Comportamento dinamico non lineare in microstrutture : modellazione e validazione sperimentale

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POLITECNICO DI MILANO

Scuola di Ingegneria Civile, Ambientale e Territoriale

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Civile – indirizzo Strutture

COMPORTAMENTO DINAMICO NON LINEARE IN

MICROSTRUTTURE: MODELLAZIONE E

VALIDAZIONE SPERIMENTALE

Anno Accademico 2015-2016

Relatore: Prof. Alberto Corigliano

Correlatore: Dott. Ing. Valentina Zega

Tesi di laurea di:

Doti Milena matr. 836518

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INDICE

INDICE ... 3

INDICE DELLE FIGURE ... 9

INDICE DELLE TABELLE ... 33

RINGRAZIAMENTI ... 35

SOMMARIO ... 37

ABSTRACT ... 39

STATO DELL’ARTE E MOTIVAZIONI ... 41

INTRODUZIONE AI MICROSISTEMI ELETTROMECCANICI ... 47

1.1 Che cosa sono i dispositivi MEMS ... 48

1.1.1 Sviluppi storici ... 50

1.1.2 Il mercato dei MEMS ... 51

1.1.3 Processi produttivi e parti costituenti ... 53

1.2 Campi di applicazione dei MEMS ... 56

1.2.1 Sensori di pressione ... 57

1.2.2 Interruttori ... 58

1.2.3 MEMS microfluidici ... 58

1.2.4 Sensori inerziali ... 59

1.3 Principali tipologie di accelerometri inerziali ... 62

1.3.1 Accelerometri capacitivi ... 63

1.3.2 Accelerometri piezoresistivi ... 64

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4

RISONATORE TORSIONALE ... 69

2.1 Caratterizzazione e principio di funzionamento ... 70

2.2 Equazione del moto in forma completa... 75

2.3 Analisi ad elementi finiti ... 81

2.3.1 Analisi modale ... 82

2.3.2 Definizione del fattore correttivo per molle piegate ... 84

2.3.3 Comportamento a fatica ... 86

2.4 Analisi delle fonti di non linearità nel comportamento dinamico ... 89

SOLUZIONI ANALITICHE DELL’EQUAZIONE DEL MOTO DEL RISONATORE TORSIONALE ... 93

3.1 Equazione del moto al prim’ordine a coefficienti costanti ... 94

3.1.1 Semplificazione dell’equazione governante al prim’ordine ... 94

3.1.2 Soluzione analitica lineare ... 97

3.2 Equazione del moto al terz’ordine ... 100

3.2.1 Semplificazione dell’equazione governante al terz’ordine ... 101

3.2.2 Soluzione analitica al terz’ordine mediante il metodo delle scale multiple ... 103

3.2.3 Soluzione analitica al terz’ordine mediante il metodo del bilancio armonico ... 109

SOLUZIONE NUMERICA DELL’EQUAZIONE DEL MOTO DEL RISONATORE TORSIONALE ... 115

4.1 Implementazione dell’algoritmo e procedure di base ... 116

4.1.1 Procedura iterativa di Newton-Raphson per la soluzione di equazioni non lineari ... 116

4.1.2 Metodi di discretizzazione temporale ... 119

4.1.3 Adimensionalizzazione dell’equazione del moto ... 126

4.1.4 Formulazione dell’algoritmo... 127

4.1.5 Stabilità e accuratezza dell’algoritmo ... 130

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INDICE

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4.2.1 Soluzione arrestata al terz’ordine con l’ipotesi v_a ≪ V_p ... 134

4.2.2 Soluzione arrestata al terz’ordine senza l’ipotesi v_a ≪ V_p ... 139

4.2.3 Confronto tra l’importanza dell’approssimazione al terz’ordine e dell’ipotesi va ≪ Vp ... 142

4.3 Soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa ... 150

4.3.1 Soluzione completa con l’ipotesi v_a ≪ V_p ... 151

4.3.1 Soluzione completa ... 155

4.3.2 Problemi di convergenza dell’algoritmo ... 162

ANALISI DELLE RISPOSTE ANALITICHE E NUMERICHE ... 167

5.1 Confronto in frequenza tra soluzioni numeriche e analitiche... 168

5.1.1 Confronto delle curve a pari V_p ... 168

5.1.2 Confronto delle curve a pari ampiezza massima lineare ... 181

5.1.3 Osservazioni sull’importanza dei parametri ... 190

5.2 Rappresentazione nel piano delle fasi ... 198

5.3 Il fenomeno del pull-in ... 211

5.5.1 Il pull-in statico ... 211

5.5.2 Il pull-in dinamico ... 216

5.5.3 Caratterizzazione a due parametri del fenomeno del pull-in ... 221

5.5.4 Dominio di pull-in numerico ... 226

CARATTERIZZAZIONE SPERIMENTALE DEL DISPOSITIVO ... 231

6.1 Caratterizzazione dinamica in campo lineare con rumore bianco ... 232

6.1.1 Descrizione della strumentazione e della campagna di misure ... 232

6.1.2 Ricerca del parametro di sovraincisione ... 240

6.1.3 Ricerca del fattore di qualità ... 246

6.2 Caratterizzazione statica: curva C-V ... 248

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6.2.2 Prove sperimentali C-V ... 250

6.2.3 Confronto tra risultati analitici e sperimentali ... 252

PROVE DINAMICHE CON SWEEP IN FREQUENZA ... 261

7.1 Descrizione della strumentazione e della campagna di misure ... 262

7.1.1 Nuovo sistema strumentale di misura ... 262

7.1.2 Conversione in ampiezza di rotazione delle misure sperimentali in capacità ... 265

7.1.3 Caratterizzazione dei parametri di sovraincisione del dispositivo ... 267

7.2 Ricerca del fattore di qualità... 272

7.2.1 Dipendenza del fattore di qualità dal potenziale di polarizzazione ... 272

7.2.2 Stima del fattore di qualità da prove dinamiche lineari... 273

7.2.3 Stima del fattore di qualità da prove sperimentali dirette ... 277

7.2.4 Definizione della banda di variabilità del fattore di qualità ... 279

7.3 Confronti numerico-sperimentali ... 280

7.3.1 Analisi delle prove dinamiche sperimentali con sweep in frequenza ... 281

7.3.2 Confronti tra risposte in frequenza numeriche e sperimentali a pari V_p ... 284

7.4 Dominio di pull-in sperimentale ... 293

APPLICAZIONE DELLO STUDIO DELLE NON LINEARITA’ A CASI PRATICI ... 299

8.1 Accelerometro torsionale risonante fuori piano ... 300

8.1.1 Principio di funzionamento e caratterizzazione ... 301

8.1.2 Dinamica dei risonatori in un accelerometro fuori piano ... 304

8.2 Compensazione delle non linearità dinamiche ... 317

8.2.1 Il comportamento non lineare del risonatore torsionale ... 317

8.2.2 Compensazione mediante molle torsionali a rigidezza meccanica variabile ... 322

8.2.3 Compensazione mediante l’introduzione di un nuovo sistema di ancoraggio ... 333

CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI ... 349

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INDICE

7 APPENDICE B: Confronti tra soluzioni numeriche, analitiche e risultati sperimentali ... 361 BIBLIOGRAFIA ... 367

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 1.1: Alcune applicazioni dei dispositivi MEMS ([STM] e [Bosch]). ... 48

Figura 1.2: Dimensioni dei dispositivi MEMS confrontate con (a) un acaro e (b) un capello ([Corigliano]). ... 49

Figura 1.3: Schema delle parti costituenti un MEMS. ... 49

Figura 1.4: Richard Feynman osserva al microscopio il micro motore costruito da William McLellan ([Corigliano]) ... 50

