49. Ipotesi fondamentali sulla resistenza alla torsione dei solidi prismatici, omogenei ed elastici. - In un prisma omo-geneo è cimentata la resistenza alla torsione allorquando una sua sezion retta qualunque C D (fig. 24) gira, relativamente ad una se-zione AB, attorno ad un asse Y Z perpendicolare ai loro piani e passanti pei loro centri di superficie.
Considerando fra le due sezioni AB e CD diverse porzior1i di
fibre come m mi' r1np p PP ... pat·allele all'asse Y Z del solido, tutte incontranti la sezione CD, rnppreseutata in C'E'D'F', lungo il raggio O' C' in m', n', p', ... e supponendo che nel corpo si cimenti la resistenza alla torsione senza che però avvenga sner·
vamento, si ammette genet·almente che tutti gli elementi super·
ficiali m', n', p', ... , secondo cui queste pot·zioni di fibra incon·
trano la sezione C'E' D' F' prima della torsione, si trovino ancora dopo la torsione sul medesimo raggio spostato e passato in O' C'i.
Helativamenle poi alle azioui molecolari sviluppate dalle diverse porzioui di fibra del corpo comprese fra le rlue sezioni rette AB e C D per riprendere le primitive loro posizioni si suppone, sem-prechè non si verifichi snervamento:
i o Che siano dit'ellamente proporzionali alle supertìcie delle sezioni delle fibre deformale ;
2• Che. siano direttamente proporzionali agli spostamenti, come m'm'i, n'n'P. p'p'i' ... che le fibre hanno subito fra le due sezioni rette considerale AB e C D;
5" Che siano inversamente propot·zionali alla distanza A C di
dette sezioni.
50. Equazione d'equilibrio fra le forze estrinseche e le forze molecolari in un corpo prismatico ed omogeneo, nel quale vien cimentata la resistenza alla torsione, coefficiente di tor-sione e momento di torsibilità. - Si considerino nel solido pris-matico proposto due sezioni infinitamente vicine AB e CD (fig. 25), r.d in particolar modo una fibra elementare mmi compresa fra le delle sezioni e parallela all'asse YZ del prisma iutomo al qual asse si suppone aver luogo la rotazione prodotta dalla torsione. Chiara-mente si vede come, supponendo fissa la sezione C D, l'estremo della fibra elementare m mi rappresentato in m' sulla figut'a C'E' D' F' che dà l'inliera sezione C D, si sposterà angolarmente della quantità o dell'arco m' m'1 con tendenza a riprendere la primitiva sua posi-zione,· e sviluppando una certa azione molecolare contenuta nel piano della sezione C D e dil'etta normalmente al raggio O' m'i. Ciò premesso, chiamando
ro la superfìcie elementare della sezione dell'elemento di fi-bra mmi,
v la distanza Om1=0'm'=O'mi di detta fibra dall'asse YZ, l la distanza GO delle due sezioni considerate,
rp l'archetto di raggio eguale all'unità, col centro in O' e chiu-dente il piccolo angolo m'O' m'1 rappresentante di quanto la sezione CD ha rotato intorno all'asse Y Z relativamente alla sezione AB,
8 9
-M la somma dei momenti delle azioni molecolari sviluppate da tutte le fibre elementari, la qual somma di momenti contenuta nel piano della sezion retta CD è da considerarsi siccome eguale ed agente per verso contrario a quello secondo cui agisce la somma dei momenti delle forze che producono la torsione, agenti in piani normali all'asse Y Z del prisma,
E'" un coefficiente numerico dipendente dalla materia di cui il pt·isma è formato,
c ritenendo quanto nel precedente numet·o si è detto relativamente all'azione molecolare sviluppata da una fibra qualunque, si avrà:
che la lunghezza dell'arco m' m'1 è espressa da v qJ; che l'azione molecolare q sviluppata dalla fibra m m1 è data da
E, rov m
q== _l_r (1);
che il momento di questa forza rispetto all'asse Y Z del prisma, dal qual asse dista della quantità v, è
E"' ro v~ rp.
l '
e finalmente che la somma dei momenti delle azioni molecolari sviluppate da tutte le fibre del solido rispetto allo stesso asse ha per espressione
intendendo che il simbolo 2: si estenda ai prodotti di tutte le su-perficie elementari ro iu cui si scompone l'intiera sezion retta C'E' D' F' del corpo pei quadrati delle rispettive distanze dal punto 0'.
