Processi stocastici e filtrazioni

Indichiamo con T un sottoinsieme di R, che avrà la funzione di insieme dei tempi per i processi stocastici che considereremo. I casi che ci interessano di più sono T = N0 e soprattutto T = [0, ∞) o T = [a, b] con 0 ≤ a < b < ∞. Ricordiamo che la la nozione processo stocastico è stata introdotta nella Definizione 2.1.

3.1.1. Modificazioni e indistinguibilità. Dato un processo X = {Xt}_t∈T, de-finito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), ricordiamo che le leggi dei vettori (X_t1, . . . , X_tk) su (E^k, E^⊗k), al variare di k ∈ N e t₁, . . . , t_k∈ T, sono dette leggi finito-dimensionali del processo.

Definiamo ora due importanti relazioni tra processi stocastici.

Definizione 3.1. Due processi stocastici X = {Xt}_t∈T, X⁰ = {X_t⁰}_t∈T aventi lo stesso insieme dei tempi, definiti sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F, P) e a valori nello stesso spazio misurabile (E, E), si dicono:

• modificazione (o versione) l’uno dell’altro se, per ogni t ∈ T, si ha Xt= X_t⁰ q.c.; • indistinguibili se, q.c., si ha X_t= X0

t per ogni t ∈ T.

Si noti che l’ordine in cui compaiono “q.c.” e “per ognit ∈ T” è fondamentale.

Con qualche ipotesi di regolarità si possono dare riformulazioni equivalenti. Per esempio, se lo spazio di probabilità (Ω, F, P) è completo, possiamo dire che i processi X e X0 sono

• modificazione l’uno dell’altro se, per ogni t ∈ T, si ha P(Xt= X_t⁰) = 1; • indistinguibili se P(X_t= X0

t per ognit ∈ T) = 1. Le osservazioni seguenti sono facilmente verificabili.

• Se due processi X, X0 sono indistinguibili, allora sono modificazione l’uno dell’altro. • Se due processi X, X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro, allora hanno le stesse leggi

finito-dimensionali. Infatti, per ognit1, . . . , t_k∈ T, i vettori aleatori (Xt1, . . . , X_tk) e(X0

t1, . . . , X0

tk) sono q.c. uguali (perché?) e dunque hanno la stessa legge.

• Se due processi X, X⁰ sono modificazione l’uno dell’altro e se l’insieme dei tempi T è numerabile, alloraX e X⁰ sono indistinguibili.

Quando l’insieme dei T è più che numerabile, la nozione di indistinguibilità è invece strettamente più forte della nozione di modificazione, come mostra l’esempio seguente. Esempio 3.2. Sia (Ω, F , P) uno spazio di probabilità su cui è possibile definire una variabile aleatoria realeU con legge continua, ossia senza atomi (si può considerare per esempio l’intervallo unitario([0, 1], B([0, 1]), Leb) munito della misura di Lebesgue, con U (ω) := ω). Definire un processo Y = {Y_t}_t∈[0,∞) ponendo Y_t(ω) := 1_{{(U +t)∈Q}}(ω), cioè Y_t(ω) = 1 se U (ω) + t ∈ Q mentre Yt(ω) = 0 altrimenti.

Dato qualunque processo reale X = {X_t}_t∈[0,∞) definito su (Ω, F, P), definiamo il processoX⁰ = {X_t⁰}_t∈[0,∞) ponendo X_t⁰ := X_t+ Y_t. Per ogni t ≥ 0 fissato si ha P(X_t= X0

per ipotesi; quindi X è una modificazione diX. Tuttavia i processi X e X non sono indistinguibili, perché per ogniω ∈ Ω si ha X_t⁰(ω) − X_t(ω) = Y_t(ω) 6= 0 per infiniti valori dit ≥ 0 (infatti la traiettoria t 7→ Y_t(ω) vale 1 sull’insieme denso Q − U(ω)).