Figura 1.5: Previsione dell’evoluzione del mercato dei MEMS fino al 2018, suddivisa per tipologia di dispositivi ([Yole]) ... 51

Figura 1.6: Principali aziende operanti nel settore dei MEMS con le rispettive quote di mercato relative all’anno 2014 nel confronto con l’anno precedente ([Yole]) ... 52

Figura 1.7: Dimensioni di un modulo MEMS a 9 assi confrontate con una moneta da un centesimo di Euro ([Corigliano]) ... 54

Figura 1.8: Illustrazione schematica dei passaggi principali del processo di microfabbricazione Thelma ([Corigliano et al., 2004]) ... 55

Figura 1.9: Schematizzazione di un sensore di pressione capacitivo ([Findmems]) ... 57

Figura 1.10: Schema di funzionamento di un sensore di pressione piezoresistivo ([Electronicdesign]) ... 57

Figura 1.11: Schematizzazione di un interruttore ([Martìn e Bonache, 2014]) ... 58

Figura 1.12: Dispositivo Lab-on-a-chip per la diagnosi di malattie infettive tropicali ([STM]) ... 59

Figura 1.13: Accelerometro capacitivo biassiale nel piano ([Corigliano]) ... 60

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Figura 1.15: Giroscopio MEMS ([Dixon-Warren, 2011]) ... 62

Figura 1.16: Schema di funzionamento di un accelerometro capacitivo ... 63

Figura 1.17: (a) Accelerometro capacitivo che sfrutta dei condensatori comb finger. (b) Schema di funzionamento di un condensatore comb finger. ([Corigliano]) ... 63

Figura 1.18: Accelerometro piezoresistivo ([Shkel e Eklund, 2007]) ... 64

Figura 1.19: Schema di funzionamento di un accelerometro a massa inerziale risonante ... 65

Figura 1.20: Accelerometro a massa inerziale risonante ([Sung et al., 2003]) ... 65

Figura 1.21: Schema di funzionamento di un accelerometro a elemento risonante aggiunto ... 66

Figura 1.22: Accelerometro risonante biassiale in piano a elementi risonanti aggiunti con due configurazioni alternative delle molle e dei risonatori ([Comi et al., 2011a]) ... 66

Figura 1.23: Accelerometro risonante fuori piano a elementi risonanti aggiunti. Si indicano con A e B i due risonatori torsionali. ([Caspani et al., 2014a]) ... 67

Figura 2.1: Immagine SEM del risonatore torsionale [Comi et al., 2016] ... 70

Figura 2.2: Vista schematica nel piano del risonatore torsionale (non in scala) ... 71

Figura 2.3: Vista schematica laterale del risonatore torsionale (non in scala) ... 71

Figura 2.4: Dettaglio dei fori nella massa risonante (non in scala) ... 72

Figura 2.5: Schematizzazione 3D del risonatore torsionale ... 73

Figura 2.6: Condensatore a facce piane parallele ... 74

Figura 2.7: (a) Modello del risonatore torsionale in COMSOL Multiphysics® (b) Dettaglio della mesh delle molle piegate ... 82

Figura 2.8: Andamento del momento torcente meccanico secondo l’ipotesi di comportamento lineare (in blu) e ricavato numericamente dal modello in COMSOL Multiphysics® (in rosso) ... 86

Figura 2.9: Condizione di sforzo massimo e minimo all’interno di una molla torsionale a seguito della rotazione massima ... 88

Figura 3.1: Andamento del momento torcente elettrostatico e delle sue approssimazioni tramite sviluppo al primo e al terz’ordine ... 94

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INDICE DELLE FIGURE

11 Figura 3.2: Andamento del fattore di amplificazione per diversi fattori di smorzamento ... 97

Figura 3.3: Andamento dell’angolo di fase per diversi fattori di smorzamento ... 98

Figura 3.4: Andamento dell’ampiezza di rotazione al variare della frequenza della forzante adimensionalizzata ... 99

Figura 3.5: Andamento dell’ampiezza di rotazione al variare dei potenziali di polarizzazione e di attuazione ... 100

Figura 3.6: Effetto del termine non lineare nell’equazione del moto ... 105

Figura 3.7: Andamento dell’ampiezza di rotazione non lineare al variare dei potenziali di polarizzazione e di attuazione ... 105

Figura 3.8: Comportamento non lineare: molteplicità di soluzioni a pari frequenza della forzante 106

Figura 3.9: Comportamento non lineare: valore critico dell’ampiezza della forzante ... 107

Figura 3.10: Confronto tra soluzione analitica lineare e al terz’ordine ... 108

Figura 3.11: Soluzione analitica ricavata tramite il metodo delle scale multiple e il metodo del bilancio armonico nel caso di piccole non linearità (V_p = 5V v_a = 105mV) ... 111 Figura 3.12: Soluzione analitica ricavata tramite il metodo delle scale multiple e il metodo del bilancio armonico nel caso di grandi non linearità (V_p = 17V v_a = 12mV) ... 112 Figura 3.13: Dominio limite oltre il quale le curve analitiche non raggiungono più la condizione di jump down... 113

Figura 4.1: Diagramma di flusso dell’algoritmo di Newtin-Raphson per la soluzione di equazioni algebriche non lineari ... 118

Figura 4.2: Rappresentazione grafica della procedura iterativa di Newton-Raphson ... 119

Figura 4.3: Confronto tra soluzione numerica e analitica dell’equazione del moto lineare con condizioni iniziali omogenee ... 122

Figura 4.4: Confronto tra soluzione numerica e analitica dell’equazione del moto lineare in vibrazione libera con spostamento iniziale unitario e velocità iniziale nulla ... 122

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Figura 4.5: Confronto tra soluzione numerica e analitica dell’equazione del moto lineare in vibrazione libera con spostamento iniziale nullo e velocità iniziale unitaria ... 123

Figura 4.6: Diagramma di flusso del metodo HHT per la ricerca della soluzione dell’equazione del moto passo a passo ... 126

Figura 4.7: Diagramma di flusso dell’algoritmo per la determinazione della risposta in frequenza attraverso la soluzione numerica di equazioni differenziali non lineari ... 130

Figura 4.8: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto arrestata al terz’ordine con l’ipotesi v_a ≪ V_p nel caso di piccole non linearità (V_p= 2V v_a= 250mV) ... 135 Figura 4.9: Percorsi a frequenze crescenti e decrescenti che permettono di seguire il ramo alto e il ramo basso della curva di riposta in frequenza ... 135

Figura 4.10: (a) Andamento delle oscillazioni della massa risonante nel tempo con condizioni iniziali slegate dalle condizioni di regime al passo di frequenza precedente (b) Ingrandimento in condizioni di regime del grafico di Figura 4.10(a) in cui si osserva il tipico andamento sinusoidale ... 136

Figura 4.11: (a) Andamento delle oscillazioni della massa risonante nel tempo con condizioni iniziali legate alle condizioni di regime al passo di frequenza precedente (b) Ingrandimento in condizioni di regime del grafico di Figura 4.11(a) in cui si osserva il tipico andamento sinusoidale ... 137

Figura 4.12: Diagramma di Argand ... 137

Figura 4.13: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto arrestata al terz’ordine con l’ipotesi v_a ≪ V_p nel caso di forte non linearità (V_p = 6V v_a = 65mV) ... 138 Figura 4.14: Andamento delle oscillazioni della massa risonante nel tempo in corrispondenza della frequenza di jump up... 138

Figura 4.15: Andamento delle oscillazioni della massa risonante nel tempo in corrispondenza della frequenza di jump down ... 139