Ora, affinchè siavi equilibrio fra le forze estrinseche che tendono a produrre la torsione del prisma e le azioni molecolari in virtù delle quali esso resiste, è necessario che siavi eguaglianza fra i mo-menti delle une e delle altre presi rispetto all'asse Y Z, ed ecco per conseguenza l'equazione d'equilibrio fra le forze estrinseche e le forze molecolari in un prisma in cui venne prodotta torsione senza snervamento
(2).
Indicando con J la somma 2: ro v~ di lutti gli elementi superficiali
in cm SI può scompone la sezion rella del prisma pei quadrati delle lot'9 rispettive distanze dall'asse del prisma stesso (e), ossia il momento d'inm·zùt della superficie della se1..ione rispetto ad un asse ad essa perpepdicolare e passa11te pel suo centro di superficie, il quale da Persy vie11 chiamato momento d'i11erzia polare, l'equa-zione (2) diventa
M ==E"' rp/ (3).
Il coefficiente numerico E"' chiamasi coefficiente di torsione, ed il prodotto E"' 2: ru v2
=
E"' J, indipendente dalla torsione e dipen-dente soltanto dalla superficie e dalla forma della sezion relta del solido prismatico sottoposto a torsione e dalle sue proprietà fisiche, vien detto momento di torsibilità e, siccome ehiaramente lo dimostt·ano le equazioni (2) e (5), è esso proporzionale al momento delle forze estrinseche capaci di produrre una data torsione fra due sezioni rette vicinissime, e quindi si può assumere siccome atto a dare la misura di questo momento.Se nell'equazione ( 1) si fa 1' rp==l trovasi
E
"'-'L
- 'ro
ossia che il coefficiente di torsione si può definire in modo astratto la resistenza riferita all'unità di superficie, che opporrebbe un tratto di tìbra del corpo contorto non snervato quando i due punti estremi di esso tratto avessero subito, l'uno per rapporto all'altro e pel fatto della torsione, uno spostamento eguale alla loro distanza primitiva.
Le due lunghezze rp ed l che si trovano nella formola (5) devono essere espresse nella medesima unità di lunghezza; lo stesso si deve fare pel braccio di leva che costituisce uno dei due fallori componenti il momento l\1, e per le dimensioni lineari che entrano nel momento d'inerzia polare J; in quanto poi al valore di E"' si
(e) Chiamasi momento d'inerzia di uua superficie piana rispetto ad una retta qua-lunque, condolla nel suo piano o fuori di esso, la somma di Lutti gli elementi su·
perficiali in cui la snperficie piana può essere scomposta pei quadrati delle loro rispettive distanze da quesla rella assunta come asse. In questo lavoro sulla resi·
steuza dei materiali occorrerà ben di frequente di dover considerare i momenti d'inerzia di snperficie piane rispetto a rette ad esse perpendicolari e rispetto a relte in esse condotte.
9 1
-deve intendere che esso rappresenti una fot·za, espressa nella me-desima uuità di peso in cui è espressa la forza torcente che costi-tuisce l'altro fattore di M, e riferita al metro quadrato, al decimetro quadrato, al centimetro quadrato, ecc., secondo che il braccio di leva e le dimensioni lineari che entrano a formare J trovansi espresse in metri, in decimetri, in centimetri, ecc.
51. Angolo di torsione. - Se in un solido prismatico ed omo-geneo, nel quale è mantenuta immobile la parte posta a sinistra della sezion retta AB (fig. 26), si provoca la resistenza alla tor-sione mediante una forza P mantenuta nel piano della sezione estrema An Bn ed operante con braccio di leva C11D, e se in esso solido si considerano diverse sezioni vicinissime AB, Ai BP A~ B2 ,
A3 B3, ... Au Bu tutte egualmente ùistanti, per quanto si deduce
dalla formola (5) del numero precedente, l'angolo di cui ciascuna sezione ha rotato per rapporto a quelia che immediatamente la pre-cede a sinistra è sempre lo stesso; per modo che, essendo 1J l'arco di raggio 1 che misura l'angolo Ai C1 A' t di cui ha rotato la sezione Ai Bi rispetto alla sezione AB, saranno rispettivamente 21J, 51J, ...