Osservazione 3.3. Con riferimento all’esempio precedente, notiamo che la traiettoria t 7→ Y_t(ω) è discontinua in ogni punto t ∈ [0, ∞), per ogni ω ∈ Ω.^†SeX è un processo con traiettorie continue q.c., segue che per q.o.ω ∈ Ω la traiettoria t 7→ X_t⁰(ω) = X_t(ω) + Y_t(ω) del processo X0 è discontinua in ogni puntot ∈ [0, ∞). I processi X, X0 hanno dunque le stesse leggi finito-dimensionali (infattiX⁰ è modificazione di X) ma q.c. X ha traiettorie continue mentre X⁰ le ha discontinue. Questo esempio mostra che la continuità delle traiettorie di un processo non è una proprietà delle leggi finito-dimensionali.

3.1.2. Continuità e misurabilità di processi. Per tutto questo sottoparagrafo supponiamo che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞, e indichiamo con B(T) laσ-algebra boreliana di T.

Definiamo le importanti nozioni di continuità e misurabilità per un processo. Lo spazio topologico di arrivo dei processi che considereremo nel seguito sarà quasi sempre R^d.

Definizione 3.4. Un processo stocastico X = {Xt}_t∈T, definito su uno spazio di probabilità(Ω, F, P) a valori in uno spazio topologico (E, B(E)) (munito della σ-algebra boraliana), si dice:

• continuo (risp. continuo a destra, continuo a sinistra) se per ogni ω ∈ Ω la funzione t 7→ X_t(ω) è continua (risp. continua a destra, continua a sinistra) da T in E; • q.c. continuo (risp. q.c. continuo a destra, q.c. continuo a sinistra) se per q.o.

ω ∈ Ω la funzione t 7→ X_t(ω) è continua (risp. continua a destra, continua a sinistra) da T in E.

Definizione 3.5. Un processo X = {Xt}_t∈T, definito su uno spazio di probabilità (Ω, F, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice misurabile se l’applicazione (t, ω) 7→ Xt(ω) è misurabile da (T × Ω, B(T) ⊗ F) a valori in (E, E).

Vedremo tra poco che la misurabilità di un processo è una condizione poco restrittiva, che è verificata non appena le traiettorie del processo sono continue a destra (si vedano il Lemma 3.12 e il Lemma 3.13).

Ricordiamo che, per il teorema di Fubini (paragrafo 1.4.3 del capitolo 1), se una applicazione(x, y) 7→ f (x, y) è misurabile, allora per ogni x fissato la funzione y 7→ f (x, y)

†

Le traiettorie t 7→ Yt(ω) del processo che abbiamo costruito, pur essendo discontinue in ogni t ≥ 0, coincidono con una funzione continua (identicamente nulla) al di fuori di un insieme numerabile. È possibile produrre esempi molto più irregolari: per esempio, sfruttando un risultato di N. N. Lusin e W. Sierpinski [Sur une décomposition d’un intervalle en une infinité non dénombrable d’ensembles non mesurables, C. R. Acad. Sci. Paris 165 (1917), 422-424.], si può costruire un processo Y = {Yt}t≥0 che sia sempre una modificazione del processo identicamente nullo, cioè P(Yt = 0) = 1 per ogni t ≥ 0, ma le cui traiettorie t 7→ Yt(ω) non siano “Lebesgue misurabili” (ossia non siano misurabili rispetto al completamento della σ-algebra boreliana di [0, ∞) rispetto alla misura di Lebesgue) per alcun ω ∈ Ω.

è misurabile e, analogamente, per ogni y fissato la funzione x 7→ f (x, y) è misurabile. Tuttavia non vale il viceversa: la misurabilità delle sezioni y 7→ f (x, y), x 7→ f (x, y) non garantisce la misurabilità dell’applicazione(x, y) 7→ f (x, y).

