Abbiamo visto come ottenere immagini bidimensionali usando la tecnica della retroproiezione.
Adesso vediamo come i gradienti di codifica di fase uniti ai gradienti di selezione della fetta e ai gradienti di codifica in frequenza, sono al giorno d'oggi usati nell'imaging tomografico di risonanza magnetica basato sulla trasformata di Fourier.
Il gradiente di codifica di fase è un gradiente del campo magnetico Bo usato per impartire al vettore di magnetizzazione trasversale un angolo di fase specifico. L'angolo di fase dipende dalla localizzazione, in un determinato istante di tempo, del vettore di magnetizzazione trasversale.
Per esempio, immaginate di avere tre regioni con spin; il vettore di magnetizzazione trasversale relativo a ciascuno spin sia stato ruotato ad una certa posizione rispetto all'asse delle X. Ora, i tre vettori hanno in un campo magnetico uniforme la stessa frequenza di Larmor.
Se applichiamo un gradiente di campo magnetico lungo la direzione X, i tre vettori ruoteranno attorno alla direzione del campo magnetico applicato ad una frequenza data dall'equazione di risonanza.
ν = γ (Bo + x Gx) = νo + γ x Gx
Mentre il gradiente di codifica di fase è acceso, ciascun vettore di magnetizzazione trasversale ha la sua propria (unica) frequenza di Larmor. Finora, la descrizione della codifica di fase è la stessa di quella della codifica in frequenza. Vediamo ora le differenze. Se il gradiente nella direzione X viene spento, il campo magnetico esterno subito da ciascuno spin è identico. Perciò la frequenza di Larmor di ciascun vettore di magnetizzazione trasversale è identica.
L'angolo della fase di ciascun vettore, d'altra parte, non è identico. L'angolo della fase è l'angolo che il vettore di magnetizzazione forma con un asse di riferimento, detto asse Y, al tempo in cui il gradiente di codifica di fase viene spento.
Come negli esempi relativi al gradiente di codifica in frequenza, se avessimo un modo per misurare la fase dei vettori di rotazione, potremmo loro assegnare una posizione lungo l'asse X. Siamo pronti adesso per spiegare la semplice sequenza usata per ottenere immagini tomografiche con l'uso della trasformata di Fourier.
Uno dei migliori modi per capire una nuova sequenza di imaging è esaminare il suo diagramma temporale nel quale vengono riportati, in funzione del tempo, la radiofrequenza, i gradienti di campo magnetico ed il segnale. La più semplice sequenza per imaging con la trasformata di Fourier contiene un impulso a 90o di selezione della fetta, un gradiente per la selezione della fetta, un gradiente per la codifica di fase, un gradiente per la codifica in frequenza e un segnale. Gli impulsi relativi ai tre gradienti sono rappresentativi dell'intensità (ampiezza) e della durata degli stessi. Il reale diagramma temporale per questa sequenza è un po' più complicato di quello proposto, che ne è una semplificazione per scopi introduttivi.
Figura 52: sequenza di imaging
Il primo evento che ha luogo secondo questa sequenza di imaging è l'attivazione del gradiente per la selezione della fetta. L'impulso RF per la selezione della fetta è applicato nello stesso istante.
L'impulso RF per la selezione della fetta è una "breve e intensa" cessione di energia con un impulso che ha la forma della funzione sinc. Al termine dell'impulso RF, il gradiente per la selezione della fetta viene spento e viene attivato il gradiente per la codifica di fase. Una volta che il gradiente per la codifica di fase viene spento, viene acceso il gradiente per la codifica in frequenza e viene registrato un segnale. Questo segnale ha la forma di un echo o di un FID. La sequenza di impulsi di solito è ripetuta 128 o 256 volte per raccogliere tutti i dati necessari a produrre un'immagine. Il tempo tra le ripetizioni della sequenza è chiamato il tempo di ripetizione, TR. Ogni volta che la sequenza viene ripetuta l'intensità del gradiente di codifica della fase cambia. L'intensità viene incrementata con un certo "passo" a partire dal valore minimo fino alla massima ampiezza del gradienteIl gradiente di selezione della fetta è sempre applicato perpendicolarmente al piano della fetta. Il gradiente di codifica di fase è applicato lungo uno dei lati del piano immagine mentre il gradiente di codifica in frequenza è applicato lungo il rimanente lato del piano immagine. La tabella seguente indica le possibili combinazioni dei gradienti di selezione della fetta, di codifica di fase e di codifica in frequenza.
Gradiente
Piano immagine Selezione fetta Fase Frequenza
XY Z X o Y Y o X
XZ Y X o Z Z o X
YZ X Y o Z Z o Y
Tabella 3 : possibili combinazioni dei gradienti di selezione della fetta, di codifica di fase e di codifica in frequenza.
Esamineremo ora la sequenza da una prospettiva macroscopica dei vettori di spin. Immaginate un cubo di spin messo in un campo magnetico. Il cubo sia composto da molti elementi di volume,
ognuno col suo proprio vettore di magnetizzazione netta. Supponete di voler creare l'immagine di una fetta nel piano XY. Il campo magnetico Bo sia lungo l'asse Z.
