Ricerca degli equilibri

La definizione e il calcolo dell’equilibrio varia a secondo del regime (delega vs. centralizzazione) scelto dal principale.

2.2.2.1 Centralizzazione

La centralizzazione, definita come il caso in cui la decisione in meri- to alle dimensioni dell’investimento è presa direttamente dal princi- pale, si basa sui report (passaggi di informazioni) che l’agente (nel caso del modello un division manager) manda al principale (nel caso del modello il CEO) e sulle convinzioni a posteriori di quest’ulti- mo riguardo le informazioni date dall’agente e quindi la successiva decisione del principale.

L’equilibrio è infatti dato dà tre oggetti:

• una reporting rule q(· |a) che restituisce la distribuzione di pro- babilità dei messaggi inviati dal principale all’agente condizio- nati al valore a osservato dall’agente

CAPITOLO 2. IL RUOLO DELLA COMUNICAZIONE NELLA DELEGA DELL’AUTORITÀ DECISIONALE33 • una distribuzione g(· |r) che descrive la probabilità a posteriori

dei valori ˜aosservati dall’agente condizionati ai report inviati • l’investement choice rule che fornisce la decisione di investi-

mento y(p, r) presa dal principale e basata sulle sue informa- zioni e i report inviati dall’agente.

In questo regime, l’equilibrio viene calcolato formalmente cercan- do il punto di minimo della perdita attesa soddisfacente il vincolo che l’equilibrio appartenga al supporto della reporting rule:

∀a ∈ [0, A]se r∗ _{∈ spt(q(·|a)), allora r}∗ _{∈ argmin} r E(y∗(˜p, r) − a − ˜p − b), ∀r, p y∗_{(˜p, r) ∈ argmin} y ´A 0 (y − p − a) 2_{g(a|r)da, ∀r ∈ spt(q(·|a)),} per qualche a ∈ [0, A], g(a|r) = ´Aq(r|a)

0 q(r|a)da

.

Dato che la funzione che descrive la perdita attesa del CEO è

della forma E[(y − s)2_{]quindi quadratica, la decisione di investimen-}

to d’equilibrio da verificare è data da y∗_{(p, r) = p + ¯a(r)con ¯a(r)che} rappresenta la media delle informazioni dell’agente, dato il report fatto da quest’ultimo verso il principale.

Dimostrazione. Per ottenere la decisione di investimento, si deve rendere minima rispetto ad a la perdita attesa del principale condi-

CAPITOLO 2. IL RUOLO DELLA COMUNICAZIONE NELLA DELEGA DELL’AUTORITÀ DECISIONALE34

E[(y − p − a)2|r] = E[(y − p − E[a|r] + E[a|r] − a)2_{|r] =} = E[((y − p − E[a|r]) + (E[a|r] − a))2|r] = = E[(y − p − E[a|r])2+ (E[a|r] − a)2+

+2(y − p − E[a|r])(E[a|r] − a)|r] =

= E[(y − p − E[a|r])2|r] + E[(E[a|r] − a)2|r] +

+ 2E[(y − p − E[a|r]) | {z } cost (E[a|r] − a)|r] | {z } 2(y−p−E[a|r])E[E[a|r]−a|r]=2(y−p−E[a|r])(E[a|r]−E[a|r])=0 =

= E[(y − p − E[a|r])2|r] + E[(E[a|r] − a)2|r]

Il minimo di questa espressione si ha minimizzando il primo termi- ne che, essendo sempre non negativo, può essere reso nullo an- nullando il termine della funzione quadratica, quindi per y = p + E[a|r].

Dall’espressione precedente, si ha che

∀r, p y∗(˜p, r) ∈ argmin y A ˆ 0 (y − p − a)2g(a|r)da

quindi bisogna trovare il valore di y per cui la derivata dell’inte- grale rispetto alla variabile a si annulla.

d da ˆ A 0 (y − p − a)2g(a|r)da = 0 d da ˆ A 0 (y − p − a)2g(a|r)da = ˆ A 0 d da(y − p − a) 2_g(a|r)da