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INDICE DELLE FIGURE

13 Figura 4.16: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto arrestata al terz’ordine senza l’ipotesi va ≪ Vp nel caso di forte non linearità (Vp = 5V va = 65mV) ... 142 Figura 4.17: Andamento del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di V_p tra 1V e 5,5V con v_a tale che rimanga costante il rapporto V_p/v_a pari a 25 ... 143 Figura 4.18: Andamento per valori positivi dell’angolo di rotazione del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di V_p tra 1V e 5,5V con v_a tale che rimanga costante il rapporto V_p/v_a pari a 25 ... 144 Figura 4.19: Andamento dello scostamento tra momento torcente elettrostatico in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di V_p valutato per (a) Θ = -0,02rad e (b) Θ = 0,02rad ... 145 Figura 4.20: Andamento del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di Vp tra 1V e 5,5V con va costante pari a 40mV ... 145 Figura 4.21: Andamento per valori positivi dell’angolo di rotazione del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di Vp tra 1V e 5,5V con va costante pari a 40mV ... 146

Figura 4.22: Andamento dello scostamento tra momento torcente elettrostatico in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di Vp valutato per Θ = 0,02rad nel caso di Vp/va costante e di va costante ... 146 Figura 4.23: Andamento per valori positivi dell’angolo di rotazione del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di va tra -500mV e 500mV con Vp costante pari a 2,5V ... 147 Figura 4.24: Andamento dello scostamento tra momento torcente elettrostatico in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di va valutato per Θ = 0,02rad nel caso di Vp costante pari a 2,5V ... 147 Figura 4.25: Andamento del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di va tra -500mV e 500mV con Vp costante pari a 2,5V ... 148 Figura 4.26: Andamento dello scostamento tra momento torcente elettrostatico in forma completa e approssimata al terz’ordine al variare di va valutato per Θ = -0,02rad nel caso di Vp costante pari a 2,5V ... 148

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Figura 4.27: Andamento per valori positivi dell’angolo di rotazione del momento torcente in forma completa e approssimata al terz’ordine (con e senza approssimazione va ≪ Vp) al variare di Vp tra 1V e 5,5V con va tale che rimanga costante il rapporto Vp/va pari a 25 ... 149 Figura 4.28: Andamento dello scostamento tra momento torcente elettrostatico in forma completa e approssimata al terz’ordine (con e senza approssimazione va ≪ Vp) al variare di Vp valutato per Θ = 0,02rad... 150 Figura 4.29: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa con l’ipotesi va ≪ Vp nel caso di forte non linearità (Vp = 6V va = 65mV) ... 154 Figura 4.30: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa con l’ipotesi va ≪ Vp nel caso di ampiezza di rotazione lineare superiore al limite fisicamente ammissibile (Vp = 2,5V va = 450mV). Le curve analitiche non si accorgono del limite (0,0233rad) rappresentato dalla retta nera tratteggiata, la curva numerica tende asintoticamente ad essa. ... 155

Figura 4.31: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa nel caso di forte non linearità (Vp = 6V va = 65mV) ... 157 Figura 4.32: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa nel caso di ampiezza di rotazione lineare superiore al limite fisicamente ammissibile (Vp = 2,5V va = 450mV) ... 158 Figura 4.33: Confronto tra tutte le soluzioni numeriche ricavate (Vp = 6V va = 65mV) ... 159 Figura 4.34: (a) Andamento della funzione che rappresenta l’equazione algebrica ottenuta dall’equazione del moto in forma completa attraverso il metodo HHT al variare dell’angolo di rotazione (b) Ingrandimento della stessa funzione per valori dell’angolo di rotazione nell’intorno di zero ... 163

Figura 4.35: Andamento del residuo (a) e dell’incremento da fornire alla soluzione (b) nelle 50 iterazioni concesse all’algoritmo di Newton-Raphson per giungere a convergenza ... 165

Figura 5.1: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo HB e il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa nel caso di piccole non linearità (Vp = 5,5V va = 47mV) ... 169

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INDICE DELLE FIGURE

15 Figura 5.2: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo HB e il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa nel caso di grandi non linearità (Vp = 5,5V va = 81mV) ... 170 Figura 5.3 Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo HB e il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa nel caso di assenza del punto di jump down (Vp = 5,5V va = 88mV) ... 171 Figura 5.4: Confronto tra soluzione analitica (al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Vp = 5,5V e va crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 172

Figura 5.5: Confronto tra soluzione analitica (al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Vp = 5,5V e va crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 173

Figura 5.6: Andamento dell’ampiezza di picco (a) e della frequenza di picco (b) al variare del potenziale di attuazione per le soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e la soluzione numerica ... 173

Figura 5.7: Confronto tra soluzione analitica (al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Vp = 1V e va crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 174

Figura 5.10: Confronto tra soluzione analitica (al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Vp = 2,5V e va crescente (si

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rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 176

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INDICE DELLE FIGURE

17 Figura 5.18: Andamento dell’ampiezza di picco (a) e della frequenza di picco (b) al variare del potenziale di attuazione per le soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e la soluzione numerica ... 180

Figura 5.22: Coppie di potenziali Vp-va che forniscono la stessa ampiezza massima

nell’approssimazione lineare ... 182

Figura 5.23: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Alin_max = 0,01 rad e Vp crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 183

Figura 5.25: Andamento dell’ampiezza di picco (a) e della frequenza di picco (b) al variare del potenziale di polarizzazione per le soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e la soluzione numerica ... 184

Figura 5.26: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Alin_max = 0,011rad e Vp

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crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 185

Figura 5.27: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine secondo il metodo MS) e soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa per Alin_max = 0,011rad e Vp crescente (si rappresentano in linea tratteggiata le curve numeriche e in linea continua dello stesso colore le curve analitiche) ... 186

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INDICE DELLE FIGURE

19 Figura 5.34: Andamento dell’ampiezza di picco (a) e della frequenza di picco (b) al variare del potenziale di polarizzazione per le soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e la soluzione numerica ... 189

Figura 5.35: Immagine SEM di un dispositivo MEMS in cui risultano evidenti gli effetti di sovraincisione della fase di escavazione ([Corigliano]) ... 191

Figura 5.36: Variazione della riposta in frequenza per Vp = 6V e va = 65mV al variare del valore dello spessore di sovraincisione in piano, rispettivamente 0,25µm, 0,30µm e 0,35µm per le curve blu, rossa e verde. In figura si riporta la soluzione numerica e la corrispondente soluzione analitica al terz’ordine. ... 192

Figura 5.37: Andamento della soluzione analitica al terz’ordine per Vp = 6V e va = 65mV al variare del fattore di qualità Q ... 193 Figura 5.38: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,005rad e Vp = 7V per diversi valori di Q e va ... 194 Figura 5.39: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,01rad e Vp = 7V per diversi valori di Q e va ... 194 Figura 5.40: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,012rad e Vp = 7V per diversi valori di Q e va ... 195 Figura 5.41: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,005rad e va = 26mV per diversi valori di Q e Vp... 195 Figura 5.42: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,01rad e va = 51mV per diversi valori di Q e Vp ... 196 Figura 5.43: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Alin_max = 0,012rad e va = 51mV per diversi valori di Q e Vp... 196 Figura 5.44: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per Vp = 5V e va = 40mV per diversi valori di Q ... 197 Figura 5.45: Confronto tra soluzioni numeriche e analitiche al terz’ordine per va = 65mV per diversi valori di Vp ... 198

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Figura 5.46: Spettro di risposta in frequenza (analitico e numerico) per Vp = 6V e va = 60mV. Si osserva in corrispondenza della frequenza selezionata (0.996) la presenza di due soluzioni stabili distinte. ... 199

