Pinning controllability

In questo paragrafo verrà introdotto il concetto di pinning controllability [21] di una rete complessa.

Nelle pagine precedenti abbiamo chiarito l’idea di base del controllo pinning che, ricordiamo, consiste nel chiudere anelli di retroazione solo ed esclusivamente su di un determinato sottoinsieme di nodi, sulla base di un riferimento preassegnato. I nodi appartenenti al sottoinsieme di controllo giocano il ruolo di leader per l’intera rete lasciando alla capacità di auto sincronizzazione della stessa il compito di ridistribuire l’azione di controllo anche ai sistemi non direttamente controllati.

Il concetto di pinning controllability fornisce un’informazione quantitativa e qualitativa sull’efficacia dell’azione di controllo. Valutando la pinning controllability di una rete di sistemi dinamici, potremmo effettivamente decidere l’efficacia di una strategia di controllo pinning in termini di forza dell’azione di controllo richiesta, del numero di nodi leader e degli effetti che un’assegnata topologia di anelli di retroazione può avere sul comportamento complessivo dell’intera rete.

I risultati teorici che presenteremo verranno accompagnati da risultati di simulazione e da una sintesi sperimentale delle strategie presentate al fine di validare le regioni di controllabilità di una rete di circuiti non lineari caotici.

Una rete complessa controllata è generalmente descritta dal seguente set di equazioni differenziali:

per i = 1, … ,N, che modellano matematicamente il comportamento di N sistemi dinamici identici accoppiati.

Il primo termine al secondo membro della 3.16 descrive le dinamiche di evoluzione dei singoli sistemi attraverso il campo vettoriale non lineare ; il secondo termine rappresenta l’accoppiamento tra i sistemi interconnessi,

50 attraverso una generica funzione di uscita h(xj) (ad esempio lineare) e la particolare

topologia caratterizzata dalla matrice Laplaciana Lij. Quest’ultima rispetta tutte le

proprietà precedentemente descritte (rif, Cap 2, 2.2).

L’ultimo termine al secondo membro della 3.16 rappresenta l’azione di controllo

pinning. Questo termine è presente solo per n=pN (solitamente p<<1) nodi

direttamente controllati (pinnati). Questi sono identificati dall’insieme C ={c1, c2, … , cn}. Come abbiamo assunto in precedenza, alcuni nodi hanno il compito di guidare

gli altri verso un comune stato di riferimento, che chiameremo s(t). Notiamo che il modello 3.16 l’ingresso di controllo ui = φ(xi, s, t) influenza direttamente solo i nodi

appartenenti al insieme C.

Esistono differenti strategie di selezioni dei nodi da pinnare. (i) Random pinning: in cui i nodi sono selezionati in maniera dal tutto casuale (random) con uniforme probabilità di selezione. (ii) Pinning selettivo: in cui si seguono criteri di selezione dei nodi direttamente controllati.

L’ingresso di controllo ui può essere scelto per generare una semplice azione di

retrazione di stato rispetto all’evoluzione di rifermento s(t). Assumendo che lo stato di rifermento soddisfi l’equazione , possiamo scegliere come ingresso di controllo

per ogni nodo appartenente all’insieme di controllo C. Il modello 3.16 può quindi essere riscritto come:

Indichiamo con {λi = λir+j λii} l’insieme degli autovalori di L e, per le proprietà

geometriche della Laplaciana, assumiamo che essi sono ordinati nel seguente modo: 0 ≥ λr

51 Come possiamo notare dalla 3.18, nel caso in cui C = 0, nessun nodo leader è presente nella rete, ed è dunque possibile definire la synchronization manifold, S:={x1 = x2 … = xN = xs}, che rappresenta un insieme invariante per il sistema.

In questo caso, scegliendo opportunamente la forza di accoppiamento σ, tutti i sistemi convergono verso la soluzione comune xs (non nota a priori) sincronizzando

la rete. La stabilità dello stato sincrono è legata allo spettro della matrice Laplaciana caratteristica della rete complessa.

Valutando infatti il rapporto e il valore di , è possibile valutare la sincronizzabilità di una generica rete complessa.

Un problema differente è quello, invece, di guidare la rete di sistemi dinamici verso uno stato desiderato determinato a priori, attraverso un’appropriata azione di controllo. In questo caso avremo C ≠ 0, assicurando così in 3.18 la presenza di azioni di feed-back localmente ai nodi appartenenti all’insieme C. Inoltre, lo stato x1(t)=x2(t) … =xN(t) =s(t) è la sola possibile soluzione per la rete controllata. È

quindi importante studiare la stabilità di questa soluzione di riferimento.

