Stima delle regioni di controllabilità per una rete di 8 circuiti di Chua Stimare le regioni di controllabilità significa individuare i range di valori di forza d

accoppiamento e guadagno di controllo che garantiscono la stabilità dell’intero sistema complesso da controllare. A differenza del concetto di sincronizzazione, in cui lo stato d’evoluzione su cui convergono le traiettorie di tutti i singoli agenti non

83 può essere noto a priori, il controllo della rete complessa forza i singoli nodi a seguire una traiettoria di riferimento nota a priori. Si sfrutta quindi la capacità di sincronizzazione della rete per guidare tutti i sistemi verso la soluzione di riferimento fornita dall’esterno.

Dovendo estendere i concetti presentati nel capitolo 3 (paragrafo 3.3) ad una rete di circuiti di Chua, è stato necessario calcolare, in prima battuta, la Master Stability

Function relativa alla rete complessa in questione.

Ricordiamo che il modello generale si presenta come:

In cui xi=[vc1i, vc2i, iLi]T è il vettore di stato del i-esimo circuito, F(xi): ne

costituisce il campo vettoriale (cioè le equazioni dei singoli agenti riportate nel capitolo 4), Γ=[1 0 0 ; 0 0 0 ; 0 0 0] è la matrice 3x3 che specifica l’accoppiamento sulla prima variabile di stato e lij è il generico elemento della matrice Laplaciana

caratteristica della configurazione di accoppiamento.

Attraverso l’utilizzo di uno script MATLAB (il cui codice è stato inserito nel DVD allegato al lavoro di tesi) è stato possibile calcolare numericamente la MSF:

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Figura 5-7: Master Stability Function di una rete di circuiti di Chua accoppiati sulla prima variabile di stato

Come possiamo osservare per valori sufficientemente grandi di forza di accoppiamento σ, in relazione alla particolare topologia scelta (che influenza l’autovalore λ2 della Laplaciana) la synchronization manifold è asintoticamente stabile garantendo la sincronizzazione dei singoli sistemi.

Nel caso di controllo pinning la MSF sarà funzione, oltre che della forza di accoppiamento, anche del guadagno di controllo k. Infatti ricordando l’espressione del modello di rete controllata, caratterizzato da una matrice Laplaciana estesa per includere il nodo di riferimento:

dove M = {Mij} è un matrice quadrata di dimensioni 8+1 X 8+1:

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 k = 2 ( k )

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.

e

yi = xi i=1, 2, … , 8

y8+1 = s(t) tale che

con s(t) soluzione di riferimento verso cui guidare l’evoluzione della rete, possiamo notare come l’autovalore λ2 della matrice M sia funzione del guadagno di controllo k. La dipendenza funzionale tra l’autovalore λ2 e il guadagno di controllo k permettere di avere una MSF: cioè una MSF(σ,k).

Nel caso di una rete di circuiti di Chua, essendo forza di accoppiamento e guadagno di controllo strettamente legati, come abbiamo discusso in precedenza, alle rispettive resistenze di collegamento, è possibile individuare le regioni nel piano (Rc, Rp) in cui

il più grande esponente di Lyapunov sia negativo.

Sfruttando le relazioni 5.8 e 5.10, attraverso una serie di script MATLAB, è stato possibile convertire con successo le regioni di controllabilità da (σ,k) a (Rc, Rp).

Relativamente alla topologia di figura 5.8 sono mostrate le regioni di controllabilità sul piano (σ,k) (figura 5.9A) e (Rc, Rp) (figura 5.9B).

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Figura 5-8: Reticolo regolare (ring) con controllo diretto sul nodo 2

Figura5-9: Regioni di controllabilità. (A) piano (σ,k) in cui MSF(σ,k)<0 ; (B) piano (Rc, Rp) in cui MSF (Rc,

Rp)<0

In relazione alla topologia di figura 5.8 presentiamo alcuni risultati di simulazione per validare la stima delle regioni di controllabilità.

87 Definiamo l’errore di controllo come:

Dove con xp abbiamo indicato la traiettoria di riferimento (caotica).