Figura 5.47: Andamento nel tempo dell’angolo di rotazione per condizioni iniziali prossime alla situazione di regine sul ramo basso (a) e a quella sul ramo alto (b) ... 200

Figura 5.48: Rappresentazione nel piano delle fasi (spostamento-velocità) dell’andamento nel tempo della soluzione partendo da condizioni iniziali prossime alle condizioni di regime del punto sul ramo basso (curva rossa) e prossime alle condizioni di regime del punto sul ramo alto (curva blu) ... 200

Figura 5.49: Andamento nel tempo dell’angolo di rotazione per condizioni iniziali distanti dalla situazione di regine del punto sul ramo alto ... 201

Figura 5.50: Andamento dell’angolo di rotazione nel tempo (rappresentato per i primi periodi). Attraverso l’algoritmo numerico si risolve l’equazione del moto in 200 punti per periodo e si considera in ciascun periodo come caratteristiche le condizioni di angolo di rotazione nel punto n. ... 202

Figura 5.51: Andamento della velocità angolare nel tempo (rappresentato per i primi periodi). Attraverso l’algoritmo numerico si risolve l’equazione del moto in 200 punti per periodo e si considera in ciascun periodo come caratteristiche le condizioni di velocità angolare nel punto n. 202 Figura 5.52: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse). ... 203

Figura 5.53: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) considerando come caratteristico il primo punto di ciascun periodo. ... 203

Figura 5.54: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) considerando come caratteristico il punto n1 di ciascun periodo. ... 205 Figura 5.55: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) considerando come caratteristico il punto n2 di ciascun periodo. ... 205

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INDICE DELLE FIGURE

21 Figura 5.56: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) considerando come caratteristico il punto n1 per le curve che convergono al ramo basso e n2 per quelle che convergono al ramo alto. ... 206

Figura 5.57: (a) Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse). (b) Spettro di risposta in frequenza in cui si evidenziano i punti della curva corrispondenti ai punti attrattori nel piano delle fasi. ... 207

Figura 5.58: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) e divisione del piano in due zone distinte di attrazione delle soluzioni stabili. ... 207

Figura 5.59: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) e divisione del piano in due zone distinte di attrazione delle soluzioni stabili ... 208

Figura 5.60: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve rosse) e sul ramo basso (curve blu) variando leggermente i valori di sovraincisione e fattore di qualità. Le curve che prima convergevano alla soluzione sul ramo alto (curve blu), ora convergono alla soluzione sul ramo basso. ... 209

Figura 5.61: Rappresentazione nel piano delle fasi dei percorsi a convergenza verso le due soluzioni stabili sul ramo alto (curve blu) e sul ramo basso (curve rosse) variando leggermente i valori di sovraincisione e fattore di qualità. Alcune curve che prima convergevano alla soluzione sul ramo basso (curve rosse), ora convergono alla soluzione sul ramo alto. ... 209

Figura 5.62: Diversi spettri di risposta in frequenza analitici per le diverse condizioni considerate per la rappresentazione nel piano delle fasi rispettivamente in Figura 5.57 (a), Figura 5.60 (b) e Figura 5.61 (c). ... 210

Figura 5.63: Configurazione del risonatore torsionale per la definizione numerica e sperimentale del potenziale di pull-in statico. ... 212

Figura 5.64: Andamento del momento torcente meccanico al variare dell’angolo di rotazione Θ .. 213 Figura 5.65: Andamento del momento torcente elettrostatico al variare dell’angolo di rotazione Θ per diversi valori del potenziale di polarizzazione Vp ... 213

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22

Figura 5.66: Andamento del momento torcente elettrostatico al variare dell’angolo di rotazione Θ per diversi valori del potenziale di polarizzazione Vp sovrapposto all’andamento in funzione di Θ del momento torcente meccanico. I punti di intersezione tra le due curve rappresentano le condizioni di equilibrio stabile e instabile. ... 214

Figura 5.67: Condizione di tangenza tra la curva che rappresenta il momento torcente elettrostatico e la retta del momento torcente meccanico. Il valore di potenziale di polarizzazione per cui la curva diventa tangente alla retta, portando alla coincidenza tra soluzione stabile e instabile, è il valore del potenziale di pull-in. ... 215

Figura 5.68: Andamento del potenziale di polarizzazione in funzione dell’angolo di rotazione Θ. Il punto di massimo corrisponde al potenziale di pull-in statico. ... 216

Figura 5.69: Andamento del potenziale di polarizzazione in funzione dell’angolo di rotazione Θ. Il punto di massimo corrisponde al potenziale di pull-in dinamico attraverso la tecnica del potenziale a gradino. ... 218

Figura 5.70: Andamento del potenziale di polarizzazione in funzione dell’angolo di rotazione Θ. Il punto di massimo corrisponde al potenziale di pull-in dinamico attraverso la tecnica del potenziale modulato... 220

Figura 5.71: Configurazione del risonatore torsionale nelle normali condizioni di funzionamento. ... 221

Figura 5.72: Andamento del momento torcente meccanico ed elettrostatico e della loro differenza in funzione dell’angolo di rotazione per Vp = 10V e va = 1V. Il momento torcente totale presenta tre intersezioni con l’asse orizzontale: due rappresentano soluzioni instabili e una rappresenta una soluzione stabile. ... 223

Figura 5.73: Andamento del momento torcente meccanico ed elettrostatico e della loro differenza in funzione dell’angolo di rotazione. Si osservi la dipendenza del momento torcente elettrostatico (e quindi del momento torcente totale), a pari potenziale della massa Vp = 10V, dal potenziale dell’elettrodo va (variabile tra 5V e 35V). ... 224 Figura 5.74: Andamento del momento torcente meccanico ed elettrostatico e della loro differenza in funzione dell’angolo di rotazione. Per un fissato Vp la condizione di va che porta alla scomparsa della soluzione stabile rappresenta la situazione di pull-in in grafico Vp = 10V va = 28,5V) ... 225

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INDICE DELLE FIGURE

23 Figura 5.75: Condizione limite di pull-in statico nel piano Vp-va per va positivo (a) e per va negativo (b). ... 225

Figura 5.76: Confronto tra soluzioni analitiche (lineare e al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa nel caso di ampiezza di rotazione lineare superiore al limite fisicamente ammissibile (Vp = 2,5V va = 450mV). Le curve analitiche non si accorgono del limite (0,0233rad) rappresentato dalla retta nera tratteggiata, la curva numerica tende asintoticamente ad essa. ... 227

Figura 5.77: Rappresentazione della soluzione analitica (al terz’ordine) e soluzione numerica dell’equazione del moto completa per le coppie di potenziali di attuazione e di polarizzazione che per la prima volta, fissato un certo Vp, manifestano la mancanza del punto di jump down. ... 229 Figura 5.78: Dominio di pull-in numerico ... 229

Figura 5.79: Confronto tra il dominio di pull-in numerico e le combinazioni Vp-va che causano l’assenza del punto di jump down nella soluzione analitica al terz’ordine mediante il metodo HB 230

Figura 6.1: (a) Banco punte sul quale viene posto il modulo di silicio con microscopio ottico per il corretto collegamento dei pads. (b) Dettaglio del banco punte in cui si possono osservare le punte metalliche che si collegano direttamente ai pads dello strumento. [Mems-Polimi] ... 232

Figura 6.2: Strumenti del laboratorio MEMS [Mems-Polimi]. ... 233

Figura 6.3: Individuazione della banda di frequenze di interesse attraverso la ricerca nei risultati forniti dall’analizzatore di spettro della presenza di un picco seguito da un anti-picco ... 234