Segue allora dalla Definizione 3.5 che, se un processoX = {Xt}_t≥0 è misurabile, le sue traiettoriet 7→ X_t(ω) sono funzioni misurabili, per ogni ω ∈ Ω fissato. La misurabilità di tutte le traiettorie non è tuttavia sufficiente a garantire che un processo sia misurabile. Si noti che se un processo reale positivo (o limitato)X = {Xt}_t≥0 è misurabile, vale la relazione E(R1

0 Xtdt) =R1

0 E(Xt) dt, grazie al teorema di Fubini.

3.1.3. Equivalenza di processi. Definiamo un’ulteriore relazione tra processi, che apparirà nella costruzione dell’integrale stocastico nel capitolo 5. Supponiamo sempre che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞, e indichiamo con Leb la misura di Lebesgue su T.

Definizione 3.6. Due processi stocastici X = {Xt}t∈T, X⁰= {Xt⁰}t∈T, definiti sullo stesso spazio di probabilità (Ω, F , P) e a valori nello stesso spazio misurabile (E, E), si dicono equivalenti se si ha Xt(ω) = X_t⁰(ω) per (Leb ⊗ P)-q.o. (t, ω) ∈ T × Ω.

Nel caso in cui l’insieme {(t, ω) ∈ T × Ω : Xt(ω) 6= X_t⁰(ω)} sia misurabile (per esempio, se X e X⁰ sono processi misurabili a valori in uno spazio metrico^†), grazie al Teorema di Fubini possiamo scrivere

(Leb ⊗ P) (t, ω) ∈ T × Ω : Xt(ω) 6= X_t⁰(ω)
= Z T P(Xt6= X_t⁰) dt = E Leb(t ∈ T : Xt6= Xt⁰)
. (3.2)

Da ciò discende che X e X⁰ sono equivalenti se e solo se vale una delle relazioni seguenti: • per Leb-q.o. t ∈ T si ha P(Xt6= X0

t) = 0, cioè Xt(ω) = X_t⁰(ω) per P-q.o. ω ∈ Ω;

• per P-q.o. ω ∈ Ω si ha Leb(t ∈ T : Xt(ω) 6= Xt⁰(ω)) = 0, cioè Xt(ω) = Xt⁰(ω) per Leb-q.o. t ∈ T. Ricordiamo che se X e X⁰sono modificazione l’uno dell’altro, per ogni t ∈ T si ha Xt= X_t⁰ q.c.. Quindi, per processi misurabili a valori in uno spazio metrico, la nozione di equivalenza è più debole della nozione di modificazione (e, a maggior ragione, della nozione di indistinguibilità).

3.1.4. Filtrazioni e ipotesi standard. Dato uno spazio misurabile (Ω, F ), si dice filtrazione una famiglia crescente {F_t}_t∈T di sotto-σ-algebre di F, cioè tale che F_s⊆ F_t per ogni s, t ∈ T con s ≤ t. Un esempio tipico è dato dalla filtrazione naturale {F_t^X}_t∈T di un qualunque processo X = {X_t}_t∈T, definita da F_t^X := σ({X_u}_{u∈T, u≤t}) e introdotta nel paragrafo 2.5.1 del capitolo 2.

Data una filtrazione {F_t}_t∈T, definiamo F_∞ := σ({Ft}_t∈T) come la più piccola σ-algebra che contiene tutte le F_t.

L’interpretazione intuitiva è che la σ-algebra F_t rappresenti l’informazione disponibile fino all’istante t: più precisamente, F_t contiene gli eventi conoscibili entro l’istante t, ossia quelli per cui al tempo t è possibile dire se si siano verificati oppure no. Nel caso speciale della filtrazione naturale di un processo X = {Xt}_t∈T, laσ-algebra Ft= F_t^X = σ({X_u}_{u∈T, u≤t}) contiene intuitivamente la “storia” del processo X fino all’istante t, ossia gli eventi esprimibili come funzione (misurabile) delle variabili {X_u}_u∈[0,t].