n1J gli archi di raggio 1 che misurano gli angoli A2 C2 A' 2, A3 C3 A'3 , ... An C n A' n di cui hanno rotato le sezioni A2 B2, A3 B3, ... An Bn
rispetto alla stessa sezione AB;. e, siccome chiamando l le distanze eguali C C0 C1 C2 , C2 C3 ... si ha dalla già citata formola (5) del precedente numero
(dove M esprime il momento P
X
CnD, E"' il coefficiente di torsione della sostanza di ·cui il prisma è formato ed J il momento d'inerzia polare della sezion retta del prisma stesso), risulta che l'arco n 1J di raggio 1, il quale misura l'angolo An CnA' n di cui ha rotato la se-zione che ha subìto il. massimo spostamento in tutta l'estensione del solido considerato e che dicesi angolo di torsione, è dato da· n M l n rp
==
E"' J .Chiamando ora 8 l'indicato arco di raggio 1 che misura l'angolo An C n A' n, ed L la lunghezza totale C C n del solido eguale ad n l, l'ul-tima equazione diventa
•
la quale, in accordo coi risullamenti d'esperienza trovati da Duleau e Sa varl sopra corpi cilindeici solloposli a sforzi di torsione non capaci di produrre lo snervamento, porta a con chiudere che, in solidi prismatici della stessa materia e non snervati, gli archi
e
diraggio 1 misueanti gli angoli di loesione e quindi anche gli stessi angoli di lol'sione sono proporzionali : ai momenti 1\1 delle forze torcenti ; alle lunghezze L dei prismi contorti.
52. Momenti d'inerzia polari della sezione circolare piena e della sezione circolare vuota ...:.. I. Momm1to d'ineràa polw·e della sezione circvla1'e 1·ispetto all'asse perpendicolare al suo piano e pas-sante pel suo centro (f).
Essendo r il raggio CA (fig. 27) del circolo proposto, prenrlasi pee elemento di superlicie la porzione B D EF della corona circo-lare di raggio CB z e di larghezza BD==dz; esseuùo dqJ l'arco di raggio 1 chiudente l'angolo elementare B CF, la superficie ele-mentare ro sarà z d 1' d z, la distanza v degli elementi di secondo ordine in cui si può scomporre la della corona dall'asse C varrà costantemente z, ed il valore del momento d'inerzia po-lare domandalo J, cangiando il simbolo
~
nel simboloJf
sarà.dalo da
J=;>ruv'
{:z• d{
2'dF~
.r'dove rr è il noto rapporto 5,1415 ... della circonferenza al dia-metro.
II. Momento d'inerzia polare della sezione cù·colare vuota rispetto all'asse perpendicolare al suo piano e passante p el suo centro.
Siano r' il raggio intemo ed r" il raggio esterno della corona di cui vuolsi tt·ovare il momento d'inerzia polare rispetto ad un asse perpendicolare al suo piano e passante pel suo centro. Evi-dentemente la somma dei prodolli delle superficie elemental'i in cui si può scomporre la superficie dell'intiera corona pei quadrati delle rispettive distanze dall'asse per rapporto al quale vuolsi il momento d'inerzia vale la somma dei prodolli delle superficie ele-mentari in cui si può scomporre il circolo di raggio r" pei qua-drati delle rispettive distanze dal dello asse, meno la somma dei
(f) Nel numero che segue si ha un metodo elementare per dedurre il momento d'inerzia polare della sezione circolare piena.
9 5
-prodotti delle superficie element:1ri in cui si può scomporre la su-perficie del c't·colo di raggio r' pei quadrati delle rispettive distanze dal medesimo asse : cosicchè il momento d'inerzia polare della corona circolare è eguale a quello del circolo esterno meno quello del cit·colo interno, ossia chiamando J il domandalo momento d'i-nerzia, si ha
,
b5. Procedimento elementare per dedurre il momento d'i-nerzia polare della sezione circolare piena. - Il momento d'i-net•zia polare del circolo si può lt·ovare senza fat· uso delle nota-zioni di calcolo differenziale ed integrale. Perciò si scomponga la superficie del circolo dato in tanti piccolissimi sel,tori eguali C AB, CUD, C DE, ... (fig. 28) che, considerando il circolo come un poligono regolare di un numero grandissimo di lati, si posson~J
risguardare come triangoli; si consideri uno di questi settori, per esempio C A U, e si decomponga in tante pot·zioni di corone cir-colari AB B' A', A' B' B" A", A" B" B'" A"', ... aventi larghezze piccolissime ed eguali; si chiami r il raggio CA del circolo dato,
a le lunghezze degli archi AB, B D, D E, ... che servono di base a diversi settori circolari ip cui vP.nne scomposto il c\rcolo e con-fondentisi colle loro corde, ed l le larghezze
AA.';
A' A", A" A"', ...delle porzioni di corone circolari in cui venne decomposto il set-tore CAB.
