Prolungamento di isometrie

Si dice spazio pseudometrico un insiemeE munito di una pseudodistanza d(·, ·), ossia di una funzioned : E × E → R tale che per ogni x, y, z ∈ E valgano le seguenti proprietà:

d(x, x) = 0 , d(x, y) = d(y, x) , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) .

Come è ben noto, se si rafforza la prima condizione richiedendo ched(x, y) = 0 se e solo sex = y, la funzione d(·, ·) si dice distanza e lo spazio E si dice spazio metrico. Ciò che differenza uno spazio pseudometrico rispetto a uno spazio metrico è che ci possono essere puntix, y ∈ E distinti (cioè x 6= y) tali che d(x, y) = 0.

Un caso tipico è dato dagli spazi di variabili aleatorie L^p(Ω, F, P): date infatti due variabili aleatorieX, Y ∈ L^p(Ω, F, P) tali che d(X, Y ) := kX −Y k_p = (E(|X −Y |))^1/p= 0, non si ha necessariamente X = Y (ma solo X = Y q.c.). Come abbiamo già ricordato, se si identificano le variabili aleatorie q.c. uguali, il relativo spazio delle classi di equivalenza (che, con abuso di notazione, si indica ancora conL^p(Ω, F, P)) diventa uno spazio metrico.

Data una successione di punti {x_n}_n∈N in uno spazio pseudometrico E e un punto x ∈ E, si dice che x_n converge versox (e si scrive x_n→ x) se si ha lim_n→∞d(x_n, x) = 0. A differenza di quanto accade per gli spazi metrici, il limite in generale non è unico: in effetti, sex_n→ x, allora x_n→ y per ogni y ∈ E con d(x, y) = 0.

Sottolineiamo che la pseudodistanza è una funzione continua, nel senso che sex_n→ x e y_n→ y si ha d(x_n, y_n) → d(x, y). Infatti, per la disuguaglianza triangolare,

d(x_n, y_n) ≤ d(x_n, x) + d(x, y) + d(y, y_n) , d(x, y) ≤ d(x, x_n) + d(x_n, y_n) + d(y_n, y) , dunque |d(x_n, y_n) − d(x, y)| ≤ d(x_n, x) + d(y_n, y) → 0.

Un sottoinsiemeS di uno spazio pseudometrico E si dice denso se per ogni x ∈ E esiste una successione di punti x_n∈ S tali che x_n→ x. Una successione {x_n}_n∈N in uno spazio pseudometrico E si dice di Cauchy se ∀ε > 0 esiste n₀ < ∞ tale che d(x_n, x_m) < ε per

ognin, m ≥ n0. È facile vedere che in qualunque spazio pseudometrico ogni successione convergente è di Cauchy. Se vale anche il viceversa, ossia se per ogni successione {x_n}_n∈N di Cauchy inE esiste x ∈ E tale che x_n→ x, lo spazio pseudometrico E si dice completo.

Come è noto,Lp(Ω, F, P) come spazio di classi di equivalenza è uno spazio metrico completo; come spazio di variabili aleatorie, è invece uno spazio pseudometrico completo. In effetti, seX_n→ X in L^p(Ω, F, P), allora X_n→ X⁰ per ogni altra variabile aleatoria X0 ∈ Lp(Ω, F, P) tale che X = X0 q.c..

Possiamo finalmente enunciare e dimostrare il risultato principale sull’estensione di isometrie densamente definite.

Teorema 5.1. Siano E uno spazio pseudometrico, F uno spazio pseudometrico completo,S un sottoinsieme denso di E e J : S → F un’isometria:

d(J(x), J(y)) = d(x, y) , ∀x, y ∈ S . (5.1)

Allora esiste un’isometria ¯J : E → F che estende J a tutto E, ossia: ¯

J(x) = J(x) , ∀x ∈ S , d( ¯J(x), ¯J(y)) = d(x, y) , ∀x, y ∈ E . (5.2) Se ˆJ : E → F è un’altra isometria che estende J, si ha d( ˆJ(x), ¯J(x)) = 0 per ogni x ∈ E. In particolare, F è uno spazio metrico (e non solo pseudometrico), l’estensione isometrica ¯J : E → F di J è unica.