†

Oltre a richiedere la misurabilità dei processi X e X⁰, perché l’insieme {(t, ω) ∈ T×Ω : Xt(ω) 6= Xt⁰(ω)} che appare in (3.2) sia misurabile occorre fare qualche ipotesi minimale di regolarità sullo spazio di arrivo (E, E), che garantisca che la diagonale {(x, y) ∈ E × E : x = y} sia misurabile in (E × E, E ⊗ E); è

Uno spazio di probabilità(Ω, F, P) munito di una filtrazione {Ft}_t∈T è detto spazio (di probabilità) filtrato e sarà indicato con(Ω, F, {F_t}_t∈T, P).

Definizione 3.7. Dato uno spazio di probabilità completo (Ω, F , P), una filtrazione {F_t}_t∈T su(Ω, F, P) si dice completa se, per ogni t ∈ T, la σ-algebra Ftcontiene tutti gli eventi di F di probabilità nulla.

Ricordiamo che in uno spazio di probabilità completo(Ω, F, P) gli insiemi P-trascurabili, ossia i sottoinsiemi degli eventi di probabilità nulla, sono essi stessi eventi.

Assumiamo d’ora in avanti che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞. Data una filtrazione {F_t}_t∈T, definiamo F_t+ := T

u>tF_u, per ogni t < sup(T); se T = [a, b], poniamo Fb+ := F_b. Intuitivamente, la σ-algebra F_t+ contiene gli eventi conoscibili immediatamente dopo l’istantet.

Definizione 3.8. Una filtrazione {Ft}_t∈T si dice continua a destra se si ha l’uguaglianza F_t= F_t+ per ogni t ∈ T.

Osserviamo che F_t⊆ F_t+⊆ F_t+ε, per ogni t ∈ T e ε > 0, come si verifica facilmente. Si noti che F_t+ può essere strettamente più grande di F_t: per esempio, seX = {X_s}_s≥0 è un processo reale, l’evento A := {limn→∞X_t+1

n = 0} ∈ F_t+^X, ma in generale A 6∈ F_t^X.^† Definizione 3.9. Diciamo che una filtrazione {Ft}_t∈T su uno spazio di probabilità completo (Ω, F, P) soddisfa le ipotesi standard se è completa e continua a destra. In questo caso,(Ω, F, {F_t}_t∈T, P) è detto spazio (di probabilità) filtrato standard.

Data una filtrazione generica {F_t}_t∈T su uno spazio completo (Ω, F, P), se ne possono considerare alcune estensioni.

• Ponendo F_t:= σ(Ft, N ), dove N := {C ∈ F : P(C) = 0}, si ottiene una filtrazione completa: {F_t}_t∈T è la più piccola filtrazione completa che estende {F_t}_t∈T; • Considerando {F_t+}_t∈T, si ottiene una filtrazione continua a destra (esercizio):

{F_t+}_t∈T è la più piccola filtrazione continua a destra che estende {F_t}_t∈T.

• Combinando i punti precedenti, si ottiene la filtrazione {F_t+}_t∈T= {σ(F_t+, N )}_t∈T, detta ampliamento standard di {F_t}_t∈T: si tratta della più piccola estensione di {F_t}_t∈T che soddisfa le ipotesi standard.

La ragione per cui insistiamo su queste proprietà è che in molti casi risulta tecnicamente conveniente lavorare con uno spazio filtrato standard (si veda per esempio l’Esecizio 1.8 nel capitolo 1 in [Karatzas e Shreve, 1998], o il Lemma 3.13 più sotto).

†

Per esempio, sullo spazio (Ω = {T, C}, F = P(Ω)) definiamo il processo X = {Xs}s≥0 ponendo Xs(ω) ≡ 0 per s ≤ t mentre Xs(ω) := 1{C}(ω) per s > t. Definendo la σ-algebra banale B := {∅, Ω}, la filtrazione naturale del processo X è data da Fs^X = B per s ≤ t mentre Fs^X= F per s > t. Si ha quindi FX

t = B mentre F_t+^X = F ; dato che A := {limn→∞X_t+1

3.1.5. Processi adattati e progressivamente misurabili. Definiamo ora alcune importanti relazioni tra processi stocastici e filtrazioni. Assumiamo sempre che T = [0, ∞) oppure T = [a, b], con 0 ≤ a < b < ∞.

