Processi di Lévy rispetto a una filtrazione

3.2.1. Moto browniano rispetto a una filtrazione. Avendo introdotto la nozione di spazio filtrato(Ω, F, {F_t}_t≥0, P), è utile rafforzare la definizione di moto browniano nel modo seguente.

Definizione 3.14. Un processo stocastico B = {Bt}_t≥0 a valori in R^d, definito su uno spazio filtrato (Ω, F, {F_t}_t≥0, P), è detto {F_t}_t≥0-moto browniano d-dimensionale (o moto browniano d-dimensionale rispetto alla filtrazione {F_t}_t≥0) se è adattato a

{F_t}_t≥0 e se soddisfa le seguenti proprietà: (a) B0 = 0 q.c.;

(b) per ogni0 ≤ s < t, il vettore aleatorio B_t− B_s è indipendente da F_s; (c) per ogni0 ≤ s < t, si ha B_t− B_s∼ N (0, (t − s)I_d);

(d) B è un processo q.c. continuo.

La richiesta cheB sia adattato alla filtrazione {F_t}_t≥0implica, come abbiamo già osser-vato, che {F_t}_t≥0deve contenere la filtrazione naturale diB: si deve cioè avere l’inclusione F_t⊇ FB

t := σ({B_u}_0≤u≤t) per ogni t ≥ 0. Nel caso “minimale” in cui F_t= FB

t per ogni t ≥ 0, ritroviamo la caratterizzazione di moto browniano fornita dalla Proposizione 2.29. In altri termini, un moto browniano secondo la “vecchia” Definizione 2.27 non è altro che un {F_t^B}_t≥0-moto browniano secondo la “nuova” Definizione 3.14.

In molti casi è naturale (e conveniente) considerare una filtrazione {F_t}_t≥0strettamente più grande di quella naturale del processo, come mostra l’osservazione seguente.

Osservazione 3.15. Sia B = {(B⁽¹⁾t , . . . , B_t^(d))}t≥0 un moto brownianod-dimensionale e indichiamone con {G_t:= F_t^B}_t≥0la filtrazione naturale. Abbiamo già osservato che ogni componenteB⁽ⁱ⁾= {B_t⁽ⁱ⁾}_t≥0 è un moto browniano reale, ma in realtà vale di più. Infatti, per il Teorema 2.29, il vettore aleatorioB_t− B_s è indipendente da G_s, quindi a maggior ragione ogni sua componente B⁽ⁱ⁾_t − B⁽ⁱ⁾_s è indipendente da G_s. Questo significa che il processo B(i) è in realtà un {G_t}_t≥0-moto browniano reale. Si osservi che G_t= FB

t è più ampia della filtrazione naturale F_t^B(i) := σ({Bu⁽ⁱ⁾}_0≤u≤t) della componente B⁽ⁱ⁾.

3.2.2. Processi di Lévy rispetto a una filtrazione. Per i risultati che tratteremo nel resto di questo capitolo, vale la pena lavorare con una classe di processi più ampia del solo moto browniano, che andiamo ora a definire.

Definizione 3.16 (Processi di Lévy). Un processo stocastico X = {Xt}_t≥0 a valori in R^d, definito su uno spazio filtrato(Ω, F, {F_t}_t≥0, P), è detto {F_t}_t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale) — o processo di Lévy (d-dimensionale) rispetto alla filtrazione {F_t}_t≥0 — se è adattato a {F_t}_t≥0 e se soddisfa le seguenti proprietà:

(a) X0 = 0 q.c.;

(b) per ogni0 ≤ s < t, il vettore aleatorio (X_t− X_s) è indipendente da F_s;

(c) per ogni0 ≤ s < t e per ogni h ≥ 0, i vettori (X_t+h− X_s+h) e (X_t− X_s) hanno la stessa legge;

(d) X è un processo q.c. continuo a destra. Nel caso in cui {F_t}_t≥0= {FX

t }_t≥0sia la filtrazione naturale del processo,X = {X_t}_t≥0 è detto semplicemente processo di Lévy (d-dimensionale).