Figura 6.4: Spettro di risposta Vout/VinONcaratterizzato dalla presenza di picco e anti-picco centrati in corrispondenza della frequenza di risonanza del dispositivo (Vp = 4V va = 200mV) . 235 Figura 6.5: Spettro di risposta Vout/VinOFFottenuto ponendo Vp = 0V ... 235 Figura 6.6: Spettro della funzione di trasferimento per Vp = 4V e va = 200mV ... 236 Figura 6.7: Spettro della funzione di trasferimento ottenuto dai risultati sperimentali e interpolazione dei dati per Vp = 4V e va = 200mV ... 237 Figura 6.8: Risultati sperimentali delle misure dinamiche con rumore bianco effettuate ... 238

Figura 6.9: Risultati sperimentali e dati interpolati delle misure dinamiche con rumore bianco effettuate... 238

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Figura 6.10: Risultati sperimentali per Vp = 3,5V e va = 200mV invertendo la funzione degli elettrodi ... 239

Figura 6.11: Ingrandimento dei risultati sperimentali per Vp = 4V e va = 200mV in cui risulta evidente la presenza di picchi secondari in posizione simmetrica rispetto alla frequenza principale ... 239

Figura 6.12: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per diversi valori di sovraincisione a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve sperimentali. ... 241

Figura 6.13: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per il valore ottimo di sovraincisione a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve sperimentali ... 242

Figura 6.14: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per diversi valori di over etch a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve interpolate ... 243 Figura 6.15: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per il valore ottimo di sovraincisione a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve interpolate... 244

Figura 6.16: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per il valore di sovraincisione fuori piano ottimo e diversi valori di sovraincisione in piano a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve interpolate ... 244

Figura 6.17: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per il valore ottimo di sovraincisione in piano e fuori piano a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati, ottenuti come ascissa del massimo delle curve interpolate ... 245

Figura 6.18: Capacimetro digitale Agilent E4980A utilizzato per la realizzazione delle curve C-V ... 248

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INDICE DELLE FIGURE

25 Figura 6.19: Configurazione del risonatore torsionale per le prove sperimentali statiche ... 249

Figura 6.20: Andamento sperimentale della capacità in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo ... 250

Figura 6.21: Andamento sperimentale della capacità in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo. Si evidenzia la condizione di pull-in in corrispondenza del salto della curva blu ... 251

Figura 6.22: Andamento della capacità dell’elettrodo di destra in funzione dell’angolo di rotazione della massa risonante ... 253

Figura 6.23: Andamento del momento torcente meccanico in funzione dell’angolo di rotazione della massa risonante ... 254

Figura 6.24: Andamento del momento torcente elettrostatico per diversi valori di Vp in funzione dell’angolo di rotazione della massa risonante ... 255

Figura 6.25: Andamento analitico della capacità in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo ... 255

Figura 6.26: Andamento analitico della rotazione di equilibrio statico in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo, fino alla condizione di pull-in ... 256

Figura 6.27: Andamento sperimentale e analitico (con valori di sovraincisione da letteratura) della capacità in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo ... 257

Figura 6.28: Variazione della curva capacità-potenziale di polarizzazione analitica al variare dei parametri di sovraincisione in piano e fuori piano ... 257

Figura 6.29: Andamento sperimentale e analitico (con valori di sovraincisione ricavati dalle prove sperimentali con rumore bianco) della capacità in funzione del potenziale di polarizzazione fornito all’elettrodo ... 258

Figura 7.1: (a) Modulo in cui è contenuto il risonatore torsionale bondato e montato sulla scheda collegata tramite cavi al sistema di misura. (b) Dettaglio della scheda e dei collegamenti ... 263

Figura 7.2: (a) Dimensioni della piattaforma sulla quale è saldato il modulo contenente il risonatore torsionale. (b) Dettaglio del modulo bondato sulla piattaforma. (c) Modulo in cui è contenuto il risonatore torsionale oggetto di studio ... 264

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26

Figura 7.3: Interfaccia grafica dello strumento MCP-Mems Characterization Platform di ITmems nel caso di rilevamento dello spettro di capacità lineare (a) e non lineare (b) ... 264

Figura 7.4: Configurazione del risonatore torsionale per le prove dinamiche con sweep in frequenza ... 265

Figura 7.5: Andamenti analitici al terz’ordine della risposta in frequenza per Vp = 5,5V e va pari al valore critico, 1/5 e 1/10 di tale valore ... 268 Figura 7.6: Andamento sperimentale degli spettri della capacità per tutte le combinazioni Vp-va studiate per la stima dei parametri del dispositivo ... 269

Figura 7.7: Esempi dell’operazione di interpolazione in frequenza per (a) Vp = 1V va = 94mV (b) Vp = 2V va = 47mV (c) Vp = 3V va = 20,5mV. La curva teorica (rappresentata in blu) presenza ampiezza diversa dalla curva sperimentale (rappresentata in rosso), ma risulta centrata nella stessa frequenza ... 270

Figura 7.8: Andamento analitico della frequenza di risonanza al variare del potenziale di polarizzazione per il valore ottimo di sovraincisione in piano e fuori piano a confronto con i valori sperimentali di frequenza di risonanza per i vari Vp considerati ... 270 Figura 7.9: Diagramma di flusso delle operazione di calibrazione dei parametri di sovraincisione e fattore di qualità ... 274

Figura 7.10: Esempi dell’operazione di interpolazione in ampiezza attraverso la minimizzazione dello scarto per (a) Vp = 1V va = 94mV (b) Vp = 2V va = 47mV (c) Vp = 3V va = 20,5mV. La curva teorica è rappresentata in blu, la curva numerica in rosso. ... 275

Figura 7.11: Esempi dell’operazione di interpolazione in ampiezza per cogliere il valore massimo per (a) Vp = 1V va = 94mV (b) Vp = 2V va = 47mV (c) Vp = 3V va = 20,5mV. La curva teorica è rappresentata in blu, la curva numerica in rosso ... 275

Figura 7.12: Andamento del fattore di qualità in funzione del potenziale di polarizzazione ricavato grazie all’interpolazione delle curve sperimentali lineari ... 277

Figura 7.13: Andamento nel tempo della capacità valutata sperimentalmente in seguito alla sollecitazione del sistema mediante un potenziale a gradino ... 278

Figura 7.14: Andamento del fattore di qualità in funzione del potenziale di polarizzazione ricavato grazie a prove sperimentali dirette. ... 279

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INDICE DELLE FIGURE

27 Figura 7.15: Andamento del fattore di qualità in funzione del potenziale di polarizzazione: confronto tra i risultati dell’interpolazione lineare e delle prove sperimentali dirette ... 280

Figura 7.16: Andamento sperimentale della risposta in frequenza per Vp = 4V e diversi valori di va ... 282

Figura 7.17: Andamento sperimentale della risposta in frequenza per Vp = 5V e diversi valori di va ... 282

Figura 7.18: Andamento sperimentale della risposta in frequenza per Vp = 5,5V e diversi valori di va ... 283 Figura 7.19: Andamento sperimentale della risposta in frequenza per Vp = 7V e diversi valori di va ... 284

Figura 7.20: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 4V e diversi valori di va ... 285 Figura 7.21: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 4V e diversi valori di va, considerando anche il valore di potenziale di attuazione che porta al pull-in dinamico ... 285

Figura 7.22: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 5V e diversi valori di va ... 286 Figura 7.23: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 5V e diversi valori di va, considerando anche il valore di potenziale di attuazione che porta al pull-in dinamico. ... 287

Figura 7.24: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 5,5V e diversi valori di va 287 Figura 5.25: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 5,5V e diversi valori di va, considerando anche il valore di potenziale di attuazione che porta al pull-in dinamico. ... 288