Definizione 3.10. Un processo stocastico {Xt}_t∈T, definito su uno spazio filtrato (Ω, F, {Ft}_t∈T, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice adattato alla filtrazione (o adattato tout court) se per ogni t ∈ T la variabile Xtè F_t-misurabile, cioè seX_tè

misurabile come applicazione da(Ω, F_t) in (E, E).

Per costruzione, ogni processoX è adattato alla sua filtrazione naturale {F_t^X}_t∈T, che è la più piccola filtrazione a cui X sia adattato. Infatti, si verifica facilmente che X è adattato a una filtrazione {F_t}_t∈T se e soltanto se F_t^X ⊆ F_t per ognit ∈ T.

Definiamo ora l’importante nozione di misurabilità progressiva.

Definizione 3.11. Un processo X = {Xt}_t∈T, definito su uno spazio filtrato (Ω, F, {F_t}_t∈T, P) a valori in uno spazio misurabile (E, E), si dice progressivamente mi-surabile se, per ogniT ∈ T, l’applicazione (t, ω) 7→ Xt(ω) da ([a, T ] × Ω, B([a, T ]) ⊗ F_T) a valori in(E, E) è misurabile, dove poniamo per brevità a := min(T).

SeX = {X_t}_t∈T è un processo progressivamente misurabile, è facile mostrare che X è misurabile e adattato. Vale un parziale viceversa: se un processo è misurabile e adattato, si può dimostrare che ne esiste sempre una modificazione progressivamente misurabile (si tratta di un risultato tutt’altro che banale).

Le nozioni di misurabilità e di progressiva misurabilità, all’apparenza piuttosto tecniche, sono automaticamente verificate per una classe molto ampia di processi, come mostrano i seguenti risultati.

Lemma 3.12. Se un processo X = {Xt}_t∈T è continuo a destra, allora è misurabile. Se X è continuo a destra e adattato, allora è progressivamente misurabile.

Dimostrazione. Dimostriamo la seconda parte nel caso in cui T = [0, ∞). Fissiamo T ≥ 0 e definiamo X₀⁽ⁿ⁾:= X0e Xu⁽ⁿ⁾:= X i

2n per u ∈ (ⁱ⁻¹₂nT,₂ⁱnT ], dove n ∈ N e 1 ≤ i ≤ 2ⁿ. Verifichiamo che la funzione (u, ω) 7→ Xu⁽ⁿ⁾(ω) è misurabile da ([0, T ] × Ω, B([0, T ]) ⊗ FT) a valori in (E, E): per ogni A ∈ E si ha

(u, ω) ∈ [0, T ] × Ω : X(n) u (ω) ∈ A = {0} × {X0∈ A}
∪ 2ⁿ [ i=1  i−1 2nT, i 2nT × X i 2nT∈ A ^ ∈ B[0, T ] ⊗ FT,

poiché per ipotesi X è adattato. Dalla continuità a destra di X si ha Xu(ω) = limn→∞Xu⁽ⁿ⁾(ω), per ogni (u, ω) ∈ [0, T ] × Ω. La funzione (u, ω) 7→ Xu(ω) è dunque misurabile come limite di funzioni misurabili.

Le conclusioni del Lemma precedente continuano a valere anche per processi q.c. conti-nui, a patto di lavorare con spazi di probabilità e filtrazioni complete. Più precisamente, vale la seguente estensione (omettiamo per brevità la semplice dimostrazione).

Lemma 3.13. Se un processo X = {Xt}_t∈T è q.c. continuo a destra e se lo spazio di probabilità (Ω, F, P) è completo, allora X è misurabile. Se X è q.c. continuo a destra e adattato a una filtrazione completa, alloraX è progressivamente misurabile.