Rispetto alla Definizione 3.14 di {F_t}_t≥0-moto browniano, sono state semplicemente ri-lassate le condizioni (c) e (d). Di conseguenza, un {F_t}_t≥0-moto brownianod-dimensionale è un caso particolare di {F_t}_t≥0-processo di Lévyd-dimensionale, per cui tutti i risultati che seguono si applicano in particolare al moto browniano. Sottolineiamo che la classe dei processi di Lévy è ricca e contiene processi molto diversi dal moto browniano.^†

Ricordando la dimostrazione della Proposizione 2.26, è facile vedere che la proprietà (b) della Definizione 3.16 implica l’indipendenza degli incrementi: più precisamente, se X = {X_t}_t≥0 è un {F_t}_t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale), per ogni k ∈ N e per ogni 0 ≤ t1< . . . < t_k i vettori aleatori {Xti− Xti−1}_1≤i≤k sono indipendenti.

Una conseguenza molto importante della definizione di processo di Lévy è la seguente.

Proposizione 3.17. Sia X = {Xt}_t≥0un {F_t}_t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale). Allora il processo X è indipendente dalla σ-algebra F0.

Dimostrazione. Dobbiamo mostrare che le σ-algebre σ(X) (si ricordi la Definizione 2.23) e F₀ sono indipendenti. Ricordando che una base di σ(X) è data dalla famiglia J^X definita nell’equazione (2.32), è sufficiente dimostrare l’indipendenza del vettore aleatorio (X_s1, . . . , X_sk) da F₀, per ogni k ∈ N e 0 ≤ s1< . . . < s_k fissati.

Introduciamo gli incrementiY_i := X_si− X_si−1, per1 ≤ i ≤ k (con s₀ := 0) e mostriamo l’indipendenza delle σ-algebre {F0, σ(Y1), . . . , σ(Y_k)}. Per ogni scelta di D ∈ F0 e di A₁, . . . , A_k∈ B(Rd), dobbiamo mostrare che

P D ∩ k \ i=1 {Y_i ∈ A_i} ! = P(D) k Y i=1 P(Y_i∈ A_i) . (3.3)

Procediamo per induzione su k. Il caso k = 1 segue immediatamente dall’indipendenza di Y1 = Xs1− X0 da F₀, per la proprietà (b) della Definizione 3.16. Sempre per la stessa

†

Osserviamo tuttavia che, come già notato nell’Osservazione 2.5, ogni processo di Lévy X q.c. continuo (non solo q.c. continuo a destra) è dato da una semplice trasformazione del moto browniano: più

proprietà,Y_k = Xsk − Xsk−1 è indipendente da F_sk−1. Osservando che D ∩ k−1 \ i=1 {Y_i ∈ A_i} ∈ F_sk−1,

perché i vettori Y_i = X_si− X_si−1 sono F_sk−1-misurabili peri ≤ k − 1, possiamo scrivere

P D ∩ k \ i=1 {Yi ∈ Ai} ! = P D ∩ k−1 \ i=1 {Yi ∈ Ai} ! · P(Y_k∈ A_k) ,

e la relazione (3.3) segue per l’ipotesi induttiva.

Dall’indipendenza delleσ-algebre {F₀, σ(Y₁), . . . , σ(Y_k)} segue l’indipendenza del vet-tore aleatorio (Y1, . . . , Y_k) dalla σ-algebra F0. Dato che Xsi = Y1 + . . . + Yi per ogni 1 ≤ i ≤ k, il vettore aleatorio (X_s1, . . . , X_sk) è funzione misurabile di (Y1, . . . , Y_k) e dunque è anch’esso indipendente da F₀.

3.2.3. Ampliamento della filtrazione. Sia X un {Fs}_s≥0-processo di Lévy (d-dimensionale) e sia {F_s⁰}_s≥0una filtrazione ristretta che contenga la filtrazione naturale di X, ossia F_s^X ⊆ F_s⁰ ⊆ F_s per ogni s ≥ 0. È immediato allora verificare che X è un {F0

s}_s≥0-processo di Lévy (d-dimensionale).

Se consideriamo invece una filtrazione ampliata F_s⁰⁰⊇ F_s, non è detto che X sia un {F_s⁰⁰}_s≥0-processo di Lévy (d-dimensionale), perché la proprietà (b) della Definizione 3.16 potrebbe non valere per F_s⁰⁰. Un caso molto importante di ampliamento che non crea problemi è dato da {F_s+}_s≥0, come mostriamo ora.

Proposizione 3.18. Ogni {Ft}_t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale) X = {X_t}_t≥0 è anche un {F_t+}_t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale).

