La procedura disk heating

Per determinare la forma dell’ellissoide delle velocit`a del disco di NGC 7664 si `e utilizzato il programma disk heating scritto da E.M. Corsini per IDL che si basa sul procedimento descritto in Sez. 1.3.1.

Il programma ha bisogno delle velocit`a di rotazione del gas ionizzato lungo l’asse maggiore (Sez. 5.2), delle velocit`a di rotazione della componente stellare lungo l’asse maggiore e delle dispersioni di velocit`a della componente stellare lungo gli assi maggiore e minore (Sez. 4.1). Inoltre `e necessario fornire il valore del raggio di scala h e dell’inclinazione i ottenuti a partire dai dati presenti in letteratura (Sez. 2.3). A partire da queste misure il programma restituisce i valori dei parametri v0, α, a, σR,0e σz,0, da cui si ricava il rapporto cercato tra le componenti verticale e radiale dell’ellissoide delle velocit`a del disco σz/σ<sub>R</sub>. Operativamente si trascura la parte della galassia dominata dallo sferoide e si assume che il gas ionizzato risieda in un disco dinamicamente freddo la cui velocit`a di rotazione traccia la velocit`a circolare.

Per la determinazione dei parametri liberi v0, α, a, σ_R,0e σz,0il programma disk heating fa uso della procedura CURVEFIT che calcola un’interpolazione ai minimi quadrati non lineari della funzione contenente i parametri liberi. Questa funzione deve possedere derivate parziali note o approssimabili. L’algoritmo si basa sul metodo di minimizzazione ai minimi quadrati non lineari di Levenberg–Marquardt (Press et al. 1992). Esso si basa sulla minimizzazione della funzione di merito χ² data da

χ²= ¹ N_DoF n X i=1 (Ymodi− Y_i)² σ2 i (5.1)

dove N_DoF`e il numero di gradi di libert`a (dato dalla differenza tra il numero di punti del vetto-re della variabile indipendente fornita al programma e il numero di parametri da identificavetto-re), Yi `e ciascuno degli n punti del vettore della variabile dipendente, Ymodi sono i corrispondenti

5.3. MISURA DELL’ELLISSOIDE DELLE VELOCIT `A DEL DISCO DI NGC 7664 131

Figura 5.1: Cinematica del gas ionizzato misurata lungo l’asse maggiore di NGC 7664. I profili radiali della velocit`a v lungo la LOS, dopo la sottrazione della velocit`a di sistema vc (in alto) e la dispersione di velocit`a σ lungo la LOS sono simmetrizzati rispetto alla posizione del centro della galassia. Il raggio `e espresso in arcsec a partire dalla posizione del centro della galassia e in kpc adottando il valore di distanza D tabulato in Tab. 2.1. I simboli vuoti rappresentato le misure di cinematica da noi ottenute mentre i simboli pieni quelle di Rubin et al. (1980). In particolare i triangoli verdi e i quadrati azzurri si riferiscono ai dati misurati rispettivamente lungo il lato in allontanamento e in avvicinamento.

valori trovati con l’interpolazione e infine σi sono i termini della funzione peso. Il procedi-mento viene iterato finch´e la funzione di merito χ² non raggiunge uno specifico valore oppure finch´e non viene eseguito il numero massimo di iterazioni fissato.

Per prima cosa il programma interpola i dati riguardanti la cinematica del gas ionizzato e stima i valori iniziali di v0 e α, che servono poi per l’interpolazione della cinematica di gas e stelle globale. Per il gas ionizzato si utilizza la legge empirica

v_c= v₀R^α (5.2)

dove v₀`e una velocit`a di scala e v_c`e la velocit`a ottenuta deproiettando sul piano galattico la velocit`a osservata del gas vgas,mj (che corrisponde alla V ottenuta in Sez. 5.2)

v_c= ^vgas,mj

sin i ^{. (5.3)}

Una volta trovati i valori di v0 e α, si pu`o procedere con la determinazione del rapporto σ_R/σ_z. Esso si ricava utilizzando la curva di rotazione del gas ionizzato, la curva di rotazione della componente stellare lungo l’asse maggiore della galassia, il profilo radiale della

disper-sione di velocit`a della componente stellare lungo gli assi maggiore e minore, come descritto in Sez. 1.3.1. Le leggi che interpolano questi dati sono