Figura 7.26: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 7V e diversi valori di va ... 289

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Figura 7.27: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per Vp = 7V e diversi valori di va, considerando anche il valore di potenziale di attuazione che porta al pull-in dinamico. ... 289

Figura 7.28: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto e risultato sperimentale per (a) Vp = 7V e va = 30mV e (b) Vp = 7V e va = 75mV. La frequenza di jump up viene colta, sia nel caso di piccole che di grandi non linearità, meglio della frequenza di jump down ... 290

Figura 7.29: Confronto tra soluzioni analitiche, numerica e risultati sperimentali per comportamento lineare (Vp = 7V va = 15mV) ... 291 Figura 7.30: Confronto tra soluzioni analitiche, numerica e risultati sperimentali per comportamento poco non lineare (Vp = 7V va = 30mV) ... 291 Figura 7.31: Confronto tra soluzioni analitiche, numerica e risultati sperimentali per comportamento fortemente non lineare (Vp = 7V va = 75mV) ... 292 Figura 7.32: Confronto tra soluzione numerica dell’equazione del moto (in linea tratteggiata) e risultato sperimentale (in linea continua dello stesso colore) per tutte le combinazioni Vp-va che portano sperimentalmente al pull-in dinamico ... 294

Figura 7.33: Dominio di pull-in numerico ottenuto con i valori dei parametri stimati da prove sperimentali ... 295

Figura 7.34: Dominio di pull-in numerico a confronto con i risultati sperimentali ... 296

Figura 8.1: Immagine SEM dell’accelerometro torsionale risonante fuori piano oggetto di studio. Si indicano con A e B i due risonatori torsionali. ([Caspani et al., 2014a]) ... 301

Figura 8.2: Rappresentazione schematica in pianta dell’accelerometro risonante fuori piano. ([Caspani et al., 2014a]) ... 302

Figura 8.3: Variazione di frequenza di risonanza per un’accelerazione esterna unitaria per il risonatore di destra (a) e per il risonatore di sinistra (b) ... 304

Figura 8.4: Configurazione iniziale dell’accelerometro e dei risonatori (in assenza di polarizzazioni), in seguito a una rotazione della massa inerziale β: i risonatori non risultano allineati con la massa di prova ... 305

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INDICE DELLE FIGURE

29 Figura 8.5: Configurazione iniziale dell’accelerometro e dei risonatori (in assenza di polarizzazioni), in seguito a una rotazione della massa inerziale β: i risonatori risultano allineati con la massa di prova ... 306

Figura 8.6: Posizione degli elettrodo di attuazione e rilevamento per la coppia di risonatori inserita all’interno dell’accelerometro risonante fuori piano [Comi et al., 2011c] ... 307

Figura 8.7: Andamento analitico lineare dell’ampiezza di rotazione in funzione della frequenza adimensionale per il risonatore di destra dell’accelerometro soggetto a un’accelerazione esterna di 9,81 m/s2 (Vp = 2,5V va = 60mV) ... 311 Figura 8.8: Andamento numerico e analitico lineare dell’ampiezza di rotazione in funzione della frequenza adimensionale per il risonatore di destra dell’accelerometro soggetto a un’accelerazione esterna di 9,81 m/s2 (Vp = 2,5V va = 20mV) ... 315 Figura 8.9: Andamento numerico e analitico lineare dell’ampiezza di rotazione in funzione della frequenza adimensionale per il risonatore di destra dell’accelerometro soggetto a un’accelerazione esterna di 9,81 m/s2 (Vp = 2,5V va = 40mV). ... 315 Figura 8.10: Andamento numerico e analitico lineare dell’ampiezza di rotazione in funzione della frequenza adimensionale per il risonatore di destra dell’accelerometro soggetto a un’accelerazione esterna di 9,81 m/s2 (Vp = 2,5V va = 80mV) ... 316 Figura 8.11: Modello della molla realizzato in COMSOL Multiphysics®. ... 318

Figura 8.12: Momento torcente meccanico fornito dalle molle due molle torsionali al variare dell’angolo di rotazione ... 319

Figura 8.13: Andamento della differenza tra momento torcente meccanico teorico e momento torcente meccanico ricavato tramite analisi in COMSOL Multiphysics® ... 319

Figura 8.14: Andamento al variare dell’angolo di rotazione dei termini elettrostatici presenti nell’equazione del moto arrestata al terz’ordine ... 320

Figura 8.15: Andamento della risposta in frequenza analitica per va = 200mV per diversi valori di Vp. Al crescere del potenziale di attuazione aumenta l’effetto di softening elettrostatico ... 320 Figura 8.16: Andamento della risposta in frequenza analitica per va = 200mV per diversi valori di Vp annullando le non linearità elettrostatiche date da k3 ... 321

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Figura 8.17: Principio di funzionamento di una molla flessionale a lunghezza variabile [Rivlin et al., 2015] ... 322

Figura 8.18: Configurazione di una molla torsionale che sfrutta il principio di trave a lunghezza variabile ... 323

Figura 8.19: Andamento della non linearità elettrostatica (in linea rossa) e approssimazione attraverso un andamento lineare a tratti (in linea blu) ... 323

Figura 8.20: Andamento della rigidezza al variare dell’angolo di rotazione ... 324

Figura 8.21: Configurazione di una molla torsionale con stoppers che permettono di inibire progressivamente parti della molla con conseguente variazione di rigidezza ... 324

Figura 8.22: Modello della mollo torsionale con un singolo stopper realizzato in COMSOL Multiphysics® in una vista 3D (a) e in una vista dall’alto (b). ... 325

Figura 8.23: Andamento del momento torcente meccanico fornito dalla molla torsionale con uno stopper ricavato mediante modellazione in COMSOL Multiphysics®. ... 325

Figura 8.24: (a) Andamento della componente non lineare del momento torcente meccanico e (b) della rigidezza nel caso di molla torsionale con un singolo stopper ... 326

Figura 8.25: Distribuzione degli spostamenti (a) e dello sforzo di Von Mises (b) nella molla torsionale con un singolo stopper in configurazione deformata a seguito di uno rotazione di 0,1 rad. ... 326

Figura 8.26: Ingrandimento della zona in cui lo stopper entra a contatto con la piega adiacente della molla... 326

Figura 8.27: Modello della mollo torsionale con quattro stopper di dimensioni compatibili con i processi produttivi realizzato in COMSOL Multiphysics® in una vista 3D (a) e in una vista dall’alto (b) ... 327

Figura 8.28: Andamento del momento torcente meccanico fornito da una molla torsionale standard (linea rossa) a confronto con l’andamento fornito dalla molla torsionale con quattro stoppers (linea blu) ... 328

Figura 8.29: Andamento della componente non lineare del momento torcente meccanico nel caso di molla torsionale con quattro stoppers ... 328

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INDICE DELLE FIGURE

31 Figura 8.30: Andamento della rigidezza nel caso di molla torsionale con quattro stoppers ... 329

Figura 8.31: Ingrandimento delle zone in cui gli stoppers entrano a contatto con la piega adiacente della molla ... 329

Figura 8.32: Andamento della risposta in frequenza analitica per Vp = 5,5V e va = 80mV ... 330 Figura 8.33: Modello della mollo torsionale con tre stopper di dimensioni compatibili con i processi produttivi realizzato in COMSOL Multiphysics® in una vista 3D (a) e in una vista dall’alto (b) .. 330

Figura 8.34: Andamento del momento torcente meccanico fornito da una molla torsionale standard (linea rossa) a confronto con l’andamento fornito dalla molla torsionale con tre stoppers (linea blu) ... 331