Figura 5-11: Soluzione stabile: dinamiche sei singoli agenti.

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Figura 5-13: Errore di controllo, soluzione stabile

Per valori di resistenza di accoppiamento e di pinning interni alla regione di controllabilità ({Rc ; Rc}={300Ω ; 60Ω}) i risultati di simulazione (figure 5.11 – 5.12

– 5.13) mostrano come la traiettoria di riferimento sia asintoticamente stabile, con un errore che tende a 0 per t→∞.

Aumentando i valori di resistenza, portandoci al limite della regione di controllabilità ({Rc ; Rc}={360Ω ; 72Ω}) abbiamo:

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Figura 5-15: Phase portrait al limite di stabilità

Figura 5-16: errore di controllo al limite di stabilità

Dai risultati di simulazione (figure 5.14 – 5.15 – 5.16) notiamo come effettivamente abbiamo raggiunto il limite di controllabilità della rete, essendo l’errore limitato ma non più convergente a 0 come nel caso precedente.

90 Per valori ancora maggiori di resistenze ({Rc ; Rc}={425Ω ; 85Ω}) tali da varcare il

limite di controllabilità possiamo notare come la rete si porti in una situazione ti instabilità, essendo instabile la soluzione di riferimento.

Figura 5-17: Soluzione instabile: dinamiche sei singoli agenti

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Figura 5-19: Errore di controllo per la soluzione instabile

I risultati di simulazione presentati sono relativi ad una rete di 8 circuiti di Chua in regime caotico.

La traiettoria di riferimento per le simulazioni appena presentate è stata generata considerando un nodo di riferimento caotico, identico ai nodi da controllare (con condizioni iniziali diverse).

Risultati analoghi si ottengono anche per riferimenti costanti a patto però che essi siano equilibri (anche instabili) dei singoli sistemi costituenti la rete.

Il modello di Chua, in regime caotico, è caratterizzato da 3 punti di equilibrio instabili, uno dei quali è l’origine: [0 0 0]T

. Fornendo alla rete il punto di equilibrio instabile come segnale di riferimento, si riesce a stabilizzarlo attraverso l’azione di controllo.

Nella seguente simulazione è stato cambiato il riferimento durante l’evoluzione del sistema per osservare la reazione della rete e validare quanto precedentemente detto.

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Figura 5-20: Regolazione sul punto di equilibrio: dinamiche sei singoli agenti

93 5.2.2 Selezione dei nodi leader

L’estensione delle regioni di controllabilità permette di confrontare, in prima analisi, l’effettivo grado di efficienza della strategia di controllo scelta. Il grado di controllabilità della rete dipende dal numero di noi direttamente controllati, dal grado relativo degli stessi e dalla topologia del sistema.

Chiamiamo nodi leader i sistemi su cui chiudiamo anelli di retroazione in base alla traiettoria di riferimento desiderata. Indicando con n il numero di nodi leader, risulta intuitivo comprendere come il grado di controllabilità della rete cresca all’aumentare di n. Fissato il numero n di nodi leader (solitamente n << N), si ottengono regioni di controllabilità più estese andando a selezionare opportunamente il sottoinsieme di controllo.

Come introdotto nei precedenti paragrafi, esiste una relazione tra il più grande autovalore della matrice Laplaciana (estesa per includere il nodo di riferimento) λ2 e il guadagno di controllo k.

Al variare del sottoinsieme di controllo si ottiene quindi una famiglia di curve λ2(k) ognuna delle quali caratterizza l’estensione della rispettiva regione di controllabilità.

Figura 5-22: Famiglia di curve λ2(k) al variare del sottoinsieme di controllo

0 5 10 15 20 25 30 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 k | 2 (k )|

MAX autovalore di M al variare del guadagno di controllo

leader node:[1] leader nodes: [1-2] leader nodes: [1-2-3] leader nodes: [1-2-3-4]

94 I nodi leader devono dunque essere selezionati in modo da ottenere il più piccolo valore di λ2 a parità di guadagno di controllo k.