1. Per i dati ottenuti con l’analisi della cinematica del gas ionizzato lungo l’asse maggiore vgas,mj

sin i ^{= vc= v0R}

α; (5.4)

2. Per i dati della velocit`a ricavata dalla cinematica stellare lungo l’asse maggiore della galassia si usa l’equazione dell’asymmetric drift

v2 ∗,mj sin²i ^{= hvφi} 2 = v0R^2α−^σ²_R,0e^−2Rα  α − 1 2 ^{− R}  1 h ⁺ 2 a  (5.5) dove v∗,mj corrisponde alla V ricavata lungo l’asse maggiore in Sez. 4.2;

3. Per i dati riguardanti il profilo di dispersione di velocit`a lungo l’asse maggiore σ<sub>mj</sub>(R) = r 1 + α 2 <sup>σ</sup> 2 R,0e<sup>−2R</sup>α sin<sup>2</sup>i + σ2 z,0e<sup>−2R</sup>α cos2i; (5.6) 4. Per il profilo radiale della dispersione di velocit`a lungo l’asse minore

σmn(R cos i) = q

σ_R,0² e^−2Rα sin²i + σ²_z,0e^−2Rα cos2i (5.7) dove le σmj e σmn sono le dispersioni di velocit`a ricavate in Sez. 4.2. Bisogna tener conto del fatto che R cos i `e la proiezione del raggio lungo la direzione dell’asse minore e va quindi deproiettato prima di procedere alla minimizzazione, come per la velocit`a della componente stellare misurata lungo l’asse maggiore utilizzata nell’Eq. 5.5. Per interpolare i dati `e necessario fornire al programma i valori iniziali per la lunghezza di scala della dispersione di velocit`a a in arcsec, per il valore iniziale della componente radiale della dispersione di velocit`a σ_R,0in km s⁻¹, per quello della componente verticale della dispersione di velocit`a σz,0 in km s<sup>−1</sup>, per la velocit`a di scala del gas ionizzato v0 in km s⁻¹ e per il valore dell’esponente α. Devono inoltre essere forniti il valore dell’inclinazione i e della lunghezza di scala del disco h. Il programma trova i migliori valori dei parametri valutando il minor χ2, corrispondente a

χ²= χ²_vgas + χ²_v∗+ χ²_σmj + χ²_σmn (5.8) dove χ²_vgas corrisponde alla velocit`a di rotazione del gas, χ<sup>2</sup><sub>v∗</sub> a quella delle stelle, χ<sup>2</sup><sub>σmj</sub> cor-risponde alla dispersione di velocit`a delle stelle lungo l’asse maggiore e infine χ²_σmn alla dispersione di velocit`a delle stelle lungo l’asse minore. Per ciascuna componente vale

χ²_j = n X i=1 (Y_modi− Y_ossi)2 σ²_i ^(5.9)

dove j ≡ v_gas, v∗, σ_mj, σ_mna seconda dei casi, Y_mod indica il valore ottenuto con l’interpolazio-ne, Yoss il valore osservato e σ `e l’errore associato alla misura. Per trovare poi la funzione di merito normalizzata, va calcolato χ²/DoF. Una volta trovato il valore minimo di χ² quindi il programma fornisce i valori di v₀, α, a, σ_R,0 e σ_z,0 che meglio rappresentano i dati, con i relativi errori.

5.3. MISURA DELL’ELLISSOIDE DELLE VELOCIT `A DEL DISCO DI NGC 7664 133

Tabella 5.3: Confronto tra i risultati ottenuti da Gerssen et al. (2000) e quelli da noi ottenuti con l’applicazione di disk heating sui dati di NGC 2985.

Parametro Gerssen et al. (2000) disk heating

(1) (2) (3) a [arcsec] 73 ± 9 71.35 ± 2.64 σ_R,0[km s⁻¹] 149 ± 12 145.44 ± 2.72 σ_z,0 [km s⁻¹] 127 ± 10 133.10 ± 2.89 v0 [km s⁻¹] 136 ± 14 126.62 ± 4.06 α 0.18 ± 0.03 0.19 ± 0.01 σ_R/σ_z 0.85 ± 0.1 0.91 ± 0.03

Note: Col.(1): Parametro libero stimato. Col.(2): Stima del parametro ottenuta con la migliore interpolazione di Gerssen et al. (2000). Col.(3): Stima del parametro ottenuta con disk heating da noi.