Dimostrazione. Dobbiamo solo verificare che Xt− X_s è indipendente dallaσ-algebra F_s+ := T

ε>0F_s+ε. Per la proprietà (b) della Definizione 3.16, per ogni ε > 0 si ha cheXt+ε− Xs+ε è indipendente da F_s+ε, quindi a maggior ragione è indipendente da F_s+⊆ F_s+ε. Di conseguenza, ricordando la relazione (3.1), per ogniA ∈ F_s+conP(A) > 0 e per ogniΦ : Rd→ R continua e limitata si ha

E(Φ(X_t+1/n− X_s+1/n) | A) = E(Φ(X_t+1/n− X_s+1/n)) , ∀n ∈ N . (3.4) Per definizione il processoX è q.c. continuo a destra. Dato che la funzione Φ è continua e limitata, si ha lim_n→∞Φ(X_t+1/n− X_s+1/n) = Φ(X_t− X_s) q.c. e, prendendo il limite n → ∞ in (3.4), per convergenza dominata si ottiene

E(Φ(X_t− X_s) | A) = E(Φ(X_t− X_s)) ,

per ogniA ∈ F_s+ e per ogni funzioneΦ : R^d→ R continua e limitata. Ricordando ancora la relazione (3.1), l’indipendenza diX_t− X_s da F_s+ è dimostrata.

Combinando la Proposizione 3.17 e la Proposizione 3.18 si ottengono conseguenze molto interessanti.

Teorema 3.19 (Legge 0–1 di Blumenthal). Sia X = {Xt}_t≥0 un processo di Lévy (d-dimensionale) e sia {F_t^X}_t≥0 la sua filtrazione naturale. La σ-algebra F₀₊^X è banale: per ogni A ∈ F₀₊^X si haP(A) = 0 oppure P(A) = 1.

Dimostrazione. Per ipotesi X = {Xt}_t≥0 è un {F_t^X}_t≥0-processo di Lévy, quindi per la Proposizione 3.18 è anche un {F_t+^X}_t≥0-processo di Lévy. Per la Proposizione 3.17, il processo X = {X_t}_t≥0 è indipendente da F₀₊^X, cioèσ(X) := σ({X_t}_t≥0) è indipendente da F₀₊^X. Dato che F₀₊^X ⊆ σ(X), segue che F₀₊^X è indipendente da sé stessa: per ogni A ∈ FX

0+ si ha dunqueP(A) = P(A ∩ A) = P(A)2, per cuiP(A) = 0 oppure P(A) = 1. Sottolineiamo che laσ-algebra F₀₊^X non è vuota, ma contiene al contrario molti eventi interessanti. Intuitivamente, essa consiste di tutti gli eventi che si possono decidere (ossia, per i quali si può dire se si siano verificati) osservando il processo X in un intorno arbitrariamente piccolo dell’origine. Ad esempio, qualunque sia la funzione f : [0, ∞) → (0, ∞), gli eventi {lim sup_h↓0X_h/f (h) = 1} e {lim inf_h↓0X_h/f (h) = −1} sono in F₀₊^X : di conseguenza, per dimostrare che le relazioni in (2.31) per il moto browniano valgono q.c. (per t0 = 0, senza perdita di generalità), basta mostrare che esse sono verificate su un

evento di probabilità strettamente positiva.

Supponiamo ora che {Ft}t≥0 sia una filtrazione su uno spazio di probabilità (Ω, F , P) completo. Proposizione 3.20. Ogni {Ft}t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale) X = {Xt}t≥0 è anche un {Ft+}t≥0-processo di Lévy (d-dimensionale).

Dimostrazione. Dobbiamo verificare che Xt− Xs è indipendente dalla σ-algebra Fs+:= σ(Fs+, N ), dove N := {C ∈ F : P(C) = 0}. Affermiamo che vale il seguente fatto generale: se una variabile Y è indipendente da una σ-algebra H ⊆ F , lo è anche da H := σ(H, N ). Ricordando la Proposizione 3.18 e scegliendo Y = Xt− Xse H = Fs+, si ha la tesi.

Resta da verificare quanto affermato. Ricordiamo che A ∈ H se e soltanto se esistono A⁰ ∈ H e C ∈ N tali che A 4 A⁰ = C. Dato che P(C) = 0, segue che P(A) = P(A⁰) e più in generale che P(F ∩ A) = P(F ∩ A⁰), per ogni F ∈ F . Scegliendo F = {Y ∈ D} e ricordando che Y è per ipotesi indipendente da H, si ha dunque

P(Y ∈ D, A) = P(Y ∈ D, A⁰) = P(Y ∈ D) P(A⁰) = P(Y ∈ D) P(A) , da cui segue l’indipendenza di Y daH, per l’arbitrarietà di D ∈ B(Rn) e di A ∈ H.