Figura 8.35: Andamento della componente non lineare del momento torcente meccanico nel caso di molla torsionale con tre stoppers ... 331

Figura 8.36: Andamento della rigidezza nel caso di molla torsionale con un tre stoppers ... 332

Figura 8.37: Confronto tra non linearità elettrostatiche e non linearità meccaniche nate per la nuova configurazione della molla torsionale. ... 332

Figura 8.38: Andamento della rigidezza nel caso di molla torsionale con un tre stoppers per rotazioni crescenti e decrescenti ... 333

Figura 8.39: Schematizzazione del nuovo sistema di ancoraggio in una vista in pianta (a) e in una vista 3D (b)... 334

Figura 8.40: Trave doppiamente incastrata con rotazione imposta ad un estremo. ... 335

Figura 8.41: Schema per ricavare la relazione tra du e w' ... 336 Figura 8.42: Andamento della funzione di forma. ... 337

Figura 8.43: Modello in COMSOL Multiphysics® di una coppia di travi ... 339

Figura 8.44: Configurazione deformata del sistema di travi a seguito di una rotazione del blocchetto rigido ... 340

Figura 8.45: Andamento del momento torcente meccanico con termini elettrostatici non lineari fornito da una molla torsionale standard (linea rossa tratteggiata) a confronto con l’andamento fornito dalla nuova molla non lineare (linea blu) ... 340

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Figura 8.46: Confronto tra non linearità elettrostatiche e non linearità meccaniche nate per la nuova configurazione del sistema di ancoraggio ... 341

Figura 8.47: Primo modo del risonatore torsionale con la nuova configurazione del sistema di ancoraggio ... 341

Figura 8.48: Schematizzazione del nuovo sistema di ancoraggio in una vita in pianta (a) e in una vista 3D (b)... 344

Figura 8.49: Modello in COMSOL Multiphysics® di una coppia di travi con blocchetto di dimensioni finite in configurazione indeformata (a) e in seguito a una rotazione del blocchetto (b) ... 345

Figura 8.50: Andamento del momento torcente meccanico con termini elettrostatici non lineari fornito da una molla torsionale standard (linea rossa tratteggiata) a confronto con l’andamento fornito dalla nuova molla non lineare con blocchetto di dimensioni finite (linea blu) ... 345

Figura 8.51: Confronto tra non linearità elettrostatiche e non linearità meccaniche nate per la nuova configurazione del sistema di ancoraggio con blocchetto di dimensioni finite ... 345

Figura 8.52: Primo modo del risonatore torsionale con la nuova configurazione del sistema di ancoraggio ... 346

Figura 8.53: Confronto tra riposta in frequenza per Vp = 2,5V e va = 155mV nel caso di sistema con molle torsionali lineari e di sistema con la nuova configurazione degli ancoraggi in grado di compensare le non linearità elettrostatiche al terz’ordine ... 346

Figura 8.54: Confronto tra riposta in frequenza per Vp = 2,5V e va = 204mV nel caso di sistema con molle torsionali lineari e di sistema con la nuova configurazione degli ancoraggi in grado di compensare le non linearità elettrostatiche al terz’ordine ... 347

Figura A.1: Elemento infinitesimo di trave soggetto a momento torcente ... 355

Figura A.2: Diagramma dell’autofunzione che esprime l’andamento della rotazione lungo l’asse della trave ... 360

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INDICE DELLE TABELLE

Tabella 2.1: Caratteristiche geometriche del risonatore torsionale ... 72

Tabella 2.2: Proprietà elettro-meccaniche del risonatore torsionale ... 73

Tabella 2.3: Modi di vibrare del risonatore torsionale ... 83

Tabella 2.4: Configurazione indeformata e deformata per molla allungata e piegata ... 85

Tabella 2.5: Momento torcente per rotazione di 0,1 rad per molla allungata e piegata ... 85 Tabella 2.6: Valori massimo e minimo di sforzo all’interno di una molla torsionale a seguito della rotazione massima ... 88

Tabella 4.1: Importanza del passo di discretizzazione temporale e in frequenza, confronto tra soluzione analitica lineare (linea azzurra continua) e soluzione numerica dell’equazione lineare (linea ciano tratteggiata) ... 133

Tabella 4.2: Importanza del passo di discretizzazione in frequenza, confronto tra soluzione analitica al terz’ordine (curva ciano continua) e soluzione numerica per frequenze decrescenti (curva blu tratteggiata) per Vp = 6V e va = 65mV ... 161 Tabella 4.3: Importanza del passo di discretizzazione temporale, confronto tra soluzione analitica al terz’ordine (curva ciano continua) e soluzione numerica per frequenze decrescenti (curva blu tratteggiata) per Vp = 6V e va = 65mV ... 162 Tabella 5.1: Combinazioni di potenziale di attuazione e ampiezza massima lineare considerate per le analisi numeriche, il valore del corrispondente potenziale di attuazione è riportato nelle celle espresso in mV. Le celle verdi rappresentano condizioni che consentono il raggiungimento del punto di jump down, le celle rosse rappresentano situazioni in cui la soluzione numerica tende all’asintoto. ... 228

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Tabella 6.2: Stima del valore del fattore di qualità per ogni misura effettuata sulla base dell’interpolazione delle curve sperimentali ... 247

Tabella 7.1: Combinazioni di potenziali di polarizzazione e di attuazione considerati per la calibrazione dei parametri del dispositivo in ambito lineare ... 268

Tabella 7.2: Valore della frequenza sperimentale e teorica (in seguito all’introduzione dei parametri di sovraincisione) e scostamento percentuale tra i due per ogni coppia di Vp-va considerata. ... 271 Tabella 7.3: Andamento del fattore di qualità in funzione del potenziale di polarizzazione ... 273

Tabella 7.4: Risultati dell’interpolazione in ampiezza per ogni coppia di Vp-va considerata. Si riportano i valori del fattore di qualità ottenuti dalla minimizzazione dello scarto quadratico medio tra soluzione analitica e sperimentale e dall’interpolazione dell’ampiezza massima sperimentale 276

Tabella 7.5: Valori di Q ricavati da prove sperimentali dirette ... 278

Tabella 7.6: Combinazioni di potenziali di polarizzazione e attuazione considerate per le prove sperimentali con sweep in frequenza ... 281

Tabella 7.7: Ulteriori misure sperimentali per la costruzione del dominio di pull-in sperimentale 296

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RINGRAZIAMENTI

Giunti alla conclusione di questo elaborato, che non è solo un progetto più lungo e importante degli altri sviluppati durante questi anni di università, ma rappresenta la conclusione di un tratto importante delle nostre vite, non possiamo non fermarci un istante a ripensare agli obbiettivi raggiunti ed ai traguardi superati. Stranamente la memoria si sofferma più su piccoli dettagli che sui grandi avvenimenti, più su rapide scene che sui grandi giorni, più su semplici parole che sui lunghi discorsi. Come a rivendicare, una volta tanto, l’importanza delle mille ore passate a studiare prima del momento dell’esame, dei mille pensieri prima di una decisione e soprattutto l’importanza delle persone che ci sono state, non tanto nei momenti di festa ma quando servivano davvero, quando c’era da rialzarsi dopo una delusione, quando c’era da rimboccarsi le maniche, quando si doveva cominciare nonostante la meta fosse così lontana da non vedersi ancora e senza le quali non saremmo di certo potuti arrivare fino a qui. Un primo ringraziamento va quindi alle nostre famiglie, per aver cercato sempre di capire e di capirci, per averci spronato quando c’era da darsi da fare, per averci aiutato a rialzarci dopo ogni caduta, ma soprattutto per averci dato la certezza che ci sarebbero state qualunque cosa fosse accaduta.