Osservando il modello 3.18 possiamo notare come non sia possibile applicare l’approccio MSF direttamente alla rete per la presenza di una disomogeneità tra i campi vettoriali dei nodi direttamente controllati e quelli non direttamente controllati. In [21] è proposto un metodo per estendere l’approccio MSF al caso di reti dinamiche sottoposte ad azioni di controllo pinning.

In particolare, data una rete di sistemi descritta dal modello 3.18, si può definire il grado di controllabilità della stessa, in funzione dei valori di guadagno di accoppiamento σ e dei guadagni di controllo ki, i=1, … ,n necessari a sincronizzare

tutti i nodi sulla traiettoria desiderata. .

Consideriamo a tal proposito una rete composta da N+1 sistemi dinamici yi, tali che:

1. y

= x

52 Così facendo assumiamo che lo stato desiderato, obiettivo dell’azione di controllo pinning, s(t), sia dato da un extra nodo che va ad aggiungersi alla rete originale da controllare.

Possiamo quindi riscrivere il modello 3.18 come:

dove M = {Mij} è un matrice quadrata di dimensioni N+1 X N+1:

e

.

Per come sono stati definiti i termini Lij, la matrice 3.19 conserva le caratteristiche

tipiche di una matrice Laplaciana che descrive le caratteristiche dinamiche della rete. Anche se M è una matrice asimmetrica, continua ad essere caratterizzata da righe a

somma nulla (la somma degli elementi appartenenti alla stessa riga è identicamente

nulla) e quindi linearmente dipendenti.

Ed inoltre, la simmetria della matrice L (caratteristica della rete da controllare) garantisce che M sia diagonalizzabile [22].

Indichiamo con {μi = μir+j μii} l’insieme degli autovalori di M e per le proprietà

geometriche della stessa, assumiamo che essi sono ordinati nel seguente modo: 0 ≥ μr

53 È possibile dunque estendere l’approccio MSF alla rete controllata descritta dal

modello 3.18 per investigare la stabilità dello stato di riferimento y1(t)=y2(t) … =yN(t)=yN+1(t). L’estensione dell’approccio classico consiste

nell’includere negli argomenti della Master Stability Function anche i guadagni di controllo ki i=1,2,…,n.

La necessità di estendere l’approccio MSF nasce dalla considerazione che, in caso di rete controllata, il più grande autovalore della matrice M è funzione del guadagno di controllo k (fissato il sottoinsieme di controllo C).

Scegliendo opportunamente la strategia di controllo, a parità di guadagno k, si riescono ad ottenere prestazioni migliori andando ad analizzare l’evoluzione dell’autovalore μ2 al variare del guadagno di controllo.

Figura 3-1: Più grande autovalore di M in funzione del guadagno di controllo k.

Specificate le funzioni f e h caratteristiche del campo vettoriale dei nodi (identici), e la strategia di controllo scelta (in termini di sottoinsieme di controllo e di guadagni di

0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 k | 2 (k )| PINNING 1 NODO PINNING 2 NODI

54 retroazione) la Master Stability Function, applicata al modello di rete controllata, associa ad ogni valore del parametro α = σμ2(k) il più grande esponente di Lyapunov

del sistema. Nell’ipotesi che i guadagni di controllo siano gli stessi per ogni nodo appartenente all’insieme C, i. e., k = k1 = k2 = … = kn, riscrivendo il modello 3.18

come

dove , si ottiene, per ogni scelta di forza di accoppiamento σ, una condizione simile sull’intervallo di valori di k, per cui la soluzione di riferimento è asintoticamente stabile.

Essendo ora la MSF una superficie definita sul piano (σ,k), le ragioni di pinning

controllability della rete, sono quelle per cui vale:

MSF(σ,k) < 0 (3.21)

55 La regione del piano (σ,k) in cui MSF<0 rappresenta l’insieme di valori di forza di accoppiamento e guadagno di controllo per cui lo stato di riferimento è asintoticamente stabile.

Figura 3-3: Pinning controllability region. In rosso e in blu sono visibili la regioni del piano (σ,k) in cui

MSF(σ,k)<0

Nei prossimi capitoli applicheremo i concetti fin qui introdotti ad una rete complessa di circuiti non lineari.

Vedremo come formalizzare i concetti di forza di accoppiamento e guadagno di

controllo in relazione ad una rete di circuiti caotici, e come stimare le regioni di

56 Infine verranno confrontati i risultati di simulazione con quelli sperimentalmente ottenuti durante l’attività di tirocinio presso il laboratorio di Diagnosi e Circuiti Elettrici (dipartimento di Ingegneria Elettrica) dell’Università degli studi di Napoli Federico II.

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