Dimostrazione. Cominciamo a verificare l’ultima affermazione. Sia x ∈ E e consideria-mo una successione {x_n}_n∈NinS convergente a x, cioè d(x_n, x) → 0 (una tale successione esiste perché per ipotesi S è denso in E). Per la disuguaglianza triangolare

d( ˆJ(x), ¯J(x)) ≤ d( ˆJ(x), ˆJ(x_n)) + d( ˆJ(x_n), ¯J(x_n)) + d( ¯J(x_n), ¯J(x)) .

Per ipotesi ¯J e ˆJ coincidono su S, essendo estensioni di J, quindi ˆJ(x_n) = ¯J(x_n) e d( ˆJ(x_n), ¯J(x_n)) = 0. Inoltre d( ¯J(x_n), ¯J(x)) = d(x_n, x) e d( ˆJ(x_n), ˆJ(x)) = d(x_n, x), per l’isometria di ¯J e ˆJ. Dato che d(xn, x) → 0, segue che d( ˆJ(x), ¯J(x)) = 0 per ogni x ∈ E. Se lo spazio di arrivo F è metrico, ciò implica che ˆJ(x) = ¯J(x) per ogni x ∈ E.

Mostriamo ora l’esistenza di un operatore ¯J che soddisfa (5.2). Per x ∈ S poniamo ¯

J(x) := J(x). Per x ∈ E \ S, fissiamo un’arbitraria successione {_ex_n}_n∈NinS che converge verso x. Essendo convergente, {x_en}_n∈N è di Cauchy in E e quindi la successione delle immagini {J(_ex_n)}_n∈N è di Cauchy inF , poiché d(J(x_en), J(_ex_m)) = d(_ex_n,_ex_m), grazie a (5.1). Essendo per ipotesiF completo, esiste almeno un punto limite per la successione {J(x_en)}_n∈N: indicheremo con ¯J(x) uno di tali punti, scelto arbitrariamente ma fissato una volta per tutte, per cui si ha J(_ex_n) → ¯J(x).

Abbiamo quindi definito un operatore ¯J : E → F che per costruzione soddisfa la prima relazione in (5.2). Per verificare la seconda relazione, sianox, y ∈ E. Se x ∈ E \ S, sia x_en∈ S la successione fissata sopra nella definizione di ¯J, mentre se x ∈ S poniamo e

e analogamentey_en→ y, J(_eyn) → ¯J(y), quindi per continuità della pseudodistanza si ha d(J(x_en), J(y_en)) → d( ¯J(x), ¯J(y)) , d(_exn,_eyn) → d(x, y) .

Dato ched(J(x_en), J(_eyn)) = d(_exn,y_en) per ogni n ∈ N, grazie alla relazione (5.1), passando al limiten → ∞ otteniamo d( ¯J(x), ¯J(y)) = d(x, y).

Osservazione 5.2. Abbiamo enunciato il Teorema 5.1 per operatori isometrici perché è il caso che ci interessa per l’integrale stocastico. Sottolineiamo tuttavia che la dimostrazione si estende quasi senza modifiche ad operatori lipschitziani J : S → F : più precisamente, se d(J(x), J(y)) ≤ C d(x, y) per ogni x, y ∈ S, con C ≥ 0, allora esiste un operatore

¯

J : E → F che estende J e tale che d( ¯J(x), ¯J(y)) ≤ C d(x, y) per ogni x, y ∈ E; inoltre, tale operatore è unico se lo spazio d’arrivoF è metrico e completo.

Specializziamo ora il Teorema 5.1 al caso in cui E ed F sono spazi vettoriali e l’operatore J è lineare. L’analogo vettoriale di uno spazio pseudo metrico è dato da uno spazio seminormato: si tratta di uno spazio vettoriale reale E munito di una seminorma, cioè di una funzione k · k: E → R tale che per ogni x, y ∈ E e per ogni λ ∈ R si abbia

k0k = 0 , kλxk = |λ|kxk , kx + yk ≤ kxk + kyk .

Se si impone la condizione più forte che kxk = 0 se e solo se x = 0, la funzione k · k si dice norma e lo spazio vettoriale E si dice spazio normato. Ogni spazio seminormato (risp. normato) E è in particolare uno spazio pseudometrico (risp. metrico), in cui la pseudodistanza (risp. distanza) è definita dad(x, y) := kx − yk, per cui si applicano tutti i concetti definiti in precedenza: convergenza di successioni, densità di un sottoinsieme, completezza dello spazio, . . . Notiamo che le operazioni di somma e di prodotto per scalari sono funzioni continue: più precisamente, sex_n→ x e y_n→ y si ha αx_n+ βy_n→ αx + βy per ogni α, β ∈ R, come si verifica facilmente usando le proprietà della seminorma.