Un sincero ringraziamento va rivolto al professor Alberto Corigliano, che fin dal primo incontro, quando ancora l’argomento della tesi non era definito e tutto sembrava indecifrabile, ha saputo prima di tutto ascoltarci, darci fiducia, sempre pronto a mettersi in gioco per una nuova idea ed a mettere in discussione le sue, non facendoci mai sentire a disagio, ma al contrario convincendoci che anche una nostra proposta poteva essere valida e degna di essere esplorata. Non lo ringraziamo solo per averci introdotto nel mondo dei microsistemi, per i fondamentali insegnamenti tecnici e per la passione con cui ha svolto il ruolo di relatore e di insegnante, ma soprattutto aver creduto in noi ed essersi sempre impegnato per capire cosa ci potesse appassionare e in cosa potessimo dare il nostro contributo e se nel presente elaborato si è ottenuto qualcosa di buono è sicuramente da attribuire in primo luogo a lui.

Non possiamo inoltre non rivolgere un ringraziamento particolare all’Ingegner Valentina Zega, che ha rappresentato il principale riferimento per la soluzione dei mille problemi pratici, incontrati durante i mesi di lavoro sulla tesi, e la più valida guida per trovare il modo giusto per passare dalla teoria alla pratica, dai “concetti” alle “formule”. Dando prova di una pazienza non indifferente,

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durante i numerosi incontri ha sempre saputo rispondere in modo preciso e puntuale ai nostri mille dubbi, incoraggiandoci e tifando sempre per noi.

E’ inoltre doveroso ringraziare il professor Aldo Ghisi per il supporto tecnico e per l’utilizzo dei sistemi informatici del dipartimento e non solo e il Dottor Biagio De Masi per averci accompagnati con pazienza e passione durante la lunghe giornate di prove sperimentali passate nel laboratorio MEMS del DICA. Si ringrazia inoltre STMicroelectronics per la produzione dei dispositivi utilizzati nelle fasi di laboratorio e il DEIB per aver messo a disposizione le strutture e le apparecchiature strumentali per la seconda fase di prove sperimentali ed in particolare, per la sua disponibilità, il professor Giacomo Langfelder.

Infine, ma di certo non per ultima, ci temiamo a ringraziare la professoressa Claudia Comi, per i preziosi consigli e gli incoraggiamenti, ma soprattutto per la sua capacità di capire a fondo le questioni poste e poter quindi individuare eventuali punti di criticità e possibili soluzioni, da un punto di vista mai scontato.

Milano, Luglio 2016

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SOMMARIO

Il mondo dei microsistemi elettromeccanici ha riscosso negli ultimi decenni sempre maggiore interesse sia dal punto di vista del mercato che della ricerca, che si è rivolta alla realizzazione di dispositivi sempre più performanti, di dimensioni contenute ed a basso consumo energetico. Per far fronte alle nuove sfide si sono dimostrati indispensabili nuovi e più potenti strumenti di modellazione in grado di cogliere la risposta dei dispositivi anche in regime non lineare.

Il presente elaborato si innesta all’interno di un progetto di collaborazione tra la STMicroelectronics, azienda leader nel campo delle microtecnologie, ed il Dipartimento di Ingegneria Civile e Ambientale del Politecnico di Milano e si pone l’obiettivo di una completa caratterizzazione del comportamento dinamico non lineare in microstrutture, con particolare riferimento ad un risonatore torsionale.

Nell’elaborato si presenta un modello elettromeccanico non lineare con il quale si modella il comportamento dinamico di un risonatore torsionale fuori piano attuato elettrostaticamente. Lo studio condotto si articola su tre diversi livelli.

In primo luogo si cercano soluzioni analitiche dell’equazione governante il moto del sistema, approssimata al primo e al terz’ordine, riconducendosi all’equazione dell’oscillatore di Duffing, che consentono di rappresentare la risposta in frequenza del sistema in prossimità della frequenza propria, per valori della forzante che non inducono comportamenti eccessivamente non lineari.

In un secondo momento si propone una soluzione numerica dell’equazione del moto in forma completa, attraverso successive discretizzazioni nel dominio del tempo e delle frequenze, riconducendosi, mediante l’applicazione del metodo di Hilber-Hughes-Taylor ad un’equazione algebrica non lineare risolta con la procedura iterativa di Newton-Raphson. Tale soluzione consente di rappresentare la risposta del modello anche in ambito fortemente non lineare e di cogliere alcuni fenomeni caratteristici come in particolare il pull-in dinamico e di definire le condizioni di regolare operatività del dispositivo.

Per validare le diverse soluzioni proposte e la capacità del modello elettromeccanico stesso di rappresentare il reale comportamento non lineare del dispositivo si procede secondo una terza fase sperimentale, caratterizzata da una prima serie di prove statiche e dinamiche con rumore bianco con l’obiettivo di calibrare i parametri del modello ed una seconda campagna di misure dinamiche con

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sweep in frequenza dalla quale si ottiene la risposta in frequenza del dispositivo in regime lineare e

non lineare, che può essere confrontata con quanto ottenuto dalle soluzioni analitiche e dall’integrazione numerica dell’equazione governante.

Si propongono infine due casi pratici di applicazione delle conoscenze acquisite dallo studio della dinamica non lineare del risonatore torsionale: si ricava l’equazione governante la dinamica degli elementi risonanti di un accelerometro fuori piano, che consente di rilevare accelerazioni ortogonali al piano di sviluppo principale del dispositivo; si propongono due soluzioni per la compensazione delle non linearità elettrostatiche del comportamento dinamico del risonatore torsionale mediante un progetto del dispositivo che produca una rigidezza meccanica variabile con la rotazione della massa risonante e mediante l’ideazione di un nuovo sistema di ancoraggio della massa risonante al substrato che induca la nascita di componenti aggiuntive di rigidezza meccanica non lineare di valore pari e opposto a quelle elettrostatiche. Entrambe le proposte vengono validate mediante analisi ad elementi finiti.

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ABSTRACT

The world of MicroElectroMechanical Systems (MEMS) had an impressive development in recent times. More and more efficient devices have been produced, with small size and characterized by low power consumption. In order to deal with new challenges new and more powerful modeling tools, able to represent the response of the devices even in the nonlinear regime, are needed.

The present work is part of a collaborative project between STMicroelectronics, leader in microtechnology industry, and the Department of Civil and Environmental Engineering of Politecnico di Milano and aims at achieving a complete characterization of the nonlinear dynamic behavior of microstructures, in particular of a torsional resonator.

In the work is presented a nonlinear electromechanical model, which can represent the dynamic behavior of an out-of-plane torsional resonator electrostatically actuated and the study is based on three different levels.

First, analytical solutions of the equation governing the motion of the system (approximated at first and third order (Duffing’s equation)) are found. These solutions can be used in order to represent the frequency response of the system in proximity to the resonant frequency, for force levels that do not cause excessively nonlinear behavior.

Then, a numerical solution of the complete equation of motion is proposed. This is reached through two successive discretizations in time and frequency domains, obtaining, through the application of Hilber-Hughes-Taylor method, a nonlinear algebraic equation which is solved by a Newton-Raphson iterative procedure. This solution allows to represent the response of the system even in highly nonlinear regime, to recognize some characteristic phenomena such as the dynamic pull-in and to define the safe operation region of the device.

In order to validate the different proposed solutions and the ability of the electromechanical model to represent the actual nonlinear behavior of the device, a third experimental phase is then introduced. A first set of static and dynamic (with white noise) tests are presented with the purpose of calibrating the parameters of the model. A second phase of dynamic measurements with frequency sweep allows to obtain the frequency response of the device in linear and nonlinear regime. These experimental