4.3 Soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa
4.3.2 Problemi di convergenza dell’algoritmo
Il programma Matlab© scritto per la soluzione dell’equazione del moto in forma completa presenta dei problemi di convergenza; in particolare per alcuni valori di frequenza e in determinati istanti di tempo viene superato un numero di iterazioni (pari a 50) dato come limite per consentire all’algoritmo di giungere a convergenza. Ciò significa che non viene soddisfatta almeno una delle due condizioni (si veda (4.6) e (4.7)) necessarie per uscire dalla procedura iterativa di Newton-
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,985 0,99 0,995 1 1,005 A m p iezza d i r o tazi o n e [r ad ] γ/ω0[] 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,985 0,99 0,995 1 1,005 A m p iezza d i r o tazi o n e [r ad ] γ/ω0[]
Capitolo 4
163 Raphson per la determinazione della soluzione dell’equazione non lineare valida per un singolo istante temporale. Il valore di tolleranza 𝛥𝛥𝑡𝑡𝑡𝑡, che esprime la precisione che si vuole ottenere nella soluzione numerica, è stata qui posta pari a 10−8.
Andando a studiare nel dettaglio cosa accade ai valori del residuo e della correzione da dare alla variabile principale per verificare l’equazione algebrica non lineare in uno dei casi in cui il ciclo di Newton-Raphson viene interrotto a causa del raggiungimento del numero limite di iterazioni, si ottengono degli andamenti fortemente irregolari(mentre il residuo dovrebbe ridursi all’avvicinarsi alla soluzione esatta).
La causa di tale comportamento anomalo è stata individuata all’interno della procedura di Newton- Raphson, nella quale viene utilizzata l’espressione analitica ottenuta dalla trasformazione dell’equazione governante il moto in forma completa in un’equazione algebrica, nella quale compaiono diversi operatori di logaritmo. Tale funzione e la sua derivata per un particolare intervallo di valori non risultano essere delle funzioni lisce, bensì molto irregolari e con l’insorgere di un andamento caratterizzato dalla presenza di diversi picchi, probabilmente dovuto dall’avvicinarsi al valor nullo di alcuni degli argomenti dei logaritmi presenti, proprio a causa della trattazione numerica delle funzioni (Figura 4.34).
(a) (b)
Figura 4.34: (a) Andamento della funzione che rappresenta l’equazione algebrica ottenuta dall’equazione del moto in forma completa attraverso il metodo HHT al variare dell’angolo di rotazione (b) Ingrandimento della stessa funzione per valori
dell’angolo di rotazione nell’intorno di zero
Tale andamento nella funzione produce valori della derivata rapidamente variabili e quindi variazioni nel residuo anche quando la correzione fornita all’incremento di soluzione è molto piccola. -1,50E+07 -1,00E+07 -5,00E+06 0,00E+00 5,00E+06 1,00E+07 1,50E+07 -0,023 -0,003 0,017 Pr imo memb ro Θ [rad] -2,00E+02 -1,50E+02 -1,00E+02 -5,00E+01 0,00E+00 5,00E+01 1,00E+02 1,50E+02 2,00E+02
-1,00E-10 0,00E+00 1,00E-10
Pr
imo
memb
ro
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Per ovviare a tali problemi si propone di introdurre la procedura di Newton-Raphson modificata. Tale metodo prevede che, anziché aggiornare il valore di “rigidezza” del sistema ad ogni iterazione, si utilizzi un valore costante pari al valore iniziale, che tradotto per il caso in esame significherebbe non ricalcolare ad ogni iterazione il valore della derivata, ma mantenerlo fisso e pari al valore iniziale. Nel presente elaborato si introduce una “forma attenuata” della procedura di Newton- Raphson modificata, nella quale non si fissa il valore della derivata ad una costante, ma la si calcola mediante una forma approssimata che non presenti anomalie, pur mantenendosi fedele all’andamento originale. In particolare si sostituisce alla derivata della funzione esatta quella relativa al caso di equazione approssimata al terz’ordine, che, essendo un’espressione polinomiale, non presenta i problemi rilevati.
La procedura di Newton-Raphson modificata consente, in generale, di giungere comunque a convergenza anche se potrebbe essere necessario un numero superiore di iterazioni, poiché la derivata non risulta perfettamente coincidente con la derivata della funzione. Nel caso in esame invece, avendo scelto una funzione per la derivata molto simile all’andamento reale ed avendo eliminato le anomalie nel comportamento, si osserva una riduzione dei tempi computazionali e la capacità della procedura di giungere a convergenza entro il numero massimo di iterazioni, senza influenzare in alcun modo l’andamento della risposta in frequenza.
Risulta tuttavia doveroso osservare che utilizzando la procedura di Newton-Raphson modificata è possibile eliminare le anomalie dell’andamento della derivata, ma non quelle nell’andamento della funzione. Si potrebbe pensare di superare tale problematica andando a modificare artificialmente la funzione, considerando due punti all’estremità della zona di anomalia e congiungendoli con una retta, facendo attenzione a non creare punti di cuspide. In questo modo si otterrebbe una funzione priva di irregolarità che non darebbe problemi di convergenza e, come osservato precedentemente, consentirebbe di giungere univocamente alla soluzione senza la necessità in introdurre la modifica di cui sopra nella procedura di Newton-Raphson. Poiché la soluzione è raggiunta senza ulteriori problemi di convergenza con la sola modifica nella derivata della funzione e poiché la modifica della funzione implicherebbe un intervento artificiale sostanziale nel sistema, si ritiene preferibile non procedere in tal senso.