Figura 53: magnetizzazione con campo applicato lungo l’asse z
Il gradiente di selezione della fetta è applicato lungo l'asse Z e gli impulsi RF fanno ruotare solamente quei pacchetti di spin nel cubo che soddisfano la condizione di risonanza. Questi pacchetti di spin sono localizzati, in questo esempio, in un piano XY. La localizzazione del piano lungo l'asse Z rispetto all'isocentro è data da:
Z = ν / γ Gs
dove ν è la deviazione dalla frequenza νo (i.e. ν - νo), Gs l'intensità del gradiente di selezione della fetta e γ il rapporto giromagnetico.
Figura 54: selezione della fetta
Gli spin localizzati sopra e sotto questo piano non sono interessati dagli impulsi RF; saranno perciò trascurati per gli scopi di questa presentazione. Per semplicità, ci concentreremo su un sottoinsieme di 3x3 vettori di magnetizzazione netta. L'immagine di questi spin in questo piano sarà del tipo.
Direzione Y
direzione X
Figura 55: processo di codifica della fetta selezionata
Una volta ruotati nel piano XY questi vettori ruoteranno alla frequenza di Larmor data dal campo magnetico che ognuno stava subendo. Se il campo magnetico fosse uniforme, ognuna delle nove frequenze di precessione sarebbe uguale. Nella sequenza per imaging, dopo il gradiente di selezione della fetta è applicato un gradiente di codifica di fase. Assumendo che questo sia applicato lungo l'asse X, gli spin a diverse posizioni lungo l'asse X cominciano a muoversi di moto di precessione a frequenze di Larmor diverse. Quando il gradiente di codifica di fase viene spento, i vettori di magnetizzazione netta ruotano con ugual frequenza ma possiedono fasi diverse. Infatti ricordiamo che la fase è l’integrale della frequenza e quindi a parità di tempo di integrazione se varia la frequenza linearmente il risultato sarà una variazione di fase lineare. La fase è determinata dalla durata e dall'ampiezza degli impulsi del gradiente di codifica di fase. Terminato l'impulso del gradiente di codifica di fase, viene attivato un impulso del gradiente di codifica in frequenza. In questo esempio il gradiente di codifica in frequenza è nella direzione -Y. Il gradiente di codifica in frequenza causa una precessione dei pacchetti di spin a velocità dipendenti dalla loro localizzazione su Y. Ora, fate attenzione al fatto che ognuno dei nove vettori di magnetizzazione netta è caratterizzato da un unico angolo della fase e un'unica frequenza di precessione. Se avessimo un modo per determinare fase e frequenza del segnale generato da un vettore di magnetizzazione netta, potremmo associarlo a uno dei nove elementi.
Una semplice trasformata di Fourier è in grado di far questo per ogni singolo vettore di magnetizzazione netta localizzato in qualche punto nello spazio 3x3. Per esempio, se un singolo vettore fosse localizzato nel punto (X,Y) = 2,2, i suoi FID conterrebbero una sinusoide di frequenza 2 e fase 2. Una trasformata di Fourier di questo segnale produrrebbe un picco a frequenza 2 e fase 2.
Purtroppo una trasformata di Fourier monodimensionale non è in grado di far questo in una matrice 3x3, quando più di un vettore è localizzato in una differente posizione lungo la direzione della codifica di fase. Ci vorrebbe un incremento del gradiente di codifica di fase per ciascuna localizzazione nella direzione del gradiente di codifica di fase (di fatto, abbiamo bisogno di un'equazione per ciascuna incognita). Quindi, se ci sono tre localizzazioni lungo la direzione della
codifica di fase saranno necessarie tre differenti intensità del gradiente di codifica di fase e tre unici FID. Se vogliamo risolvere 256 punti nella direzione della codifica di fase avremo bisogno di 256 differenti intensità di gradiente di codifica di fase e registreremo 256 differenti FID.
Ritornando ad un formalismo più matematico ricordando l’espressione ottenuta per la ricostruzione con retroproiezione si ha:
dove e
Per calcolare in maniera semplice l’antitrasformata di Fourier è necessario disporre di un insieme di dati F(x, y) in coordinate cartesiane x, y. Un campionamento di questo tipo, dovendo essere uniforme in coordinate cartesiane, risulta variabile nell’angolo . In risonanza Magnetica è possibile ottenere questo tipo di campionamento variando G con l’angolo .
Un esempio di come si ottiene il campionamento uniforme è dato nella figura considerando il
x’(1). In tal caso è possibile ottenere i punti per campionamento 1-D.
Figura 56: campionamento uniforme
In caso di dati campionati in maniera concentrica circolare, come ottenuto nella convenzionale proiezione, è necessario un campionamento 2-D per ottenere il punto P. Il campionamento concentrico può essere facilmente ottenuto variando l’intensità del gradiente G.
Figura 57:campionamento concentrico