Per quanto ci riguarda, l’esempio tipico di spazio seminormato (risp. normato) completo è dato dallo spazio di variabili aleatorie (risp. di classi di equivalenza) Lp(Ω, F, P), in cui X 7→ kXk_p := (E(|X|^p))^1/p è una seminorma.

Veniamo ora al risultato annunciato.

Corollario 5.3. Siano E uno spazio seminormato, F uno spazio seminormato completo,S ⊆ E un sottospazio vettoriale denso e J : S → E un’isometria lineare:

J(αx + βy) = αJ(x) + βJ(y) , ∀α, β ∈ R , ∀x, y ∈ S , (5.3)

kJ(x)k = kxk , ∀x ∈ S . (5.4)

Allora esiste un’isometria lineare ¯J : E → F che estende J a tutto E: ¯

J(x) = J(x) , ∀x ∈ S , ¯

J(αx + βy) = α ¯J(x) + β ¯J(y) , ∀α, β ∈ R , ∀x, y ∈ E , (5.5) k ¯J(x)k = kxk , ∀x ∈ E .

Se ˆJ : E → F è un’altra isometria lineare che estende J, si ha k ˆJ(x) − ¯J(x)k = 0 per ogni x ∈ E. In particolare, F è uno spazio normato (e non solo seminormato), esiste un’unica isometria lineare ¯J : E → F che estende J.

Dimostrazione. Dalle proprietà (5.3), (5.4) segue che d(J (x), J (y)) = kJ (x) − J (y)k = kJ(x − y)k = kx − yk = d(x, y) per ogni x, y ∈ E, dunque l’ipotesi (5.1) è soddisfatta. Il Teorema 5.1 garantisce l’esistenza di un’isometria ¯J : E → F che estende J, cioè tale che

¯

J(x) = J(x) per x ∈ S e k ¯J(y) − ¯J(x)k = ky − xk per ogni x, y ∈ E. Inoltre, se lo spazio F è normato, dunque metrico, tale operatore ¯J è unico.

Resta solo da mostrare che ¯J è lineare, ossia che soddisfa la relazione (5.5). Osserviamo che, essendo isometrico, l’operatore ¯J è continuo: più precisamente, se z_n → z si ha

¯

J(z_n) → ¯J(z), perché per costruzione k ¯J(z_n) − ¯J(z)k = kz_n− zk → 0.

Datix, y ∈ E, siano {x_n}_n∈N e {y_n}_n∈N due successioni inS che convergono verso x e y rispettivamente. Per ogni α, β ∈ R si ha αxn+ βy_n → αx + βy, per continuità della somma e del prodotto per scalari, e per la continuità di ¯J si ottiene

α ¯J(x_n) + β ¯J(y_n) → α ¯J(x) + β ¯J(y) , J(αx^¯ _n+ βy_n) → ¯J(αx + βy) .

Per la validità della relazione (5.5) è dunque sufficiente mostrare che ¯J(αxn+ βyn) = α ¯J(x_n)+β ¯J(y_n) per ogni n ∈ N. Per costruzione xn, y_n∈ S e quindi anche αx_n+βy_n∈ S, perchéS è un sottospazio vettoriale. Dato che per costruzione ¯J è un’estensione di J, si ha ¯J(xn) = J(xn), ¯J(yn) = J(yn) e J(αxn+ βyn) = J(αx + βy). La conclusione segue allora dall’ipotesi (5.3).

Osservazione 5.4. Supponiamo che, nelle stesse ipotesi del Teorema 5.3, esista una forma bilineare h·, ·i su E tale che kxk =phx, xi per ogni x ∈ E, e analogamente per F . Allora l’operatore lineare ¯J preserva, oltre alla seminorma, anche la forma bilineare, cioè

h ¯J(x), ¯J(y)i = hx, yi , ∀x, y ∈ E .

Basta infatti notare che la forma bilineare si può ricostruire dalla seminorma grazie alla relazione ha, bi = 1

4(ka + bk2− ka − bk2), nota come identità di polarizzazione.