Nonostante la modifica introdotta, per altri valori di frequenza e in altri istanti di tempo, l’algoritmo presenta comunque situazioni in cui viene superato il numero limite di iterazioni nella procedura per la ricerca della soluzione dell’equazione non lineare attraverso il metodo di Newton-Raphson. Sono stati quindi analizzati gli andamenti del residuo e dell’incremento della variabile principale in uno dei casi di mancata convergenza per comprenderne le cause.
Capitolo 4
165 A differenza di quanto si era osservato in precedenza, sia il residuo che le correzioni da dare a 𝛩𝛩 si riducono rapidamente nelle prime iterazione della procedura, assestandosi, almeno per quanto riguarda 𝛥𝛥𝛩𝛩, a valori inferiori all’errore macchina. Il residuo invece si mantiene ad un ordine di grandezza appena superiore alla tolleranza concessa, non consentendo il soddisfacimento della prima delle due condizioni e quindi l’uscita dalla procedura iterativa (Figura 4.35).
Poiché i due andamenti appaiono dipendenti fra loro, come ci si aspetta, e evidenziano un comportamento di rapida decrescita, la causa della mancata convergenza viene individuata non in un errore nella procedura, bensì nella limitata capacità del calcolatore: in particolare risulta che la più piccola correzione possibile (pari all’errore macchina) che può essere data alla variabile principale per convergere alla soluzione esatta, produce una variazione del residuo superiore al limite di tolleranza richiesto, facendolo passare da valori positivi a valori negativi e non riuscendo ad avvicinarsi sufficientemente al valor nullo. Tale comportamento produce l’incapacità dell’algoritmo di giungere a convergenza entro il limite di iterazioni consentito e lo obbliga a dare correzioni alla soluzione alternativamente positive e negative.
(a) (b)
Figura 4.35: Andamento del residuo (a) e dell’incremento da fornire alla soluzione (b) nelle 50 iterazioni concesse all’algoritmo di Newton-Raphson per giungere a convergenza
Per ovviare al problema, si potrebbe pensare di rilassare la definizione della tolleranza in modo tale da soddisfare le condizioni di convergenza. Questo comporterebbe tuttavia una minore precisione della soluzione anche nei tratti precedenti e quindi un deterioramento globale dei risultati ottenuti, con il rischio di avere situazioni di non convergenza anche in punti che, con una tolleranza superiore, non davano problemi. Si è proposto invece di irrigidire la condizione sul minimo incremento oltre il quale arrestare le iterazione nel ciclo Newton-Raphson che consente di ottenere la stessa situazione senza alcun blocco. Ci si ritiene dunque soddisfatti della capacità raggiunta dalla
1,10990E-08 1,10991E-08 1,10992E-08 1,10993E-08 1,10994E-08 1,10995E-08 0 10 20 30 40 50 Re si d u o Numero di iterazioni -1,00E-16 -5,00E-17 -1,00E-30 5,00E-17 1,00E-16 0 10 20 30 40 50 In cr em en to Numero di iterazioni
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procedura costruita per l’integrazione numerica dell’equazione del moto in forma completa, per quanto riguarda i tempi computazionali, ragionevoli seppur elevati, e il livello di precisione, senza dubbio superiore a quello ottenibile sperimentalmente o con metodi analitici.
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ANALISI DELLE RISPOSTE
ANALITICHE E NUMERICHE
Dopo aver costruito uno strumento che consenta di ottenere la soluzione di equazioni del moto non lineari con buona approssimazione per l’intero intervallo dei parametri di interesse, si passa ad uno studio più approfondito del risonatore torsionale attuato elettrostaticamente. Tale analisi sarà il puntodi partenza per il confronto tra le prove sperimentali e i risultati numerici.
Il presente capitolo si articola in una prima fase di confronto tra le soluzioni numeriche, che vengono qui considerate il riferimento, e le soluzioni analitiche al primo e al terz’ordine, che attualmente vengono utilizzate nelle pratiche di progetto come indicative della risposta della struttura. In particolare il confronto verrà fatto a pari potenziale di polarizzazione e variando il potenziale di attuazione e in modo tale da mantenere l'ampiezza di picco dell'approssimazione lineare costante.
Tutte le riposte in frequenza ottenute nel presente capitolo sono realizzate con valori medi dei parametri tratti da letteratura, con lo scopo di evidenziare l’influenza di ciascuno di essi sulla soluzione finale.
Lo studio della risposta nel piano delle fasi, consentirà, poi, di evidenziare l’importanza delle condizioni iniziali in talune situazioni, per definire la tendenza del dispositivo a convergere, a regime, ad un moto oscillatorio con ampiezza appartenente al ramo superiore o inferiore della risposta in frequenza, in ambito non lineare.
Infine si introdurrà il fenomeno del pull-in, nella sua interpretazione statica e dinamica, che risulta di fondamentale importanza per l'affidabilità di questi dispositivi. Ciascun dispositivo MEMS deve infatti poter lavorare lontano dal regime di pull-in per poter garantire misure affidabili e una vita duratura. Risulta quindi di primaria importanza l’individuazione di parametri che consentano di distinguere chiaramente le situazioni in cui i dispositivi possono operare in sicurezza da quelle in cui può insorgere tale fenomeno. Particolarmente utile sarebbe lo studio di uno strumento numerico
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in grado di definire il dominio di sicurezza, senza dover ricorrere alle ben più onerose prove sperimentali, almeno in prima analisi.