Fissato il numero di nodi leader, questi possono essere opportunamente selezionati in base al rispettivo grado relativo. Infatti controllando direttamente i nodi caratterizzati da un grado maggiore, a parità di guadagno k, si ottiene un notevole aumento della curva caratteristica λ2(k) e, come vedremo, una maggiore controllabilità della rete. Consideriamo ad esempio una rete costituita da 8 nodi caratterizzata da una topologia irregolare (figura 5.23).

Figura 5-23: reticolo irregolare.

In figura 5.24 possiamo osservare come la funzione λ2(k) aumenti all’aumentare del grado del nodo leader selezionato.

Figura 5-24: Famiglia di curve λ2(k) al variare del grado del nodo leader

0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 k |2 (k )|

MAX autovalore di M al variare del guadagno di controllo

leader node 7 leader node 2 leader node 5 G_i : grado del nodo i-esimo G₅ = 2 G₂ = 3 G 7 = 4

95 Osservando quindi l’evoluzione dell’autovalore λ2 al variare del guadagno di controllo possiamo selezionare opportunamente i candidati ad essere nodi leader della rete. Il criterio di selezione scelto è dunque quello che tiene conto del grado relativo dei nodi.

In relazione al sottoinsieme di controllo costituito da un solo nodo leader, può essere selezionato quello caratterizzato dal massimo grado relativo:

Tale scelta garantisce la massima controllabilità della rete in termini di estensione della rispettiva regione di controllabilità.

In relazione alla topologia di figura 5.23, osserviamo come aumenti la controllabilità della rete al variare del nodo leader.

Figura 5-25: Estensione della regione di pinning controllability al variare del nodo leader

Risultato analogo lo riscontriamo sul piano (Rc, Rp) in relazione ad una rete di circuiti

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Figura 5-26: Regioni di controllabilità sul piano (Rc, Rp)

Volendo estendere il sottoinsieme di controllo, includendo più di un nodo leader, bisogna considerare anche la particolare topologia della rete da controllare. In caso di topologia regolare (ad esempio un anello) in cui non c’è distinzione tra i gradi relativi dei nodi, conviene selezionare come secondo nodo leader, quello diametralmente opposto al primo in modo da sfruttare al meglio la capacità di sincronizzazione della rete nel ridistribuire l’azione di controllo. Ancora una volta possiamo avere un’indicazione sul grado di controllabilità della rete osservando le curve λ2(k) al variare del sottoinsieme di controllo.

Nel caso in cui la topologia della rete sia asimmetrica, si può selezionare il secondo nodo leader cercando di evitare il formarsi di cluster di nodi che rendono meno efficiente la ridistribuzione dell’azione di controllo.

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Figura 5-27: topologia regolare (ring)

Figura 5-28: evoluzione dell'autovalore λ2(k) al variare della configurazione di controllo

La scelta di controllare direttamente i nodi 1-5 nella topologia di figure 5.27 è giustificata dal fatto che essa garantisce che l’autovalore λ2 sia il più piccolo possibile ed è inoltre coerente con quanto precedentemente spiegato.

Nel caso in cui la rete sia asimmetrica (caratterizzata ad esempio dalla presenza di link di collegamento interni), si può selezionare il primo nodo leader secondo il criterio del massimo grado relativo, mentre il secondo va scelto come spiegato in precedenza e come giustificano i seguenti andamenti dell’autovalore λ2(k):

0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 k | 2 |( k )

MAX autovalore di M_ij al variare di k leader nodes 1-2

leader nodes 1-3 leader nodes 1-4 leader nodes 1-5

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Figura 5-29: reticolo irregolare asimmetrico

Figura 5-30: evoluzione dell'autovalore λ2(k) al variare della configurazione di controllo

Quindi ricapitolando, il primo nodo leader può essere selezionato in base al criterio 5.15, mentre il secondo deve evitare il nascere di cluster interni alla rete.

0 5 10 15 20 25 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 k | 2 |( k )

MAX autovalore di M_ij al variare di k

leader nodes 1-8 leader nodes 1-2 leader nodes 2-7 leader nodes 5-2 leader nodes 5-7

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