarchia: linea blu continua per gerarchia normale (NH) e linea rossa tratteggiata per gerarchia inversa (IH). L’analisi globale attuale [21] non fornisce alcuna indicazione rispetto alla discriminazione della gerarchia di massa.

Parametro Best fit Range a 1σ Range a 2σ Range a 3σ

δm²/10⁻⁵ eV² (NH or IH) 7.54 7.32 – 7.80 7.15 – 8.00 6.99 – 8.18 sin²θ₁₂/10⁻¹ (NH or IH) 3.08 2.91 – 3.25 2.75 – 3.42 2.59 – 3.59

∆m²/10⁻³ eV² (NH) 2.43 2.37 – 2.49 2.30 – 2.55 2.23 – 2.61

∆m²/10⁻³ eV² (IH) 2.38 2.32 – 2.44 2.25 – 2.50 2.19 – 2.56 sin²θ13/10⁻² (NH) 2.34 2.15 – 2.54 1.95 – 2.74 1.76 – 2.95 sin²θ13/10⁻² (IH) 2.40 2.18 – 2.59 1.98 – 2.79 1.78 – 2.98 sin²θ₂₃/10⁻¹ (NH) 4.37 4.14 – 4.70 3.93 – 5.52 3.74 – 6.26 sin²θ₂₃/10⁻¹ (IH) 4.55 4.24 – 5.94 4.00 – 6.20 3.80 – 6.41

δ/π (NH) 1.39 1.12 – 1.77 0.00 – 0.16 ⊕ 0.86 – 2.00 —

δ/π (IH) 1.31 0.98 – 1.60 0.00 – 0.02 ⊕ 0.70 – 2.00 —

Tabella 1.1: Risultati dell’analisi globale attuale degli esperimenti di oscillazione in forma numerica [21]. Per i sei parametri di oscillazione (δm², ∆m², ϑ12, ϑ23, ϑ13, δ) sono indicati il valore di best fit e gli intervalli di confidenza (range) a 1, 2 e 3σ, distinguendo, ove necessario, il tipo di gerarchia (normale, NH, o inversa, IH).

(25)

1.2.2 Masse assolute dei neutrini 15

le eventualit`a corrispondenti al caso di simmetria CP conservata (δ = 0, π) siano comunque permesse ad un livello di confidenza . 2σ in entrambe le gerarchie. Inoltre, alcuni valori di δ corrispondenti a sin δ > 0 sono sfavoriti ad un livello di confidenza & 2σ.

Infine, definendo l’accuratezza media a 1σ come 1/6 della larghezza dell’intervallo di confidenza a 3σ, dalla Tab. 1.1 si ricava che, ad eccezione della fase δ, i parametri di oscillazione sono globalmente determinati con le seguenti precisioni percentuali: δm² (2.6%), ∆m² (2.6%), ϑ₁₂ (5.4%), ϑ₂₃ (9.6%), ϑ₁₃ (8.4%).

Sebbene gli esperimenti di oscillazione dei neutrini abbiano finora permesso di determinare cinque dei sei parametri di oscillazione con una buona precisione, restano ancora aperti importanti quesiti riguardo la fisica delle oscillazioni dei neutrini, quali la determinazione dell’ottante di ϑ₂₃ (nel caso di ϑ₂₃ 6= π/4), la determinazione della fase δ, e la discriminazione della gerarchia di massa. È proprio su quest’ultimo punto che sarà incentrata la presenti tesi, in cui verrà investigata la possibilità di determinare la gerarchia di massa nel prossimo decennio, grazie all’alta statistica di eventi accumulabile dall’esperimento PINGU.

1.2.2 Masse assolute dei neutrini

Allo stato attuale, le masse assolute m_k (k = 1, 2, 3) associate ai neutrini ν_k (k = 1, 2, 3) sono ignote, ma esistono dei limiti superiori al loro valore. Gli esperimenti che pongono i limiti pi`u stringenti appartengono a tre diverse categorie: singolo decadimento β, doppio decadimento β senza neutrini (se questi sono di Majorana), e cosmologia di precisione. A titolo puramente illustrativo si riportano qui di seguito i limiti attuali, rimandando a [11] per una discussione degli esperimenti e della loro interpretazione.

Nel singolo decadimento β, come suggerito originariamente da E. Fermi nel 1934, si cerca una deviazione nella parte finale (il cosiddetto “end-point”) dello spettro di energia β dovuta alla massa finita dei neutrini. Gli esperimenti di questo tipo non sono capaci di risolvere separatamente m₁, m₂ e m₃, e sono sensibili ad una media pesata di queste masse, secondo il loro mescolamento con lo stato ν_e. L’osservabile principale `e [11]

m²_β =

3

X

k=1

|U_ek|²m²_k= c²₁₃c²₁₂m²₁+ c²₁₃s²₁₂m²₂+ s²₁₃m²₃ . (1.26) I limiti attuali su tale quantit`a sono [11]

m²_β . 2 eV² . (1.27)

Nel doppio decadimento β senza neutrini (0νββ) [11], l’eventuale natura di Majorana dei neutrini stessi pu`o generare un decadimento raro caratterizzato da una variazione ∆L = ±2

(26)

del numero leptonico, sensibile ad un’altra combinazione lineare delle masse dei neutrini, anche detta “massa efficace di Majorana”,

m_ββ =

3

X

k=1

U_ek² m_k

=

c²₁₃c²₁₂m₁+ c²₁₃s²₁₂e^iφ²m₂+ s²₁₃e^iφ³m₃

, (1.28)

ove la matrice U `e riferita alla parametrizzazione in Eq. (1.22). Allo stato attuale, i limiti superiori pi`u stringenti su m_ββ sono [11]:

m_ββ . 0.2 eV . (1.29)

Infine, in cosmologia i neutrini costituiscono una frazione della densit`a di materia dell’U- niverso [25]. Le attuali misure cosmologiche di precisione, relative sia alle anisotropie della radiazione cosmica di fondo che alla formazione di strutture su grande scala, pongono dei limiti superiori alla somma delle masse dei neutrini [11]:

Σ = m1+ m2+ m3 . 0.2 eV , (1.30)

sebbene con notevoli errori sistematici. Stime pi`u prudenti forniscono Σ . 0.6 eV [11].

Possiamo dunque affermare che le masse dei neutrini sono tutte inferiori a ∼ 1 eV, e probabilmente per ciascuna di esse si ha m_k . 0.1 − 0.2 eV (k = 1, 2, 3). Molti esperimenti sono ad oggi in corso per giungere da questi limiti superiori ad una misura vera e propria, per almeno una fra le tre osservabili m_β, m_ββ e Σ.

1.3 Oscillazioni nel vuoto

In questa sezione vengono ricavate in maniera esplicita le probabilit`a di oscillazione dei neutrini nel caso di propagazione nel vuoto, dapprima nel caso generale, in cui se ne discutono le propriet`a di simmetria, e successivamente considerando due approssimazioni successive particolarmente utili per l’analisi delle oscillazioni dei neutrini atmosferici.

1.3.1 Probabilit` a di oscillazione: caso generale

Si consideri, innanzitutto, l’Eq. (1.18),

|ν_αi =

3

X

k=1

U_αk^∗ |ν_ki (α = e, µ, τ ) , (1.31)