Il momento d'inerzia della porzione di corona AB B' A' è dalo dalla sua superficie al moltiplicata per il quadrato della distanza che il suo centro di superficie ha dall'asse C, ossia da
a l1·',
giacchè, per ipotesi essendo vicinissimi i due archi A D ed A' B', si può ritenere che il centro di superficie di detta porzione di co-rona disti di tutto il raggio C M, condotto al mezzo dell'arco AB, dal punto C.
Ciò premesso, potendosi decomporre il prodotto a l r~ nei tlue fattori a l r ed r, di cui il primo rappresenta il volume del picco-lissimo prisma A B't che si può risguardare come un parallelepi-pedo rettangolo le cui tre dimensioni sono A B ==a, A A'== l ed A At--=CA-r, e potendosi ritenere siccome eguale ad r la distanza
del centt·o di volume (g) di questo parallelepipedo dall'asse CC' per-pendicolare al piano e proiettantesi nel centro C del circolo dato, si può dit·e che l'accennato prodotto è il momento del volume AB'1 rispetto all'asse C C' (h); e, ragionando pei momenti d'inerzia delle porzioni di corone circola d A' B' B" A", A" D" B"' A"', ... come si è fatto per quello della porzione di corona circolare ADB' A', age·
volmenle si viene a conchiudere che il momento d'inerzia del set·
tore CAB è la somma dei momenti rispetto all'asse CC' di tanti piccolissimi prismi le cui dimensioni sono AB, AA' e CA, A' D', A' A"
e CA', A"B", A" A'" e CA", ... , i quali prismi costituiscono nel loro assieme una piramide C AD B1 A1 il momento rlel cui volume rispetto al definito asse deve adunque dare il momento d'inerzia polare del piccolo settore CAB.
1- - -Ora, per essere AB un lato piccolissimo, essendo
3
cM.AB.AA1==ir.a.1·==~a1·
2 il volume di detta piramide, e distando il suo centro di volume dall'asse C C' pc!' rapporto al quale si pren·(g) Chiamasi centro di volume di un corpo quel punto che coincide col suo centro di gravità quando suppongasi omogenea tutta la materia costitueute il corpo stesso.
Immaginando il volume del corpo dato siccome decomposto in tanti volumi ele-mentari, e chiamand0
v il volume di uno qualunque di questi elementi,
x, y e z le coordinate di un punto coutenuto nell'interno di quest'elemento per rapporto a tre assi coordinati ortogonali a cui intendonsi riferiti tulli i punti dello spazio occupato dal corpo,
V l'intiero volume del corpo stesso,
}; una somma estesa a tutti gli elementi v iu cui intendesi decomposto il \
'O-lume V,
il centro di volume del corpo proposto è quel punto per cui le coordinate x1, y1 e z1
sono date dalle equazioni
svy Y1=v·
(h) Per momento del volume di un solido omogeneo rispetto ad una retta, oppure rispetto ad un piano, intendo il prodotto di questo volume per la distanza de1 centro di volume del solido dalla retta o dal piano.
9 5
-d ono · 1 moment1 · d e1 · 7 3c1\I n' =,r, s1 a
~
· h c 1e l 1 'l momen t o d'merz1a . .lj. LJ!
della superficie del settore C AB è 1 - ar3 4
Per avere il momento d'inerzia polare dell'intiero cil·colo pro-posto, bisogna prendere la somma dei momenti d'inei'Zia polari di tutti i settori C AB, C BD, C DE, ... , la qual somma si riduce al fattore
ir
3 moltiplicato per tantia
quanti sono gli archi AB, BD,D E ... che servono di base ai settori in cui venne scomposto il circolo intiero, la somma dei quali archi a fa appunto la circonfe-renza 2 1rr del circolo dato. Il momento d'inerzia pola1·e domandato J sarà adunque espresso da
1 1
J
=
4 r3X
'ì1rr=2
1rr\essendo 1r il noto rapporto 5,1415 ... della cil'conferenza al dia-metro.
Nella risoluzione del problema II del precedente numero si ha il.metodo per ottenere elementarmente il momento d'ine1·zia polat·e della sezione ch·colare vuota rispetto all'asse perpendicolat·e al suo piano e passante pel suo centro.
54. Momenti d'inerzia polari delle sezioni poligonali rego-lari piene e delle sezioni poligonali regorego-lari vuote. - I. Mo-mento d'inerzia polare della sezione puligonale regolm·e piena rispetto all' a.sse perpendicolare al suo piano e 71assante pel stto centro.