CAPITOLO 2. IL RUOLO DELLA COMUNICAZIONE NELLA DELEGA DELL’AUTORITÀ DECISIONALE35 ˆ A 0 d da(y − p − a) 2 g(a|r)da = −2 ˆ A 0 (y − p − a)g(a|r)da = = −2{(y − p) ˆ A 0 g(a|r)da | {z } =:1 − ˆ A 0 ag(a|r)da | {z } =:E[a|r] } = = −2(y − p − E[a|r])

Pertanto la derivata dell’integrale si annulla per y = p + E[a|r]. Si può quindi riassumere che nel regime di centralizzazione l’e- quilibrio è dato dalla seguente dinamica:

• l’agente comunica al principale dei dati a al cui interno sono presenti le vere informazione a sua disposizione

• il principale sceglie l’investimento tale per cui sia pari alle in- formazioni da lui stesso possedute alla quale somma la media dei dati forniti dall’agente.

2.2.2.2 Delega

Nel regime di delega lo stato è speculare rispetto al regime di cen- tralizzazione. In questo caso, è il principale ad inviare all’agente parte delle proprie informazioni e sarà quest’ultimo a prendere la decisione riguardo all’investimento.

Essendo l’agente a prendere la decisione, nella delega, la fun- zione perdita attesa da minimizzare è quella del manager data da

E[(y − s − b)2_{] che essendo una costante, non cambia sostanzial-}

mente le dimostrazioni precedenti se non per l’inversione di a e p che sono ora costante e variabile aleatoria e per l’aggiunta di un

addendo nel calcolo dell’equilibrio y∗

m. Si ottiene quindi che nel

CAPITOLO 2. IL RUOLO DELLA COMUNICAZIONE NELLA DELEGA DELL’AUTORITÀ DECISIONALE36

y_m∗ = a + E[p|r] + b

In conclusione, l’equilibrio nel regime di delega è dato da: • il principale comunica all’agente delle informazioni p che con-

tengono il vero valore delle proprie conoscenze

• l’agente, la cui visione è distorta di un valore b, prende la deci- sione di investimento tale per cui sia data dalla somma del- le proprie informazioni, il bias e la media dei dati forniti dal principale.

2.2.2.3 Esempio di Crawford e Sobel

La decisione di investimento ipotizzata come equilibrio nel regime di centralizzazione è additiva rispetto alle informazioni del CEO date da p. Questa particolare forma fa sì che il manager, per ogni report che è lui stesso a scrivere, possa conoscere a priori la sua utilità

attesa poiché il suo valore è dato da U (y, s, b) = −(y − s − b)2 _quindi,

nell’espressione, si annullano le informazioni private del principale. U (y∗, s, b) = −(y∗−s−b)2 s=p+a_{= −(p+¯a(r)+−p−a−b)}2 _{= −(¯a(r)−a−b)}2_. Questa particolare forma della funzione utilità e il relativo equili- brio coincidono con l’esempio analizzato da Crawford e Sobel (Cra- wford and Sobel (1982)). I due autori modellano l’intervallo [0, A] co- me una partizione 0 = a1 < ... < ai < ... < aN = A e ipotizzano che

il valore a appartenga a [ai−1; ai] . Partendo dall’equilibrio e dalla

condizione di continuità, ottengono ai =

iA

CAPITOLO 2. IL RUOLO DELLA COMUNICAZIONE NELLA DELEGA DELL’AUTORITÀ DECISIONALE37 che permette di calcolare i valori degli intervalli [ai−1; ai] a cui

appartiene il report r. Trasferendo il valore r l’informazione mandata è solo che il vero valore di a è all’interno dell’intervallo [ai−1− ai]. Per questo motivo nel caso della centralizzazione, il report sarà meno informativo se il valore di a è alto poiché il manager è interessato a progetti di grosse dimensioni, quindi è più credibile se propone progetti minori cioè riporta valori minori.

Il discorso sulla credibilità della comunicazione è simmetrico nel caso della delega: il principale è maggiormente credibile per valori alti di p poiché, a differenza del manager, è portato a scegliere pro- getti di bassi valore e trasmettere un valore r ∈ [pi−1, pi]alto dimostra la volontà del CEO di scegliere un progetto maggiore.

I valori pi utilizzati in precedenza sono calcolati partizionando

[0, P ]in modo identico a prima e sono dati da

pi = iP

N + 2bi(i − N )