Un poligono regolare qualunque si compone di tanti triangoli isosceli eguali quanti sono i suoi lati, e tutti questi tl'iangoli hanno il loro vertice nel centro del poligono. Segue da ciò che si otterrà il momento d'inet·zia polare di un poligono regolare di n lati pro-curandosi prima il momento d'inerzia di uno dei triangoli isosceli componenti, come A CB (fig. 29), rispetto all'asse perpendicolare al suo piano passante pel vertice C, e moltiplicandolo poscia per n.
Per trovare il momento d'inel'zia del triangolo AC B rispetto all'asse proiettato nel vertice C (i), si consideri un elemento sup
et'-(i) Nel numero che segue si ha il metodo per otteuere elementarmente il m o·
mento ù'iuerzia polare del triangolo isoscele ri~petto alla retta passando pel suo vertice e perpendicolare al suo piano, e per avere quindi il momento d'inerzia po·
!are del!:l sezioue poligonale regolare rispetto all'asse passante pel suo centro.
ficiale di detto triangolo compreso fra due rette DE e G F infinita-mente vicine e parallele alla hase AB, si chiamino
l la base AB del triangolo proposto, a la sua altezza C K,
z la parte C H di delta altezza,
e dai due triangoli simili A CB e DC E si deduca il valore di D E, dato da
- l
DE=-z.
a
La superficie elementare D E F G, r. h e si può considerare siccome un rettangolo lungo DE ed alto Hl=dz, si scomponga in ele-menti del secondo ordine mediante rette infinitamente vicine pari11-lele a CK e si chiami x la distanza He di uno qui11unque di questi elementi del secondo ordine da questa retta La sua superficie sarà dxdz, il quadrato della distanza del suo centro dall'asse proiettato in C sarà x2+z'. ed il momento d'inerzia dell'elemento superficiale di primo ordine D E F G rispetto 'all'asse pHpendicolare al suo piano e passante pel vertice C del triangolo, sarà il doppio dell'integrale di (x•+z•)ùxdz preso fra i limiti x= O ed
x=~ DE=~ !t
z,ossiasarà
1 l - -z
f ~a /(1
[2 )2 o (x2+z2)dxdz= -a --.+1 z3dz.
'12 a·
Per ottenere poi il momento d'inerzia dell'inliero triangolo A CB rispetto all'asse proiellato nel suo vertice C, basterà prendere l'in-tegrale del trovato momento d'inerzia dell'elemento di primo or-dine DEFG rispetto allo stesso asse fra i limiti z=O e z=a, e si otterrà
Chiamando ora J il domandalo momento d'inerzia polare di un poligono regolare di n lati, di lato l e di apotema (t, e ponendo
i:
lfattore comune, si avrà
9 7
-II. Momento d'inerzia polare della sezione poligonale regolare Vttota rispetto all'asse perpendicolat·e al suo piano e passante pel sttO centro.
Siano
a' ed l' l'apotema ed il lato del poligono regolare interno ed n" ed l" gli stessi elementi pel poligono regolare esterno;
i due poligoni abbiano egual numero n di lati ed i loro centri coincidano; sia poi J il domandato momento d'inerzia polat·e , il quale, per quanto si è detto sul momento d'inerzia polare della corona circolare, deve valere il momento d'inerzia del poligono esterno meno quello del poligono intern~ rappresentante il vuoto, e conseguentemente essere dato da
55. Procedimento elementare per ottenere il momento d'i -nerzia polare del triangolo isoscele rispetto alla retta passante p el suo vertice e perpendicolare al suo piano, onde avere quindi il momento d'inerzia polare della sezione poligonale regolare rispetto all'asse passante pel suo centro. - Il mo-mento d'inerzia del triangolo isoscde ACB (fig. 30) rispetto all'asse pel'pendicolare al suo piano e passante pel suo vertice C si può trovare in questo modo da chi non conosce le prime nozioni di calcolo diffe-renziale ed integrale: il triangolo proposto, mediante rette parallele alla sua base AB e vicinissime fra di loro, si scomponga in tnnte l. ts t c AB B'A' , 1-\' B' B" A" , A"B"B"' A"' ) , ... c l' 1 egua l l a ezza, t, l e quali, atteso le picciolissime loro altezze K K', K'K", K"K"', ... , si possono considerat·e siccome altretlante aree rettangolari; l'area A K K' A' mediante rett~ parallele a CK e vicinissime fra di loro si decomponga nei piccolissimi rettangoli A A' n'n, n a' b' b, b b'
c'c, ... ;
e si chiamino, l la base- AB del triangolo isoscele dato, a la sua
e si chiamino, l la base- AB del triangolo isoscele dato, a la sua